Математическая обработка! Закон сложения сложения и умножения ошибок. При приготовлении раствора 2,4967г. У мерной колбы на 100мл погрешность составляет (0,2 мл), погрешность пипетки (0,06 мл) а при взвешивании погрешность аналитических весов (0,002 г.) какая будет погрешность у раствора, благодарю Вас за ответ.
Предыдущий
вопрос
Следующий
вопрос
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Горожанкин Алексей Анатольевич
(псевдоним – Галан)
«Основы Теории погрешностей»
Аннотация
−Введены понятия и рассмотрены три метода округления чисел: L-округление, C-округление и R-округление,
−Разработаны формулы определения погрешности, точности и отклонения при умножении, делении, сложении и вычитании, большинство из которых представлено впервые,
−Впервые сформулирован и кратко рассмотрен закон сложения погрешностей,
−Впервые выведен закон равновесия погрешностей и точностей при умножении и делении, а также закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании, на основе которых сформулированы правила вычисления чисел при данных видах вычислений,
−Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел при их вычислении,
−Описана методика сравнения чисел с учетом погрешностной составляющей, в которой некоторые элементы представлены впервые.
1
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Существуют разные способы определения погрешностей и точностей. В данной статье речь пойдет в основном об относительной погрешности и точности чисел, т.е. о погрешности и точности вычислений (в дальнейшем
– просто погрешность и точность). Погрешность чисел возникает при их вычислении в результате того, что используется только часть знаков у чисел для удобства расчетов, неиспользуемая же часть и есть погрешность чисел. Погрешность бывает как одного отдельно взятого числа, так и определенного блока вычислений, представляющего собой совокупность вычислений нескольких чисел.
За абсолютную погрешность чисел принимают количественную характеристику неиспользуемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную погрешность и выразить ее в процентах. Наряду с погрешностью существует и другое, противоположное понятие – точность, в частности, точность чисел. В общем виде точность представляет собой ту часть числа, которая участвует в вычислении. Таким образом, за абсолютную точность чисел принимают количественную характеристику используемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную точность, также по необходимости выразив ее в процентах. Следует иметь ввиду, что в дальнейшем величина отдельно взятого числа будет обозначаться как X, а величина окончательного результата – как Z. При этом исходное значение числа будет условно име-
2
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
новаться как точное значение (X), используемая часть – как приближенное значение числа (Xпр), а неиспользуемая часть – как абсолютная погреш-
ность числа или его отклонение (∆x). Погрешность, точность и отклонение
можно называть числовыми характеристиками. На основе приведенных рассуждений вытекают общеизвестные определения числовых характеристик.
Погрешность числа (δx) – отношение отклонения к точному значению
числа.
|
δx |
X − Xпр |
100% |
(1) |
||
|
X |
Точность числа (Τx) – отношение приближенного к точному значению
числа.
|
Т |
Xпр |
100% |
|||
|
(2) |
|||||
|
x |
X |
||||
Отклонение числа (∆x) – разность точного и приближенного значения
числа.
|
∆ x |
X − Xпр |
(3), |
|
3
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
где X – точное значение числа,
Xпр – приближенное значение числа.
Связь между погрешностью и точностью чисел выражается следующей зависимостью:
|
δx + Tx |
1 |
(4) |
|||
|
В процентном виде |
δx + Tx |
100% |
(5) |
||
Как известно, все числа состоят из знаков, которые вместе со знаком дробности образуют величину числа. В данной статье речь пойдет в основном об использовании десятичной системы счисления, в которой величина знаков меняется от 0 до 9. Для удобства расчетов числа обычно сокращают до определенной величины. Сокращение может осуществляться двумя способами:
1.Сокращение по знакам,
2.Сокращение по погрешности или точности.
При сокращении чисел по знакам используются три метода округления:
1.L-округление,
2.R-округление,
3.C-округление.
4
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
L-округление (L – от англ. Left – лево) – сокращение числа путем его уменьшения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается левее исходного (точного) числа.
R-округление (R – от англ. Right – право) – сокращение числа путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается правее исходного (точного) числа.
C-округление (C – от англ. Center – центр) – сокращение числа как пу-
тем его уменьшения, так и путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается то левее, то правее
исходного (точного) числа, в среднем стремясь к центру, иначе говоря, к исходному (точному) числу.
Примечание: в представленных определениях числа на координатной прямой взяты по модулю.
Основные правила округления чисел заключаются в следующем:
L-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру не изменяют (пример 1).
5
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Пример 1
|
Приближенное число |
Xпр = 198 |
|
Возможные исходные |
198.0 198.999… |
|
числа (X) |
Примечание: троеточие в конце числа означает, что оно сокращено для краткости записи, причем сокращенными знаками будут являться знаки, по величине равные последнему знаку перед троеточием (в данном примере остальными знаками будут девятки).
R-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (пример 2).
Пример 2
|
Приближенное число |
Xпр = 199 |
|
Возможные исходные |
198.0 198.999… |
|
числа (X) |
C-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают; если первая следующая за этим знаком цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на
6
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
единицу (округление в бóльшую сторону); если же первая следующая за этим знаком цифра меньше пяти, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют (округление в меньшую сторону). Данный вид округления рассмотрен в примере 3.
|
Пример 3 |
|
|
Приближенное число при округлении в |
Xпр = 198 |
|
меньшую сторону |
|
|
Возможные исходные числа при округле- |
198.0 198.499… |
|
нии в меньшую сторону (X) |
|
|
Приближенное число при округлении в |
Xпр = 199 |
|
большую сторону |
|
|
Возможные исходные числа при округле- |
198.5 198.999… |
|
нии в большую сторону (X) |
При вычислении чисел знания формул (1)÷(3) недостаточно. Необходимо знать формулы определения погрешностей и точностей при различных видах вычислений, например, умножении, делении, сложении, вычитании. Перечисленные виды вычислений всем хорошо известны, как известно и то, что умножение с делением, а также сложение с вычитанием сильно переплетаются между собой. Например, вычитание – это сложение положительного и отрицательного чисел. Но тем не менее в результате исследований было обнаружено, что не все так просто, как кажется на первый взгляд. Все дело в том, что погрешности и точности при использова-
7
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
нии этих видов вычислений ведут себя иногда по-разному, хотя сами фор-
мулы отличаются лишь знаком («–» вместо «+»). Данное обстоятельство
вынудило среди перечисленных видов вычислений условно выделить
шесть, представленных в примере 4 (при использовании в расчете двух чи-
сел X1 и X2).
|
Пример 4 |
|||
|
№ пп |
Наименование |
Вид вычисления чисел |
|
|
1 |
Умножение |
Z = X1 |
· X2 |
|
2 |
Деление |
Z = X1 |
: X2 |
|
3 |
Вычитание прямое |
Z = X1 – X2 |
|
|
4 |
Вычитание обратное |
Z = – X1 + X2 = X2 – X1 |
|
|
5 |
Сложение положительных чисел |
Z = X1 + X2 |
|
|
6 |
Сложение отрицательных чисел |
Z = – X1 – X2 = – (X1 + X2) |
Примечание: использование всего двух чисел X1 и X2 обусловлено необ-
ходимостью показать основные виды простейших вычислений, из которых
и складывается любой расчет.
Для каждого из этих видов вычислений существуют формулы опреде-
ления числовых характеристик. В данной статье будут рассмотрены фор-
мулы для умножения, деления, сложения и вычитания, все остальные виды
вычислений подробно рассмотрены в (1). Погрешность и точность оконча-
тельного результата носят название «фактические», т.к. они образуются
из фактических погрешностей и точностей отдельных чисел. При проекти-
8
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
ровании числовых характеристик используются теоретические погреш-
ность и точность, поэтому они носят название «теоретические».
Умножение:
погрешность окончательного результата – это сумма фактиче-
ских погрешностей множителей:
|
n |
|||||||
|
Погрешность |
δzф |
∑ δxi |
|||||
|
i |
= 1 |
||||||
|
n |
|||||||
|
Точность |
Tzф |
(1 − n) + |
∑ Txi |
||||
|
i |
= 1 |
Точность в процентном виде
n
Tzф 
(1 − n) 100% + ∑ Txi
i = 1
|
n |
∆ xi |
|||||
|
Отклонение |
∆ |
Z |
||||
|
zф |
∑ Xi |
|||||
|
i = 1 |
9
Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004
Деление:
погрешность окончательного результата – это разность фактиче-
ских погрешностей делимого и делителей:
|
n−1 |
||||||
|
Погрешность |
δzф |
δx0 − ∑ δxi |
||||
|
i = 1 |
||||||
|
n−1 |
||||||
|
Точность |
Tzф |
(n − 1) + Tx0 − ∑ Txi |
||||
|
i = 1 |
||||||
|
n−1 |
||||||
|
Точность |
Tzф |
(n − 1) 100% + Tx0 − ∑ Txi |
||||
|
в процентном виде |
||||||
|
i = 1 |
|
∆ |
x0 |
n−1 |
∆ |
xi |
||||||||
|
Отклонение |
∆ |
Z |
− |
∑ |
(13), |
|||||||
|
zф |
X |
X |
||||||||||
|
o |
i = 1 |
i |
где δzф – фактическая погрешность окончательного результата,
Тzф – фактическая точность окончательного результата,
∆zф – фактическое отклонение точного значения величины оконча-
тельного результата от приближенного,
Z – точное значение величины окончательного результата,
δxi – i-я погрешность множителей и делителей, 10
Соседние файлы в предмете Высшая математика
- #
- #
- #
Среднее квадратическое
отклонение
случайной величины
(сокращенно
с. к. о.). Это положительное значение
квадратного корня из ее дисперсии
где D
— дисперсия,
т. е. второй центральный момент случайной
величины, а р(х)
— плотность
распределения, Xц
– координата центра распределения..
Для определения оценки дисперсии по
экспериментальным данным пользуются
соотношением
где xi—значения
отдельных отсчетов; п—объем
выборки.
Отсюда оценка с.
к. о. определяется как
Основным достоинством
оценки разброса случайных величин
средним квадратическим значением
является возможность определения
дисперсии суммы статистически независимых
величин независимо от разнообразия
законов распределения каждой из
суммируемых величин и деформации законов
распределения при образовании композиций.
Таким образом для
того, чтобы отдельные составляющие
погрешности средств измерений можно
было суммировать расчётным путём, они
должны быть предварительно представлены
своими средними квадратическими
значениями ,
а не максимальными m
или доверительными д
значениями. При этом открывается
возможность расчётным путём не только
складывать любое число составляющих
погрешности, что необходимо при анализе
точности косвенных измерений или сложных
измерительных устройств, но и достаточно
точно вычитать погрешности, что необходимо
при синтезе методов измерений или
сложных устройств с заданной результирующей
погрешностью. Действительно, если
,
то
.
Это правомерно для независимых случайных
величин.
Из предыдущего
следует, что
.
В случае сложения не двух, а большего
числа дисперсий или с.к.о. независимых
случайных величин закон сложения будет
таким же. Следует обратить внимание на
то, что как вы уже убедились, для нахождения
суммарной погрешности следует складывать
не сами погрешности, а их квадраты. В
том случае. Если мы складываем вероятности,
то закон сложения будет тем же.
.
Из закона сложения
погрешностей следуют два очень важных
вывода. Первый относится к роли каждой
из погрешностей в общей погрешности
результата. Он состоит в том, что значение
отдельных погрешностей очень быстро
падает по мере
их уменьшения.
Поясним сказанное примером: пусть X
и Y
— два слагаемых, определенных со средними
квадратическими погрешностями x
и y
, причем
известно, что y.
в два раза меньше, чем x.
Тогда погрешность суммы Z=X+Y
будет
Откуда
.
Следовательно, если одна из погрешностей
в два раз меньше другой, то общая
погрешность возросла за счет этой
меньшей погрешности всего на 10%, что
обычно играет очень малую роль. Это
означает, что если мы хотим повысить
точность измерений величины Z,
то нам нужно в первую очередь стремиться
уменьшить ту погрешность измерения,
которая больше, т.е. погрешность измерения
величины X.
Если оставим точность измерения Х
неизменной, то, как бы мы ни повышали
точность измерения слагаемого Y,
нам не удастся уменьшить погрешность
конечного результата измерений величины
Z
более чем
на 10%.
Этот вывод всегда
нужно иметь в виду, и для повышения
точности измерений в первую очередь
уменьшать погрешность, имеющую наибольшее
значение. Конечно, если слагаемых много,
а не два, как в нашем примере, то и малые
погрешности могут внести заметный вклад
в суммарную погрешность.
Если нужная нам
величина Z;
является разностью двух независимо
измеряемых величин Х
и Y,
то из выражения для суммы с.к.о. следует,
что ее относительная погрешность
где X,
Y,
Z
– погрешности измерений величин X,
Y,
Z.
Очевидно, что она
будет тем больше, чем меньше
,
и относительная погрешность возрастает
до бесконечности, еслиX
стремиться к Y.
Это означает, что
невозможно добиться хорошей точности
определения какой-либо величины, строя
измерения так, что она находится как
небольшая разность результатов
независимых измерений двух величин,
существенно превышающих искомую. В
противоположность этому относительная
погрешность суммы
очевидно не зависит
от соотношения величин X
и Y.
Следующий вывод,
вытекающий из закона сложения погрешностей,
относится к определению погрешности
среднего арифметического. Следует
отметить, что среднее арифметическое
из ряда измерений числом n
отягощено меньшей погрешностью, чем
результат каждого отдельного измерения.
Запишем этот вывод в количественной
форме. Пусть x1,
x2,
xn
результаты отдельных измерений, причем
каждое из них характеризуется одной и
той же дисперсией D
. Образуем
величину Y
, равную
Дисперсии этой
величины Dy
определяются в соответствии с формулой
сложения дисперсий
как
Но у
, по определению, это — среднее арифметическое
из всех величин xi
и мы можем написать
(13)
Средняя квадратическая
погрешность среднего арифметического
равна средней квадратической погрешности
отдельного результата измерений,
деленной на корень квадратный из числа
измерений. Это — фундаментальный закон
возрастания точности при росте числа
наблюдений. Мы его уже обсуждали в
разделе 5.1. Из него следует, что, желая
повысить точность измерений в 2 раза,
мы должны сделать вместо одного — четыре
измерения; чтобы повысить точность в 3
раза, нужно увеличить число измерений
в 9 раз, и, наконец, увеличение числа
наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному
увеличению точности измерений.
Разумеется, это
рассуждение относится лишь к измерениям,
при которых точность результата полностью
определяется случайной погрешностью.
В этих условиях, как уже указывалось,
выбрав n
достаточно большим, мы можем существенно
уменьшить погрешность результата. Такой
метод повышения точности широко
используется. Отметим, что повышение
точности измерений целесообразно
производить таким способом в том случае,
если погрешность измерительного средства
намного превышает цену деления шкалы
отсчёта. В этом случае погрешность можно
свести к значению цены деления. Очевидно,
что получить точность выше цены деления
не представляется возможным т.к. при
отсчёте показаний округления производятся
до целых делений шкалы. С помощью такого
приёма легко снизить погрешность от
вариации показаний.
При практической
работе очень важно строго разграничивать
применение средней квадратической
погрешности отдельного измерения i
и средней квадратической погрешности
среднего арифметического
Последняя применяется
всегда, когда нам нужно оценить погрешность
того значения, которое мы получили в
результате всех произведенных измерений.
В тех случаях,
когда мы
хотим
характеризовать точность применяемого
способа измерений, следует использовать
погрешность i
, если n,
достаточно велико.
Приведем примеры пользования результатами
таблицы. Пусть для некоторого ряда измерений получили 
=20,
σ =2. Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за
пределы, определяемые равенством 17 < хi < 23?
Доверительные границы равны ± 3, что составляет в долях σ -1,5. Из таблицы 3.1
находим, что доверительная вероятность для ε = 1,5 равна 0,87. Иначе говоря,
87% всех измерений уложится в интервал погрешности ± 3 .
Сформулируем вторую задачу, какой
доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы 99% результатов
попала в него? По таблице 3.1 находим, что значению α =0,99 соответствует значение
ε =2.6, следовательно, доверительный искомый интервал равен Δх = ε*σ = 2,6*
2=5,2.
Таким образом, для нахождения случайной
погрешности нужно определи два числа — доверительный интервал /величину
погрешности/ и доверительную вероятность. Средней квадратичной погрешности σ
соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной
погрешности 2σ — доверительная вероятность 0.95; утроенной /Зσ/ — 0.997.
Приведенные три значения α полезно
запомнить, так как обычно в литературе дается значение средней квадратичной
погрешности и не указывается соответствующая ей доверительная вероятность.
Наряду со среднеквадратичной погрешностью
иногда используется погрешность среднеарифметическая, вычисляемая по формуле
; 
При большом числе наблюдений rп
и SП существуют простые соотношения
SП =1.25 rП;
rП = 0.80 SП
Известным преимуществом средней
арифметической погрешности является сравнительно простой способ ее вычисления. Если
пользоваться средней арифметической погрешностью и при малой n, то правильнее
ее вычислять по соотношению
СЛОЖЕНИЕ
СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Предположим, что измеряемая величина Z
является суммой /или разностью/ двух величин Х и Y, результаты измерений
которых независимы. Тогда, если 
,
—
дисперсия величин Х и Ү, то дисперсия измеряемой величины 
будет равна
=+ или 
= 
Если Z является суммой не двух, а
большего числа слагаемых — закон сложения погрешностей будет таким же.
Таким образом, средняя квадратичная
погрешность суммы /ила разности/ нескольких независимых величин равна корню квадратному,
из суммы дисперсий отдельных слагаемых. Необходимо твердо помнить, что для
нахождения суммарной погрешности нужно складывать не сами погрешности, а их квадраты
и извлечь квадратный корень.
Из закона сложения погрешностей следует
два важных вывода. Первый из них относится к роли каждой из погрешностей в
общей погрешности результата. Поясним сказанное на примере: пусть Х и Y два
слагаемых, определенных со средней квадратичной погрешностью 
и 
, причем
в два раза меньше.
Тогда ошибка суммы будет
=+=+
;
Иначе говоря, если одна из ошибок в два
раза меньше другой, то общая погрешность возросла за счет меньшей из
погрешностей всего на 10%. Это означает, что если необходимо повысить точность
измерения величины Z, то нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту
погрешность измерения, которая больше. Если оставить точность измерения Х
неизменной, то, как бы мы не повышали точность измерения Y, погрешность
конечного результата не удастся уменьшить более чем на 10%. Этот вывод нужно
иметь в виду и при повышении измерений в первую очередь уменьшать погрешность,
имеющую наибольшую величину.
Второй вывод, вытекающий из закона
сложения погрешностей, относится к определению погрешности среднего
арифметического. Среднее арифметическое оточено меньшей ошибкой, чем результат
каждого отдельного измерения. Покажем это. Пусть х1,х2,…,хn
— результаты отдельных измерений, каждое из которых характеризуется дисперсией
σ². Среднее арифметическое всех измерений можно представить в виде
В соответствии с законом сложения
погрешностей дисперсию величины Y можно найти как
Но Y и есть среднее арифметическое из всех величин хi,
поэтому
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание — внизу страницы.
Для применения закона сложения ошибок надо знать формулы, связывающие отдельные измеряемые величины и частные ошибки различных стадий процесса измерения. В дальнейшем мы будем исходить из предположения, что все измерения взаимно независимы (см. с. 42). [c.64]
Закон сложения ошибок [c.64]
Ошибку определения получают из уравнения (4.12) по закону сложения ошибок [уравнение (4.36)] [c.69]
Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные ошибки. Если 1, Х2….. Хп — независимые случайные величины а, й2,. .., йп — неслучайные величины и [c.31]
Случайная ошибка метода анализа чаще всего складывается из нескольких частных ошибок. Для минимизации общей ошибки анализа надо найти оптимальные условия измерения. Этому способствуют законы сложения ошибок. Рассмотрение ошибок такого рода прежде всего сосредоточивается на возникающих ошибках измерений. Поэтому рассмотрение таких ошибок лишь в исключительных случаях может дать некоторые представления о точности аналитического метода, так как ошибки измерений обычно гораздо меньше, чем случайные колебания, например хода химических реакций. Тем не менее метод анализа может полностью проявить свои возможности только в том случае, когда ошибки измерений сведены к минимуму. [c.64]
Ниже описывается действие закона сложения ошибок при поиске наилучших условий измерения для нескольких типичных методов аналитической химии. [c.64]
Глава 4. Закон сложения ошибок [c.68]
Из уравнения (4.34) по закону сложения ошибок [уравнение (4.3а)] и с учетом (7 яа [уравнение (3.14)] получаем [c.78]
Пусть даны два средних Хх и Х2, которые получены из двух независимых друг от друга серий с Пх и пг измерениями. Средние слегка различаются. Надо проверить, можно ли объяснить это различие только случайной ошибкой, т. е. принадлежат ли оба средних нормально распределенной генеральной совокупности с одним и тем же средним р. Значит, проверяется гипотеза для данного параметрического критерия р = рз = Р- Перед ее проверкой надо выяснить, нет ли разницы между стандартными отклонениями обеих серий 1 и г (по Г-критерию, см. разд. 7.2). Если значимое различие между 1 и 2 не обнаруживается, то сначала по закону сложения ошибок находят стандартное отклонение для разности двух средних из пх и П2 измерений. Уравнения (4.3а) и (3.4) дают [c.121]
Общая ошибка метода анализа чаще всего складывается из ряда отдельных частных ошибок. Они суммируются по закону сложения ошибок (см. гл. 4). Знание этих частных ошибок важно, например, при разработке нового метода анализа, так как стоит улучшать ход анализа на наиболее ответственной стадии — там, где наибольшая ошибка. [c.140]
Если из двух взаимосвязанных (коррелированных) случайных величин х и у вычисляют третью 2 = [/(х у)], то в законе сложения ошибок надо дополнительно учесть еще и степень корреляции между хну. Для четырех основных действий арифметики — как обобщение уравнения (4.3) — получим следующие закономерности [c.162]
Дисперсии для констант а тл Ь можно искать с помощью закона сложения ошибок тогда получим [c.168]
Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные [c.35]
Закон сложения ошибок. В химическом эксперименте искомая величина часто не может быть измерена непосредственно. Для ее определения используются различные математические выражения, в которых эта искомая величина является функцией других измеряемых в эксперименте величин. Таким образом, возникает вопрос о нахождении среднего значения функции и ее средней квадратичной ошибки, если известны средние значения и средние квадратичные ошибки аргументов. [c.229]
Формулы (17) и (18) известны в математической статистике под названием закона сложения ошибок. Они позволяют рассчитать ошибку функции, если известны ошибки аргументов при различных видах функциональной зависимости. [c.230]
I 4] ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 53 [c.53]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК [c.55]
Закон сложения ошибок можно интерпретировать геометрически при помощи векторов, так как. это показано на рис. 7. В первом примере на рис. 7 между величинами X ш у нет линейной корреляционной связи (г у = 0). Из геометрического построения ясно видно, что в этом случае нет необходимости затрачивать усилия на з меньше-ние меньшей из двух компонентов, так как уменьшение [c.55]
Пользуясь законом сложения ошибок, можно получить формулу для подсчета ошибок воспроизводимости по текущим измерениям, состоящим из двух параллельных определений [101, 117, 121]. Допустим, что анализу подвергалось п различных по своему составу проб. Обозначим через d разность между двумя параллельными определениями тогда мы можем написать [c.56]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 57 [c.57]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 59 [c.59]
Здесь м общ — результирующая ошибка, и 1 — ошибки отдельных операций. При этом безразлично, какие из случайных ошибок суммируются формула (118) написана для коэффициента вариации йУ, совершенно так н<е суммируются средние квадратичные ошибки а пли средние арифметические ошибки г. Из закона сложения ошибок следует важное правило существенный вклад вносят только те ошибки, которые близки к наибольшей из ошибок. Поясним сказанное численным примером. Допустим, что ошибка измерения интенсивности составляет 1%, ошибка, вносимая источником возбуждения, 3% и ошибка, вносимая неоднородностью проб, 0,5%. Тогда суммарная ошибка будет н, общ = V 9 1 0,25 = = 3,2%. Практически эта величина не отличается от 3%. Поэтому нет никакого смысла для повышения точности стараться уменьшить ошибку измерения интенсивности или неоднородности проб, пока не уменьшена ошибка, вносимая генератором. В разных случаях анализа ошибки различных звеньев процесса играют определяющую роль. При анализе руд обычно так велики неоднородности проб, что нет смысла прибегать к точным методам регистрации спектров. При анализе сплавов именно измерительное звено часто играет решающую роль. Воспроизводимость и точность тех или иных методов анализа будут приведены в соответствующих разделах. Здесь ограничимся только указанием, что лучшие методы количественного анализа позволяют делать определения с коэффициентом вариации до 0,1%. Обычно нри количественных анализах его значение лежит в пределах 1—10%. При определениях вблизи границы чувствительности метода ю быстро возрастает. [c.164]
Из закона сложения ошибок следует, что существенное влияние на величину Отобщ оказывают наибольшие из ошибок. [c.195]
По закону сложения ошибок средняя квадратичная ошибка суммы независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых, т. е. ошибка определения содержания Н3РО4 в пробе — Sxi равна [c.85]
Статистика в аналитической химии (1994) — [
c.64
]
Применение математической статистики при анализе вещества (1960) — [
c.53
,
c.60
]
Слайд 1ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением какой-либо физической величины называется операция, в
результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за единицу
Виды измерений и погрешностей
Слайд 2Виды измерений классифицируются:
– по способу получения результата (прямые и косвенные);
– по
методу измерений (абсолютные, относительные и пороговые);
– по условиям измерений (равноточные, неравноточные);
– по степени достаточности измерений (необходимые, избыточные)
Слайд 3 При прямых измерениях измеряется непосредственно исследуемая величина
При косвенных измерениях
исследуемая величина измеряется как функция по результатам измерения других величин
Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности – по массе и объему
Слайд 4 Абсолютные измерения – это прямые измерения в единицах измеряемой величины
Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой величины к величине играющей роль единицы или к величине, принимаемой за исходную
При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске
(по принципу «да/нет»)
Слайд 5Равноточные измерения проводятся в одинаковых условиях одними и теми же измерительными
приборами и с одинаковой степенью тщательности.
При этом в ряду измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям
Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям
Слайд 6Избыточные измерения имеют по сравнению с необходимыми большее число измерений либо
большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают избыточную информацию
Надежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений
Под точностью измерений понимают степень соответствия результата измерения действительному значению измеряемой величины
Слайд 7Снять показания с прибора – не значит только измерить. Необходимо еще
оценить ошибки (погрешности) измерений
Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины
Слайд 8Под истинным значением измеряемой величины принято считать
– среднюю арифметическую величину
ряда измерений;
– известное эталонное значение;
– величину, полученную в результате более точных (не менее чем на порядок) измерений
Слайд 9Основные источники ошибок
Первый источник заключен в датчике, который неправильно реагирует
на измеряемую величину.
Например, если тензосопротивление плохо наклеено на упругий элемент, то деформация его решетки не будет соответствовать деформации упругого элемента
Второй источник – измерительное устройство, в котором возможны погрешности из-за неправильного функционирования его механических или электрических элементов
Слайд 10Третий источник – сам наблюдатель, который из-за неопытности или усталости неправильно
считывает показания прибора
Ошибки могут возникнуть из-за влияния измерительного устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе контроля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методических погрешностей, допущенных экспериментатором
Слайд 11Случайная погрешность – это погрешность, которая в отдельных измерениях может принимать
случайные, заранее конкретно неизвестные значения.
Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду как объективных, так и субъективных факторов, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено.
Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок: случайных, систематических и грубых
Слайд 12Случайные погрешности различаются в отдельных измерениях, сделанных в одинаковых условиях одними
и теми же измерительными приборами. Исключить случайные погрешности нельзя. Можно только оценить их значение
Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей
Слайд 13Систематическая погрешность – это погрешность, вызванная факторами, действующими одинаковым образом при
многократном повторении одних и тех же измерений с помощью одних и тех же измерительных приборов
В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, P=(1000±0,1) г
Слайд 14Грубая погрешность или промах вызывается просчетом экспериментатора или неисправностью средств измерения,
или резко изменившимися внешними условиями
Грубые погрешности приводят к явному искажению результата, поэтому их надо исключить из общего числа измерений
Слайд 15Абсолютная погрешность – это разность между результатом измерения и его истинным
значением:
где x – результат измерения; a – истинное значение
По форме числового представления погрешности делятся на абсолютные и относительные
Относительная погрешность – это погрешность, приходящаяся на единицу измеренной величины; обычно выражается в процентах
Слайд 16 Чтобы выявить случайную погрешность измерений, необходимо повторить измерение несколько
раз
Случайные погрешности и их распределение
Если каждое измерение дает заметные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль
Слайд 17 Наиболее вероятным значением измеряемой величины из серии измерений является
ее среднее значение
Разброс измеряемой величины относительно ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения
Слайд 18Абсолютные погрешности
рассматривают как случайные величины
Пусть в эксперименте в результате независимых и равноточных измерений постоянной величины получены значения х1, х2, …, хn
Независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин , а равноточность – как подчинение величин одному и тому же закону распределения (кроме того измерения сделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности)
Слайд 19 В качестве оценки неизвестной величины по данным
измерений обычно берут среднее арифметическое результатов измерений
Дисперсия отдельных измерений
обычно неизвестна, и для ее оценки используется величина
Слайд 20
Среднюю квадратическую (стандартную) погрешность (СКО) находятся по формуле
Величина
для ее
оценки вычисляется величина
называется коэффициентом вариации
Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин
Слайд 21При этом предполагается:
2) при большом числе наблюдений погрешности равных значений,
но разных знаков встречаются одинаково часто;
1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин погрешностей
Слайд 22Эти предположения приводят к закону распределения погрешностей, описываемому формулой Гаусса:
Форма
кривых Гаусса зависит от величин .
Чем больше , тем больше рассеивание случайной погрешности
Слайд 23Известно, что под кривой распределения в пределах по оси абсцисс от
до заключено 68,3% всей площади; в пределах от
–2 до +2 – 95,5%, в пределах от –3 до +3 – 99,7%
Слайд 24Известно, что под кривой распределения в пределах по оси абсцисс от
до заключено 68,3% всей площади; в пределах от
–2 до +2 – 95,5%, в пределах от –3 до +3 – 99,7%
Слайд 25Замечание. В ряде случаев экспериментальные данные лучше описываются другими законами распределения
случайных величин, например, законом Пуассона:
Слайд 26 Пусть измеряемая величина Z является суммой (или разностью) двух
величин X и Y, результаты измерений которых независимы.
Закон сложения случайных ошибок
Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Слайд 27
Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых, то
закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты
Слайд 28Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин
равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 29Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.
Выводы:
В первую очередь стоит уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину
Относительная погрешность суммы
Слайд 30
Пример: пусть X и Y – два слагаемых, определенных со средними
квадратичными ошибками и , причем, известно, что В два раза меньше, чем . Тогда ошибка суммы будет
Слайд 312. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического равна средней квадратической погрешности отдельного
результата, деленная на корень квадратный из числа измерений:
– средняя квадратичная погрешность отдельного измерения
Слайд 32 Пусть измеряемая величина Z является разностью двух величин X
и Y, результаты измерений которых независимы.
Тогда ее относительная погрешность
Слайд 33Невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины, строя измерения так, что
она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих искомую
Слайд 36Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 37Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей ошибке результата.
Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или
Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых
Слайд 38где 2n – количество опытов, образующих полный факторный эксперимент; 2n –
число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)
Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:
Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле
Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования
Слайд 41 Если поверхность отклика не может быть описана многочленом вида
Закон сложения случайных ошибок
для адекватного математического описания используется многочлен более высокой степени, например, отрезок ряда Тейлора, содержащий члены с квадратами переменных. Тогда используют центральное композиционное планирование (ЦКП) эксперимента.
Различают два вида ЦКП:
ортогональное и
ротатабельное
Слайд 42где 2n – количество опытов, образующих полный факторный эксперимент; 2n –
число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)
Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:
Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле
Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования
Слайд 43Переменные величины
здесь j – номер опыта; i – номер фактора,
введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов. Чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме
Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде
находят величину
Слайд 44Это план 2-ого порядка после преобразований (*)
Эти преобразования позволяют усреднить случайные
погрешности
Ортогональный план
Ортогональный план 2-ого порядка
Тогда уравнение регрессии
В итоге уравнение регрессии преобразуется к виду
Слайд 45где i ≠ 0
Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП считают по
следующим формулам
где i ≠ k
Слайд 46где i ≠ 0
Для расчета оценок дисперсий в определении коэфф-тов
регрессии используют следующие выражения
Коэффициент bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера
где i ≠ k
Слайд 47 Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет получать более точное математическое
описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α.
Метод ротатабельного центрального композиционного планирования
Это план, у которого точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах)
Точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая, что позволяет наилучшим образом извлечь максимальное количество (несмещенной) информации из плана
Слайд 48Ротабельный план 2-ого порядка
Для того, что бы привести план
2-ого порядка к ротатабельному, величину плеча выбирают из условия
Слайд 49 При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов регрессии и соответствующих
оценок дисперсий находят следующие константы
где n – число факторов; N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана
На основании результатов эксперимента вычисляют след. суммы
(где i=1,2,…,n),
(где i ≠ k),
(где i=1,…, n)
Слайд 50
Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют следующий вид
где i ≠
Слайд 51
Оценки дисперсий в определении коэфф-тов регрессии вычисляют по следующим формулам
Коэффициент
bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии
(где i=1,2,…,n)
(где i≠k)
Слайд 52
Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по формуле
С ней связано число степеней
свободы
Проверку адекватности уравнения регрессии осуществляют с помощью критерия Фишера
Слайд 53
Пример. Рассмотреть ротатабельное ЦКП для двух факторов. Матрица планирования и результаты
эксперимента приведены в таблице
Матрица планирования и результаты эксперимента
Слайд 54Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим следующие вспомогательные коэффициенты
На основании результатов
опытов вычислим вспомогательные суммы
Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам
Слайд 56Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на основании результатов опытов, проведенных в
центре плана
Эта величина найдена при числе степеней свободы
Оценки дисперсий в определении коэфф. регрессии
Слайд 57Пользуясь таблицей значений критерия Стьюдента, находим
для
и
Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим соотнош.
Все коэффициенты регрессии значимы. Вычисляем оценку дисперсии адекватности
Слайд 58Число степеней свободы, связанных с этой оценкой дисперсии
Расчетное значение критерия
Фишера
Из таблицы значений критерия Фишера соответствующее значение критерия . Условие выполнено, следовательно, уравнение регрессии
адекватно представленным результатам эксперимента
Перейдем в уравнение регрессии от кодированных переменных к физическим
Пусть в нашем примере кодированные переменные X1 и X2 представляют собой температуру и концентрацию, причем координаты центра плана
x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования Δx1= 5°С и Δх2= 1% . Тогда
Слайд 59Подставляя их в полученное в этом примере уравнение регрессии, преобразуем его
к виду
Пользуясь таким уравнением, исследователь избавляется от необходимости переводить всякий раз условия опыта в кодированные переменные
Слайд 60Планирование активного эксперимента
При планировании экспериментов чаще всего применяются планы 1-ого и
2-ого порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности
Планы 1-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения
Планы 2-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов
Слайд 61Планирование первого порядка
В качестве факторов выбираются только контролируемые и управляемые факторы
(переменные)
Обеспечивается возможность независимого изменения каждого из факторов и поддержание его на определенном уровне
Для каждого фактора указывается интервал (+/-), в пределах которого ставится исследование
Слайд 62Представления плана эксперимента
(на примере эксперимента с 3-мя независимыми факторами)
Табличное (матричное) представление
Геометрическое
представление
Уравнением регрессии
b0, b1, b2, b3 – коэффициенты регрессии
xi*xu – члены двойного взаимодействия
x1*x2*x3 – члены тройного взаимодействия
Слайд 63Свойства матрицы представления эксперимента
1. Свойство симметричности – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца
каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену)
2. Свойство нормирования – сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов
3. Свойство ортогональности – скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю
i = номер фактора, j – номер опыта
Слайд 64Определение коэффициентов b уравнения регрессии
По свойствам матрицы планирования
Методом наименьших квадратов находятся
оценки b коэффициентов
Получаем
Слайд 65Планирование второго порядка
Применяется если описание функции отклика первым порядком получается недостаточным
(например, процесс носит нелинейный характер)
Каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях – полный эксперимент содержит 3^k (k – количество факторов) опытов.
План 2-ого порядка при k=2 n=1
Опыты проводятся
В «крайних точках» — как в планировании 1-ого порядка
В «звездных точках» — xi=(+/-)a, xj=0, 1,…,n; 1,…,n; i!=j
В «центре» — xi=0, j=1,2,3,…,n
Уравнение регрессии для эксперимента с 2-мя факторами
Для применения закона сложения ошибок надо знать формулы, связывающие отдельные измеряемые величины и частные ошибки различных стадий процесса измерения. В дальнейшем мы будем исходить из предположения, что все измерения взаимно независимы (см. с. 42). [c.64]
Закон сложения ошибок [c.64]
Ошибку определения получают из уравнения (4.12) по закону сложения ошибок [уравнение (4.36)] [c.69]
Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные ошибки. Если 1, Х2….. Хп — независимые случайные величины а, й2,. .., йп — неслучайные величины и [c.31]
Случайная ошибка метода анализа чаще всего складывается из нескольких частных ошибок. Для минимизации общей ошибки анализа надо найти оптимальные условия измерения. Этому способствуют законы сложения ошибок. Рассмотрение ошибок такого рода прежде всего сосредоточивается на возникающих ошибках измерений. Поэтому рассмотрение таких ошибок лишь в исключительных случаях может дать некоторые представления о точности аналитического метода, так как ошибки измерений обычно гораздо меньше, чем случайные колебания, например хода химических реакций. Тем не менее метод анализа может полностью проявить свои возможности только в том случае, когда ошибки измерений сведены к минимуму. [c.64]
Ниже описывается действие закона сложения ошибок при поиске наилучших условий измерения для нескольких типичных методов аналитической химии. [c.64]
Глава 4. Закон сложения ошибок [c.68]
Из уравнения (4.34) по закону сложения ошибок [уравнение (4.3а)] и с учетом (7 яа [уравнение (3.14)] получаем [c.78]
Пусть даны два средних Хх и Х2, которые получены из двух независимых друг от друга серий с Пх и пг измерениями. Средние слегка различаются. Надо проверить, можно ли объяснить это различие только случайной ошибкой, т. е. принадлежат ли оба средних нормально распределенной генеральной совокупности с одним и тем же средним р. Значит, проверяется гипотеза для данного параметрического критерия р = рз = Р- Перед ее проверкой надо выяснить, нет ли разницы между стандартными отклонениями обеих серий 1 и г (по Г-критерию, см. разд. 7.2). Если значимое различие между 1 и 2 не обнаруживается, то сначала по закону сложения ошибок находят стандартное отклонение для разности двух средних из пх и П2 измерений. Уравнения (4.3а) и (3.4) дают [c.121]
Общая ошибка метода анализа чаще всего складывается из ряда отдельных частных ошибок. Они суммируются по закону сложения ошибок (см. гл. 4). Знание этих частных ошибок важно, например, при разработке нового метода анализа, так как стоит улучшать ход анализа на наиболее ответственной стадии — там, где наибольшая ошибка. [c.140]
Если из двух взаимосвязанных (коррелированных) случайных величин х и у вычисляют третью 2 = [/(х у)], то в законе сложения ошибок надо дополнительно учесть еще и степень корреляции между хну. Для четырех основных действий арифметики — как обобщение уравнения (4.3) — получим следующие закономерности [c.162]
Дисперсии для констант а тл Ь можно искать с помощью закона сложения ошибок тогда получим [c.168]
Закон сложения ошибок. Для независимых случайных величин свойством аддитивности обладают дисперсии, а не среднеквадратичные [c.35]
Закон сложения ошибок. В химическом эксперименте искомая величина часто не может быть измерена непосредственно. Для ее определения используются различные математические выражения, в которых эта искомая величина является функцией других измеряемых в эксперименте величин. Таким образом, возникает вопрос о нахождении среднего значения функции и ее средней квадратичной ошибки, если известны средние значения и средние квадратичные ошибки аргументов. [c.229]
Формулы (17) и (18) известны в математической статистике под названием закона сложения ошибок. Они позволяют рассчитать ошибку функции, если известны ошибки аргументов при различных видах функциональной зависимости. [c.230]
I 4] ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 53 [c.53]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК [c.55]
Закон сложения ошибок можно интерпретировать геометрически при помощи векторов, так как. это показано на рис. 7. В первом примере на рис. 7 между величинами X ш у нет линейной корреляционной связи (г у = 0). Из геометрического построения ясно видно, что в этом случае нет необходимости затрачивать усилия на з меньше-ние меньшей из двух компонентов, так как уменьшение [c.55]
Пользуясь законом сложения ошибок, можно получить формулу для подсчета ошибок воспроизводимости по текущим измерениям, состоящим из двух параллельных определений [101, 117, 121]. Допустим, что анализу подвергалось п различных по своему составу проб. Обозначим через d разность между двумя параллельными определениями тогда мы можем написать [c.56]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 57 [c.57]
ЗАКОН СЛОЖЕНИЯ ОШИБОК 59 [c.59]
Здесь м общ — результирующая ошибка, и 1 — ошибки отдельных операций. При этом безразлично, какие из случайных ошибок суммируются формула (118) написана для коэффициента вариации йУ, совершенно так н<е суммируются средние квадратичные ошибки а пли средние арифметические ошибки г. Из закона сложения ошибок следует важное правило существенный вклад вносят только те ошибки, которые близки к наибольшей из ошибок. Поясним сказанное численным примером. Допустим, что ошибка измерения интенсивности составляет 1%, ошибка, вносимая источником возбуждения, 3% и ошибка, вносимая неоднородностью проб, 0,5%. Тогда суммарная ошибка будет н, общ = V 9 1 0,25 = = 3,2%. Практически эта величина не отличается от 3%. Поэтому нет никакого смысла для повышения точности стараться уменьшить ошибку измерения интенсивности или неоднородности проб, пока не уменьшена ошибка, вносимая генератором. В разных случаях анализа ошибки различных звеньев процесса играют определяющую роль. При анализе руд обычно так велики неоднородности проб, что нет смысла прибегать к точным методам регистрации спектров. При анализе сплавов именно измерительное звено часто играет решающую роль. Воспроизводимость и точность тех или иных методов анализа будут приведены в соответствующих разделах. Здесь ограничимся только указанием, что лучшие методы количественного анализа позволяют делать определения с коэффициентом вариации до 0,1%. Обычно нри количественных анализах его значение лежит в пределах 1—10%. При определениях вблизи границы чувствительности метода ю быстро возрастает. [c.164]
Из закона сложения ошибок следует, что существенное влияние на величину Отобщ оказывают наибольшие из ошибок. [c.195]
По закону сложения ошибок средняя квадратичная ошибка суммы независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых, т. е. ошибка определения содержания Н3РО4 в пробе — Sxi равна [c.85]
Статистика в аналитической химии (1994) — [
c.64
]
Применение математической статистики при анализе вещества (1960) — [
c.53
,
c.60
]