Задачи с ошибкой в рассуждении

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

средняя
общеобразовательная школа №16

Щёлковского
муниципального района

Московской
области

Проект
на тему

Логические
задачи и софизмы

                                    
Работу выполнил

     
                             ученик 5а класса

                                                                  
Слепченков Алексей

                                           
Руководитель:  Немова Татьяна Сергеевна

2019
– 2020 уч. год

Оглавление

Введение……………………………………….…………….…..…3

Основная часть………………………………………………….4-16

            1. Виды логических задач
и методы их решения……………4

           
2. Решение
задач на соответствие………………………….5-12

           
3. Софизмы как нарушение правил логики
………….….13-14

4.
Опрос-исследование ……………………………….…..15-16

Заключение………………………………..……..………………17

Источники
информации…………………………..….…..………18

Приложение. Сборник
логических задач

Введение

Актуальность темы

В повседневной
жизни каждому из нас приходится решать много важных проблем. Чтобы осознанно
подходить к их решению необходимо, чтобы у человека было развито логическое
мышление. Также человек, знакомый с логикой, умеет точно и ясно выражать свои
мысли, грамотно ими делиться.

У школьников
логическое мышление развивается в процессе решения логических задач, прежде
всего на уроках математики и информатики.

Какие логические
задачи существуют, какими методами их решают, и как нарушение правил логики
влияет на их решение?

Я заинтересовался
этими вопросами.  Так появилась тема моего учебного проекта.                                                                                                                               

Цель работы: выявить различные методы
решения логических задач, а также выяснить к каким последствиям могут привести
ошибки в рассуждениях.

Задачи:

1)         
собрать и
проанализировать материал о видах логических задач и о различных методах их
решения на примере задач на соответствие;

2)         
разобрать
ошибки в некоторых софизмах;

3)         
провести
опрос-исследование с целью заинтересовать школьников данной проблемой;

4)         
составить
сборник логических задач.

Методы
исследования:
поиск и анализ научно-популярной и занимательной литературы, опрос.

Основная часть

1.    Виды логических задач и
методы их решения

Логику можно
определить как науку о правильном мышлении.    Основателем логики  считается
древнегреческий философ
Аристотель.
Предшественниками Аристотеля
в развитии логической науки в Древней
Греции были Зенон
Элейский, Сократ
и Платон.
Аристотель
же впервые систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и
правила логического мышления.

Используя
Интернет-ресурсы и дополнительную литературу, я выяснил, что существуют разные
виды логических задач, а также множество методов их решений.

 Виды задач на
логическое мышление:

1.Задачи на соответствие
между элементами множеств (например, «Кто есть кто?»)

2. Математические ребусы.

3. Истинностные задачи (с
использованием законов математической логики)

4. Задачи на переливание.                                 

5. Задачи на взвешивание.

6. Геометрические задачи.

          7. Словесные логические
шутки.

Методы решения логических задач:

1. Метод рассуждений.

2. Метод подбора (перебор всевозможных
вариантов)

3. Метод таблиц и графов.

4. Метод кругов Эйлера.

2. Решение задач
на соответствие

Я подробно рассмотрел задачи на соответствие
между элементами множеств.

 В математике  группу
предметов с общими свойствами  называют множеством. Предметы, входящие в это множество, называют элементами
множества.

 Простые
задачи на соответствие решают методом рассуждений, а более сложные – методом
таблиц или графов.

Задача. В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном
мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или
сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не
соответствует записи?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества продуктов и множества мешков.

Будем рассуждать: если содержимое
каждого мешка не соответствует записи, то в третьем мешке – не крупа и не
сахар, а значит, там вермишель. Тогда в первом мешке  – не крупа и не
вермишель, значит – сахар, а во втором остаётся только крупа.

Ответ:
в первом мешке – сахар, во втором – крупа, в третьем – вермишель.

Задача.  Олег, Игорь и Аня учатся в 5
классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник.
Известно, что:

·       
лучший художник не нарисовал своего портрета, но
нарисовал портрет Игоря;

·       
Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший
художник?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества
детей и множества профессий.

Если Аня
никогда не проигрывала мальчикам в шахматы, то она и есть лучший шахматист.
Лучший художник – Олег, т.к. он нарисовал портрет Игоря.

Ответ: Аня
– лучший шахматист, Олег – лучший художник, Игорь – лучший математик.

Таким же методом рассуждений
можно решить следующие задачи.

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три
котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый
котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

Ответ:
Чёрный котёнок живёт в квартире №3, белый – в квартире №2, рыжий – в квартире
№1.

2. Мама, папа и сын любили разные
мультфильмы: «Ну, погоди!», «Смешарики», «Том и Джерри». Определите, какой
мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Смешарики»
никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку
по утрам? 

Ответ:  мама любит мультфильм «Том и
Джерри», папа –«Ну, погоди!, сын – «Смешарики».

3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга:
Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов, Семёнов, Герасимов. Миша – не
Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в 6 классе,  Герасимов – в 5
классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из друзей?

Ответ: Володя Семёнов, Миша Иванов,
Петя Герасимов.

4.  Школьный драмкружок, готовясь
к постановке отрывка из сказки А.С.Пушкина о царе Салтане, решил распределить
роли между участниками:

— Я буду Черномором, — сказал Юра.

— Нет, я буду Черномором, — заявил Коля.

— Ладно, — уступил ему Юра, — я могу сыграть Гвидона.

— Ну, я могу стать Салтаном, — тоже проявил уступчивость
Коля.

-Я же согласен быть только Гвидоном! – произнёс Миша.

Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились
роли?

Ответ: Миша – Гвидон, Юра –Черномор,
Коля – Салтан.

Более сложные задачи (особенно если  элементов
во множествах больше трёх) удобно решать методом таблиц.

Задача. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, квас,
лимонад и вода. Известно, что вода  и молоко не в бутылке. Сосуд с
лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. В банке не лимонад и не
вода. Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества сосудов и множества напитков.

 Строим таблицу: строки – сосуды, столбцы – напитки.
 Договоримся отмечать положительный результат знаком «+» , а отрицательный–
знаком «-».

Если в каком-то столбце или строке появляется знак «+», то в
остальных ячейках этого столбца или строки ставим знак «-». Если во всех
ячейках столбца или строки, кроме одной стоят все минусы, то в эту ячейку
ставим плюс.  

Мы знаем, что вода и молоко не в бутылке, значит, ставим знак «-».
Еще известно, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом,
следовательно, в кувшине не лимонад и не квас. Еще, лимонад и вода не в банке,
а в стакане и  в банке не молоко.

	Лимонад	Вода	Молоко	Квас
Бутылка	+	–	–	–
Стакан	–	+	–	–
Банка	–	–	–	+
Кувшин	–	–	+	–

Ответ: лимонад в бутылке, вода в стакане, молоко в кувшине и квас в
банке.

Задача. Четверо друзей — Алик,
Володя, Миша и Юра — собрались в доме у Миши. Мальчики оживленно беседовали о
том, как они провели лето.
— Ну, Балашов,ты, наконец,
научился плавать? — спросил Володя.
— О, еще как, — ответил Балашов, —
могу теперь потягаться в плавании с тобой, Алик.
— Посмотрите, какой я гербарий
собрал, — сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа большую
папку.
    Всем, особенно Лунину и Алику,
гербарий очень понравился. А Симонов обещал показать товарищам собранную им
коллекцию минералов. 
Назовите имя и фамилию каждого
мальчика.

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества имён и множества фамилий.

 Друзья собрались в доме у Миши, а Петров достал из шкафа
папку, значит, Миша Петров, т.к. хозяин может достать папку (ставим «+»). Из
первых двух высказываний следует, что у Володи и Алика фамилия не Балашов
(ставим два минуса). Лунину и Алику гербарий понравился, значит, Алик не Лунин
(ставим «-»).
Действуя по правилам, заполняем таблицу. 

	Балашов	Петров	Лунин	Симонов
Алик	–	–	–	+
Володя	–	–	+	–
Миша	–	+	–	–
Юра	+	–	–	–

Ответ: Алик Симонов, Володя Лунин,
Миша Петров, Юра Балашов.

Методом таблиц решаются следующие задачи.

1. Матвей,
Виктор, Борис и Илья на уроке труда смастерили кораблики: зелёные, синие,
красные и жёлтые. Каждый складывал кораблики только одного цвета. Кораблики
Ильи и Матвея не красные. Борис и Илья не захотели мастерить синие, Матвей не
делал ни синие, ни жёлтые. Кто из мальчиков какие кораблики смастерил?

Решение:

	зелёные	синие	красные	желтые
Матвей	+	–	–	–
Виктор	–	+	–	–
Борис	–	–	+	–
Илья	–	–	–	+

2. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут
Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский
сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:

	5 лет	8 лет	13 лет	15 лет
Катя	–	–	+	–
Ваня	–	+	–	–
Ира	+	–	–	–
Галя	–	–	–	+

  3. В компьютерном классе на перемене пять ребят – Максим,
Настя, Саша, Рома, Сережа стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки,
сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру. 
• Саша думал, что в «Марио» играет Настя. 
• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки. 
• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера. 
• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс, а в «Марио» играет Рома. 
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во
что играл?

Решение:

	«Паук»	гонки	сапёр	«Марио»	тетрис
Максим	–	–	–	–	+
Настя	–	–	+	–	–
Саша	–	+	–	–	–
Рома	+	–	–	–	–
Серёжа	–	–	–	+	–

Если в задаче
используются не два, а больше множеств, то её лучше решать методом графов.

Граф – это геометрическая схема, в
которой элементы множеств изображаются точками, а соответствия между ними
линиями.

Задача.   У трёх подружек – Ксюши,
Насти и Маши новогодние карнавальные костюмы белого, синего и красного цветов и
шапочки тех же цветов. Костюм и шапочка Насти одного цвета. Костюм и шапочка
Ксюши не красные. Маша в белой шапочке, а костюм её не белый.

Кто в каком
костюме и шапочке?

Решение: Имеем 3 множества: множество
девочек, множество костюмов и множество шапочек.

Связь между  множествами будем
рисовать сплошной линией, а если между  элементами соответствия нет, то будем
соединять их пунктирной линией.

        Мы знаем, что костюм и шапочка
Ксюши не красные, соединяем пунктирной линией. У Маши белая шапочка, соединяем
сплошной линией. Костюм у Маши не белый, соединяем пунктирной линией. Понятно,
что Ксюша не в красной и не в белой шапочке, следовательно,  в синей.

Остаётся красная
шапочка, значит, она у Насти. Нам известно, что у Насти костюм и шапочка одного
цвета. Значит, Настя во всём красном.

Получается, что Маша в синем костюме,
а Ксюша в белом.

                      
        Ксюша

        
      Настя                           Маша

               

Костюмы                                          
Шапочки

Синий                    
Белый                                Синяя                
Белая                                        

                                                                                                                    

  
Красный                                                          Красная

 

Ответ:
Настя в красном костюме и красной шапочке, Ксюша в белом костюме и синей
шапочке, Маша в синем костюме и в белой шапочке.

Другие задачи,
решаемые с помощью графов.

1.    
Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в
красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета
рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам
был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

                             
    Бам

               
 Бим                            Бом

               

    Рубашки                                        
Туфли

Синяя                    
Зелёная                                Синие               
Зелёные                                       

                                                           
                                                         

  
Красная                                                          Красные

 

Ответ: Бим в красных рубашке и
туфлях, Бам в синей рубашке и зелёных туфлях, Бом в зелёной рубашке и в синих
туфлях.

2. Иван, Дмитрий и Сте­пан — преподают различные
предметы (химию, биоло­гию, физику) в школах Москвы, Минска и Киева. Известно:
1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Минске;  2) москвич преподает
не физику;  3) тот, кто работает в Минске, преподает химию;  4)
Дмитрий преподает не биологию. Какой предмет и в каком городе преподает каждый?

                              
Дмитрий

               Иван                          
Степан

               

Предметы                                   
       Город

химия                    
физика                                Москва                 Киев                                       

                                                                                                        
            

   биология                                                         
Минск

Ответ:
Иван преподаёт химию в Минске,  Дмитрий – физику в Киеве, а Степан – биологию в
Москве.

3. Софизмы как нарушение правил логики

В древней Греции философские беседы нередко приводили к
изобретению хитроумных «доказательств» неверных утверждений.

Такие «доказательства» называются софизмами, т. к. их
часто использовали софисты — учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Софизм –  кажущееся правильным утверждение,
в доказательстве которого кроются  замаскированные ошибки.

Основные ошибки в математических софизмах: деление на 0;
неприменимость законов действий над числами; нарушения правил действия с
именованными величинами.

Софизм №1 «Пять равно четырём»

Возьмем верное равенство 20+15-35 = 16+12-28. В каждой части
вынесем за скобки общий множитель: 5 ∙ (4+3-7) = 4
∙ (4+3-7). Разделив обе части
равенства на одинаковый множитель (4+3-7),  получим 5 = 4.

Разбор софизма. Ошибка допущена при
делении верного равенства

5 ∙  (4+3 — 7) = 4 ∙ (4+3-7) на число 4+3-7, равное 0. Этого
нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Софизм №2 «Один метр не равен ста сантиметрам»

Известно, что

 1 м = 100 см и

 10 м = 1000 см

Перемножая эти равенства почленно, получим

10 м = 100 000
см

и разделив последнее равенство на 10, получим, что

1 м = 10 000
см

Таким образом, один метр не равен ста сантиметрам.

Разбор софизма: Ошибка, допущенная в
этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами:
все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их единицами
измерений.  Ведь перемножая равенства и деля на 10 мы получим, что 1
м² = 10 000 см²  ,что верно.   

Очень
многие софизмы выглядят как лишенная смысла игра с языком; которая опирается на
многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность и т.д.

                                           1.«Лекарства» 
       «Лекарство,
принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит,
лекарств нужно принимать как можно больше». 
Разбор софизма: Лекарство не всегда
добро: оно будет им только в нужной для больного дозе, иначе оно является злом.

                                2.«Рогатый» 
       «Что ты не терял, то
имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 
Разбор софизма: Начальное суждение не
верно, т.к. существуют вещи которых у тебя нет и не было, и ты их, конечно, не
терял (чего нет, потерять нельзя).

                               3. «Глаза не нужны для зрения»

  «Без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме
правого и левого, других глаз у нас нет, поэтому ясно, что глаза не нужны для
зрения»

Разбор софизма: Без
правого глаза мы видим – левым, а без левого глаза – правым. Значит, без обоих
глаз мы видеть не можем.

      Софизмы развивают наблюдательность и
вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью объяснений.

3.
Опрос-исследование

Я провел
исследование, целями которого было не только выявить уровень развития
логического мышления школьников, но и заинтересовать их  этой темой. В нём
приняли участие 17  школьников 11-12  лет.
Участникам предлагалось решить 2 задачи на соответствие,  несколько логических
задач-шуток, а также найти ошибку в софизме.

Решите задачи
методом рассуждений:

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три
котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый
котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

2. В
летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов,
Семёнов, Герасимов. Миша – не Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в
6 классе,  Герасимов – в 5 классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у
каждого из друзей?

Решите задачи-шутки:

1. Один
оборот вокруг Земли спутник делает за 1 час 40 минут, а другой оборот за 100
минут. Как такое может быть?

2. Что тяжелее: килограмм железа или килограмм ваты?

3. В парке 8 скамеек. Три покрасили. Сколько
скамеек стало в парке?

4. В комнате горело 50 свечей, 20
из них задули. Сколько останется?
          5. Грузовик ехал в деревню.
По дороге он встретил 4 легковые машины. Сколько машин ехало в деревню?

  6. Один поезд едет из Москвы в С.-Петербург с опозданием 10
минут, а другой — из С.-Петербурга в Москву с опозданием 20 минут. Какой из
этих поездов будет ближе к Москве, когда они встретятся?
        7. Тройка лошадей пробежала 30
км. Сколько км пробежала одна лошадь?

8. Сын
моего отца, а мне не брат?

9. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли
ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Найдите ошибку в рассуждении:

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя
рога». 

Анализ ответов

Задачи №1 и №2	Задачи-шутки	софизм
Решили хотя бы одну задачу	Решили две задачи	Решили хотя бы 4 задачи	Решили 5 и более задач	Правильно разобрали
17 чел.	10 чел.	16 чел.	10 чел.	6 чел.

После этого я провёл небольшой опрос,
с целью выяснить уровень заинтересованности школьников.

1.    
Какие задания оказались для вас
простыми, а в решении каких у вас возникли трудности?

2.    
Понравилось ли вам решать логические
задачи? Какие задачи больше всего понравились?

3.    
Хотели бы вы научиться решать
задачи методом таблиц и графов?

4.    
Как вы думаете, к каким
последствиям могут привести логические ошибки в словесных рассуждениях?

5.     Согласны
ли вы с тем, что у современного человека должно быть развито логическое
мышление?

Заключение

Существует несколько видов логических задач. Их можно решать
различными методами. При решении задач на соответствие («кто есть кто») удобно
использовать табличный метод и метод графов.

Нарушение в логике рассуждений приводит к возникновению софизмов.
Решение логических задач и разбор софизмов – хорошая гимнастика для ума.
Благодаря этому школьники учатся грамотно строить свои логические
рассуждения, искать ошибки в рассуждениях других. Развивается смекалка, интерес
к математике.

Опрос–исследование показал, что у школьников возникали некоторые
трудности при решении логических задач.  Но всем очень понравилось их решать,
особенно задачи-шутки.

Также все опрошенные согласились с тем, что надо развивать
логическое мышление, что ошибки в рассуждениях приводят к неправильным
выводам.  Многие выразили желание научиться решать  задачи методом таблиц и
графов, т.е. заинтересовались этой
темой.

В помощь
ученикам был составлен сборник логических задач, где разобраны табличный метод
решения и метод графов. Ко всем задачам даны решения и ответы. Также в нём
собрано много логических задач-шуток. 

Источники информации

1.     Кордемский Б.А.
Математическая смекалка.– «Юнисам», МДС, 1994.

2. Лихтарников Л.М. Занимательные
логические задачи. – С- Пб, 1996.

3. Мадера А.Г., Мадера Д.А.
Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003.

4. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. Математическая шкатулка. –  М.: Просвещение, 1988.

5.
Фарков А.В. Математические олимпиады. 5-6 классы. ФГОС. – М.: «Экзамен», 2018.

6. Статьи «Википедии» и другие интернет-ресурсы.

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b² . Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х² — 2ху + у² = у² — 2ху + х². Имеем: ( х – у )² = ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а² – 2аb + b² = ca – cb. После преобразования получаем а² – аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

В

M

L

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

Е

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

С

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

O

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х² )³ ( х – 3 )² ≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )² ≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 ) ³ ( х – 3 ) ² ≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

х

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

х

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴ – 2х² — 7 = 0.

Введем замену х² =z, решаем квадратное уравнение:

9z² — 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k² — ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2 = =

z₁₌ -1, z₂= ,

х² = — 1, х² = ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х² = — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin ²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t² -2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿ arcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹ arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВCD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВCD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

Математический кружок в 6 «А» классе

Учитель математики Ситникова Наталья Богдановна

Тема: Математические софизмы и логические задачи.

Цель:

• развить логическое мышление;

• воспитывать вдумчивость, наблюдательность.

Ход занятия

“Софизм” – слово греческого происхождения и в переводе означает головоломку, хитроумное высказывание. Математические софизмы хорошо маскируют ошибку, которая приводит к очевидно неправильному результату.

В истории математики софизмы играли огромную роль, они способствовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Самым известным софистом был Зенон из города Ален. До нас дошли 4 его софизма. В одном Зенон утверждает, что для того, чтобы пройти какой-нибудь путь, нужно непременно миновать его середину. Само по себе рассуждение верное. Но далее Зенон рассуждает так: если мы дошли до середины пути, то нам остаётся ещё полпути, у которого тоже есть своя середина. И так без конца. Сколько бы мы ни шли вперед, всегда остается какая-то непройденная часть пути, у которой есть своя середина.

А сейчас попробуем найти ошибки в следующих рассуждениях:

“Четырежды четыре-двадцать пять”.

16 : 16 = 25 : 25.

Это очевидное равенство. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части этого равенства будем иметь:

16 * (1 : 1) = 25 * (1 : 1)

Зная, что 1 : 1 = 1, получаем 4 * 4 = 25.

Ответ: Ошибка заключается в том, что распределительный закон умножения автоматически переносится на деление, что неверно.

2. Докажем, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 * (7 + 2 – 9) = 6 * (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель, заключенный в скобки. Получим 5=6. В чем ошибка?

Ответ: 7 + 2 – 9 = 0, а на 0 делить нельзя!

А вот и некоторые  современные математические софизмы, которые наиболее популярны и известны.

 «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Пусть а дм- длина спички и b дм — длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b — a = c,  b =  a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 — ab = ca + c2.

Вычтем из обеих частей  bc. Получим: b2- ab — bc =  ca + c2- bc, или b(b -a — c) = — c(b — a -c),

Откуда b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.

«Один рубль не равен ста копейкам»

Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если a=b, c=d, то ac=bd.. Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка???

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Администратор одной гостиницы решил разместить в 12 одноместных комнатах 13 человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек. Предупредив тринадцатого (под этим номером занесенного в список приехавших), что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с первой. В итоге в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек был помещен во второй комнате, четвертый – в третьей, пятый – в четвертой и так далее до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату. Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор представил временному жильцу первой комнаты – тринадцатому клиенту гостиницы. Итак, 12 = 13. Где ошибка? Решение. В рассуждении появилась скрытая ошибка, когда было сказано, что «в первой комнате оказалось 2 человека, третий человек был помещен во второй комнате». Слово «два» — количественное числительное, а «третий» — порядковое. Это дало возможность отвлечь читающего от факта, что второй клиент остался без комнаты.

 Добавим юмора….

Я докажу, что в течение целого года вам почти некогда учиться в школе. В году 365 дней. Из них 52 воскресенья, 10 других дней отдыха. Отпадает 62 дня. Летние и зимние каникулы – не меньше 100. Минус еще 100 дней. Ночью в школу не ходят, а ночи составляют половину года, следовательно, еще 182 дня минус. Остается 20 дней, но ведь не весь день продолжаются занятия, а не более четверти дня. Остается всего 5 дней. Многому ли тут можно научиться?

Что ты не терял, то у тебя есть. Ты не терял рога и хвост. Значит,  у тебя есть рога и хвост.

У кошки есть котята. Значит она мама. Это твоя кошка – мама. Значит, ты котёнок.

Перейдем теперь к решению логических задач:

1) Миша, Саша, Олег и Рома заняли первые 4 места в соревновании, причем никакие 2 мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Миша ответил: “Ни первое, ни четвертое”, Саша сказал: “Второе”, а Олег заметил, что он не был последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

Решение оформляется в форме табличек.

	Миша	Саша	Олег	Рома
1	—	—	+	—
2	—	+	—	—
3	+	—	—	—
4	—	—	—	+

2) Три друга: Юра, Женя и Паша учатся в одном классе. Один из них ездит из школы домой на автобусе, один – на трамвае и один на троллейбусе. Однажды после уроков Юра пошёл провожать своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проезжал троллейбус, третий друг крикнул из окна: “Женя, ты забыл в школе тетрадь”. Кто из ребят на каком транспорте ездил?

	Юра	Женя	Паша
автобус	—	+	—
трамвай	+	—	—
троллей	—	—	+

3) В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

	бутылка	стакан	кувшин	банка
молоко	—	—	+	—
лимонад	+	—	—	—
квас	—	—	—	+
вода	—	+	—	—

4) Четыре ученицы: Мария, Нина, Оля и Юля участвовали в лыжных соревнованиях и заняли 4 первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

• Первый: Ольга заняла первое место, Ника – второе.

• Второй: Ольга заняла второе место, Юля – третье.

• Третий: Мария заняла второе место, Юля – четвертое.

Отвечавшие при этом признали, что одно из высказываний каждого ответа верно, а другое неверно. Какое место заняла каждая из учениц?

	1	2	3	4		1	2	3	4
Мария	—	+	—		Мария	—	+	—	—
Нина	—	+	—	—	Нина	—	—	—	+
Оля	—	—	—		Оля	+	—	—	—
Юля	—	—	+	—	Юля	—	—	+	—
Предположим, что Оля заняла не первое место и получим, что Мария и Нина заняли второе место, что невозможно по условию задачи.	Пусть Оля заняла первое место, следовательно, Нина не заняла второе и т.д. Получаем верное решение.

Домашнее задание творческого характера: придумать свой софизм; доказать, что это софизм.

Мы часто публикуем задачи разной степени сложности. Сегодня — подборка самых интересных и объединённых одной идеей. Для решения этих задач потребуется внимательно рассуждать и применять логику.

На первый взгляд может показаться, что задачи либо не решаются, либо правильных ответов очень много. Но если присмотреться внимательнее, в каждом условии есть ключевое место, которое помогает найти верное решение.

Лишняя тысяча

Один завхоз нашёл на складе неучтённые шины и отправил подчинённого Семёна продать 4 колеса за 50 тысяч. Семён нашёл двух покупателей, одному были нужны передние колёса, а другому — задние. Семён имел коммерческую жилку, поэтому продал колёса не за 50, а за 55 тысяч: каждый покупатель заплатил по 27 500 рублей, на 2500 больше, чем нужно.

Довольный, он вернулся к завхозу и рассказал об удачной продаже. Но начальник решил проявить принципиальность и отправил Семёна вернуть по 2500 каждому покупателю.

А Семён решил схитрить: отдал каждому по тысяче, а три оставил себе. Получается, что каждый покупатель заплатил не 27 500, а 26 500. Идёт Семён и считает в уме: «26 500 + 26 500 = 53 000 — заплатили за колёса, и ещё 3000 у меня осталось.

Итого 53 000 + 3 000 = 56 000. А продал я за 55 000. Любопытно».

Откуда взялась лишняя тысяча?

Друзья в боулинге

Три друга в пятницу вечером пошли поиграть в боулинг и за три часа заплатили 4500 рублей — каждый скинулся по полторы тысячи. Когда они вышли, то встретили ещё одного друга — директора этого клуба. Он узнал, что ребята заплатили полную стоимость за игру, и сказал: «Подождите, я вам сделаю скидку, сейчас кассир вернёт вам лишнее».

Кассир получил задание спуститься и вернуть друзьям полторы тысячи, но он решил отдать им только 900 рублей, а 600 оставил себе. В итоге получается, что каждый из друзей получил назад по 300 рублей и заплатил за боулинг по 1200. Но тогда выходит, что они втроём заплатили за игру 3600 рублей, и ещё 600 у нечестного кассира, а в сумме это всего 4200. Где ещё 300 рублей?

Мошенник с Айфоном

Один торговец через сайт объявлений продаёт очень старый Айфон за 2000 рублей. К нему приехал покупатель, у которого с собой только пятитысячная купюра. Торговец берёт её, идёт к соседу и просит разменять, в итоге получает от соседа 2 купюры по 2000 и одну тысячерублёвку.

Покупатель забирает Айфон, 3000 рублей сдачи и уезжает. А через полчаса прибегает злой сосед и говорит, что наш продавец дал ему фальшивку. Чтобы решить вопрос мирно, торговец отдал соседу 5000 рублей из своих денег, а потом задумался: сколько он сегодня потерял?

Баг или фича? В работе у программиста есть проект, в котором нужно пофиксить три бага и добавить три фичи. За час программист может пофиксить 1–2 бага или добавить 1–2 фичи. Но он постоянно отвлекается на форумы и соцсети, поэтому каждый час работа идёт так:

Сколько минимально времени потребуется программисту, чтобы сдать проект без багов и с пустым трекером задач?