Задачи решаемые методом проб и ошибок - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

Метод проб и ошибок

в решении текстовых задач.

При решении текстовых задач многие учащиеся испытывают затруднения. Главная задача учителя научить решать ученика различные типы текстовых задач. Процесс решения текстовых задач развивает у учащихся логическое мышление, учат находить выход из проблем реальной жизни, дает почувствовать уверенность в своих силах.

Текстовые задачи можно разбить на два основных класса:

текстовые арифметические задачи;
текстовые задачи на составление уравнений.

Причем это разделение довольно условно. Многие текстовые арифметические задачи можно решить с помощью уравнений, а задачи на составление уравнений (систем уравнений) часто решают по действиям, а если это не получается, то используют метод проб и ошибок или метод перебора.

Мне бы хотелось продемонстрировать решение ряда задач этими методами.

Задача №1

Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м². Найти размеры этого участка.

Пусть x м ширина участка, (x+3) м – длина участка, а площадь x·(x+3) м²,

что по условию задачи равно 70 м². Чтобы найти размеры участка надо составить уравнение x·(x+3)=70 и решить его. Но в 5^ом классе такие учащиеся решать еще не могут. Поэтому попробуем подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

пусть x=4, т.е. 4·(4+3)=28, 28≠70;
x=6, т.е. 6·(6+3)=54, 54≠70;
x=7, т.е. 7·(7+3)=70, 70=70 верно.

Т.е. мы увидели, что метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математический модель представляет собой новый, не изученный еще объект. Но, решая задачи этим способом, следует помнить, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому необходимы обоснования того, что найдены все возможные решения.

В нашей задаче, если бы x было больше 7,то x+310 и x·(x+3)70, если наоборот xx+3 x·(x+3)

Задачи для учащихся.

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

Площадь прямоугольника равна 68 дм², а длина больше ширины на 13 дм. Каковы стороны этого прямоугольника?
Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника.
Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м², а ширина в 2 раза меньше длины.
Площадь прямоугольника равна 64 дм², а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?
Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см².
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м².
Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м². каковы стороны этого прямоугольника?
Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².
Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см².

10)Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если

большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить

в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см².

Найти стороны данного прямоугольника.

Метод перебора при

нахождении НОД.

Рассмотрим еще один метод – метод перебора. Т.к. предыдущий метод решения задач – метод проб и ошибок не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом недостаток метода проб и ошибок. Но он исключен в методе полного перебора.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем «лобовой» перебор.

Задача. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны

несколько автобусов. Однако выяснилось, что если заказать

автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов

потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо

заказать?

Составим таблицу.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	252 : x	x	252
Маленькие автобусы	252 : (x+1)	x+1	252

Т.к. по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : x — 252 : (x+1) = 6. Значит решением задачи является число X, удовлетворяющее равенству: 252 : x — 252 : (x+1) = 6.

Но можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой Y число детей, которых можно разместить в большом автобусе.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	y	x	252
Маленькие автобусы	y-6	x+1	252

Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства:

xy = 252;
(x+1)·(y-6) = 252.

Искомые числа x и y должны удовлетворять как первому, так и

второму равенству. Найдем эти числа x и y.

Из равенства xy = 252 можно заметить, что числа x и y не могут быть

больше, чем 252. Однако и в этом случае «лобовой» перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Но более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа x и y – это парные делители 252: при делении 252 на x получается y, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда y6 (y-60).

Составим таблицу:

x	1	2	3	4	6	7	9	14	18	28	36
y	252	126	84	63	42	36	28	18	14	9	7

— 6

Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов. Оно означает, что число (x+1) и (y-6) так же являются парными делителями 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара x=6, y=42.

Ответ: для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов.

Задачи для учащихся.

Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.
Сумма цифр двузначного числа равна 12. число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет ⁴/₇исходного числа. Найти эти числа.
Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.
У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и трехместных лодок было у причала?
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длинна которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.
В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?
Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.
На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. в каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?
Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м². Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.

Еще один тип задач, которые решаются методом перебора.

Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

Пусть xy – задуманное двузначное число, где x – цифра десятков, а y – цифра единиц. Тогда их произведение равно xy. Само двузначное число можно записать как 10x+y. По условию 10x+y на 52 больше произведения своих цифр xy. Т.е. должно выполняться равенство 10x+y= xy+52, которое является математической моделью данной задачи.

Решается это уравнение методом перебора. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения x от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9.

Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что первая часть данного равенства больше 52. Значит, и первая его часть, т.е. задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число x не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений x – от 5 до 9.

При x=5 будем иметь равенство 50+y=5y+52, оно невозможно, т.к. 50+yy+52.

При x=6 60+y=6y+52 | -y

60=5y+52

5y=8 невозможно для натурального y.

При x=7 70+y=7y+52

70=6y+52

6y=18

y=3 Число 73

При x=8 80+y=8y+52

80=7y+52

7y=28

y=4 Число 87

При x=9 90+y=9y+52

38=8y невозможно

Таким образом, задумано либо 73, либо 84.

Условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. Поэтому два ответа: 73 или 84.

Задачи для учащихся.

Метод перебора используется при доказательстве общих утверждений, где необходимо вводить буквенные обозначения.

Например: Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

1 сл. 1,2,3 1+2+3=6, 6:3=2

2 сл. 5,6,7 5+6+7=18, 18:3=6

3 сл. 21,22,23 21+22+23=66 66:3=22

и т.д.

Возьмем произведение натурального числа и обозначим его n. Тогда следующие за ним два числа соответственно равны n+1 и n+2.

Их сумма: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) делится на 3, т.к. один из множителей делится на 3.

Источник

Международный университет

научно-технического
творчества и развития

Неалгоритмические
методы решения задач

Конспект
лекций

Преподаватели
— Герасимов О.М.

Захаров А.Н.

Санкт-Петербург

1996 г.

Народ о МПиО:

Пословицы: Семь раз
примерь, один раз отрежь.

Песни: Если долго
мучиться, что-нибудь получится. Сделать
хотел грозу, а получил козу, сделать
хотел утюг, — слон получился вдруг.

Сказки: Репка (несколько
попыток уборки урожая), Курочка Ряба
(несколько попыток разбить яйцо), Три
медведя (несколько попыток выбрать
стул, похлебку, кровать), Лиса, заяц и
петух (несколько попыток выгнать лису),
Сказка о попе и работнике его Балде
(несколько попыток чертей победить
Балду), Сказка о царе Салтане (несколько
попыток угодить царю), Сказка о рыбаке
и рыбке (несколько попыток рыбалки).

1. Примеры решения задач
из разных областей техники с помощью
МПиО:

Конструктор
ЗИЛа И.Г.Шаров, самобытный
инженер-изобретатель, прекрасно
рисовал, сочинял хорошую музыку, писал
стихи:

Это пишется и рвется,

Это корчится в корзине.

Это трудно, как в
пустыне

От колодца до колодца…

(Захарченко В.Д. Это Вы
можете. Приглашение к творчеству. М.,
«Молодая гвардия», 1989, с. 174).

1720	Пылеуловители проектируют, моделируя пыль маленькими шариками. А в действительности — это пластинки, чешуки, рыхлые образования… Результат — до 70% пыли циклоны не улавливают! В сознании засела картина “Натюрморт с раковинами”, через год родилась оригинальная конструкция циклона 000.23130.321000 А если бы картину О. Жолондковский ранее не видел?
1830	История разработки бутылки с горючей смесью для борьбы с танками: ведро с бензином, вата, спички — в бою практически не применить самовоспламеняющаяся смесь — очень опасно Любой химик со школы знает, что есть жидкости, которые в отдельности не опасны, а вместе образуют самовосплменяющуюся смесь 000.22720.321000 МПиО. А нужные знания — в учебнике!
1910	Многие измельчительные установки имеют КПД не более 1%. Взрывы, движение частиц со скоростью звука и удар о твердую стенку, электрический пробой в жидкости, замораживание и разгрев, воздействие ИК-излучением — нужный результат не получался. Решение — использовать пружину… 000.23100.321000 МПиО в чистом виде
2053	Многочисленые попытки (добавки в расплав, прессование, лазер) нанести антифрикционный материал дисульфид молибдена на баббит. От отчаяния попробовали аппарат для плазменного напыления, и все получилось… 000.23130.321000 МПиО во всей красе
2476	Долго мучались при сверлении твердых материалов: использовали алмазными или корундовыми монокристаллами с подсыпкой алмазного абразива. Случайно увидел обломок иглы от швейной машины — готовое сверло! 000.23130.321000 МПиО во всей красе
3297	До тех пор пока теория плетется в хвосте технологической практики, конструкторская деятельность человека во многом напоминает используемый эволюцией метод «проб и ошибок». Подобно тому как эволюция «опробует» приспособительные силы животных и растений, создавая «головные образцы» — мутанты, инженер исследует реальные возможности новых изобретений, летающих устройств, транспортных средств, машин, часто прибегая к созданию уменьшенных моделей. Именно такой метод эмпирического отсева ложных решений и возобновлений конструкторских усилий сопутствовал открытиям (?)^²XIX века: лампочке с угольной нитью, фонографу, динамомашине Эдисона, а еще раньше — локомотиву и пароходу. Подобный прием привел к представлению об изобретателе как о человеке, которому для достижения цели не нужно ничего, кроме искры божьей, здравого смысла, терпения, клещей и молотка. Однако это расточительный метод; он почти столь же расточителен, как и деятельность биоэволюции, эмпирические приемы которой, отнимавшие миллионы лет, поглощали гекатомбы жертв, этих «ложных решений» задачи о сохранении жизни, поставленной в новые условия. С.Лем. Сумма технологии. М, «Мир», 1968, http://lib.ru/LEM/summa.htm 130.20000.321000 Подтверждение правоты идеи ГСА о расточительности МПиО. Но задача осталась та же самая – сохранение жизни.

— осада Трои, деревянный
конь ахейцев (карт. № 675);

0675	Ахейцам, осаждавшим Трою, по легенде, понадобилось 10 лет, чтобы додуматься до уловки с деревянным конем! 000.22720.321000 МПиО в действии, апофеоз…

—
случайно удалось добиться растяжения
частиц дробящегося материала (карт. №
679);

0679

Максимальное
измельчение материала наступает,
когда в нем создаются растягивающие
напряжения (микротрещины не залечиваются,
а растут). Неожиданно для ученых (?)
конусная дробилка стала выдавать
сверхтонкий помол: конус износился,
стал совершать еще и маятниковое
движение. Но специально создать такой
привод не удалось…

Однажды на молокозаводе
(??) специалист по размолу заметил, что
вал молочного сепаратора совершает
нужное вращательно-маятниковое
движение…

000.22410.321000

МПиО
— не слишком ли много случайностей???

—
защита автомобильной фары от загрязнений
(карт. № 666);

0666

При
формулировании требований к защите
фары автомобиля от грязи пришли к
мысли, что нужен прозрачный заградитель,
но такой, чтобы сам не загрязнялся.
Однажды я обратил внимание на днище
вездехода на воздушной подушке (ВВП):
оно оказалось сухим даже после движения
по влажной дороге…

000.23340.321000

МПиО
в действии. А если бы автор не видел
ранее ВВП?!

1518

Самоочищающаяся фара
(ас 998169): щетка + подача воды…

Анализ известных
способов очистки фар:

механические дворники
сложны, малоэффективны
водяные форсунки
неэкономичны

А если не допускать
загрязнения? Нужен прозрачный
заградитель, но чтобы сам не загрязнялся…

000.23340.32100

МПиО:
поиски, поиски… А ведь как просто
сформулировать ИКР по правилам ТРИЗ

—
способ дробления горных пород ударным
способом (карт. № 661);

0661

Отбойный молоток —
точечное разрушение породы, а площадь
забоя большая — маленькая производительность.

С.Кишкашев перебрал
десятки вариантов, но решение не
находилось. Но однажды, когда жена
начала красить валиком стену, мелькнула
идея: цилиндр при качении разворачивается
в плоскость! На трубу наварим зубья и
покатим по забою, добавим вибрацию…

000.23110.321000

МПиО в действии.

ЗРТС
— развитие инструмента “по Кошкину”
— точка à
линия à
плоскость à
объем

1.1. Новая личина МПиО:

—
Т.Эдисон, создание НИИ (карт. № 676);

0676	Т.Эдисон в своих лучших изобретениях…воплотил в жизнь новый метод решения прикладных задач, основанный на тщательно продуманных и хорошо организованных экспериментах. Он создал первый НИИ… 000.22420.321000 МПиО в новой личине: экспериментируют большие коллективы…

—
математическое моделирование и компьютер
— современный антураж МПиО (карт. №
855).

0855	Моделирование на ЭВМ делает ненужным создание экспериментального образца, поднимает гибкость и экономичность исследований 000.22420.322410 Прием — использование копий (переход от механических копий к электронным)

—
команда из клуба “ЧГК” может быть
городской службой решения задач (карт.
№ 2163).

2163	Команда «знатоков» может быть городской службой решения задач. Звонок по телефону, — команда мозговым штурмом или логическим методом находит нетривиальное решение. 000.23000.311000 МПиО — метод знатоков из «ЧГК». И это сказано тогда, когда есть ТРИЗ-консультанты

1.2. Задачи, которые
решают с помощью метода проб и ошибок:

Как
доказать способность бетонного сооружения
выдержать падение реактивного
самолета? Для решения этого важного
вопроса, речь идет о куполах АЭС, хранилищ
радиоактивных и отравляющих веществ,
на опытном полигоне в одном из штатов
США бросают на таран «Фантомы»,
которые стоят десятки миллионов долларов.
Дорого, но дешевле Чернобыля. (МИ
0126, «Изобретатель и рационализатор»,
1/91).

2. МПиО — исторически
сложившийся метод решения задач:

— процесс выделения
человека из мира животных начался
примерно 2 млн. лет назад: охота,
рыболовство, собирательство. Применение
подручных средств (камень, палка), потом
— производство примитивных орудий
(заостренная палка-копалка, более острый
камень). Длившееся тысячелетиями
совершенствование заостренной палки
привело к созданию мотыги, лопаты,
плуга…

— Т.Эдисон — 10 тыс. опытов
для создания щелочного аккумулятора,
50 тыс. опытов в поисках материала для
нити лампы накаливания.

— Ч.Гудьир — многочисленные
опыты с целью повысить стойкость
натурального каучука;

—
О.К.Антонов — создание оперения для
“Антея”^³

—
С.С.Брюхоненко, изобретение аппарата
“искусственное сердце-легкое”, 1975 г.

Самое
сложное — напитать кровь кислородом.
Поверхность бронхов легких человека,
где кровь обогащается кислородом, равна
почти Красной площади! Как добиться
такой площади соприкосновения в
небольшом аппарате? Цель казалась
недостижимой.

Однажды
я, как всегда, утром брился в ванной. И
вдруг у меня мелькнула мысль: нашел,
нашел… На эту мысль меня натолкнула
пена, падавшая с помазка на раковину
умывальника. Надо просто вспенить кровь
с помощью кислорода! Именно это открытие
оказалось решающим в конструировании
аппарата.

(Захарченко
В.Д. Это Вы можете. Приглашение к
творчеству. М., «Молодая гвардия»,
1989, с. 43).

В.Ф.Гудов, изобретатель
метода механического сшивания кровеносных
сосудов, переключился на использование
ферромагнетиков для лечения тяжелых
заболеваний, например, рака…

Нужно,
чтобы принимаемое лекарство действовало
лишь на больной орган. В.Ф.Гудов поставил
перед собой необыкновенно сложную
задачу: доставить препарат непосредственно
к опухоли.

Необходимый
транспорт — кровь. Но как удержать
лекарство в нужной точке? У Гудова
сработала инженерная интуиция: осадить
лекарство на тончайшую ферромагнитную
пыль, подмешать к кровотоку, задержать
магнитом в нужном месте.

Мысль
работает дальше: разогревать ферромагнетик
до нужных 43,5^оС
— губительная температура для раковых
клеток, а для клеток тела человека —
45,5^оС.
Как не перейти границу? Введение
термометра — очень грубо и сложно.
Случайно помощь пришла из астрофизики:
температуру можно измерить с помощью
замера радиоизлучения тела.

Итак,
ЭВМ следит за перемещением ферромагнитных
частиц в организме, нагревает их до
нужной температуры, удерживает
температуру нужное время…

Десятки
ученых создают ЭВМ, многие НИИ разрабатывают
элементы схемы…

(Захарченко
В.Д. Это Вы можете. Приглашение к
творчеству. М., «Молодая гвардия»,
1989, с. 48).

3. О современных задачах
и их решениях — сложные задачи, задач
много, времени на решение мало. Требования
к образованию:

—
приобретение навыков постоянного
самообразования и умения творчески
мыслить (карт. № 889);

0889	Быстрый рост научной информации и учащение технических переворотов: … смещение центра тяжести образования в сторону приобретения навыков постоянного самообразования и умения творчески мыслить 000.22200.332000 Научить человека умению жить в изменяющемся мире см. 1681, 1853, 1736

— надо
готовить людей к неопределенному
будущему (карт. № 1736).

1736

4. “Творцы”: рецепты
творчества, пояснения к процессу.

—
творческий процесс — это непрерывная
работа, непрерывные неудачные попытки…
(карт. № 1694);

1694

П.С.Александров:
Творческий процесс — это непрерывная
работа, непрерывные неудачные попытки.
Рухнувшие гипотезы вбирают в себя 99%
всех творческих усилий, и лишь изредка
прерываются кратковременным успехом.
Этот успех — как крупица золота после
тонн промытого песка…

000.22000.321000

Сколько
можно говорить о творчестве, как о
многочисленных бесплодных попытках
и лишь о мгновении удачи!?

— об
интуиции и озарении (карт. № 664);

0664	Творческое вдохновение — это мобилизация всех духовных сил человека на самое красивое и самое простое техническое решение. В большинстве случаев это скорее счастливая концентрация духовных сил… 135.22300.330000

0663
0662

4.1. Методы, упоминаемые
М.Трингом (Как изобретать?, М., Мир, 1980,
с. 100):

а) Насилие на собой —
устанавливаются жесткие сроки, и
изобретатель заставляет себя упорно
размышлять над задачей, пока не появится
возможное решение (Т.Эдисон запирался
в маленьком буфете и просиживал там
многое часы, размышляя над лампой
накаливания);

б) “Высиживание” — на
листе бумаги пишется условие задачи и
вносятся заметки, поправки и пр. Процесс
может длиться неделями и месяцами, пока
не забрезжит свет и не появится идея
решения. Большое подспорье — техника
“случайного поиска” (поиск 1 книги по
интересующему вопросу, а затем просмотр
книг, стоящих на полке рядом!).

в) Синектика или
“мозговой штурм” (для поиска оригинальных
решений трудных и важных задач).

г) Систематический
метод — составляется таблица или список
всех возможных решений, которые затем
поочередно обдумываются. Вариант способа
— проводятся всевозможные лабораторные
эксперименты без ясной цели (!), но в
надежде на то, что какое-то наблюдение
даст ключ к решению задачи.

5. Чему учить новых
творцов? И как?

Важнейшую
роль в создании новой техники по-прежнему
играют индивидуальные таланты, способные
так или иначе предвидеть будущее и
опирающиеся на цельное восприятие
окружающего мира. Имено эти качества
помогают, по-видимому, преодолеть
«психологический пресс» и обнаружить
верные решения в безбрежном океане
«пустышек» и псевдоизобретений.

Весьма
вероятно, что такие таланты, роднящие
инженеров-новаторов с художниками,
могут быть выявлены с детства и развиты
особыми игровыми методами…

(Силин
А.А. На тропе в будущее. Размышления о
судьбе изобретений и открытий. М.,
«Знание», 1989, с. 205.)

Для
подготовки новых Дедалов требуется
какой-то совсем новый тип учебных задач.
Специфика инженерного творчества
далеко не раскрыта, и задачи, предлагаемые
будущим кулибиным и эдисонам, нередко
бьют мимо цели.

(Силин
А.А. На тропе в будущее. Размышления о
судьбе изобретений и открытий. М.,
«Знание», 1989, с. 146.)

Принятие
решений в системах управления на всех
уровнях народного хозяйства часто
связано с дефицитом времени: лучше
принять не самое хорошее решение, но
в требуемый срок…

(Системный
анализ в экономике и организации
производства. Уч. для ВУЗов. Л.,
«Политехника», 1991, с. 67)

Основные
направления повышения квалификации
специалистов — создателей эффективных
технологий:

—
непрерывность обучения;

—
обучение экономическим знаниям;

—
обучение психологии общения;

—
экологическое образование;

—
гуманизация научно-технического
образования;

—
обучение работе с информацией (ЭС, ЭВМ);

—
обучение инженерному творчеству.

(Александров
Л.В. и др. Роль изобретений в разработке
эффективных технологий. М., ВНИИПИ,
1991, с. 78)

6. Почему плох МПиО :

6.1. Для решения сложной
задачи, а именно такие задачи надо
решать, трудно сделать большое количество
проб:

Число проб	Уровень	Комментарий
До 10 проб	1	От 80 до 90% всех решаемых задач относятся к этим уровням.
До 100 проб	2
До 10 тыс. Проб	3
До 1 млн. Проб	4
Свыше 1 млн. проб	5

6.2. Нет гарантии, что
решение лежит на линии развития данной
системы.

6.3. Нет гарантии, что
решение является наилучшим.

6.4. Трудность, а чаще
всего невозможность перейти к решению
задачи, относящейся к другой области
техники.

6.5. Нет способов описания
систем с помощью специального языка
(для выявления возможной общности задач
и способов решения).

6.6. Неалгоритмичность
работы (работа в 1 шаг).

6.7. Нет системы подсказок
из уже решенных задач.

6.8.
Неучет свойств человеческой психики
вообще, психики конкретного человека
в частности. Источник ПИ — экономия
энергии при работе мозга (карт. № 650).

6.9. МПиО не развивается.
Хотя, если быть точным, есть его
модификации, но принцип остался прежним:
раскачка психики…

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Сценарии уроков по учебнику
«Математика, 5 класс», часть 1

Урок
14.

Тип урока: Р

Тема:
«Метод проб и ошибок».

Основные цели:

1) тренировать способность к
использованию метода проб и ошибок для решения уравнений;

2) повторить и закрепить прикидку и оценку
частного, прием письменного деления в столбик.

Оборудование:

Демонстрационный
материал.

1) задания для
актуализации знаний:

№ 2

2) эталоны:

Алгоритм решение задач методом проб и ошибок.

Задавать
любые значения буквам, входящим в уравнение.
Находить
значение правой части.
Сравнить,
полученное значение с числом в правой части.
Если
значения не равны, то перейти к пункту 1, если значения равны, то
перейти к пункту 5.
Доказать,
что других решений нет.

Раздаточный материал.

1) самостоятельная работа № 1.


	При каких значениях а верно равенство: 1) ; 2) (а – 20)(а + 40) = 16 000

2) подробный образец выполнения самостоятельной
работы № 1.


	1) Если а = 5, то 5 × (5 + 35) = 200 (В) Если а < 5, то а(а + 35) < 200; Если а > 5, то а(а + 35) > 200; 2) Если а = 120.то (120 – 20)(120 + 40) = 16 000 (В) Если а < 120, то (а – 20)(а + 40) < 16 000; Если а > 120, то (а – 20)(а + 40) > 16 000;

3) эталон для самопроверки самостоятельной
работы № 1.

1) ; Для
выполнения задания используем метод проб и ошибок, который заключается в
том, что вместо переменной подставляем любые значения и проверяем является
ли взятое значение корнем уравнения, и проводим эту работу до тех пор пока
не получим верное равенство, затем доказываем, что найденный корень
единственный.

1)
Если а = 5, то 5 × (5 + 35) = 200;

5 × 40 = 200;

200 = 200 (В)

Если а < 5, то а(а + 35) < 200;

Если а > 5, то а(а + 35) > 200;

а = 5

2). 2) (а – 20)(а + 40) = 16 000

Если а = 120.то (120 – 20)(120 + 40) = 16 000;

100 × 160 = 16 000;

16 000 = 16 000 (В)

Если а < 120, то (а – 20)(а + 40) < 16
000;

Если а > 120, то (а – 20)(а + 40) > 16
000;

а = 120

4) алгоритм исправления ошибок (Урок – 5)

№ 168 (5)

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом
проб и ошибок.

5) Длина прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4
см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника
равна 30 см².

5) дополнительные задания.

6) подробный
образец выполнения дополнительного задания.

	Длина, см	Ширина, см	Площадь, см²
Квадрат	x	x
Прямоугольник	x + 3	x — 4	(x + 3)(x – 4) или 30

(x + 3)(x
– 4) = 30

Если x =
7, то (7 + 3)(7 – 4) = 30;

10
× 3 = 30;

30
= 30 (В)

Если x < 7, то (x + 3)(x – 4) < 30

Если x > 7, то (x + 3)(x – 4) > 30

Сторона квадрата
равна 7 см

Ответ: сторона
квадрата 7 см

7) самостоятельная
работа № 2.


	Решите уравнение методом проб и ошибок: x(x + 4) = 32

эталон для
самопроверки самостоятельной работы № 2.

Если x = 4, то 4× (4 + 4) = 32; Для
выполнения задания используем метод проб и ошибок, который заключается в
том, что вместо переменной подставляем любые значения и проверяем является
ли взятое значение корнем уравнения, и проводим эту работу до тех пор пока
не получим верное равенство, затем доказываем, что найденный корень
единственный.

4
× 8 =
32;

32
= 32 (В)

Если x < 4, то x(x
+ 4) < 32;

Если x > 4, то x(x
+ 4) > 32

x
= 4

9) задания для
выбора.


	Реши уравнения методом проб и ошибок. а) х(х + 13) = 68; в) х × 2х = 32; б) х(х – 9) = 90; г) (х + 3)(х — 4) = 30.

10) таблица для
фиксации результатов.

№ задания

Выполнено

(«+», или «?»)

№

алгоритма

Исправлено в процессы работы

Исправлено

в самостоятельной работе

11) карточка для
этапа рефлексии.

1) У меня
сегодня всё получалось, я не допускал ошибок;

2) Я допустил
ошибки в первой самостоятельной работе (перечислить ошибки);

3) Я исправил
допущенные ошибки в процессе работы над ними;

4) Я не смог самостоятельно
исправить ошибки, но исправил их с помощью эталона;

5) Я без ошибок
справился со второй самостоятельной работой;

6) Во второй
самостоятельной работе я допустил ошибки (перечислить их);

7) Я выполнил
дополнительное задание (перечислить выполненные номера);

В
дополнительном задании я допустил ошибки (перечислить их);

9) Мне необходимо поработать над…

Ход
урока:

1.
Самоопределение к деятельности.

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные
рамки урока: продолжение работы над математическими моделями.

Организация
учебного процесса на этапе 1:

– Какие уравнения мы учились решать на прошлом уроке? (Уравнения вида x
(x + а) = b.)

– Что мы использовали при решении уравнений? (Метод проб и ошибок.)

– Сегодня мы на уроке проанализируем, на сколько хорошо вы усвоили
метод проб и ошибок.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель этапа: актуализировать знания об
алгоритме решения уравнений методом проб и ошибок; выполнить самостоятельную
работу; зафиксировать задания, вызвавшие затруднение.

Организация
учебного процесса на этапе2:

1. Математический диктант.

Найдите число, которое на 100 меньше произведения чисел 125 и 4.
(400.)
Найдите два числа, зная, что их сумма равна 400 и одно больше
другого в 3 раза. (100, 300.)
Найдите произведение двух чисел, первое из которых в 2 раза больше
4, а второе – в 2 раза меньше 50. (200.)

– Расставьте полученные числа в порядке возрастания. (100, 200, 300, 400.)

– Что интересного вы можете сказать о полученном ряде чисел?

– Установите закономерность и продолжите ряд на три числа. (100, 200,
300, 400, 500, 600, 700.)

– Назовите число из полученного ряда, которое в натуральном ряду чисел
стоит между 199 и 201. (200.) Дайте характеристику этому числу.

– Придумайте числовые выражения, сумма в которых равна 200.

2. – Подумайте, значения каких выражений можно
вычислить при t = 200, x = 4, z = 2:

– Можно ли сказать, не вычисляя, значения каких выражений равны между
собой? Почему?

— Теперь выполним
самостоятельную работу, результаты, которой нам дадут возможность увидеть,
хорошо ли усвоен алгоритм работы с буквенными выражениями.

После выполнения
работы учащиеся сверяют решения с образцом, данным на доске или на кодоскопе.

— Что необходимо
проверить прежде, чем проверять работу по образцу? (Необходимо проверить, что задание
списано правильно.)

— Какой следующий
шаг? (Проверить задание по образцу и зафиксировать результат.)

По мере проверки
учащиеся фиксируют несовпадения с предъявленным образцом и заполняют второй
столбец своей таблицы. Если задание выполнено точно так же, как на образце, то
в таблице против соответствующего номера они ставятся знак «+», а если
есть расхождения, то фиксируют их знаком «?» (появляется на доске
первая часть схемы).

3. Локализация затруднения.

Цель этапа: указать место в задании, где допущена ошибка, определить правило, в
котором допущена ошибка, уточнить цель урока.

Организация
учебного процесса на этапе 3:

Уточняется
схема выхода из затруднения.

— Если у вас все
ответы совпали с образцом, что вам необходимо сделать? (Проверить свою работу
по эталону для самопроверки и можно приступать к дополнительному заданию.)

Следующая часть
схемы на доске.

Тем учащимся, у
которых совпали все результаты, предлагается проверить свою работу по эталону
для самопроверки и дополнительные задания: № 168 (5.)

С теми учащими,
которые допустили ошибки организовать диалог по локализации затруднения.

— Какой следующий
шаг вы должны сделать после проверки работы и фиксации результатов? (Надо найти
место ошибки и понять её причину.)

— Что нужно сделать
для этого? (Постараться подробно расписать задание, если это не сделано при
выполнении работы.)

— Каков может быть
результат такой работы? (Можем получить правильный ответ или опять получить не
правильный ответ.)

— Если ответ не
совпал с образцом, что необходимо сделать? (Определить, какие правила
необходимо использовать при выполнении задания и повторить эти правила.)

–Какую цель вы
ставите для себя на этом уроке? (Определить причину ошибки и исправить её.)

— Что необходимо сделать после того, как вы
повторите правила, на которые вы допустили ошибку? (Надо попробовать исправить
ошибку и придумать аналогичное задание и решить его.)

— Если при исправлении вы опять получаете
неправильный ответ? (Надо обратиться к эталону и разобраться в причине ошибки
по нему и исправить её, а затем придумать аналогичное задание и решить его.)

— Перед вами лежит
схема выхода из затруднения, которое мы сейчас уточнили, эта схема поможет вам
выполнить работу над ошибками.

4. Построение
проекта выхода из затруднения.

Цель этапа: уточнить
способы действий, в которых допущены ошибки; исправить ошибки на основе
правильного применения правил; придумать или выбрать из предложенных заданий на
способы действий, в которых допущены ошибки.

Организация
учебного процесса на этапе 4:

Учащиеся самостоятельно выполняют работу
над ошибками, учитель на данном этапе выступает в качестве консультанта. Если
им удаётся самостоятельно исправить ошибку, они заполняют четвёртый столбик
таблицы. По окончании работы учащиеся получают эталоны и ещё раз анализируют
свою работу, им предлагается придумать и выполнить задание аналогичное тому, в
котором была допущена ошибка.

5. Обобщение причин затруднений во
внешней речи.

Цель этапа: зафиксировать
в речи правила, в которых были допущены ошибки.

Организация учебного
процесса на этапе 5:

Учитель последовательно выясняет у кого из
детей, на какие правила были допущены ошибки и правила проговариваются во
внешней речи. В этой работе могут принять участие все учащиеся.

6. Самостоятельная работа с
самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверяем
способность к выполнению заданий, которые на предыдущей самостоятельной работе
вызвали затруднение; сопоставить полученное решение с эталоном для
самопроверки.

Организация
учебного процесса на этапе 6:

Выполните вторую самостоятельную работу.

Работа проверяется по эталону для
самопроверки.

Пока учащиеся выполняют вторую
самостоятельную работу, первая группа детей проверяют дополнительные задания по
подробному образцу.

7. Включение в систему знаний и
повторение.

Цель этапа: тренировать
навыки построения математических моделей и решение уравнений методом проб и
ошибок; определение оценки частного; деление многозначных чисел.

Организация
учебного процесса на этапе 7:

№ 168 (6) (у доски)

После того, как ширину прямоугольного
увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Какова площадь
квадрата, если площадь прямоугольника 91 м²?

	Длина, м	Ширина, м	Площадь, м²
Квадрат	x	x	?
Прямоугольник	x + 5	x — 1	(x + 5)(x – 1) или 91

(x + 5)(x – 1) = 91

Если x = 8, то (8 + 5)(8 – 1) = 91;

13 × 7 = 91;

91 = 91
(В)

Сторона квадрата равна 8 м

8 × 8 = 64 (м²)

Ответ: площадь квадрата 64 м²

№ 172 (работа в парах, с проверкой по
образцу)

Сделай оценку частного и запиши её в виде
двойного неравенства:

1) 3000 : 5 < 3424 : 4 < 3600 : 3; 2)
4900 : 7 < 5412 : 6 < 5500 : 5;

600 < 3424 : 4 < 1200; 700
< 5412 : 6 < 1100;

3) 45 000 : 9
< 50 592 : 8 < 56 000 : 7; 4) 40 000 : 10 < 46 872 : 9 < 48 000 : 8;

5000 < 50 592 : 8 < 8000 4000 < 46 872 : 9 < 6000:

5) 900 : 30 < 988 : 26 < 1000 : 25; 6)
3000 : 50 < 3901 : 47 <4000 : 40;

30 < 988 : 26 < 40; 60
< 3901 : 47 < 100;

7) 18 000 : 90
< 20 418 : 83 < 24 000 : 80; 420 000
: 70 < 483 621 : 69 < 540 000 : 60;

200 < 20 418 : 83 < 300; 6000 <
483 621 : 69 < 9000.

№ 175 (самостоятельно, с устным разбором)

Расшифруй слово, расположив ответы примеров
в порядке убывания. Что означает это слово?

А 5635 : 7 = 805 Д
41 340 : 53 = 780 О 168 192 : 24 = 7008

А 20 368 :
67 = 304 Л 371 480 : 74 = 5020 И 402 500
: 175 = 2230

М 146 520
: 36 = 4070 И 245 294 : 49 = 5006 П 2 198 560
: 728 = 3020

ОЛИМПИАДА

8. Рефлексия деятельности.

Цель этапа: зафиксировать,
где были допущены ошибки, способ исправления допущенных ошибок; зафиксировать
содержание, которое повторили на уроке, оценить собственную деятельность;
записать домашнее задание.

Организация
учебного процесса на этапе 8:

– Какая была цель нашего урока? (Проверить
усвоения метода проб и ошибок.)

– Те, кто допускал
ошибки при выполнении задания, какая перед вами стояла цель? (Найти ошибку,
понять её причину и исправить.)

– Кто из вас достиг
цели? (Учащиеся высказываются.)

– Дайте анализ
своей деятельности (Учащиеся по желанию делают анализ по плану, предложенному
им.) Из предложенных пунктов учащиеся выбирают те, которые соответствуют их
деятельности.

Домашнее
задание: №№ 177(2); 178 (б); 179 (одно из нерешённых).

Источник

Метод проб и ошибок: достоинства и недостатки

Человечество берет свое начало несколько тысяч лет назад. И на протяжении всего этого времени оно неустанно развивается. Причин на это было всегда много, но без изобретательности человека это просто не представлялось бы возможным. Метод проб и ошибок был и является в настоящее время одним из основных.

Описание способа

Четко зафиксированного в исторических документах применения данного метода мало. Но, несмотря на это, он заслуживает особого внимания.

Метод проб и ошибок – это способ, при котором решение задачи достигается подбором вариантов до тех пор, пока результат не станет правильным (например, в математике) или приемлемым (при изобретении новых методов в науке).

Человечество всегда пользовалось данным методом. Ориентировочно век назад психологи пытались найти общее между людьми, которые использовали данный способ познания. И им это удалось. Человек, который ищет ответ на поставленную задачу, вынужден подбирать варианты, ставить эксперименты и смотреть на результат. Это продолжается до тех пор, пока не приходит озарение по данному вопросу. Экспериментатор выходит на новую ступень мышления в данном вопросе.

Метод в мировой истории

Одним из самых известных людей, кто применял данный способ, был Эдисон. Все знают его историю изобретения лампочки. Он экспериментировал до тех пор, пока не получилось. Но Эдисон усовершенствовал данный метод. При поиске решения он разделял задачи между людьми, которые работали на него. Соответственно материала по теме получалось намного больше, чем при работе одного человека. И на основании полученных данных метод проб и ошибок имел большой успех в деятельности Эдисона. Благодаря этому человеку появились исследовательские институты, которые применяют, в том числе, и этот метод.

Степени трудности

У данного метода есть несколько уровней сложности. Они были так разделены для лучшего усвоения. Задача первого уровня считается легкой, и на поиск ее решения затрачивается немного сил. Но и вариантов ответов она имеет не так много. С повышением степени трудности растет и сложность поставленной задачи. Метод проб и ошибок 5 класса – самый труднорешаемый и затратный по времени.

Необходимо учитывать, что при возрастании уровня сложности растет и объем знаний, которыми обладает человек. Чтобы лучше понимать, о чем идет речь, рассмотрим технику. Первый и второй уровни позволяют изобретателям ее усовершенствовать. На последней ступени сложности создается совершенно новый продукт.

Например, известен случай, когда молодые люди темой дипломной работы взяли труднорешаемую задачу из аэронавигации. Студенты не обладали такими же знаниями, как многие ученые, которые работали в данной области, но благодаря широкому спектру знаний ребят у них получилось найти ответ. И причем область решения оказалась в самом далеком от науки кондитерском деле. Казалось бы, что это невозможно, но это факт. Молодым людям было даже выдано авторское свидетельство на их изобретение.

Преимущества метода

Первым достоинством можно по праву считать творческий подход. Задачи методом проб и ошибок решаемые позволяют задействовать оба полушария головного мозга для поиска ответа.

Стоит привести в пример, как строились лодки. Раскопки показывают, как на протяжении столетий деталь за деталью менялась форма. Исследователи постоянно пробовали что-то новое. Если лодка тонула, то эту форму вычеркивали, если оставалась держаться на воде, то принимали это к сведению. Таким образом, в итоге было найдено компромиссное решение.

Если поставленная задача не слишком сложная, то данный метод занимает немного времени. У некоторых возникающих проблем может быть десять вариантов, один или два из которых окажутся правильными. Но если рассматривать, например, робототехнику, то в данном случае без применения других методов исследования могут затянуться на десятки лет и принесут миллионы вариантов.

Разделение задач на несколько уровней позволяет оценить, насколько быстрым и возможным представляется поиск решения. Это сокращает время для принятия решения. И при сложных задачах можно использовать метод проб и ошибок параллельно с другими.

Недостатки метода

С развитием технологий и науки данный метод начал терять свою популярность.

В некоторых областях просто нерационально создавать тысячи образцов, чтобы менять по одному элементу. Поэтому зачастую теперь используют другие методы, основанные на конкретных знаниях. Для этого стали изучаться природа вещей, взаимодействие элементов друг с другом. Стали использоваться математические расчеты, научные обоснования, эксперименты и опыт прошлого.

Метод проб и ошибок все так же отлично используется в творчестве. Но строить автомобиль таким способом уже кажется глупым и неактуальным. Поэтому теперь, при нынешнем уровне развития цивилизации, нужно в точных науках по большей части использовать другие методы.

Часто при рассматриваемом способе задача может описывать много совершенно незначительных вещей и не учитывать априори важные вещи. Например, изобретатель пенициллина (антибиотик) утверждал, что при правильном подходе лекарство могли изобрести лет на двадцать раньше его. Это поспособствовало бы спасению огромного количества жизней.

При сложных задачах часто бывают ситуации, когда сам вопрос лежит в одной области знаний, а его решение — совершенно в другой.

Не всегда исследователь уверен, что ответ вообще будет найден.

Автор метода проб и ошибок

Кто конкретно изобрел это способ познания, мы никогда не узнаем. Точнее мы знаем, что это явно был изобретательный человек, которым, скорее всего, руководило желание улучшить свою жизнь.

В древности люди были достаточно ограничены во многих вещах. Все изобреталось именно этим методом. Тогда еще не было каких-то фундаментальных знаний в области физики, математики, химии и прочих важных наук. Поэтому приходилось действовать наугад. Именно так добыли огонь, чтобы защищаться от хищников, готовить пищу и обогревать жилище. Оружие, чтобы добывать пропитание, лодки — для передвижения по рекам. Все было изобретено при столкновении человека с трудностью. Но каждый раз решаемая проблема приводила к более качественному уровню жизни.

Известно, что многие ученые использовали этот метод в своих трудах.

Однако именно описание метода и активное использование мы наблюдаем у физиолога Торндайка в конце девятнадцатого века.

Исследования Торндайка

Пример метода проб и ошибок можно рассмотреть в научных трудах ученого-физиолога. Он ставил различные поведенческие эксперименты с животными, помещая их в специальные коробки.

Один из экспериментов выглядел приблизительно следующим образом. Кошка, помещенная в ящик, ищет выход. Сама коробка может иметь 1 вариант открытия: нужно было нажать на пружинку — и дверца распахивалась. Животное применяло много действий (так называемых проб), и большинство из них оказывались неудачными. Кошка так и оставалась в коробке. Но после некоторого набора вариантов животному удавалось нажать на пружинку и выбраться из ящика. Таким образом, кошка, попадая в коробку, с течением времени запоминала варианты развития событий. И выбиралась из ящика за более короткое время.

Торндайк доказал, что метод действителен, и хоть результат не линеен, но со временем, при повторении аналогичных действий, решение приходит практически моментально.

Решение задач методом проб и ошибок

Примеров этого способа великое множество, однако стоит привести один очень интересный.

В начале двадцатого века жил известный конструктор двигателей для авиации Микулин. В то время наблюдалось огромное количество авиакатастроф из-за магнето, то есть искра зажигания через некоторое время полета исчезала. Много было экспериментов и размышлений о причине, но ответ пришел в совершенно неожиданной ситуации.

Александр Александрович встретил на улице мужчину с подбитым глазом. В тот момент к нему и пришло озарение, что человек без одного глаза видит намного хуже. Он поделился этим наблюдением с авиатором Уточкиным. Когда установили в самолеты второе магнето, количество авиакатастроф значительно уменьшилось. А Уточкин некоторое время выплачивал после каждого показательного полета Микулину денежные вознаграждения.

Применение способа в математике

Достаточно часто метод проб и ошибок в математике применяется в школах как способ развития логического мышления и проверки скорости поиска вариантов. Это позволяет разнообразить процесс обучения и внести элементы игры.

Часто можно встретить в школьных учебниках задания с формулировкой «реши уравнение методом проб и ошибок». В данном случае необходимо подбирать варианты ответа. Когда найден правильный ответ, он просто доказывается уже практически, то есть проводятся необходимые расчеты. В итоге мы удостоверяемся, что это единственно верный ответ.

Пример практической задачи

Метод проб и ошибок в математике 5 класса (в последних изданиях) часто фигурирует. Приведем пример.

Необходимо назвать, какие стороны могут быть у прямоугольника. При условии, что площадь (S) = 32 см, а периметр (P) = 24 см.

Решение данной задачи: предположим, что длина одной стороны 4. Значит и длина еще одной стороны такая же.

Получаем следующее уравнение:

16 делим на 2 = 8

8 см – это ширина.

Проверяем по формуле площади. S = A*B = 8*4 = 32 сантиметра. Как мы видим, решение верное. Так же можно вычислить и периметр. По формуле получается следующий расчет Р = 2* (А + В) = 2* (4 + = 24.

В математике метод проб и ошибок не всегда отлично подходит для поиска решений. Зачастую можно использовать более подходящие способы, при этом затрачивается меньше времени. Но для развития мышления данный метод имеется в арсенале каждого педагога.

Теория решения изобретательских задач

В ТРИЗ метод проб и ошибок считается одним из самых неэффективных. Когда человек попадает в необычную для него затруднительную ситуацию, то действия наугад, скорее всего, будут безрезультатными. Можно потратить много времени и в результате не добиться успеха. Теория решения изобретательских задач основана на уже известных закономерностях, и обычно используются другие методы познания. Часто ТРИЗ используют в воспитании детей, делая этот процесс интересным и увлекательным для ребенка.

Выводы

Рассмотрев данный метод, можно с уверенностью сказать, что он достаточно интересный. Несмотря на недостатки, он часто используется в решении творческих задач.

Однако не всегда он позволяет добиться нужного результата. Никогда исследователь не знает, когда стоит прекратить поиски или, может, стоит сделать еще пару усилий и гениальное изобретение появится на свет. Также непонятно, сколько времени будет затрачено.

Если вы решили использовать данный метод для решения какой-либо проблемы, то должны понимать, что ответ порой может находиться в совершенно неожиданной области. Но это позволяет взглянуть на поиск с разных точек зрения. Возможно, придется набросать несколько десятков вариаций, а может, и тысячи. Но лишь упорство и вера в успех приведут к нужному результату.

Иногда этот метод используют как дополнительный. Например, на начальном этапе для сужения поиска. Либо когда исследование было проведено многими способами и зашло в тупик. В этом случае творческая составляющая метода позволит найти компромиссное решение проблемы.

Метод проб и ошибок часто применяют в педагогической деятельности. Он позволяет детям на собственном опыте находить решения в различных жизненных ситуациях. Это учит их запоминать правильные типы поведения, которые приняты в обществе.

Художники используют данный способ для поиска вдохновения.

Метод стоит опробовать в обыденной жизни при решении проблем. Возможно, какие-то вещи предстанут вам по-другому.

Урок «Способы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Слагаемое можно переносить из одной части равнения в другую, изменяя его так.

Пример 1. Решить.уравнение 8х — 9 = -2х + 3.

Решение: Соберем слагаемые, содержащие в левую часть, а свободные члены — в правую, затем упростим полученные выражения и найдем х.

Метод проб и ошибок.

Метод проб и ошибок заключается в следующем:

экспериментально подбираются корни уравнения;

доказывается, что других корней уравнение не имеет.

Пример 2. Решить уравнение х 2 +3х 54 = 0, где х — натуральное число.

Решение: Перенесем слагаемое — 54 в правую часть уравнения, а в левой части вынесем за скобки общий множитель х:

Число 6 является корнем данного уравнения. Действительно,

6(6 + 3) = 54 (истинно).

Других натуральных корней у этого уравнения нет, так как при увеличении множителей произведение также будет увеличиваться, а при уменьшении — уменьшаться. Значит число 6 — единственный корень этого уравнения.

Метод перебора заключается в проверке всех возможных вариантов решения уравнения.

Например, глядя на уравнение х(х + 3) = 54, можно заметить, что его. натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2,3, 6,9,18,27, 54. Подставляя эти числа вместо переменной х в уравнение, находим единственный корень: х = 6

Реши уравнения методом перебора:

а) 7х( 9 — 2х) = 70; б) х( 2х — 1)(4 — х)( х + 1) = 60.

• Реши уравнения методом проб и ошибок:

а) х( х + = 33; б) Зх 2 — 14х — 15 = 0.

Краткое описание документа:

Большинство учеников 6 класса испытывает затруднения при решении уравненй. В данном методическом материале собраны способы решений уравнений, а также описаны метод проб и ошибок и метод перебора. Последние методы редко разбирают на уроках, но с их помощью можно решить множество задач, в том числе олимпиадных.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 574 587 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика (в 2 частях)», Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.

42. Решение уравнений

Другие материалы

28.09.2019
208
0

18.09.2019
378
0

12.09.2019
261
1

25.08.2019
466
2

19.08.2019
161
0

01.07.2019
449
16

15.06.2019
311
0

27.04.2019
827
1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

08.10.2019 500
DOCX 15.8 кбайт
2 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лапикова Марина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 2 месяца
Подписчики: 0
Всего просмотров: 4442
Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Эти загадочные уравнения

Окружная научная конференция учащихся

Эти загадочные уравнения

Наумов Виктор, ученик 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

с. Красный Яр, 2013 г.

· Введение. Актуальность проблемы изучения способов решения

Глава 1. Исторические сведения…………………………………….4-8

Глава 2. Эти загадочные уравнения………………………………..8-15

2.1. Что мне было известно про уравнение………………………..8-9

2.2. Решение простейших уравнений …………………..……

2.3. Что я нового узнал об уравнениях из школьных учебников……………………………………………………………11-15

Глава 3. Что я нового узнал об уравнении из дополнительной

3.1. Тайное становится явным (исследование)………….……… 15-18

3.2. Способы решения уравнений……………………….……….. 18-20

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестной компоненты…………………………………………………….…………..18

б) Решение уравнений методом весов…………………………..18

в) Решение уравнений методом проб и ошибок………………..19

г) Решением уравнений методом перебора……………. 19

3.3 Математические фокусы…………………………………. 21-23

· Список использованной литературы……………………. 25

· Приложения. Задания для моих одноклассников

Введение. Актуальность проблемы

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти проблемные вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне. Я высказал гипотезу, что существуют какие-то определенные способы решения уравнений и поставил перед собой цель:

• изучить способы решения уравнений

• углубить математические знания по этой теме

• расширить представления о математике как о языке описания окружающего мира

• изучить литературу и систематизировать материал по данной теме

• исследовать свойства преобразования уравнений

• выявить основные доступные способы решения уравнений

• выработать навыки поисково-исследовательской работы

• систематизация изученного материала

• классификация уравнений по способам их решения

Объект исследования: Уравнения

Предмет исследования: Способы решения уравнений

Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

В начальной школе я научился решать самые простые уравнения, в пятом и шестом классах мы уже решали более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.

Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я решил узнать новое, интересное и загадочное об уравнениях. Поэтому тема моей работы «Эти загадочные уравнения».

Глава 1.Исторические сведения

Кто и когда придумал первое уравнение?

Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!» В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий, то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.

Но и в «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.

Первым придумал обозначение для

неизвестных греческий математик

Диофант, живший в III веке.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Придумав это, Диофант стал двигаться дальше. И вместо слова «получится» или «равняется» стал писать — две первые буквы слова («исос» — равный). Диофант придумал знак и для вычитания – им служила буква (пси), только перевёрнутая. А без знака сложения Диофант обходился довольно просто – слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. С этими приёмами я познакомлюсь при изучении математики в этом году.

Первым руководством по решению уравнений, получившим широкую известность, стал труд арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мус аль -Хорезми. Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала» (Книга о восстановлении и противопоставлении). Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х – 16 = 20 – 4х,

стало 5х = 36 – 4х.

После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

было 5х = 36 – 4х.,

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.

Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.

Таким образом, решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященными в эту тайну, так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С. Коваль

Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.

Глава 2. Эти загадочные уравнения.

2.1.Что мне было известно про уравнение

В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:

« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение. х = 3 – решение уравнения, так как 15 + 3 = 18 – верное равенство».

В учебнике Виленкина «Математика – 5», в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.

Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.

2.2. Решение простейших уравнений

Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.

Решение. По смыслу вычитания неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого. Поэтому х = 85 – 37 , то есть х = 48.Число 48 является корнем уравнения х + 37 = 85, потому что 48 + 37 = 85.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.

Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит, у = 18 + 94, то есть у = 112.Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство у – 94 = 18.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.

Решение. По смыслу вычитания число 91 является суммой z и 36 , то есть z + 36 = 91. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 91 – 36, то есть z = 55.Число 55 является корнем уравнения 91 – z = 36, так как верно равенство 91 – 55 = 36.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.

Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5. Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство 355 = 175.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.

Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 168, то есть у = 128. Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство 128 : 8 = 16.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.

Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z, то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12. Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Таким образом, при решении этих уравнений я использовал правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).

Компонент — слово латинского происхождения, на русский язык переводится как составляющая часть, элемент чего-либо. По этим правилам мы решаем уравнения, начиная со второго класса.

2.3.Что я узнал об уравнениях из школьных учебников

При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрю несколько заданий из учебника.

№ 000. Решите двумя способами уравнение:

а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) – 15 = 31 .

Решу первое уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:

а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения

а затем найду неизвестное слагаемое х:

Решу второе уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:

а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания: (35 + у) – 15 = 31,

а затем найду неизвестное слагаемое у:

№ 000. Решите уравнение:

а) 3х + 5х + 96 = 1568;

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения. а) 8х + 96 = 1568;

б) 208z – 1843 = 11469;

После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель а) 8х + 96 = 1568,

х = 144. Ответ: 144.

б) 208z – 1843 = 11469,

208z = 11469 + 1843,

у = 167. Ответ: 167.

Еще в пятом классе я научился решать задачи с помощью уравнений.

Решу задачи из нашего учебника.

№ 000. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получил уравнение: х + 9х = 220. Решу его. х + 9х = 220,

х = 22. Итак, купили 22 стола, тогда стульев – 229 = 198 .

№ 000(1). Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.

Решение. Пусть третье число равно х, тогда 2,4х – первое число, а второе х + 0,6 . Среднее арифметическое этих чисел (2,4х + х + 0,6 + х) : 3 по условию задачи равно 2,4. Составлю уравнение и решу его.

(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,

4,4х + 0,6 = 2,43,

1,5 –третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 – второе число и 1,52,4 = 3,6 – первое число. Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.

Я провел маленькое исследование и убедился, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».

372, 374, 375, 376, 379, 380, 395, 396, 439, 442, 445, 446, 462, 464, 482, 483, 485, 487, 490, 491, 496, 504, 505, 523, 524, 525 , 551, 568, 569, 570, 574, 576, 592, 593, 614, 615, 635, 639, 647, 660, 707, 727,

878, 1018, 1022, 1036, 1042, 1058, 1107, 1127, 1165, 1210, 1236, 1238, 1251, 1268, 1326, 1329, 1348, 1358, 1362, 1373, 1379, 1389, 1441, 1459, 1489, 1517, 1752, 1817.

373, 377, 397, 410, 440, 447, 484, 486, 489, 512, 526, 571,

572, 577, 578,579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 594, 602, 603, 607, 618, 619, 621, 622, 623, 624, 641, 643, 665, 669, 704, 705, 706, 726, 777, 837, 870, 871, 997, 1126, 1081, 1073, 1105,

1140, 1170, 1253, 1328, 1349, 1350, 1351, 1430,1460, 1461, 1462, 1463, 1490, 1491, 1558, 1559, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.

То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть = 0, 083 829…. 8,4%. Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и = 0, 10 487… 10%.

Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы «Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»

Глава 3. Что я узнал об уравнении из дополнительной литературы.

3.1.Тайное становится явным (исследование)

Представьте, что в очень лёгком — практически невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не заглядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных весов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потребуется — столько же их и в кошельке.

В кошельке семь монет.

Весы — испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае.

На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится.

Следовательно, внутри кошелька 10 монет

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю. Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми. Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав. Рассмотрю это на простом уравнении.

Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.

1) Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение 2х + 28 + 12 = 66 + 12,

воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда 2х + 40 = 78,

2) Вычту из обеих частей уравнения 16,

чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое 2х + 28 = 50 + 16,

1) Умножу обе части уравнения на 3,

(2х + 28) 3= 663,

воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. 2х 3 + 28 3 = 198, применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу 3 2х + 84 = 198,

4) Разделю обе части уравнения на 2,

(2х + 28) : 2 = 66 : 2,

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить 2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,

Вывод: значение корня не изменится, если :

— к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.

3.2. Способы решения уравнений.

Из дополнительной литературы я узнал о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобрался, и они оказались мне понятными.

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента. Решение уравнений этим методом я подробно рассмотрел в главе 2.

б) Решение уравнений методом весов. Решение уравнений методом весов я рассматривал в главе «Исторические сведения».

Решу уравнения таким методом.

а) 4х – 9 = 2х + 11, в) 8х – 10 = 5х + 8,

из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения

отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,

получим уравнение получим уравнение

х = 20 : 2, х = 18 : 3,

Проверка. 4 10 – 9 = 2 10 + 11, Проверка. 8 6 – 10 = 56 + 8,

40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,

Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.

Уравнения такого вида мы научимся решать в конце 6 класса, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.

в) Решение уравнений методом проб и ошибок

а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.

Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4: 4 (4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число х слишком мало.

Возьмём теперь х = 6: 6 (6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому. А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем 7 (7 + 3) = 70. Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.

Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения. Ответ: х = 7.

Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.

г). Решение уравнений методом перебора.

При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.

Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.

Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.

Решим еще одно уравнение методом перебора.

Делители числа 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.

х = 4, 4( 4 –– 4) = 4 13 = 12.

х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 52 2 = 20.

х= 5 – корень уравнения.

Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.

Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений.

3.3. Математические фокусы.

В этом разделе я хочу показать, как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы. Основной темой математических фокусов являются угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумавший этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Рассмотрю один из математических фокусов. Фокусник предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом фокусник спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал. Этот фокус легко разгадать, если умеешь составлять и решать уравнения. Слева запишу задания «фокусника», а справа — выражения, которые он мысленно при этом составляет.

Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5.

Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2.

К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.

Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение. ((х + 5) – 2) + 7 = 17, Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10. Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7. Такие фокусы нетрудно придумать и самому. Например, эти два фокуса я придумал сам.

· Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1.Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).

· Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).

Удивительной для непосвященных кажется способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2

1.Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?

Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.

2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось? Решение. ((4х – 3)3 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х.

Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.

3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?

Решение (( х + 3) 6 – 3 – х ) : 5 = ( 6х + 18 – 3 – х) : 5 = ( 5х + 15) : 5 = х + 3 . Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 3.

4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.

Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.

Возраст и дата рождения

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая — число и третья — порядковый номер месяца рождения.

Работа над данной темой помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения, и я подтвердил гипотезу, что существуют различные способы решения уравнений.

Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедился в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения». Я узнал решение более сложных уравнений с помощью правила

нахождения неизвестной компоненты и решение задач на составление уравнений, решал уравнения с применением их свойств, узнал названия уравнений: линейные, квадратные, дробно — рациональные, биквадратные, тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические уравнений.

Конечно, эти названия мне ни о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.

Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5-6 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смог провести исследования и доказал на простых уравнениях, что значение корня не изменится, если:

— к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Я научился решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитал в дополнительной литературе. При выполнении работы мне пришлось решить более 120 уравнений. Во время недели математики я показал математические фокусы в 5-х классах и в 3 – 4 классах.

Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказал в работе, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения, используя новые способы.

Я, думаю, что новые знания, которые я получил, пригодятся мне в дальнейшей учёбе. Все цели и задачи, которые я ставил перед собой, я выполнил.

Список использованной литературы

общеобразовательных учреждений. // М.: Мнемозина, 2005.

2. , БеленковаЕ. Ю. Математика 5 класс.

Задания для обучения и развития учащихся.// М.: Интеллект-

3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов средних школ//

Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики), стр.187

4. , и др. Математика. Учебник для 4 класса нач.

Школы в 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.

5. Энциклопедический словарь юного математика //

Сост. . М.: Педагогика, 1985, стр.345

6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика // Ред. коллегия:

М. Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005, стр.237

источники:

http://infourok.ru/urok-sposobi-resheniya-uravneniy-3873746.html

http://pandia.ru/text/78/386/20944.php

Источник

Описание способа

Метод в мировой истории

Описание способа

Метод в мировой истории

метод проб и ошибок в математике

Степени трудности

Преимущества метода

Недостатки метода

С развитием технологий и науки данный метод начал терять свою популярность.

Не всегда исследователь уверен, что ответ вообще будет найден.

Автор метода проб и ошибок

Известно, что многие ученые использовали этот метод в своих трудах.

Недостатки метода

С развитием технологий и науки данный метод начал терять свою популярность.

Не всегда исследователь уверен, что ответ вообще будет найден.

Автор метода проб и ошибок

Известно, что многие ученые использовали этот метод в своих трудах.

метод проб и ошибок 5 класс

Исследования Торндайка

Решение задач методом проб и ошибок

Примеров этого способа великое множество, однако стоит привести один очень интересный.

Применение способа в математике

Пример практической задачи

Метод проб и ошибок в математике 5 класса (в последних изданиях) часто фигурирует. Приведем пример.

Решение данной задачи: предположим, что длина одной стороны 4. Значит и длина еще одной стороны такая же.

Получаем следующее уравнение:

24 – 4 – 4 = 16

16 делим на 2 = 8

8 см – это ширина.

Решение задач методом проб и ошибок

Примеров этого способа великое множество, однако стоит привести один очень интересный.

Применение способа в математике

Пример практической задачи

Метод проб и ошибок в математике 5 класса (в последних изданиях) часто фигурирует. Приведем пример.

Решение данной задачи: предположим, что длина одной стороны 4. Значит и длина еще одной стороны такая же.

Получаем следующее уравнение:

24 – 4 – 4 = 16

16 делим на 2 = 8

8 см – это ширина.

задачи методом проб и ошибок

Теория решения изобретательских задач

Выводы

Художники используют данный способ для поиска вдохновения.

Источник