Разложение в ряд тейлора функции ошибок

Степенные ряды в форме рядов Тейлора и Маклорена

Степенные ряды и, в частности, ряды Тейлора являются одним из видов функциональных рядов.

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…=∑k=0∞ak(x−x0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n+ldots=sumlimits_{k=0}^{infty} a_k(x-x_0)^k

где a0,a1,…,an,…a_0, a_1, ldots, a_n, ldots — постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x) существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

Sn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n,lim⁡n→∞Sn(x)=S(x)S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n, quad limlimits_{n to infty } S_n (x) = S (x)

Возьмем функцию действительной переменной f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{»}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать в другом виде. Полагая:

x−x0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

ряд Тейлора

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f′(x0)1!t+f′′(x0)2!t2+…+f(n)(x0)n!tn+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+dfrac{f{‘}(x_ 0)}{1!} t +dfrac{f{»}(x_0)}{2!}t^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

сводится к ряду Маклорена:

g(t)=g(0)+g′(0)1!t+…+g(n)(0)n!tn+…=∑k=0∞g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+dfrac{g{‘}( 0)}{1!}t +ldots+dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Как и в случае произвольного степенного ряда, ряды Тейлора и Маклорена имеют интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1xf(x)=dfrac{1}{x}

в окрестности точки x0=1x_0=1.

С помощью замены:

x−x0=x−1=tx-x_0=x-1=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+1)=11+tf(x)=f(t+1)=dfrac {1}{1+t}

Полученное выражение при ∣t∣<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (−t)(-t), и ряд записывается в виде:

11+t=1−t+t2−t3+…+(−1)ntn+…=∑k=0∞(−1)ktkdfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+ldots+(-1)^{n}t^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x−1)(x-1):

1x=1−(x−1)+(x−1)2−(x−1)3+…+(−1)n(x−1)n+…=∑k=0∞(−1)k(x−1)k,∣x−1∣<1dfrac {1}{x}=1-(x-1)+ (x-1)^2-(x-1)^3+ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}(x-1)^{k}, quad |x-1|<1

Формула Тейлора

Следствием разложения функции в степенной ряд является соответствующая формула Тейлора. Если функция f(x)f(x) имеет в точке x0x_0 производные до nn –го порядка включительно, то функцию f(x)f(x) можно представить с помощью формулы Тейлора:

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n (x)

или

f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x)= sumlimits_{k=0}^{n} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +R_n (x),

где функция Rn(x)R_n (x) называется остаточным членом.

Формы остаточного члена

Существует несколько форм для остаточного члена. В частности, если f(x)f(x) дифференцируема (n+1)(n+1) раз в окрестности x0x_0, то Rn(x)R_n (x) может быть представлена в форме Лагранжа:

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1,x<ξ<x0R_n (x)=dfrac {f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!} x^{n+1}, quad x<xi<x_0 или x<ξ<x0x<xi<x_0.

Если функция f(x)f(x) дифференцируема (n−1)(n-1) раз в окрестности x0=0x_0=0, то Rn(x)R_n(x) может быть представлена в форме Пеано:

Rn(x)=o((x−x0)n)R_n(x)=o((x-x_0)^n).

Учитывая, что ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, запишем формулу Тейлора для основных элементарных функций в окрестности x0=0x_0=0 и укажем соответствующие интервалы сходимости.

Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!+…+xnn!+o(xn),∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+o(x^n),quad |x|<infty

Тригонометрические функции:

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+o(x2n),∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ o(x^{2n}),quad |x|<infty

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)n+1x2n(2n)!+o(x2n+1),∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ o(x^{2n+1}),quad |x|<infty

arctg⁡x=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1+o(x2n+2),∣x∣≤1arctg x=x-dfrac{x^3}{3} +dfrac{x^5}{5} -dfrac{x^7}{7} +ldots+dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ o(x^{2n+2}),quad |x|le{1}

Логарифмическая функция:

ln⁡(1+x)=x1!−x22!+x33!−…+(−1)n+1xnn!+o(xn),x∈(−1;1]ln (1+x)=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!} -ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ o(x^n),quad xin (-1;1]

Степенная функция:

(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+…+α(α−1)…(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^alpha=1+dfrac{alpha }{1!}x+dfrac{alpha (alpha -1)}{2!}x^2 +dfrac{alpha (alpha -1)( alpha -2)}{3!} x^3 +ldots+dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ o(x^n)

Пример 1

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x+1)ln⁡(x2+2x+2)f(x)=(x+1)ln (x^2+2x+2)

в окрестности точки x0=−1x_0=-1 с точностью до o((x+1)7)o((x+1)^7).

Выполнив замену переменной

x−x0=x+1=tx-x_0=x+1=t

получаем:

g(t)=tln⁡(1+t2)g(t)=tln(1+t^2)

Используя разложение логарифмической функции, получаем:

g(t)=t(t21!−(t2)22!+(t2)33!+o((t2)3))=t3−t52+t76+o(t7)g(t)=t left( dfrac{t^2}{1!}-dfrac{(t^2)^2}{2!}+dfrac{(t^2)^3}{3!}+o((t^2)^3) right)=t^3-dfrac{t^5}{2}+dfrac{t^7}{6}+o(t^7)

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=(x+1)3−(x+1)52+(x+1)76+o((x+1)7)f(x)= (x+1)^3-dfrac{(x+1)^5}{2}+dfrac{(x+1)^7}{6}+o((x+1)^7)

Пример 2

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x2−4x)cos⁡(2x−4)f(x)=(x^2-4x)cos{(2x-4)}

в окрестности точки x0=2x_0=2 с точностью до o((x−5)5)o((x-5)^5).

Выполнив замену переменной:

x−x0=x−2=t,x=t+2x-x_0=x-2=t, quad x=t+2

получаем:

g(t)=(t2−4)cos⁡2tg(t)=(t^2-4)cos{2t}

Используя разложение тригонометрической функции, получаем:

g(t)=(t2−4)(1−(2t)22!−(2t)44!+o(t5))=(t2−4)(1−2t2+2t43+o(t5))g(t) =(t^2-4) left( 1-dfrac{(2t)^2}{2!}-dfrac{(2t)^4}{4!}+o(t^5) right) =(t^2-4) left( 1-2t^2+dfrac{2t^4}{3}+o(t^5) right)

Раскрываем скобки, ограничиваясь слагаемыми со степенью t не выше пяти:

g(t)=(t2−2t4)−(4−8t2+8t43+o(t5))=−4+9t2−143t4+o(t5)g(t) =(t^2-2t^4)- left( 4-8t^2+dfrac{8t^4}{3}+o(t^5) right) =-4+9t^2-dfrac{14}{3} t^4+o(t^5)

Выполняя обратную замену переменной, получаем:

f(x)=−4+9(x−2)2−143(x−2)4+o((x−2)5)f(x)=-4+9(x-2)^2-dfrac{14}{3}(x-2)^4+o((x-2)^5)

Применение формулы Тейлора при x, стремящемся к бесконечности

При необходимости представить функцию с помощью формулы Тейлора при x→∞x to infty с точностью до o(1xn)oleft( dfrac {1} {x^n}right), последовательно:

• выполняем замену переменной t=1xt=dfrac{1}{x};
• полученную функцию g(t)g(t) представляем с помощью формулы Тейлора с необходимой точностью;
• с помощью обратной замены переменных находим искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=2x−x2−1f(x)=2x-sqrt{x^2-1}

с точностью до o(1×3)oleft( dfrac {1} {x^3}right) при x→+∞x to +infty.

Выполнив замену переменной

t=1x,x=1tt=dfrac{1}{x}, quad x=dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=2t−1t2−1=2−(1−t2)1/2tg(t)=dfrac {2}{t}-sqrt {dfrac{1}{t^2}-1}=dfrac{2-(1-t^2)^{1/2}}{t}

Учитывая требуемую точность o(t3)o(t^3), используем разложение степенной функции в ряд Тейлора с точностью до o(t4)o(t^4):

g(t)=2−(1−t22−t48)+o(t4)t=1t+t2−t38+o(t3)g(t)=dfrac {2-left( 1-dfrac{t^2}{2}-dfrac{t^4}{8}right)+o(t^4)}{t}=dfrac{1}{t}+dfrac{t}{2}-dfrac{t^3}{8}+o(t^3)

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=x+12x−18×3+o(1×3),x→+∞f(x)=x+dfrac{1}{2x}- dfrac {1}{8x^3}+ oleft( dfrac {1} {x^3}right), quad x to +infty

Применение формула Тейлора при вычислении пределов

С помощью разложения функции с использованием формулы Тейлора при вычислении пределов можно избавиться от неопределённостями различного вида. Проиллюстрируем использование формулы Тейлора на примере вычисления предела функции с неопределенностью вида (00)left( dfrac {0} {0}right).

Пример 1

Вычислим, используя формулу Тейлора, предел:

lim⁡x→1ex−ecos⁡(x−1)sin⁡(x−1)limlimits_{x to 1 } dfrac {e^{x}-e cos{(x-1)}}{sin {(x-1)}}

Заменим ex{e^{x}} и тригонометрические функции их разложениями в степенные ряды в окрестности x0=1x_0=1, находим:

lim⁡x→1ex−ecos⁡(x−1)sin⁡(x−1)=lim⁡x→1(e+e(x−1)+e(x−1)22!+e(x−1)33!+…)−e(1−(x−1)22!+…)(x−1)−(x−1)33!+…=elim⁡x→1(x−1)+(x−1)2+(x−1)36+…(x−1)−(x−1)36+…=elim⁡x→11+(x−1)+(x−1)26+…1−(x−1)26+…=elimlimits_{x to 1 } dfrac {e^{x}-e cos{(x-1)}}{sin {(x-1)}}=limlimits_{x to 1} dfrac {left(e+e(x-1)+dfrac{e(x-1)^2}{2!}+dfrac{e(x-1)^3}{3!} +ldots right)-eleft( 1-dfrac{(x-1)^2}{2!}+ ldots right)} {(x-1)-dfrac{(x-1)^3}{3!}+ ldots}= elimlimits_{x to 1 } dfrac {(x-1)+(x-1)^2+ dfrac{(x-1)^3}{6}+ldots} {(x-1)- dfrac{(x-1)^3}{6}+ldots} =e limlimits_{x to 1 } dfrac {1+(x-1) +dfrac{(x-1)^2}{6}+ldots} {1- dfrac{(x-1)^2}{6}+ldots} =e

Тест по теме «Формула и ряд Тейлора»

Выражение функции в виде бесконечной суммы

По мере увеличения степени полинома Тейлора она приближается к правильной функции. На этом изображении показан грех x и его приближения Тейлора, полиномы степени 1, 3, 5, 7, 9, 11и 13.

В математике ряд Тейлора функции является бесконечная сумма члены, которые выражены в терминах производных функций в одной точке. Для наиболее распространенных функций функция и сумма ее ряда Тейлора вблизи этой точки равны. Ряды Тейлора названы в честь Брука Тейлора, который представил их в 1715 году.

Если ноль — это точка, в которой рассматриваются производные, ряд Тейлора также называется серией Маклорена, после Колина Маклорена, который широко использовал этот частный случай из серии Тейлора в 18 веке.

частичная сумма, образованная первыми членами ряда Тейлора, полиномом степени n, который называется n-м полиномом Тейлора функции. Полиномы Тейлора — это приближения, которые обычно становятся лучше при увеличении. Теорема Тейлора дает количественные оценки погрешностей, обеспечивает использование таких приближений. Если ряд Тейлора функции является сходящейся, его сумма составляет предел бесконечной последовательности полиномов Тейлора. Функция может быть не равна сумме своего ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция является аналитической в точке x, если она равна сумме своего ряда Тейлора в некотором открытом интервале (или открытом диске в комплексная плоскость ), содержащая x. Это означает, что функция аналитична в каждой точке интервала (или круга).

Содержание

• 1
• 2 Примеры
• 3 История
• 4 Аналитические функции
• 5 Ошибка аппроксимации и сходимость
  • 5.1 Обобщение
• 6 Список рядов Маклорена некоторых общих функций
  • 6.1 Экспоненциальная функция
  • 6.2 Натуральный логарифм
  • 6.3 Геометрический ряд
  • 6.4 Биномиальный ряд
  • 6.5 Тригонометрические функции
  • 6.6 Гиперболические функции
• 7 Вычисление ряда Тейлора
  • 7.1 Первый пример
  • 7.2 Второй пример
  • 7.3 Третий пример
• 8 Ряд Тейлора как определения
• 9 Ряд Тейлора с переменными
  • 9.1 Пример
• 10 Сравнение с рядом Фурье
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки
• 14 Внешние ссылки

Определение

Ряд Тейлора вещественной или комплекснозначной функции f (x), который бесконечно дифференцируем при действительном или комплексном числе a, является степенным рядом

f (a) + f ′ (a) 1! (х — а) + е ″ (а) 2! (Икс — а) 2 + е ‴ (а) 3! (Икс — а) 3 + ⋯, { displaystyle f (a) + { frac {f ‘(a)} {1!}} (Xa) + { frac {f’ ‘(a)} {2! }} (xa) ^ {2} + { frac {f » ‘(a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots,}

где n! обозначает факториал число n. В более компактной сигма-нотации это можно записать как

∑ n = 0 ∞ f (n) (a) n! (Икс — а) п, { Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {е ^ {(п)} (а)} {п!}} (Ха) ^ {п},}

где f (a) обозначает n-ю производную функции f, вычисленную в точке a. (Производная нулевого порядка функции f определяет как сама f, а (x — a) и 0! оба как 1.)

Когда a = 0, ряд также называется рядом Маклорена.

Примеры

Ряд Тейлора для любого многочлена является самим многочленом.

Ряд Маклорена для 1/1 — x — это геометрический ряд

1 + x + x 2 + x 3 + ⋯, { displaystyle 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + cdots,}

поэтому ряд Тейлора для 1 / x при a = 1 равенстве

1 — (x — 1) + (x — 1) 2 — (x — 1) 3 + ⋯. { displaystyle 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} — (x-1) ^ {3} + cdots.}

Интегрируя вышеуказанный ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена для ln ( 1 — x), где ln обозначает натуральный логарифм :

— x — 1 2 x 2 — 1 3 x 3 — 1 4 x 4 — ⋯. { displaystyle -x — { tfrac {1} {2}} x ^ {2} — { tfrac {1} {3}} x ^ {3} — { tfrac {1} {4}} x ^ {4} — cdots.}

Соответствующий ряд Тейлора для ln x при a = 1 равенстве

(x — 1) — 1 2 (x — 1) 2 + 1 3 (x — 1) 3 — 1 4 (х — 1) 4 + ⋯, { displaystyle (x-1) — { tfrac {1} {2}} (x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} ( x-1) ^ {3} — { tfrac {1} {4}} (x-1) ^ {4} + cdots,}

и, в более общем смысле, соответствующий ряд Тейлора для ln x в произвольная ненулевая точка a равна:

ln ⁡ a + 1 a (x — a) — 1 a 2 (x — a) 2 2 + ⋯. { displaystyle ln a + { frac {1} {a}} (xa) — { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { left (xa right) ^ {2} } {2}} + cdots.}

Ряд Тейлора для экспоненциальной функции e при a = 0 равен

∑ n = 0 ∞ xnn! = х 0 0! + х 1 1! + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + х 5 5! + ⋯ знак равно 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + x 5120 + ⋯. { displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = { frac {x ^ {0}} { 0!}} + { Frac {x ^ {1}} {1!}} + { Frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3! }} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} + cdots = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + { frac {x ^ {5}} {120}} + cdots. End {align}}}

Вышеупомянутое расширение верно, потому что производная e по x также равна e, а e равно 1. Это оставляет (x — 0) в числитель и п! в знаменателе для каждого члена в бесконечной сумме.

История

Греческий философ Зенон рассматривал проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отвергал ее как невозможную; Результатом стал парадокс Зенона. Позже Аристотель показал философское разрешение парадокса, но математическое содержание, по-видимому, оставалось неразрешенным, пока его не подхватил Архимед, как это было до Аристотеля досократическим атомистом Демокрит. Именно с помощью архимедова метода исчерпания можно было выполнить бесконечное количество последовательных последовений для конечного результата. Лю Хуэй независимо использовал аналогичный метод несколько столетий спустя.

В 14 самые ранние примеры использования рядов Тейлора и близких к ним методов были даны Мадхавой из Сангамаграмы. Хотя записи о его работе не сохранились, работы более поздних индийских математиков предполагают, что он обнаружил ряд частных случаев ряда Тейлора, в числе для тригонометрических функций от синуса., косинус, тангенс и арктангенс. Керальская школа астрономии и математики дополнительно расширила его работы с помощью различных расширений рядов и рациональных приближений до 16 века.

В 17 веке Джеймс Грегори также работал в этой области и опубликовал несколько серий Маклорена. Однако только в 1715 году общий метод построения этих рядов для всех функций, которые они существуют, был наконец предоставлен Бруком Тейлором, в честь которого теперь назван ряд.

Серия Maclaurin была названа в честь Колина Маклорена, который опубликовал частный случай результата Тейлора в 18 веке.

Аналитические функции

Функция не является аналитической при x = 0: ряд Тейлора идентично 0, хотя функция не является.

Если f (x) равно заданный сходящимся степенным прямым прямым прямым расстоянием в точке b на комплексной плоскости, он называется аналитическим в круге. Таким образом, для x в этом круге f задается сходящимся степенным рядом

f (x) = ∑ n = 0 ∞ a n (x — b) n. { displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (xb) ^ {n}.}

Дифференцируя приведенную выше формулу по xn раз, затем установить x = b дает:

f (n) (b) n! = a n { displaystyle { frac {f ^ {(n)} (b)} {n!}} = a_ {n}}

, и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция является аналитической в ​​открытом положении с центром в точке b тогда и только тогда, когда ее ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке диска.

Если f (x) равен своему ряду Тейлора для всех x в комплексной плоскости, он называется целым. Полиномы, экспоненциальная функция e и тригонометрические функции синус и косинус, являются примерами целых функций. Примеры неполных функций включают квадратный корень , логарифм , тангенс тригонометрической функции , и обратный ему арктангенс. Для этих функций ряды Тейлора не сходятся, если x далеко от b. То есть Тейлора расходится на в точке x, если расстояние между x и b больше, чем радиус сходимости. Ряд Тейлора можно использовать для вычислений значения функций в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известно в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

1. Частные суммы (полиномы Тейлора ) ряд как приближения функции. Эти аппроксимации хороши.
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов может работать построчно, и поэтому это особенно легко.
3. Аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфной функции на открытом диске в комплексной плоскости. Это делает доступным механизмом комплексного анализа.
4. (Усеченный) ряд программных вычислений для выполнения определенных вычислений функций (часто путем преобразования полинома в форму Чебышева и вычисляя его с помощью алгоритма Кленшоу ).
5. Алгебраические операции могут быть легко выполнены с представлением степенного ряда; например, формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и экспоненциальных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в таких областях, как гармонический анализ.
6. Аппроксимации с использованием первых нескольких функций.

Ошибка аппроксимации и сходимость

Синусоидальная функция (синий) близко аппроксимируется своим многочленом Тейлора степени 7 (розовый) для полного периода с большой степенью 7 (розовый) для полного периода сходимостиМногочлены Тейлора для ln (1 + x) обеспечивают только точные приближения В диапазоне −1 < x ≤ 1. For x>1, м Нагчлены Тейлора более высокой степени худшие приближения. Приближения Тейлора для ln (1 + x) (черный). Для x>1 приближения расходятся.

На рисунке справа показано точное приближение sin x вокруг точки x = 0. Розовая кривая представляет собой полином седьмой степени:

sin ⁡ (x) ≈ x — х 3 3! + х 5 5! — х 7 7!. { displaystyle sin left (x right) приблизительно x — { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} — { гидроразрыв {x ^ {7}} {7!}}. !}

Ошибка в этом приближении не более | х | / 9!. В частности, для -1 < x < 1, the error is less than 0.000003.

Напротив, также показано изображение функций натурального логарифма ln (1 + x) и некоторых из ее многочленов Тейлора около a = 0. Эти приближения сходятся с функциями только в области — 1 < x ≤ 1; outside of this region the higher-degree Taylor polynomials are worse approximations for the function.

Ошибка, возникающая при аппроксимации функции ее полиномом Тейлора n-й степени, называется остатком или остатком и обозначается функцией R n (x). Теорема Тейлора может Номинация для оценки размера остатка.

В общем, ряды Тейлора не обязательно должны быть сходящимися. И фактически набор функций со сходящимся рядом Тейлора представляет собой скудное множество в дизай Фреше гладких функций. И даже если ряд Тейлора функции f действительно сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции f (x). Например функция,

f (x) = {e — 1 x 2, if x ≠ 0 0, if x = 0 { displaystyle f (x) = { begin {cases} e ^ {- { frac { 1} {x ^ {2}}}} { text {if}} x neq 0 0 { text {if}} x = 0 end {cases}}}

равно бесконечно дифференцируема в точке x = 0 и имеет там все производные нулю. Следовательно, Тейлора функции f (x) относительно x = 0 тождественно равен нулю. Однако вокруг f (x) не является нулевой функцией, поэтому не равна ее ряду Тейлора начала координат. Таким образом, f (x) является примером неаналитической гладкой функции.

В анализа этот пример показывает, что существуют бесконечно дифференцируемые функции f (x), ряд Тейлора не равен f (x), даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции, изучаемые в комплексном анализе, всегда обладают сходящимся рядом Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфных функций, которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Однако комплексная функция не приближается к 0, когда z приближается к 0 вдоль мнимой оси, поэтому она не непрерывна в комплексной плоскости, и ее ряд Тейлора не определен в 0.

В более общем В смысле, каждая последовательность действительных или комплексных чисел может появиться как коэффициенты в ряду Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на вещественной прямой, как следствие леммы Бореля. В результате радиус сходимости ряда Тейлора может быть равенством нулю. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, функции на вещественной прямой, чьи ряды Тейлора везде имеют радиус сходимости 0.

Функцию нельзя записать в виде ряда Тейлора с центром в сингулярности ; в этих случаях все же можно разложить в ряд, если допустить также отрицательные переменные x; см. серию Лоран. Например, f (x) = e можно записать в виде ряда Лорана.

Обобщение

Однако существует обобщение ряда Тейлора, которое сходится к значению самой функции для любой ограниченной непрерывной функции на (0, ∞), используя исчисление конечных разностей. В частности, имеется следующая теорема, благодаря Эйнару Хилле, что для любого t>0

lim h → 0 + ∑ n = 0 ∞ t n n! Δ h n f (a) h n = f (a + t). { displaystyle lim _ {h to 0 ^ {+}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} { frac { Delta _ {h} ^ {n} f (a)} {h ^ {n}}} = f (a + t).}

Здесь Δ. h- n-й оператор конечных разностей с шагом h. Этот ряд в точности совпадает с рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференцирования появляются отдельные различия: ряд формально аналогичен ряду серии Ньютона. Эта функция является аналитической в ​​составе ряда сходятся к ряду Тейлора и в этом смысле обобщают ряд Тейлора.

В общем, для любой бесконечной следовать a i выполняется следующее тождество степенного ряда:

∑ n = 0 ∞ u n n! Δ N а я знак равно е — и ∑ J знак равно 0 ∞ U J J! а я + j. { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {n}} {n!}} Delta ^ {n} a_ {i} = e ^ {- u} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {j}} {j!}} a_ {i + j}.}

Так, в частности,

f (a + t) = lim h → 0 + е — й ∑ j знак равно 0 ∞ f (a + jh) (th) jj!. { displaystyle f (a + t) = lim _ {h to 0 ^ {+}} e ^ {- { frac {t} {h}}} sum _ {j = 0} ^ { infty } f (a + jh) { frac { left ({ frac {t} {h}} right) ^ {j}} {j!}}.}

Ряд справа — это математическое ожидание для f (a + X), где X — распределенная по Пуассону случайная величина, которая принимает значение jh с вероятностью e · (t / h) / j!. Следовательно,

f (a + t) = lim h → 0 + ∫ — ∞ ∞ f (a + x) d P t h, h (x). { displaystyle f (a + t) = lim _ {h to 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ { infty} f (a + x) dP _ {{ frac {t } {h}}, h} (x).}

закон больших чисел подразумевает, что тождество выполнено.

Список серий Маклорена некоторых общих функций

Далее следуют несколько важных расширений серии Маклорена. Все эти разложения действительны для сложных аргументов x.

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция e (синим цветом) и сумма первых n + 1 элементов Тейлора в 0 (красным).

экспоненциальная функция ex { displaystyle e ^ {x}}(с основанием e ) имеет ряд Маклорена

ex = ∑ п = 0 ∞ xnn! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + Cdots}.

Он сходится для всех x.

Натуральный логарифм

натуральный логарифм (с основанием e ) имеет ряд Маклорена

ln ⁡ (1 — x) = — ∑ n Знак равно 1 ∞ xnn = — x — x 2 2 — x 3 3 — ⋯, ln ⁡ (1 + x) = ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 xnn = x — x 2 2 + x 3 3 — ⋯. { displaystyle { begin {align} ln (1-x) = — sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n}} = — x- { frac {x ^ {2}} {2}} — { frac {x ^ {3}} {3}} — cdots, ln (1 + x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac {x ^ {n}} {n}} = x — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} — cdots. end {align}}}

Они сходятся для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}. (Кроме того, ряд для ln (1 — x) сходится при x = −1, ряд для ln (1 + x) сходится при x = 1.)

Геометрический ряд

Геометрический ряд и его производные имеют ряд Маклорена

1 1 — x = ∑ n = 0 ∞ xn 1 (1 — x) 2 = ∑ n = 1 ∞ nxn — 1 1 (1 — Икс) 3 знак равно ∑ N знак равно 2 ∞ (N — 1) N 2 Иксn — 2. { displaystyle { begin {align} { frac {1} {1-x}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} { frac {1} {(1-x) ^ {2}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} nx ^ {n- 1} { frac {1} {(1-x) ^ {3}}} = sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {(n-1) n} {2 }} х ^ {п-2}. end {align}}}

Все сходятся для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}. Это частные случаи биномиального ряда, приведенного в следующем разделе.

Биномиальный ряд

биномиальный ряд — это степенной ряд

(1 + x) α = ∑ n = 0 ∞ (α n) xn { displaystyle ( 1 + x) ^ { alpha} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { binom { alpha} {n}} x ^ {n}}

, коэффициенты которого являются обобщенными биномиальные коэффициенты

(α n) = ∏ k = 1 n α — k + 1 k = α (α — 1) ⋯ (α — n + 1) n!. { displaystyle { binom { alpha} {n}} = prod _ {k = 1} ^ {n} { frac { alpha -k + 1} {k}} = { frac { alpha ( alpha -1) cdots ( alpha -n + 1)} {n!}}.}

(Если n = 0, этот продукт является пустым продуктом и имеет значение 1.) сходится для | х | < 1 {displaystyle |x|<1}для любого действительного или комплексного числа α.

Когда α = −1, это, по сути, бесконечный геометрический ряд, упомянутый в предыдущем разделе. Частные случаи α = 1/2 и α = −1/2 дают функцию квадратного корня и ее обратную функцию :

(1 + x) 1 2 = 1 + 1 2 x — 1 8 x 2 + 1 16 x 3 — 5 128 x 4 + 7 256 x 5 -…, (1 + x) — 1 2 = 1 — 1 2 x + 3 8 x 2 — 5 16 x 3 + 35 128 x 4 — 63 256 х 5 +…. { displaystyle { begin {align} (1 + x) ^ { frac {1} {2}} = 1 + { tfrac {1} {2}} x — { tfrac {1} {8} } x ^ {2} + { tfrac {1} {16}} x ^ {3} — { tfrac {5} {128}} x ^ {4} + { tfrac {7} {256}} x ^ {5} — ldots, (1 + x) ^ {- { frac {1} {2}}} = 1 — { tfrac {1} {2}} x + { tfrac {3 } {8}} x ^ {2} — { tfrac {5} {16}} x ^ {3} + { tfrac {35} {128}} x ^ {4} — { tfrac {63} { 256}} x ^ {5} + ldots. end {align}}}

Когда сохраняется только линейный член, это упрощается до биномиального приближения.

Тригонометрические функции

Обычные тригонометрические функции и обратные к ним имеют следующий ряд Маклорена:

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n (2 n + 1)! Икс 2 N + 1 знак равно Икс — Икс 3 3! + х 5 5! — для всех x cos ⁡ x знак равно ∑ n знак равно 0 ∞ (- 1) n (2 n)! Икс 2 N знак равно 1 — Икс 2 2! + х 4 4! — ⋯ для всех x загар ⁡ x знак равно ∑ n = 1 ∞ B 2 n (- 4) n (1 — 4 n) (2 n)! x 2 n — 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ для | х | < π 2 sec ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n E 2 n ( 2 n) ! x 2 n = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ for | x | < π 2 arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ for | x | ≤ 1 arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 = π 2 − x − x 3 6 − 3 x 5 40 − ⋯ for | x | ≤ 1 arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n 2 n + 1 x 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ for | x | ≤ 1, x ≠ ± i {displaystyle {begin{aligned}sin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-cdots {text{for all }}x[6pt]cos x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-cdots {text{for all }}x[6pt]tan x=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}[6pt]sec x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}[6pt]arcsin x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{frac {x^{3}}{6}}+{frac {3x^{5}}{40}}+cdots {text{for }}|x|leq 1[6pt]arccos x={frac {pi }{2}}-arcsin x={frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}={frac {pi }{2}}-x-{frac {x^{3}}{6}}-{frac {3x^{5}}{40}}-cdots {text{for }}|x|leq 1[6pt]arctan x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{5}}-cdots {text{for }}|x|leq 1, xneq pm iend{aligned}}}

Все углы выражены в радианах. Числа B k, появляющиеся в разложениях tan x, являются числами Бернулли. E k в разложении sec x — это числа Эйлера.

гиперболические функции

гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующие тригонометрические функции:

sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 (2 n + 1)! знак равно х + х 3 3! + х 5 5! + ⋯ для всех x cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n (2 n)! Знак равно 1 + х 2 2! + х 4 4! + ⋯ для всех x tanh x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n (4 n — 1) (2 n)! x 2 n — 1 = x — x 3 3 + 2 x 5 15 — 17 x 7 315 ​​+ ⋯ для | х | < π 2 arsinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1) n ( 2 n) ! 4 n ( n !) 2 ( 2 n + 1) x 2 n + 1 for | x | ≤ 1 artanh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 for | x | ≤ 1, x ≠ ± 1 {displaystyle {begin{aligned}sinh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+cdots {text{for all }}x[6pt]cosh x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+cdots {text{for all }}x[6pt]tanh x=sum _{n=1}^{infty }{frac {B_{2n}4^{n}left(4^{n}-1right)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots {text{for }}|x|<{frac {pi }{2}}[6pt]operatorname {arsinh} x=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{text{for }}|x|leq 1[6pt]operatorname {artanh} x=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{text{for }}|x|leq 1, xneq pm 1end{aligned}}}

Числа B k, появляющиеся в ряду для tanh x, являются числами Бернулли.

Расчет ряда Тейлора

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора для большое количество функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с очевидной закономерностью. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, поскольку ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также получить ряд Тейлора, многократно применяя интегрирование по частям. Особенно удобно использовать системы компьютерной алгебры для вычисления рядов Тейлора.

Первый пример

Для вычисления полинома Маклорена 7-й степени для функции

f (x) = ln ⁡ (cos ⁡ x), x ∈ (- π 2, π 2) { displaystyle f (x) = ln ( cos x), quad x in left (- { frac { pi} {2}}, { frac { pi} {2}} right)},

сначала можно переписать функцию как

f (x) = ln ⁡ (1 + (cos ⁡ x — 1)) { displaystyle f (x) = ln { bigl (} 1 + ( cos x-1) { bigr)} !}.

Ряд Тейлора для натурального логарифма (с использованием нотации большого O )

ln ⁡ (1 + x) = x — Икс 2 2 + Икс 3 3 + О (Икс 4) { Displaystyle ln (1 + х) = х — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3} } {3}} + {O} left (x ^ {4} right) !}

и для функции косинуса

cos ⁡ x — 1 = — x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 + О (x { displaystyle cos x-1 = — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} left (x ^ {8} right) !}.

В последнем разложении ряда есть нулевой постоянный член, который позволяет заменить вторую серию на первую и легко опустить члены более высокого порядка r, чем 7-я степень, используя большую нотацию O:

f (x) = ln ⁡ (1 + (cos ⁡ x — 1)) = (cos ⁡ x — 1) — 1 2 (cos ⁡ x — 1) 2 + 1 3 (cos ⁡ x — 1) 3 + O ((cos ⁡ x — 1) 4) = (- x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 + O (x 8)) — 1 2 ( — x 2 2 + x 4 24 + O (x 6)) 2 + 1 3 (- x 2 2 + O (x 4)) 3 + O (x = — x 2 2 + x 4 24 — x 6 720 — x 4 8 + x 6 48 — x 6 24 + O (x = — x 2 2 — x 4 12 — x 6 45 + O (x 8). { Displaystyle { begin {align} е (х) = ln { bigl (} 1 + ( соз х-1) { bigr)} = ( соз х-1) — { tfrac {1} {2}} ( cos x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} ( cos x-1) ^ {3} + {O} left (( cos x-1) ^ {4} right) = left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} left (x ^ {8} right) right) — { frac {1} {2}} left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + {O} left (x ^ {6} right) right) ^ {2} + { frac {1} {3}} left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + O left (x ^ {4} right) right) ^ {3} + {O } left (x ^ {8} right) = — { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} — { frac {x ^ {6}} {720}} — { frac {x ^ {4}} {8}} + { frac {x ^ {6}} {48}} — { frac {x ^ {6 }} {24}} + O left (x ^ {8} right) = — { frac {x ^ {2}} {2}} — { frac {x ^ {4}} { 12}} — { frac {x ^ {6}} {45}} + O left (x ^ {8} right). End {align}} !}

Поскольку косинус равен четная функция, коэффициенты для всех нечетных степеней x, x, x, x,… должны быть равны нулю.

Второй пример

Предположим, нам нужен ряд Тейлора в 0 функции

g (x) = e x cos ⁡ x. { displaystyle g (x) = { frac {e ^ {x}} { cos x}}. !}

У нас есть экспоненциальная функция

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ { 2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots !}

и, как и в первом примере,

cos ⁡ x = 1 — x 2 2! + х 4 4! — ⋯ { displaystyle cos x = 1 — { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} — cdots !}

Предположим, что степенной ряд равен

ex cos ⁡ x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ { displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x} } = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots !}

Затем умножение на знаменатель и замена Ряд косинуса дает

ex = (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯) cos ⁡ x = (c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + с 4 Икс 4 + ⋯) (1 — Икс 2 2! + Икс 4 4! -) знак равно с 0 — с 0 2 Икс 2 + с 0 4! Икс 4 + С 1 Икс — С 1 2 Икс 3 + С 1 4! х 5 + с 2 х 2 — с 2 2 х 4 + с 2 4! х 6 + с 3 х 3 — с 3 2 х 5 + с 3 4! x 7 + c 4 x 4 + ⋯ { displaystyle { begin {align} e ^ {x} = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots right) cos x = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + cdots right) left (1 — { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}) } {4!}} — cdots right) = c_ {0} — { frac {c_ {0}} {2}} x ^ {2} + { frac {c_ {0}} { 4!}} X ^ {4} + c_ {1} x — { frac {c_ {1}} {2}} x ^ {3} + { frac {c_ {1}} {4!}} X ^ {5} + c_ {2} x ^ {2} — { frac {c_ {2}} {2}} x ^ {4} + { frac {c_ {2}} {4!}} X ^ {6} + c_ {3} x ^ {3} — { frac {c_ {3}} {2}} x ^ {5} + { frac {c_ {3}} {4!}} X ^ { 7} + c_ {4} x ^ {4} + cdots end {align}} !}

Сбор членов до четвертого порядка дает

ex = c 0 + c 1 x + (c 2 — c 0 2) x 2 + (c 3 — c 1 2) x 3 + (c 4 — c 2 2 + c 0 4!) X 4 + ⋯ { displaystyle e ^ {x} = c_ {0} + c_ {1} x + left (c_ {2} — { frac {c_ {0}} {2}} right) x ^ {2} + left (c_ {3} — { frac {c_ {1 }} {2}} right) x ^ { 3} + left (c_ {4} — { frac {c_ {2}} {2}} + { frac {c_ {0}} {4!}) } right) x ^ {4} + cdots !}

Значения ci { displaystyle c_ {i}}можно найти путем сравнения коэффициентов с верхним выражением для e x { displaystyle e ^ {x}}, получаем:

e x cos ⁡ x = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 2 + ⋯. { displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x}} = 1 + x + x ^ {2} + { frac {2x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {4}} {2}} + cdots. !}

Третий пример

Здесь мы используем метод, называемый «косвенное расширение», чтобы раскрыть данную функцию. В этом методе используется известное разложение Тейлора экспоненциальной функции. Чтобы разложить (1 + x) e как ряд Тейлора по x, мы используем известный ряд Тейлора функции e:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n! Знак равно 1 + х + х 2 2! + х 3 3! + х 4 4! + ⋯. { displaystyle e ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots.}

Таким образом,

(1 + x) ex = ex + xex = ∑ n = 0 ∞ xnn! + ∑ N знак равно 0 ∞ Икс N + 1 N! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N N! + ∑ N знак равно 0 ∞ Икс N + 1 N! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N N! + ∑ N знак равно 1 ∞ Икс N (N — 1)! Знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ (1 N! + 1 (N — 1)!) Икс N знак равно 1 + ∑ N знак равно 1 ∞ N + 1 N! Икс N знак равно ∑ N знак равно 0 ∞ N + 1 N! х п. { displaystyle { begin {align} (1 + x) e ^ {x} = e ^ {x} + xe ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} {n!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + Sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} { n!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {(n-1)!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n!} } + { frac {1} {(n-1)!}} right) x ^ {n} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n}. End {выровнены}}}

Определения ряда Тейлора

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая те, которые обсуждались выше) определяются некоторым свойством, которое выполняется для них, например, дифференциальным уравнением . Например, экспоненциальная функция — это функция, которая везде равна своей производной и принимает значение 1 в начале координат. Однако с равным успехом можно определить аналитическую функцию с помощью ее ряда Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и «операторов » в различных областях математики. В частности, это верно в тех областях, где классические определения функций не работают. Например, используя ряд Тейлора, можно расширить аналитические функции до наборов матриц и операторов, таких как экспоненциальная матрица или матричный логарифм.

. В других областях, таких как формальный анализ, это удобнее работать непосредственно с самими сериями power series. Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения как степенной ряд, который, как мы надеемся доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора от нескольких переменных

Ряд Тейлора также может быть обобщен на функции более чем одной переменной с

T (x 1,…, xd) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ nd знак равно 0 ∞ (x 1 — a 1) N 1 ⋯ (xd — ad) ndn 1! ⋯ н д! (∂ n 1 + ⋯ + ndf ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ xdnd) (a 1,…, ad) = f (a 1,…, ad) + ∑ j = 1 d ∂ f (a 1,…, ad) ∂ xj (xj — aj) + 1 2! ∑ j знак равно 1 d ∑ k знак равно 1 d ∂ 2 е (a 1,…, a d) ∂ x j ∂ x k (x j — a j) (x k — a k) + 1 3! ∑ j = 1 d ∑ k = 1 d ∑ l = 1 d ∂ 3 f (a 1,…, ad) ∂ xj ∂ xk ∂ xl (xj — aj) (xk — ak) (xl — al) + ⋯ { Displaystyle { begin {align} T (x_ {1}, ldots, x_ {d}) = sum _ {n_ {1} = 0} ^ { infty} cdots sum _ {n_ {d } = 0} ^ { infty} { frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d} }} {n_ {1}! cdots n_ {d}!}} , left ({ frac { partial ^ {n_ {1} + cdots + n_ {d}} f} { partial x_ { 1} ^ {n_ {1}} cdots partial x_ {d} ^ {n_ {d}}}} right) (a_ {1}, ldots, a_ {d}) = f (a_ {1}, ldots, a_ {d}) + sum _ {j = 1} ^ {d} { frac { partial f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j}}} (x_ {j} -a_ {j}) + { frac {1} {2!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} { frac { partial ^ {2} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j} partial x_ {k}}} (x_ {j} — a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) qquad qquad + { frac {1} {3!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} sum _ {l = 1} ^ {d} { frac { partial ^ {3} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { partial x_ {j} partial x_ {k} partial x_ {l}}} (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) (x_ {l} -a_ {l})) + cdots end {align}}}

Например, для функции f (x, y) { displaystyle f (x, y)}, который зависит от двух переменных, x и y, ряд Тейлора второго порядка относительно точки (a, b) равен

f (a, b) + (x — a) fx ( а, б) + (у — б) fy (а, б) + 1 2! ((Икс — a) 2 fxx (a, b) + 2 (x — a) (y — b) fxy (a, b) + (y — b) 2 fyy (a, b)) { displaystyle f ( a, b) + (xa) f_ {x} (a, b) + (yb) f_ {y} (a, b) + { frac {1} {2!}} { Big (} (xa) ^ {2} f_ {xx} (a, b) +2 (xa) (yb) f_ {xy} (a, b) + (yb) ^ {2} f_ {yy} (a, b) { Big)}}

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные.

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярной функции более чем одной переменной можно компактно записать как

T (x) знак равно е (а) + (х — а) TD е (а) + 1 2! (Икс — а) T {D 2 е (а)} (Икс — а) + ⋯, { Displaystyle Т ( mathbf {x}) = F ( mathbf {a}) + ( mathbf {x} — mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} Df ( mathbf {a}) + { frac {1} {2!}} ( mathbf {x} — mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} left {D ^ {2} f ( mathbf {a}) right } ( mathbf {x} — mathbf {a}) + cdots,}

где D f (a) is the gradient of f evaluated at x= aand D f (a) is the Hessian matrix. Applying the multi-index notation the Taylor series for several variables becomes

T ( x) = ∑ | α | ≥ 0 ( x − a) α α ! ( ∂ α f) ( a), {displaystyle T(mathbf {x})=sum _{|alpha |geq 0}{frac {(mathbf {x} -mathbf {a})^{alpha }}{alpha !}}left({mathrm {partial } ^{alpha }}fright)(mathbf {a}),}

which is to be understood as a still more abbreviated multi-index version of the first equation of this paragraph, with a full analogy to the single variable case.

Example

Second-order Taylor series approximation (in orange) of a function f (x,y) = e ln(1 + y) around the origin.

In order to compute a second-order Taylor series expansion around point (a, b) = (0, 0) of the function

f ( x, y) = e x ln ⁡ ( 1 + y), {displaystyle f(x,y)=e^{x}ln(1+y),}

one first computes all the necessary partial derivatives:

f x = e x ln ⁡ ( 1 + y) f y = e x 1 + y f x x = e x ln ⁡ ( 1 + y) f y y = − e x ( 1 + y) 2 f x y = f y x = e x 1 + y. {displaystyle {begin{aligned}f_{x}=e^{x}ln(1+y)[6pt]f_{y}={frac {e^{x}}{1+y}}[6pt]f_{xx}=e^{x}ln(1+y)[6pt]f_{yy}=-{frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}[6pt]f_{xy}=f_{yx}={frac {e^{x}}{1+y}}.end{aligned}}}

Evaluating these derivatives at the origin gives the Taylor coefficients

f x ( 0, 0) = 0 f y ( 0, 0) = 1 f x x ( 0, 0) = 0 f y y ( 0, 0) = − 1 f x y ( 0, 0) = f y x ( 0, 0) = 1. {displaystyle {begin{aligned}f_{x}(0,0)=0f_{y}(0,0)=1f_{xx}(0,0)=0f_{yy}(0,0)=-1f_{xy}(0,0)=f_{yx}(0,0)=1.end{aligned}}}

Substituting these values in to the general formula

T ( x, y) = f ( a, b) + ( x − a) f x ( a, b) + ( y − b) f y ( a, b) + 1 2 ! ( ( x − a) 2 f x x ( a, b) + 2 ( x − a) ( y − b) f x y ( a, b) + ( y − b) 2 f y y ( a, b)) + ⋯ {displaystyle T(x,y)=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{frac {1}{2!}}{Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){Big)}+cdots }

produces

T ( x, y) = 0 + 0 ( x − 0) + 1 ( y − 0) + 1 2 ( 0 ( x − 0) 2 + 2 ( x − 0) ( y − 0) + ( − 1) ( y − 0) 2) + ⋯ = y + x y − y 2 2 + ⋯ {displaystyle {begin{aligned}T(x,y)=0+0(x-0)+1(y-0)+{frac {1}{2}}{Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{Big)}+cdots =y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots end{aligned}}}

Since ln(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

e x ln ⁡ ( 1 + y) = y + x y − y 2 2 + ⋯, | y | < 1. {displaystyle e^{x}ln(1+y)=y+xy-{frac {y^{2}}{2}}+cdots,qquad |y|<1.}

Comparison with Fourier series

The trigonometric Fourier series enables one to express a periodic function (or a function определенная на отрезке [a, b]) как бесконечная сумма тригонометрических функций (синусов и косинусов ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию в виде бесконечной суммы степеней. Тем не менее, эти две серии отличаются друг от друга в нескольких важных вопросах:

• Конечные усечения ряда Тейлора функции f (x) относительно точки x = a все в точности равны f в точке a. Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому обычно нет такой точки, где бы все конечные усечения ряда были точными.
• Вычисление ряда Тейлора требует знания функции на произвольной малой окрестности точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции во всей области интервала. В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора является «локальным», а ряд Фурье — «глобальным».
• Ряд Тейлора определен для функции, которая имеет бесконечно много производных в одной точке, тогда как Ряд Фурье определяется для любой интегрируемой функции. В частности, функция не могла быть дифференцируемой. (Например, f (x) может быть функцией Вейерштрасса.)
• Сходимость обоих рядов имеет очень разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, результирующий ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится поточечно к функции и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, если функция квадратная -интегрируемый, то ряд сходится в среднем квадратичном, но необходимы дополнительные требования для обеспечения точечной или равномерной сходимости (например, если периодическая функция класса C, то сходимость будет равномерной).
• Наконец, на практике аппроксимировать функцию конечным устройством, скажем, многочленом Тейлора или частичной суммой тригонометрической серии, соответственно, в случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки. к она может быть очень большой в удаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределяется по области определения функции.

См. Также

• Асимптотическое разложение
• Производящая функция
• Ряд Мадхавы
• Интерполяция разделенных разностей Ньютона
• Аппроксимация Паде
• Серия Пюизо
• Оператор сдвига

Примечания

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, девятое издание
• Томас, Джордж Б., младший ; Финни, Росс Л. (1996), Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 0-201-53174-7
• Гринберг, Майкл (1998), Высшая инженерная математика (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-321431-1

Внешние ссылки

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. «Серия Тейлора». MathWorld.
• многочлен Тейлора — практическое введение
• Мадхава из Сангамаграммы
• «обсуждение метода Паркера-Сохацки «
• Другая визуализация Тейлора — где вы можете выбрать точку приближения и количество производных
• пересмотр Тейлора для численных методов в Численные методы для студентов STEM
• Золушка 2: расширение Тейлора
• Ряд Тейлора
• Обратные тригонометрические функции Ряд Тейлора
• «Суть исчисления: серия Тейлора» — через YouTube.

1. Понятие ряда Тейлора.

   Начать изучение
   

2. Остаточный член формулы Тейлора.

   Начать изучение
   

3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

4. Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

5. Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

6. Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

7. Разложение степенной функции в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

8. Элементарные функции комплексного переменного.

   Начать изучение
   

Понятие ряда Тейлора.

Пусть функция (f) регулярна в точке (x_{0}), то есть представляется в некоторой окрестности точки (x_{0}) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}a_{n}(x-x_{0})^{n},quad |x-x_{0}| < rho, rho > 0.label{ref2}
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция (f) бесконечно дифференцируема в окрестности точки (x_{0}), причем коэффициенты ряда eqref{ref2} выражаются формулами
$$
a_{0} = f(x_{0}),quad a_{n} = frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!},quad n in mathbb{N}.label{ref3}
$$
Таким образом, степенной ряд для функции (f(x)), регулярной в данной точке (a), совпадает с рядом Тейлора функции (f) в точке (a).

Если известно, что функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (a) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора eqref{ref1} сходится при (x neq x_{0}) к функции (f(x)).

Рассмотрим функцию (f(x) = e^{-1/x^{2}}), (x neq 0), (f(0) = 0). Эта функция определена на (R),
$$
f'(x) = frac{2}{x^{3}}e^{-1/x^{2}}, f″(x) = left(frac{4}{x^{6}}-frac{6}{x^{4}}right)e^{-1/x^{2}}quadmbox{при} x neq 0,nonumber
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^{(n)}(x) = e^{-1/x^{2}} Q_{3n} left(frac{1}{x}right) mbox{при} x neq 0,nonumber
$$
где (Q_{3n}(t)) — многочлен степени (3n) от (t). Воспользуемся тем, что (displaystylelim_{x rightarrow 0}frac{1}{|x|^{k}}e^{-1/x^{2}}=0) для любого (k in mathbb{N}) (решение можно посмотреть здесь), и докажем, что
$$
f^{(k)}(0) = 0 mbox{для любого} k in mathbb{N}.label{ref4}
$$
Утверждение eqref{ref4} верно при (k = 1), так как (f'(0) = displaystylelim_{x rightarrow 0}frac{e^{-1/x^{2}}}{x} = 0), откуда, предположив, что формула eqref{ref4} справедлива при (k = n), находим
$$
f^{(n + 1)}(0) = lim_{x rightarrow 0}frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x} = lim_{x rightarrow 0} frac{1}{x} Q_{3n} left(frac{1}{x}right) e^{-1/x^{2}} = 0.nonumber
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство eqref{ref4}, и поэтому все коэффициенты ряда Тейлора eqref{ref1} в точке (x_{0} = 0) для рассматриваемой функции равны нулю.

Так как (e^{-1/x^{2}} neq 0) при (x neq 0), то сумма ряда Тейлора для функции (f) не совпадает с (f(x)) при (x neq 0). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки (x_{0} = 0).

Причина этого явления становится понятной, если функцию (f) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция (f(z) = e^{-1/z^{2}}) не является непрерывной в точке (z = 0), так как (f(x) = e^{-1/x^{2}} rightarrow 0) при (x rightarrow 0), a (f(iy) = e^{1/y^{2}} rightarrow +infty) при (y rightarrow 0).

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (x_{0}). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд eqref{ref1}. Обозначим
$$
S_{n}(x) = sum_{k=0}^{n}frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},label{ref5}
$$
$$
r_{n}(x) = f(x)-S_{n}(x)label{ref6}
$$
и назовем (r_{n}(x)) остаточным членом формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_{0}). Если существует
$$
lim_{x rightarrow 0} r_{n}(x) = 0,label{ref7}
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд eqref{ref1} сходится к функции (f(x)) в точке (x), то есть
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.label{ref8}
$$

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки (x_{0} = 0), то есть в ряд вида
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},label{ref15}
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты (displaystylefrac{f^{(n)}(0)}{n!}) разложения eqref{ref15} для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в разделе про формулу Тейлора.

Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = e^{x}). Тогда для любого (x in (-rho, rho)), где (rho > 0), выполняются неравенства
$$
0 < f(x) < e^{rho},quad 0 < f^{(n)}(x) < e^{rho}, n in mathbb{N}.nonumber
$$
По теореме 2 ряд eqref{ref15} для функции (f(x) = e^{x}) сходится к этой функции на интервале ((-rho, rho)) при любом (rho > 0), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty). Так как для функции (f(x) = e^{x}) выполняются равенства (f(0) = 1), (f^{(n)}(0) = 1) для любого (n), то по формуле eqref{ref15} получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции
$$
e^{x} = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{n}}{n!},label{ref16}
$$

Используя разложение eqref{ref16} и формулы
$$
operatorname{ch} x = frac{e^{x} + e^{-x}}{2},quad operatorname{sh} x = frac{e^{x}-e^{-x}}{2},nonumber
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
operatorname{ch} x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{2n}}{2n!},label{ref17}
$$
$$
operatorname{sh} x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!},label{ref18}
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref{ref17}, eqref{ref18} (R = +infty).

Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = sin x). Тогда (|f(x)| leq 1) и (|f^{(n)}(x)| leq 1) для всех (n in mathbb{N}) и для всех (x in R). По теореме 2 ряд eqref{ref15}для функции (f(x) = sin x) сходится для любого (x in (-infty, +infty)), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty).

Если (f(x) = sin x), то (f(0) = 0), (f^{(2n)}(0) = 0), (f'(0) = 1), (f^{(2n + 1)}(0) = (-1)^{n}) для любого (n), и по формулеeqref{ref15}получаем разложение синуса в ряд Маклорена:
$$
sin x = sum_{substack{n = 0}}^{infty} frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}.label{ref19}
$$

Пусть (f(x) = cos x). Тогда (|f(x)| leq 1), (|f^{(n)}(x)| leq 1) для всех (n) и для всех (x in R), (f(0) = 1), (f'(0) = 0), (f^{(2n)}(0) = (-1)^{n}) и, (f^{(2n + 1)}(0) = 0) для всех (n). По формуле eqref{ref15} получаем
$$
cos x = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{2n!}x^{2n}.label{ref20}
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref{ref19} и eqref{ref20} (R = +infty).

Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = ln(1 + x)). Тогда
$$
f^{(n)}(x) = frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1 + x)^{n}},label{ref21}
$$
откуда находим
$$
frac{f^{(n)}(0)}{n!} = frac{(-1)^{n-1}}{n}.label{ref22}
$$

(circ) Оценим остаточный член (r_{n}(x)), пользуясь формулой eqref{ref9} при (x_{0} = 0). Преобразуем эту формулу, полагая (t = tau x). Тогда (dt = x dtau), (1-x =x(1-tau)) и формула eqref{ref9} примет вид
$$
r_{n}(x) = frac{x^{n + 1}}{n!} intlimits_0^1 (1-tau) f^{(n + 1)}(tau x) dtau.label{ref23}
$$

Если (f(x) = ln(x + 1)), то по формуле eqref{ref23}, используя равенство eqref{ref21}, получаем
$$
r_{n}(x) = (-1)^{n}x^{n + 1} intlimits_0^1 frac{(1-tau)^{n}}{(1 + tau x)^{n + 1}} d tau.label{ref24}
$$

Пусть (|x| < 1). Тогда справедливы неравенства
$$
|1 + tau x| geq 1-tau|x| geq 1-tau,label{ref25}
$$
$$
|1 + tau x| geq 1-|x|,label{ref26}
$$
так как (0 leq tau leq 1). Отсюда следует, что при любом (n in mathbb{N}) выполняется неравенство
$$
|1 + tau x|^{n + 1} geq (1-tau)^{n}(1-|x|).label{ref27}
$$

Используя неравенство eqref{ref27}, из формулы eqref{ref24} получаем следующую оценку остаточного члена:
$$
|r_{n}(x)| leq |x|^{n + 1} intlimits_0^1 frac{dtau}{1-|x|} = frac{|x|^{n + 1}}{1-|x|},nonumber
$$
откуда следует, что (r_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty), если (|x| < 1).

Пусть (x = 1). Тогда (1 + tau x = 1 + tau), ((1 + tau)^{n + 1} geq 1), (1-tau geq 0), так как (0 leq tau leq 1). Поэтому из формулы eqref{ref24} следует, что (|r_{n}(1)| leq displaystyleintlimits_0^1 (1-tau)^{n}dtau = frac{1}{n + 1}), откуда получаем: (r_{n}(1) rightarrow 0) при (n rightarrow infty).

Итак, если (x in (-1, 1]), то остаточный член (r_{n}(x)) для функции (f(x) = ln (1 + x)) стремится к нулю при (n rightarrow infty), то есть ряд Маклорена сходится к (f(x)). (bullet)

Из формулeqref{ref15}и eqref{ref22} получаем разложение функции (ln (1 + x)) в ряд Маклорена
$$
ln (1 + x) = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n},label{ref28}
$$
радиус сходимости которого (R = 1).

Формула eqref{ref28} справедлива при (x = 1), и поэтому
$$
ln 2 = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-frac{1}{2} + frac{1}{3}-frac{1}{4} + ldots + frac{(-1)^{n-1}}{n} + ldotsnonumber
$$
Заменяя в формуле eqref{ref28} (x) на (-x), получаем
$$
ln (1-x) =-sum_{n=1}^{infty} frac{x^{n}}{n}.label{ref29}
$$

Разложение степенной функции в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = (1 + x)^{alpha}). Если (alpha = 0), то (f(x) = 1), а если (alpha = n), где (n in mathbb{N}), то (f(x)) — многочлен степени (n), который можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:
$$
f(x) = sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}x^{k}.nonumber
$$
Покажем, что если (alpha notin mathbb{N}) и (a neq 0), то функция (f(x) = (1 + x)^{alpha}) представляется при каждом (x in (-1, 1)) сходящимся к ней рядом Маклорена
$$
(1 + x)^{alpha} = sum_{n = 0}^{infty} C_{alpha}^{n}x^{n},label{ref30}
$$
где
$$
C_{alpha}^{0} = 1,quad C_{alpha}^{n} = frac{alpha(alpha-1)ldots(alpha-(n-1))}{n!}.label{ref31}
$$

(circ) Так как
$$
f^{(n + 1)}(x) = alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)(1 + x)^{alpha-(n-1)},label{ref32}
$$
то по формуле eqref{ref23} получаем
$$
r_{n}(x) = A_{n}x^{n + 1} intlimits_0^1 left(frac{1-tau}{1 + tau x}right)^{n} (1 + tau x)^{alpha-1} dtau,label{ref33}
$$
где
$$
A_{n} = frac{alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)}{n!}.
$$
Выберем число (m in mathbb{N}) таким, чтобы выполнялось условие (|a| leq m). Тогда при всех (n geq m) справедливы неравенства
$$
|A_{n}| leq frac{m(m + 1)ldots(m + n)}{n!} leq frac{(m + n)!}{n!} = (n + 1)ldots(n + m) leq (2n)^{m}.label{ref34}
$$
Используя неравенства eqref{ref25} и eqref{ref26}, а также неравенство (|1 + tau x| leq 1 + |x|), получаем
$$
0 leq frac{1-tau}{1 + xtau} leq 1,label{ref35}
$$
$$
|1 + tau x|^{alpha-1}leq beta(x)=left{begin{array}{lc}(1 + |x|)^{alpha-1},&mbox{если} alpha geq 1, (1-|x|)^{alpha-1},&mbox{если} alpha < 1,end{array} right.label{ref36}
$$
Из формулы eqref{ref33} и оценок eqref{ref34}-eqref{ref36} следует неравенство
$$
|r_{n}(x)| leq beta(x) 2^{m}n^{m}|x|^{n + 1},label{ref37}
$$
которое справедливо при всех (n geq m) и для каждого (x in (-1, 1)).

Так как (displaystylelim_{t rightarrow +infty} frac{t^{m}}{a^{t}}) при (a > 1), то (displaystylelim_{n rightarrow infty} frac{n^{m}}{(1/|x|)^{n + 1}} = 0). Поэтому из соотношения eqref{ref37} следует, что (r_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty) для каждого (x in (-1, 1)), то есть справедливо равенство eqref{ref30}, причем радиус сходимости ряда eqref{ref30} в случае, когда (alpha neq 0) и (alpha notin mathbb{N}), равен 1. (bullet)

Отметим важные частные случаи формулы eqref{ref30}:
$$
frac{1}{1 + x} = sum_{n = 0}^{infty} (-1)^{n}x^{n},label{ref38}
$$
$$
frac{1}{1-x} = sum_{n = 0}^{infty} x^{n}.label{ref39}
$$

В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы eqref{ref16}—eqref{ref20}, eqref{ref28}-eqref{ref30} и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Элементарные функции комплексного переменного.

Показательная, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного (z) определятся соответственно формулами
$$
e^{z} = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{n}}{n!},label{ref42}
$$
$$
operatorname{ch} z = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{2n}}{(2n)!},label{ref43}
$$
$$
operatorname{sh} z = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!},label{ref44}
$$
$$
cos z = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!},label{ref45}
$$
$$
sin z = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}z^{2n + 1}}{(2n + 1)!}.label{ref46}
$$
Радиус сходимости (R) каждого из рядов eqref{ref42}-eqref{ref46} равен (+infty). Заменяя в равенстве eqref{ref42} (z) на (iz) и (-iz), получаем
$$
e^{iz} = sum_{n = 0}^{infty} frac{i^{n}z^{n}}{n!},qquad e^{-iz} = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}i^{n}z^{n}}{n!}.label{ref47}
$$

Используя равенства eqref{ref47} и формулы eqref{ref45}, eqref{ref46}, находим
$$
frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = cos z, frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = sin z,label{ref48}
$$
откуда следует, что
$$
e^{iz} = cos z + i sin z.label{ref49}
$$
Полагая в формуле eqref{ref42} (z = z_{1}) и (z = z_{2}). и перемножая соответствующие ряды, можно показать, что
$$
e^{z_{1}}e^{z_{2}} = e^{z_{1} + z_{2}}.label{ref50}
$$

Пусть (z = x + iy), где (x in R), (y in R). Тогда из равенства eqref{ref50} и формулы eqref{ref49} находим
$$
e^{z} = e^{x + iy} = e^{x}(cos y + i sin y).label{ref51}
$$
Из формулы eqref{ref51} следует, что
$$
e^{z + 2pi i} = e^{z},nonumber
$$
то есть (e^{z}) — периодическая функция с периодом (2pi i). Поэтому для каждого комплексного (z neq 0) уравнение
$$
e^{w} = zlabel{ref52}
$$
имеет бесконечное множество решений вида (w + i2pi n), где (w) — одно из решений уравнения eqref{ref52}, (n in Z).

Если (w = u + iv), то (z = e^{w} = e^{u}(cos v + i sin v)), откуда получаем
$$
|z| = e^{u},quad u = ln |z|,quad v = arg z.nonumber
$$

Пусть (varphi) — какое-нибудь значение аргумента числа (z). Тогда
$$
v = varphi + 2pi n, n in Z.nonumber
$$
Таким образом, все решения уравнения eqref{ref52}, если их обозначить символом (operatorname{Ln} z), задаются формулой
$$
operatorname{Ln} z = ln |z| + i(varphi + 2pi n),label{ref53}
$$
где (varphi) — одно из значений аргумента числа (z) ((z neq 0)), (n in Z).

По заданному значению (z) значение (w) из уравнения eqref{ref52} определяется, согласно формуле eqref{ref53}, неоднозначно (говорят, что логарифмическая функция (operatorname{Ln} z) является многозначной).

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции , определенной в области и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида который бы сходился в области и его сумма в этой области совпадала с .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области , найти ряд , сходящийся к в круге , принадлежащем области , то есть

Равенство (3.15) означает, что является суммой ряда в круге .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство для любого и .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точки этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки до границы области . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий области и охватывающий точку , в частности, — окружность или по формуле

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: .

2. Вычислить значения производных в точке ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням с этими коэффициентами, который соответствует данной функции

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням функций .

Решение

Пример 3.14. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Пример 3.15. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки , равен расстоянию от центра разложения — точки до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то .

Пример 3.16. Разложить по степеням функции комплексного переменного:

Решение

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки ветвь функции , для которой .

Решение

Пример 3.18. Разложить по степеням функции: a) ; б) в) .

Решение

Пример 3.19. Разложить по степеням функции: .

Решение

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

где и — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:
а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида с неопределенными коэффициентами , где — корень знаменателя, — его кратность;
б) найти неопределенные коэффициенты.

3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

При разложении по степеням можно предварительно ввести вспомогательную переменную .

Пример 3.20. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

Пример 3.21. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , если а) ; б) .

Решение

Пример 3.22. Разложить по степеням функции (рациональные дроби): а) ; б) .

Решение

Пример 3.23. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

Пример 3.24. Используя разложение функции по степеням , найти значение производной седьмого порядка в точке .

Решение

Пример 3.25. Записать разложение функций a) и б) по степеням до члена, содержащего .

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1. Понятие ряда Тейлора.

   Начать изучение
   

2. Остаточный член формулы Тейлора.

   Начать изучение
   

3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

4. Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

5. Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

6. Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

7. Разложение степенной функции в ряд Тейлора.

   Начать изучение
   

8. Элементарные функции комплексного переменного.

   Начать изучение
   

Понятие ряда Тейлора.

Пусть функция (f) регулярна в точке (x_{0}), то есть представляется в некоторой окрестности точки (x_{0}) сходящимся к этой функции степенным рядом
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}a_{n}(x-x_{0})^{n},quad |x-x_{0}| < rho, rho > 0.label{ref2}
$$
Тогда по теореме, доказанной здесь, функция (f) бесконечно дифференцируема в окрестности точки (x_{0}), причем коэффициенты ряда eqref{ref2} выражаются формулами
$$
a_{0} = f(x_{0}),quad a_{n} = frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!},quad n in mathbb{N}.label{ref3}
$$
Таким образом, степенной ряд для функции (f(x)), регулярной в данной точке (a), совпадает с рядом Тейлора функции (f) в точке (a).

Если известно, что функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (a) (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора eqref{ref1} сходится при (x neq x_{0}) к функции (f(x)).

Рассмотрим функцию (f(x) = e^{-1/x^{2}}), (x neq 0), (f(0) = 0). Эта функция определена на (R),
$$
f'(x) = frac{2}{x^{3}}e^{-1/x^{2}}, f″(x) = left(frac{4}{x^{6}}-frac{6}{x^{4}}right)e^{-1/x^{2}}quadmbox{при} x neq 0,nonumber
$$
откуда с помощью индукции легко показать, что
$$
f^{(n)}(x) = e^{-1/x^{2}} Q_{3n} left(frac{1}{x}right) mbox{при} x neq 0,nonumber
$$
где (Q_{3n}(t)) — многочлен степени (3n) от (t). Воспользуемся тем, что (displaystylelim_{x rightarrow 0}frac{1}{|x|^{k}}e^{-1/x^{2}}=0) для любого (k in mathbb{N}) (решение можно посмотреть здесь), и докажем, что
$$
f^{(k)}(0) = 0 mbox{для любого} k in mathbb{N}.label{ref4}
$$
Утверждение eqref{ref4} верно при (k = 1), так как (f'(0) = displaystylelim_{x rightarrow 0}frac{e^{-1/x^{2}}}{x} = 0), откуда, предположив, что формула eqref{ref4} справедлива при (k = n), находим
$$
f^{(n + 1)}(0) = lim_{x rightarrow 0}frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x} = lim_{x rightarrow 0} frac{1}{x} Q_{3n} left(frac{1}{x}right) e^{-1/x^{2}} = 0.nonumber
$$
Таким образом, по индукции доказано равенство eqref{ref4}, и поэтому все коэффициенты ряда Тейлора eqref{ref1} в точке (x_{0} = 0) для рассматриваемой функции равны нулю.

Так как (e^{-1/x^{2}} neq 0) при (x neq 0), то сумма ряда Тейлора для функции (f) не совпадает с (f(x)) при (x neq 0). Иначе говоря, эту функцию нельзя представить рядом Тейлора, сходящимся к ней в окрестности точки (x_{0} = 0).

Причина этого явления становится понятной, если функцию (f) рассматривать в комплексной плоскости. В самом деле, функция (f(z) = e^{-1/z^{2}}) не является непрерывной в точке (z = 0), так как (f(x) = e^{-1/x^{2}} rightarrow 0) при (x rightarrow 0), a (f(iy) = e^{1/y^{2}} rightarrow +infty) при (y rightarrow 0).

Остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функция (f(x)) бесконечно дифференцируема в точке (x_{0}). Тогда ей можно поставить в соответствие ряд eqref{ref1}. Обозначим
$$
S_{n}(x) = sum_{k=0}^{n}frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},label{ref5}
$$
$$
r_{n}(x) = f(x)-S_{n}(x)label{ref6}
$$
и назовем (r_{n}(x)) остаточным членом формулы Тейлора для функции (f) в точке (x_{0}). Если существует
$$
lim_{x rightarrow 0} r_{n}(x) = 0,label{ref7}
$$
то согласно определению сходимости ряда ряд eqref{ref1} сходится к функции (f(x)) в точке (x), то есть
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.label{ref8}
$$

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки (x_{0} = 0), то есть в ряд вида
$$
f(x) = sum_{n = 0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},label{ref15}
$$
который называют рядом Маклорена. Заметим, что коэффициенты (displaystylefrac{f^{(n)}(0)}{n!}) разложения eqref{ref15} для основных элементарных функций (показательной, гиперболических, тригонометрических и других) были найдены в разделе про формулу Тейлора.

Разложение показательной и гиперболической функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = e^{x}). Тогда для любого (x in (-rho, rho)), где (rho > 0), выполняются неравенства
$$
0 < f(x) < e^{rho},quad 0 < f^{(n)}(x) < e^{rho}, n in mathbb{N}.nonumber
$$
По теореме 2 ряд eqref{ref15} для функции (f(x) = e^{x}) сходится к этой функции на интервале ((-rho, rho)) при любом (rho > 0), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty). Так как для функции (f(x) = e^{x}) выполняются равенства (f(0) = 1), (f^{(n)}(0) = 1) для любого (n), то по формуле eqref{ref15} получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции
$$
e^{x} = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{n}}{n!},label{ref16}
$$

Используя разложение eqref{ref16} и формулы
$$
operatorname{ch} x = frac{e^{x} + e^{-x}}{2},quad operatorname{sh} x = frac{e^{x}-e^{-x}}{2},nonumber
$$
находим разложения в ряд Маклорена гиперболического косинуса и гиперболического синуса:
$$
operatorname{ch} x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{2n}}{2n!},label{ref17}
$$
$$
operatorname{sh} x = sum_{n = 0}^{infty}frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!},label{ref18}
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref{ref17}, eqref{ref18} (R = +infty).

Разложение тригонометрических функций в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = sin x). Тогда (|f(x)| leq 1) и (|f^{(n)}(x)| leq 1) для всех (n in mathbb{N}) и для всех (x in R). По теореме 2 ряд eqref{ref15}для функции (f(x) = sin x) сходится для любого (x in (-infty, +infty)), то есть радиус сходимости этого ряда (R = +infty).

Если (f(x) = sin x), то (f(0) = 0), (f^{(2n)}(0) = 0), (f'(0) = 1), (f^{(2n + 1)}(0) = (-1)^{n}) для любого (n), и по формулеeqref{ref15}получаем разложение синуса в ряд Маклорена:
$$
sin x = sum_{substack{n = 0}}^{infty} frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}.label{ref19}
$$

Пусть (f(x) = cos x). Тогда (|f(x)| leq 1), (|f^{(n)}(x)| leq 1) для всех (n) и для всех (x in R), (f(0) = 1), (f'(0) = 0), (f^{(2n)}(0) = (-1)^{n}) и, (f^{(2n + 1)}(0) = 0) для всех (n). По формуле eqref{ref15} получаем
$$
cos x = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{2n!}x^{2n}.label{ref20}
$$
Радиус сходимости каждого из рядов eqref{ref19} и eqref{ref20} (R = +infty).

Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = ln(1 + x)). Тогда
$$
f^{(n)}(x) = frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1 + x)^{n}},label{ref21}
$$
откуда находим
$$
frac{f^{(n)}(0)}{n!} = frac{(-1)^{n-1}}{n}.label{ref22}
$$

(circ) Оценим остаточный член (r_{n}(x)), пользуясь формулой eqref{ref9} при (x_{0} = 0). Преобразуем эту формулу, полагая (t = tau x). Тогда (dt = x dtau), (1-x =x(1-tau)) и формула eqref{ref9} примет вид
$$
r_{n}(x) = frac{x^{n + 1}}{n!} intlimits_0^1 (1-tau) f^{(n + 1)}(tau x) dtau.label{ref23}
$$

Если (f(x) = ln(x + 1)), то по формуле eqref{ref23}, используя равенство eqref{ref21}, получаем
$$
r_{n}(x) = (-1)^{n}x^{n + 1} intlimits_0^1 frac{(1-tau)^{n}}{(1 + tau x)^{n + 1}} d tau.label{ref24}
$$

Пусть (|x| < 1). Тогда справедливы неравенства
$$
|1 + tau x| geq 1-tau|x| geq 1-tau,label{ref25}
$$
$$
|1 + tau x| geq 1-|x|,label{ref26}
$$
так как (0 leq tau leq 1). Отсюда следует, что при любом (n in mathbb{N}) выполняется неравенство
$$
|1 + tau x|^{n + 1} geq (1-tau)^{n}(1-|x|).label{ref27}
$$

Используя неравенство eqref{ref27}, из формулы eqref{ref24} получаем следующую оценку остаточного члена:
$$
|r_{n}(x)| leq |x|^{n + 1} intlimits_0^1 frac{dtau}{1-|x|} = frac{|x|^{n + 1}}{1-|x|},nonumber
$$
откуда следует, что (r_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty), если (|x| < 1).

Пусть (x = 1). Тогда (1 + tau x = 1 + tau), ((1 + tau)^{n + 1} geq 1), (1-tau geq 0), так как (0 leq tau leq 1). Поэтому из формулы eqref{ref24} следует, что (|r_{n}(1)| leq displaystyleintlimits_0^1 (1-tau)^{n}dtau = frac{1}{n + 1}), откуда получаем: (r_{n}(1) rightarrow 0) при (n rightarrow infty).

Итак, если (x in (-1, 1]), то остаточный член (r_{n}(x)) для функции (f(x) = ln (1 + x)) стремится к нулю при (n rightarrow infty), то есть ряд Маклорена сходится к (f(x)). (bullet)

Из формулeqref{ref15}и eqref{ref22} получаем разложение функции (ln (1 + x)) в ряд Маклорена
$$
ln (1 + x) = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n},label{ref28}
$$
радиус сходимости которого (R = 1).

Формула eqref{ref28} справедлива при (x = 1), и поэтому
$$
ln 2 = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-frac{1}{2} + frac{1}{3}-frac{1}{4} + ldots + frac{(-1)^{n-1}}{n} + ldotsnonumber
$$
Заменяя в формуле eqref{ref28} (x) на (-x), получаем
$$
ln (1-x) =-sum_{n=1}^{infty} frac{x^{n}}{n}.label{ref29}
$$

Разложение степенной функции в ряд Тейлора.

Пусть (f(x) = (1 + x)^{alpha}). Если (alpha = 0), то (f(x) = 1), а если (alpha = n), где (n in mathbb{N}), то (f(x)) — многочлен степени (n), который можно записать по формуле бинома Ньютона в виде конечной суммы:
$$
f(x) = sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}x^{k}.nonumber
$$
Покажем, что если (alpha notin mathbb{N}) и (a neq 0), то функция (f(x) = (1 + x)^{alpha}) представляется при каждом (x in (-1, 1)) сходящимся к ней рядом Маклорена
$$
(1 + x)^{alpha} = sum_{n = 0}^{infty} C_{alpha}^{n}x^{n},label{ref30}
$$
где
$$
C_{alpha}^{0} = 1,quad C_{alpha}^{n} = frac{alpha(alpha-1)ldots(alpha-(n-1))}{n!}.label{ref31}
$$

(circ) Так как
$$
f^{(n + 1)}(x) = alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)(1 + x)^{alpha-(n-1)},label{ref32}
$$
то по формуле eqref{ref23} получаем
$$
r_{n}(x) = A_{n}x^{n + 1} intlimits_0^1 left(frac{1-tau}{1 + tau x}right)^{n} (1 + tau x)^{alpha-1} dtau,label{ref33}
$$
где
$$
A_{n} = frac{alpha(alpha-1)ldots(alpha-n)}{n!}.
$$
Выберем число (m in mathbb{N}) таким, чтобы выполнялось условие (|a| leq m). Тогда при всех (n geq m) справедливы неравенства
$$
|A_{n}| leq frac{m(m + 1)ldots(m + n)}{n!} leq frac{(m + n)!}{n!} = (n + 1)ldots(n + m) leq (2n)^{m}.label{ref34}
$$
Используя неравенства eqref{ref25} и eqref{ref26}, а также неравенство (|1 + tau x| leq 1 + |x|), получаем
$$
0 leq frac{1-tau}{1 + xtau} leq 1,label{ref35}
$$
$$
|1 + tau x|^{alpha-1}leq beta(x)=left{begin{array}{lc}(1 + |x|)^{alpha-1},&mbox{если} alpha geq 1, (1-|x|)^{alpha-1},&mbox{если} alpha < 1,end{array} right.label{ref36}
$$
Из формулы eqref{ref33} и оценок eqref{ref34}-eqref{ref36} следует неравенство
$$
|r_{n}(x)| leq beta(x) 2^{m}n^{m}|x|^{n + 1},label{ref37}
$$
которое справедливо при всех (n geq m) и для каждого (x in (-1, 1)).

Так как (displaystylelim_{t rightarrow +infty} frac{t^{m}}{a^{t}}) при (a > 1), то (displaystylelim_{n rightarrow infty} frac{n^{m}}{(1/|x|)^{n + 1}} = 0). Поэтому из соотношения eqref{ref37} следует, что (r_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty) для каждого (x in (-1, 1)), то есть справедливо равенство eqref{ref30}, причем радиус сходимости ряда eqref{ref30} в случае, когда (alpha neq 0) и (alpha notin mathbb{N}), равен 1. (bullet)

Отметим важные частные случаи формулы eqref{ref30}:
$$
frac{1}{1 + x} = sum_{n = 0}^{infty} (-1)^{n}x^{n},label{ref38}
$$
$$
frac{1}{1-x} = sum_{n = 0}^{infty} x^{n}.label{ref39}
$$

В заключение заметим, что при разложении функций в ряд Тейлора обычно используют формулы eqref{ref16}—eqref{ref20}, eqref{ref28}-eqref{ref30} и применяют такие приемы, как: представление данной функции в виде линейной комбинации функций, ряды Тейлора для которых известны; замена переменного; почленное дифференцирование и интегрирование ряда.

Элементарные функции комплексного переменного.

Показательная, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного (z) определятся соответственно формулами
$$
e^{z} = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{n}}{n!},label{ref42}
$$
$$
operatorname{ch} z = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{2n}}{(2n)!},label{ref43}
$$
$$
operatorname{sh} z = sum_{n = 0}^{infty} frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!},label{ref44}
$$
$$
cos z = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!},label{ref45}
$$
$$
sin z = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}z^{2n + 1}}{(2n + 1)!}.label{ref46}
$$
Радиус сходимости (R) каждого из рядов eqref{ref42}-eqref{ref46} равен (+infty). Заменяя в равенстве eqref{ref42} (z) на (iz) и (-iz), получаем
$$
e^{iz} = sum_{n = 0}^{infty} frac{i^{n}z^{n}}{n!},qquad e^{-iz} = sum_{n = 0}^{infty} frac{(-1)^{n}i^{n}z^{n}}{n!}.label{ref47}
$$

Используя равенства eqref{ref47} и формулы eqref{ref45}, eqref{ref46}, находим
$$
frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = cos z, frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = sin z,label{ref48}
$$
откуда следует, что
$$
e^{iz} = cos z + i sin z.label{ref49}
$$
Полагая в формуле eqref{ref42} (z = z_{1}) и (z = z_{2}). и перемножая соответствующие ряды, можно показать, что
$$
e^{z_{1}}e^{z_{2}} = e^{z_{1} + z_{2}}.label{ref50}
$$

Пусть (z = x + iy), где (x in R), (y in R). Тогда из равенства eqref{ref50} и формулы eqref{ref49} находим
$$
e^{z} = e^{x + iy} = e^{x}(cos y + i sin y).label{ref51}
$$
Из формулы eqref{ref51} следует, что
$$
e^{z + 2pi i} = e^{z},nonumber
$$
то есть (e^{z}) — периодическая функция с периодом (2pi i). Поэтому для каждого комплексного (z neq 0) уравнение
$$
e^{w} = zlabel{ref52}
$$
имеет бесконечное множество решений вида (w + i2pi n), где (w) — одно из решений уравнения eqref{ref52}, (n in Z).

Если (w = u + iv), то (z = e^{w} = e^{u}(cos v + i sin v)), откуда получаем
$$
|z| = e^{u},quad u = ln |z|,quad v = arg z.nonumber
$$

Пусть (varphi) — какое-нибудь значение аргумента числа (z). Тогда
$$
v = varphi + 2pi n, n in Z.nonumber
$$
Таким образом, все решения уравнения eqref{ref52}, если их обозначить символом (operatorname{Ln} z), задаются формулой
$$
operatorname{Ln} z = ln |z| + i(varphi + 2pi n),label{ref53}
$$
где (varphi) — одно из значений аргумента числа (z) ((z neq 0)), (n in Z).

По заданному значению (z) значение (w) из уравнения eqref{ref52} определяется, согласно формуле eqref{ref53}, неоднозначно (говорят, что логарифмическая функция (operatorname{Ln} z) является многозначной).

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции , определенной в области и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида который бы сходился в области и его сумма в этой области совпадала с .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области , найти ряд , сходящийся к в круге , принадлежащем области , то есть

Равенство (3.15) означает, что является суммой ряда в круге .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство для любого и .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точки этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки до границы области . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

где — произвольный контур, принадлежащий области и охватывающий точку , в частности, — окружность или по формуле

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: .

2. Вычислить значения производных в точке ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням с этими коэффициентами, который соответствует данной функции

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

2. На границе круга сходимости ряда есть хотя бы одна особая точка функции, т.е. радиус сходимости круга равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки функции.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням функций .

Решение

Пример 3.14. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Пример 3.15. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами. Радиус сходимости ряда может быть получен по виду раскладываемой функции без использования формулы общего члена ряда и формул для нахождения радиуса. Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки , равен расстоянию от центра разложения — точки до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то .

Пример 3.16. Разложить по степеням функции комплексного переменного:

Решение

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки ветвь функции , для которой .

Решение

Пример 3.18. Разложить по степеням функции: a) ; б) в) .

Решение

Пример 3.19. Разложить по степеням функции: .

Решение

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

где и — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:
а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида с неопределенными коэффициентами , где — корень знаменателя, — его кратность;
б) найти неопределенные коэффициенты.

3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

При разложении по степеням можно предварительно ввести вспомогательную переменную .

Пример 3.20. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

Пример 3.21. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , если а) ; б) .

Решение

Пример 3.22. Разложить по степеням функции (рациональные дроби): а) ; б) .

Решение

Пример 3.23. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

Пример 3.24. Используя разложение функции по степеням , найти значение производной седьмого порядка в точке .

Решение

Пример 3.25. Записать разложение функций a) и б) по степеням до члена, содержащего .

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.