Расстояние 10 м измерено с абсолютной ошибкой 1 см

ВИДЕО УРОК

Абсолютная погрешность.

Разность между истинным значением измеряемой величины
и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью.

Для подсчёта
абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.

Существует формула
абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а –
приближение к точному числу. Приближённое число – это число, которое
незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда
формула будет выглядеть следующим образом:

∆а = А – а.

ПРИМЕР:

В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400,
то абсолютная погрешность измерения равна:

400 – 374 = 26.

ПРИМЕР:

На предприятии 1284 рабочих и
служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная
погрешность составляет

1300 – 1284 = 16.

При округлении до 1280 абсолютная
погрешность составляет

1284 – 1280 = 4.

Редко когда можно
точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную
погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе
границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого
числа она не превосходит.

ПРИМЕР:

Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не
превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.

Записывают
абсолютную погрешность числа, используя знак
±.

ПРИМЕР:

Длина рулона обоев составляет.

30 м ± 3
см.

Границу абсолютной
погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Но абсолютная
погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том,
насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно
разобраться в таком примере.

ПРИМЕР:

Допустим, что при измерении коридора длиной в 20
м мы допустили абсолютную погрешность
всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги,
имеющий 18
см длины, мы тоже допустили абсолютную
погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать
превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что
на 20
м ошибка в 1
см вполне допустима и неизбежна, но
на 18
см такая ошибка является очень грубой.

Отсюда ясно, что для оценки качества измерения
существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от
измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см
составляет

долю
измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в 1 см составляет

долю
измеряемой величины.

Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18
см длины и допустив погрешность в 1
см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1
см была допущена при измерении коридора
длиной в 20
м, то это измерение можно считать максимально точным.

Если ошибка,
возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным
инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве
абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на
линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.

Тогда
значение измеряемой длины предмета будет значение ближайшей метки линейки.
Поэтому, если измерение выполнено аккуратно, то истинная длина предмета может
отличаться от измеренной длины не более чем на половину деления шкалы, то есть 0,5 мм.

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями 0,5 см и линейка с
делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5
см от истинной, не
должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае ∆l = 0,5 и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1 и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной погрешности не
превышает 1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает
1 км
на 650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины
b
стекла и длины l книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до 0,1,

l ≈ 100 с
точностью до 0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит 0,1. Однако 0,1 составляет
существенную часть числа 0,4 и
ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что b ≈ 0,4 с точностью до 0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит 0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит 25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до 25%,
а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в 1
см, при измерении длины отрезков 10
см и 10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для
отрезка длиной в 10 см погрешность
в 1
см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50
г. Относительная погрешность не превосходит

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность 1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность
100 г, 150 г и вообще всякое
число, большее чем 50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой а,

Правила округления.

На практике
относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление
с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.

ПРИМЕР:

Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна:

ПРИМЕР:

Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровым
делением. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого
измерения ?

РЕШЕНИЕ:

Здесь а =
17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью
до 1 мм
измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную
погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но
у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину). Относительная погрешность равна

Округляя, находим

ПРИМЕР:

Цилиндрический поршень имеет около 35
мм в диаметре. С какой точностью нужно
его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05% ?

РЕШЕНИЕ:

По условию, предельная относительная
погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная
погрешность равна

или, усиливая, 0,02
мм.

Можно воспользоваться
формулой

Подставляя в формулу

а = 35,

𝛿 = 0,0005,

имеем

Значит,

∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

ПРИМЕР:

Складываются приближённые числа

265 и 32.

РЕШЕНИЕ:

Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

5
+ 1 = 6.

Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма

265
+ 32 = 297

на 6 меньше истинной

270
+ 33 = 303.

ПРИМЕР:

Найти сумму приближённых чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Предельная погрешность каждого слагаемого

0,00005.

Предельная погрешность суммы:

0,00005
∙ 9 = 0,00045.

Значит, в последнем (четвёртом) знаке суммы возможна ошибка до 5
единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, то есть до тысячных.
Получаем 0,619,
здесь все знаки верные.

При значительном
числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому
истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной
погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего
примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может
отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое
слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше
истинного на одну единицу и так далее.

Расчёт показывает,
что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около
одного миллиарда. Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может
достигнуть предельной погрешности 0,00045,
это произойдёт:

– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.

Значит, случаи,
когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.

Дальнейший расчёт
показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может
превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют
лишь 0,07%
из числа всех
возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить 2% всех возможных случаев, а одну единицу –
примерно в 25%.
В остальных 75% случаев погрешность девяти слагаемых не
превышает одной единицы последнего знака.

ПРИМЕР:

Найти сумму точных чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим:

0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы:

0,0005
∙ 9 = 0,0045.

Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003,
то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака
приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо
неверной.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:

0,005
∙ 9 = 0,045.

Между тем получим:

0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013.

Предельная абсолютная погрешность разности двух величин
равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

ПРИМЕР:

Пусть предельная погрешность приближённого
уменьшаемого 85 равна 2,
а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.
Предельная погрешность разности

85
– 32 = 53

есть

2
+ 3 = 5.

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться

85
+ 2 = 87 и

32
– 3 = 29.

Тогда истинная разность есть

87
– 29 = 58.

Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.

Относительная погрешность суммы и разности.

Предельную
относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала
предельную абсолютную погрешность.

Предельная
относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и
наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют
одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность,
то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную
погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном
выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых
сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

ПРИМЕР:

Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:

24,4
+ 25,2 + 24,7.

РЕШЕНИЕ:

В каждом слагаемом суммы

24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:

0,05
: 25 = 0,2%.

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная

0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

В противоположность
сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и
вычитаемое. <<Потеря точности>> особенно велика в том случае, когда
уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.

ПРИМЕР:

Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20, и пусть предельная относительная погрешность первого
сомножителя есть 0,4%, а второго
0,5%.

Тогда предельная относительная погрешность произведения

50
× 20 = 1000

приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50
× 0,004 = 0,2,

а второго

20
× 0,005 = 0,1.

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

и не меньше, чем

(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.

Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна

1009,2
– 1000 = 9,02,

а если 991,02, то погрешность произведения равна

1000
– 991,02 = 8,98.

Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит,
предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02.
Предельная относительная погрешность равна

9,02
: 1000 = 0,902%,

то есть приближённо 0,9%.

Задания к уроку 16

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Урок 1. Числовые неравенства
Урок 2. Свойства числовых неравенств
Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
Урок 4. Числовые промежутки
Урок 5. Линейные неравенства
Урок 6. Системы линейных неравенств
Урок 7. Нелинейные неравенства
Урок 8. Системы нелинейных неравенств
Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
Урок 11. Неравенства с модулем
Урок 12. Иррациональные неравенства
Урок 13. Неравенства с двумя переменными
Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
Урок 15. Приближённые вычисления

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Округляя, находим

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

или, усиливая, 0,02
мм.

Можно воспользоваться
формулой

Подставляя в формулу

а = 35,

𝛿 = 0,0005,

имеем

Значит,

∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

ПРИМЕР:

Складываются приближённые числа

265 и 32.

РЕШЕНИЕ:

Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

5
+ 1 = 6.

Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма

265
+ 32 = 297

на 6 меньше истинной

270
+ 33 = 303.

ПРИМЕР:

Найти сумму приближённых чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Предельная погрешность каждого слагаемого

0,00005.

Предельная погрешность суммы:

0,00005
∙ 9 = 0,00045.

– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.

ПРИМЕР:

Найти сумму точных чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим:

0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы:

0,0005
∙ 9 = 0,0045.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:

0,005
∙ 9 = 0,045.

Между тем получим:

0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013.

ПРИМЕР:

85
– 32 = 53

есть

2
+ 3 = 5.

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться

85
+ 2 = 87 и

32
– 3 = 29.

Тогда истинная разность есть

87
– 29 = 58.

Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.

Относительная погрешность суммы и разности.

ПРИМЕР:

Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:

24,4
+ 25,2 + 24,7.

РЕШЕНИЕ:

В каждом слагаемом суммы

24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:

0,05
: 25 = 0,2%.

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная

0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.

ПРИМЕР:

Тогда предельная относительная погрешность произведения

50
× 20 = 1000

приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50
× 0,004 = 0,2,

а второго

20
× 0,005 = 0,1.

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

и не меньше, чем

(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.

Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна

1009,2
– 1000 = 9,02,

а если 991,02, то погрешность произведения равна

1000
– 991,02 = 8,98.

9,02
: 1000 = 0,902%,

то есть приближённо 0,9%.

Задания к уроку 16

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Урок 1. Числовые неравенства
Урок 2. Свойства числовых неравенств
Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
Урок 4. Числовые промежутки
Урок 5. Линейные неравенства
Урок 6. Системы линейных неравенств
Урок 7. Нелинейные неравенства
Урок 8. Системы нелинейных неравенств
Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
Урок 11. Неравенства с модулем
Урок 12. Иррациональные неравенства
Урок 13. Неравенства с двумя переменными
Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
Урок 15. Приближённые вычисления

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2203.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2203.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2203.

А какая ваша оценка?

Источник

Загрузить PDF

Абсолютная погрешность – это фактическая ошибка, допущенная при измерении какой-либо величины. Относительная погрешность сравнивает абсолютную погрешность со значением измеряемой величины. Чтобы вычислить относительную погрешность, следует найти и абсолютную погрешность. Если вы измеряете предмет, длина которого равна 12 см, и вы допустили ошибку в 6 см, то относительная погрешность будет огромной. Но если длина измеряемого предмета равна 12 м, а ошибка – 6 см, то относительная погрешность будет значительно меньше, даже с учетом того, что абсолютная погрешность (6 см) не изменилась.^[1]

1
Если вам дано ожидаемое значение, вычтите из него полученное вами значение, чтобы вычислить абсолютную погрешность. Как правило, ожидаемое значение находится в ходе тестовых или лабораторных испытаний. Ожидаемое значение является наиболее точным значением некоторой величины, которое используется при различных вычислениях. Чтобы получить абсолютную погрешность, сравните результаты ваших измерений с ожидаемым значением – так вы узнаете, насколько ваши результаты отличаются от ожидаемого значения. Для этого просто вычтите полученное вами значение из ожидаемого. Если разность отрицательная, превратите ее в положительную, проигнорировав знак «минус». Вы получите абсолютную погрешность.^[2]
- Например, вы хотите узнать точность измерения расстояния при помощи шагов. Вы идете от одного дерева к другому, считаете шаги и выясняете, что деревья расположены на расстоянии 5,4 м друг от друга. Это экспериментальное значение. Потом вы берете рулетку и измеряете точное расстояние между деревьями, которое равно 6 м. Это действительное значение. Абсолютная погрешность равна: 6 – 5,4 = 0,6 м = 60 см.^[3]
2
Теперь допустим, что абсолютная погрешность – это наименьшая единица измерения. Например, рулетка имеет миллиметровые деления, то есть ее наименьшей единицей является 1 мм. Таким образом, вы можете измерить расстояние с точностью до ± 1 мм; в этом случае абсолютная погрешность составляет 1 мм.
- Это верно для любых измерительных инструментов или систем. Например, на корпус многих научных инструментов, таких как прецизионные весы и измерительные приборы, наносят маркировку об абсолютной погрешности в виде «± ____».
3

Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Используйте те же единицы измерения, которыми вы пользовались в ваших измерениях.^[4]
4
Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Это наилучший способ научиться вычислять погрешность. Решите следующие задачи (ответы приведены в конце каждой задачи).
- На уроке химии в результате реакции ученик получил вещество массой 32 г. Известно, что действительное значение выхода этой реакции равно 34 г. Абсолютная погрешность равна ± 2 г.
- На уроке химии ученику необходимо 10 мл воды, чтобы вызвать реакцию; при этом погрешность капельницы составляет «± 0,5 мл». В этом случае абсолютная погрешность измерений равна ± 0,5 мл.
5
Уясните, что приводит к появлению погрешности и как ее устранить. Всякое научное исследование подразумевает наличие ошибок – даже в научных работах, за которые вручаются Нобелевские премии, сообщается о допущениях или погрешностях. Но если вы определите причину появления погрешности, вы, возможно, сможете устранить ее.^[5]
- Человеческий фактор – наиболее распространенная причина появления ошибок. Сюда относятся неподобающие условия для проведения измерений и плохо продуманные эксперименты.
- Одной из причин появления ошибок может являться внезапное отключение энергии, недостаточное количество рабочего материала или изменение других условий, например, нехватка воды в результате ее испарения, внезапное изменение температуры окружающей среды и так далее.
- Еще одной причиной является несовершенство оборудования, используемого для измерений или исследований, например, прецизионных инструментов или горелок, которые обеспечивают неравномерное распределение тепла.^[6]
Реклама

1
Разделите абсолютную погрешность на действительное значение исследуемой величины. Так вы вычислите относительную погрешность. Эта формула позволит вам выяснить, насколько полученное вами значение отличается от действительного значения изучаемой величины. Конечно, прекрасно, если относительная погрешность мала. Продолжим рассматривать пример с измерением расстояния между двумя деревьями.
- Абсолютная погрешность равна 0,6 м, а действительное значение равно 6 м.
- 0,6 м / 6 м
- Относительная погрешность равна 0,1 м.^[7]
2
Полученный результат умножьте на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах. Вы можете представить относительную погрешность в виде обыкновенной дроби, десятичной дроби или в процентах – в этом случае умножьте десятичную дробь на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность. Если вы измеряете длину 60 м лодки, а погрешность составляет 0,6 м, то процент ошибки будет значительно меньше, чем при вычислении расстояния между деревьями (6 м) с погрешностью 0,6 м. Погрешность представляет собой небольшой процент от экспериментального значения. ^[8]
- 0,6 м / 6 м = 0,1 м
- 0,1 * 100 = 10% – относительная погрешность.
3
Вычислите относительную погрешность без нахождения абсолютной погрешности. Для этого выражение для вычисления абсолютной погрешности запишите в числителе выражения для нахождения относительной погрешности. Уяснив разницу между абсолютной и относительной погрешностями, нет необходимости отдельно вычислять абсолютную погрешность. Просто замените значение абсолютной погрешности на выражение для ее вычисления. Обратите внимание, что вертикальные черты обозначают абсолютную величину, то есть любое полученное значение нужно превратить в положительное.
- Относительная погрешность: $={frac {|{mathrm {E}}-{mathrm {D}}|}{{mathrm {D}}}}$ , где Е — экспериментальное значение, D — действительное значение.
- Умножьте это выражение на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах.^[9]
4

Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Также не имеет смысла указывать погрешность в виде процентов от ошибки (10% от 0,6 м) – следует писать, например, так: относительная погрешность равна 10%.^[10]

Реклама

Советы

Удостоверьтесь, что экспериментальное значение и действительное значение измеряются в одних единицах измерения. Например, если экспериментальное значение измеряется в сантиметрах, а действительное значение – в миллиметрах, преобразуйте одну из этих единиц измерения в другую.

Предупреждения

Убедитесь, что вы правильно округляете числа.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 170 011 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Понятия приближенных значений известны науке с древнейших времен. После открытия пифагорейцами иррациональных чисел приближенными вычислениями стали заниматься более серьезно. Но понятие само погрешности появилось лишь в XV веке.

Оглавление

Как определить
Связь абсолютной и предельной абсолютной погрешностей
Относительная погрешность
Простейшие примеры вычисления погрешностей
- Пример 1
- Пример 2
- Пример 3

Как определить

Приближенное значение определяется следующим образом:

Число а называется приближенным значением некоторого числа А, если его значение несколько отклоняется от значения А. При этом:

если а < А, то а – это приближение по недостатку;
если а > А, то а – это приближение по избытку.

Разность между числом А и его приближенным значением а называют ошибкой или погрешностью. Ошибку приближенной величины а обозначают как Δа:

Δа = А — а

Модуль разности между величиной и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью. Ее часто обозначают греческой буквой Δ:

Δ = |А — а|

Запись приближенного результата при этом имеет вид:

а ± Δ

В простейших случаях, когда значение величины А известно точно, абсолютная погрешность вычисляется просто. Рассмотрим такой пример:

Пусть точное значение А = 2/625 = 0,0032, а его приближенное значение а = 0,003.

В этом случае абсолютная погрешность будет:

Δ = |0,0032 — 0,003| = 0,0002

Но на практике такие простые задачи встречаются редко. Гораздо чаще точное значение А вообще неизвестно. В этих случаях абсолютная погрешность определяется при помощи разных способов, в зависимости от условий конкретной задачи.

Если речь идет об измерениях, то под абсолютной погрешностью понимают разность между показаниями измерительного прибора и истинным значением величины.

Связь абсолютной и предельной абсолютной погрешностей

Как уже говорилось, в большинстве случаев точное значение величины А нам неизвестно. Это означает, что точное значение абсолютной погрешности найти просто невозможно, и приходится лишь оценивать ее каким-то числом, которое называют предельной абсолютной погрешностью Δа. При этом справедливо неравенство:

Δа > Δ = |А — а|

Предельная абсолютная погрешность может иметь бесконечное количество значений. Ведь если нам удалось оценить какое-то значение Δа, то все числа, которые больше него, тоже будут удовлетворять определению предельной абсолютной погрешности. Для решения практических задач нужно стараться найти минимальное значение Δа.

Относительная погрешность

Если внимательно проанализировать определения, то становится очевидно, что ни абсолютная погрешность, ни предельная абсолютная погрешность не могут хорошо характеризовать точность, с которой выполнены измерения или вычисления. Например, если мы вычисляем или измеряем расстояние от Земли до Солнца, то абсолютная погрешность в 1 метр – это ничтожно мало. Но если мы измеряем рост человека, то точно такая же абсолютная погрешность в 1 м – это недопустимо много.

Оценить насколько «хороша» полученная абсолютная погрешность позволяет величина, называемая относительной погрешностью δ. Она равна отношению абсолютной погрешности к модулю самой величины:

δ = Δ / |А|

Аналогично определяется предельная относительная погрешность:

δа = Δа / |А|

Относительные погрешности часто вычисляются в процентах, то есть:

δ = Δ / |А| * 100%

Простейшие примеры вычисления погрешностей

Рассмотрим несколько наглядных примеров определения погрешностей.

Пример 1

Дано значение числа А = 0,2656. Округлить его до трех значащих цифр, вычислить абсолютную и относительную погрешности.

Решение:

А = 0,2655.

Приближенное значение: а = 0,266.

Абсолютная погрешность: Δ = |А — а| = |0,2655 – 0,266| = 0,0005.

Относительная погрешность: δ = Δ / |А| * 100% = 0,0005/0,2655*100 = 0,188%.

Ответ: Δ = 0,0005; δ = 0,188%.

Пример 2

Даны значение числа А = 5,8650 и его относительная погрешность δ = 2%. Найти абсолютную погрешность.

Решение:

δ = Δ / |А| * 100%, следовательно

Δ = А * δ / 100 = 5,8650 * 2 / 100 = 0,1173.

Ответ: Δ = 0,1173.

Пример 3

Расстояние А = 12,5 км было измерено с точностью до 5 м, а расстояние В = 10 м было измерено с точностью до 1 см. Какое из этих измерение является более качественным?

Дано:

А = 12,5 км = 12500 м;

ΔА = 5 м;

В = 10 м = 1000 см;

ΔВ = 1 см.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нам нужно сравнить относительные погрешности измерений. Имеем:

δА = ΔА / |А| * 100% = 5 / 12500 * 100 = 0,04%.

δВ = ΔВ / |А| * 100% = 1 / 1000 * 100 = 0,1%.

Так как δВ > δА, то качество измерения расстояния В ниже, чем качество измерения расстояния А.

Ответ: Измерение расстояния А является более качественным.

Об абсолютной и относительной погрешности в видео:

О том как найти процент от числа читайте на нашем сайте по ссылке.

Источник

Абсолютная погрешность отсчета расстояния. Абсолютная и относительная погрешность

На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом. Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т.е. оценить его погрешность. Напомним основные понятия из общего курса математики.

Обозначим: x
— точное число (истинное значение величины), а
-приближенное число (приближенное значение величины).

Определение 1
. Погрешностью (или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом x
и его приближенным значением а
. Погрешность приближенного числа а
будем обозначать . Итак,

Точное число x
чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляет возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т.е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность полученного числового значения не превысит некоторого числа, например 0,1 мм. Другими словами, мы должны знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.

Определение 3
. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а
называется положительное число такое, что , т.е.

Значит, х
по недостатку, — по избытку. Применяют также такую запись:

Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству (2.3).

Пример.
Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа а = 0,17, взятого в качестве приближенного значения числа .

Истинная погрешность:

Абсолютная погрешность:

За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь: Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:

Замечание
. Если а
есть приближенное значение числа х
, причем предельная абсолютная погрешность равна h
, то говорят, что а
есть приближенное значение числа х
с точностью до h.

Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления. Пусть, например, получены такие результаты при измерении длины. Расстояние между двумя городами S 1
=500 1 км и расстояние между двумя зданиями в городе S 2
=10 1 км. Хотя абсолютные погрешности обоих результатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км приходится на 500 км, во втором — на 10 км. Качество измерения в первом случае лучше, чем во втором. Качество результата измерения или вычисления характеризуется относительной погрешностью.

Допустим, что точная ширина стола – А=384 мм, а мы, измерив ее, получили а=381 мм. Модуль разности между точным значением измеряемой величины и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью
. В данном примере абсолютная погрешность 3 мм. Но на практике мы никогда не знаем точного значения измеряемой величины, поэтому не можем точно знать абсолютную погрешность.

Но обычно мы знаем точность измерительных приборов, опыт наблюдателя, производящего измерения и т.д. Это дает возможность составить представление об абсолютной погрешности измерения. Если, например, мы рулеткой измеряем длину комнаты, то нам нетрудно учесть метры и сантиметры, но вряд ли мы сможем учесть миллиметры. Да в этом и нет надобности. Поэтому мы сознательно допускаем ошибку в пределах 1 см. абсолютная погрешность длины комнаты меньше 1 см. Измеряя длину какого-либо отрезка миллиметровой линейкой, мы имеем право утверждать, что погрешность измерения не превышает 1 мм.

Абсолютная погрешность e а приближенного числа а дает возможность установить границы, в которых лежит точное число А:

Абсолютная погрешность не является достаточным показателем качества измерения и не характеризует точность вычислений или измерений. Если известно, что, измерив некоторую длину, мы получили абсолютную погрешность в 1 см, то никаких заключений о том, хорошо или плохо мы измеряли, сделать нельзя. Если мы измеряли длину карандаша в 15 см и ошиблись на 1 см, наше измерение никуда не годится. Если же мы измеряли 20-метровый коридор и ошиблись всего на 1 см, то наше измерение – образец точности. Важна не только сама абсолютная погрешность, но и та доля, которую она составляет от измеренной величины
. В первом примере абс. погрешность 1 см составляет 1/15 долю измеряемой величины или 7%, во втором – 1/2000 или 0.05%. Второе измерение значительно лучше.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины:

В отличие от абсолютной погрешности, которая обычно есть величина размерная, относительная погрешность всегда есть величина безразмерная. Обычно ее выражают в %.

Пример

При измерении длины в 5 см допущена абсолютная погрешность в 0.1 см. Какова относительная погрешность? (Ответ 2%)

При подсчете числа жителей города, которое оказалось равным 2 000 000, допущена погрешность 100 человек. Какова относительная погрешность? (Ответ 0.005%)

Результат всякого измерения выражается числом, лишь приблизительно характеризующим измеряемую величину. Поэтому при вычислениях мы имеем дело с приближенными
числами. При записи приближенных чисел принимается, что последняя цифра справа характеризует величину абсолютной погрешности.

Например, если записано 12.45, то это не значит, что величина, характеризуемая этим числом, не содержит тысячных долей. Можно утверждать, что тысячные доли при измерении не учитывались, следовательно, абсолютная погрешность меньше половины единицы последнего разряда: . Аналогично, относительно приближенного числа 1.283, можно сказать, что абсолютная погрешность меньше 0.0005: . Аналогично, относительно приближенного числа 1.283, можно сказать, что абсолютная погрешность меньше 0.0005: .

Приближенные числа принято записывать так, чтобы абсолютная погрешность не превышала единицы последнего десятичного разряда
. Или, иначе говоря, абсолютная погрешность приближенного числа характеризуется числом десятичных знаков после запятой
.

Как же быть, если при тщательном измерении какой-нибудь величины получится, что она содержит целую единицу, 2 десятых, 5 сотых, не содержит тысячных, а десятитысячные не поддаются учету? Если записать 1.25, то в этой записи тысячные не учтены, тогда как на самом деле мы уверены, что их нет. В таком случае принято ставить на их месте 0, – надо писать 1.250. Таким образом, числа 1.25 и 1.250 обозначают не одно и то же. Первое – содержит тысячные; мы только не знаем, сколько именно. Второе – тысячных не содержит, о десятитысячных ничего сказать нельзя.

Сложнее приходится при записи больших приближенных чисел. Пусть число жителей деревни равно
2000 человек, а в городе приблизительно
457 000 жителей. Причем относительно города в тысячах мы уверены, но допускаем погрешность в сотнях и десятках. В первом случае нули в конце числа указывают на отсутствие сотен, десятков и единиц, такие нули мы назовем значащими
; во втором случае нули указывают на наше незнание числа сотен, десятков и единиц. Такие нули мы назовем незначащими
. При записи приближенного числа, содержащего нули надо дополнительно оговаривать их значимость. Обычно нули – незначащие. Иногда на незначимость нулей можно указывать, записывая число в экспоненциальном виде (457*10 3).

Сравним точность двух приближенных чисел 1362.3 и 2.37. В первом абсолютная погрешность не превосходит 0.1, во втором – 0.01. Поэтому второе число выглядит более точным, чем первое.

Подсчитаем относительную погрешность. Для первого числа ; для второго ; для второго . Второе число значительно (почти в 100 раз) менее точно, чем первое. Получается это потому, что в первом числе дано 5 верных (значащих) цифр, тогда как во втором – только 3.

Все цифры приближенного числа, в которых мы уверены, будем называть верными (значащими) цифрами. Нули сразу справа после запятой не бывают значащими, они лишь указывают на порядок стоящих правее значащих цифр. Нули в крайних правых позициях числа могут быть как значащими, так и не значащими. Например, каждое из следующих чисел имеет 3 значащие цифры: 283*10 5 , 200*10 2 , 22.5, 0.0811, 2.10, 0.0000458.

Пример

Сколько значащих (верных) цифр в следующих числах:

0.75 (2), 12.050 (5), 1875*10 5 (4), 0.06*10 9 (1)

Оценить относительную погрешность следующих приближенных чисел:

нули значащие: 21000 (0.005%),

Нетрудно заметить, что для примерной оценки относительной погрешности числа достаточно подсчитать количество значащих цифр. Для числа, имеющего только одну значащую цифру относительная погрешность около 10%;

с 2-мя значащими цифрами – 1%;

с 3-мя значащими цифрами – 0.1%;

с 4-мя значащими цифрами – 0.01% и т.д.

При вычислениях с приближенными числами нас будет интересовать вопрос: как, исходя из данных приближенных чисел, получить ответ с нужной относительной погрешностью.

Часто при этом все исходные данные приходится брать с одной и той же погрешностью, именно с погрешностью наименее точного из данных чисел. Поэтому часто приходится более точное число заменять менее точным – округлять.

округление до десятых 27.136 » 27.1,

округление до целых 32.8 » 33.

Правило округления: Если крайняя левая из отбрасываемых при округлении цифр меньше 5, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют; если крайняя левая из отбрасываемых цифр больше 5 или если она равна 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на 1.

Пример

округлить до десятых 17.96 (18.0)

округлить до сотых 14.127 (14.13)

округлить, сохранив 3 верные цифры: 83.501 (83.5), 728.21 (728), 0.0168835 (0.01688).

Абсолютной погрешностью
приближенного числа называется модуль разности между этим числом и его точным значением. . Отсюда следует, что заключено в пределах или .

Пример 1.
На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет |1300 — 1284|=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет |1280 — 1284| = 4.
Относительной погрешностью
приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности …
приближенного числа к модулю значения числа .
Пример 2

. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 — 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3.
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈1,4%.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %.
Абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта») или D a
; относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой А, то δ = Δ/|А|.

Значащей цифрой
приближенного числа А называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

Пример.
А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.

n
первых значащих цифр приближенного числа А являются верными
, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n
– й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.

Пример.
Если в числе a
= 0,03450 все цифры верные, то .

Правила приближенных вычислений
понятие	определение	пример или примечание
Приближенные вычисления	Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте.	Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Погрешности	Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что \| а — А \| < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /\|А\| = δ называется относительной погрешностью ; последнюю часто выражают в процентах.	3,14 является приближенным значением числа а , погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Значащие цифры	все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться.	Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 . 10 2 или 0,524 . 10 5 . Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5
Округление	Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить.	При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5 , то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Действия над приближенными числами	Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5.
Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;

3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.

Погрешности принято
подразделять на грубые (промахи),
систематические и случайные при
проведении прямых (непосредственных)
измерений какой-либо физической величины.

Грубые погрешности
исключены;

Поправки, которые
следовало определить (например, смещение
нулевого деления шкалы) вычислены и
внесены в окончательные результаты;

Систематические
погрешности определяются неточностью
средства измерения и указаны в его
техническом паспорте. Знак этой
погрешности заранее неизвестен, поэтому
её необходимо учитывать в окончательном
результате измерений.

Случайные
погрешности уменьшаются при увеличении
числа измерений. Пусть проведены n
измерений величины x.
Тогда за лучшую оценку истинного
значения принимается среднее
арифметическое отдельных измерений

где: x i
— результат i–го
измерения.

Для оценки случайной
погрешности существует несколько
способов. Наиболее распространенная
так называемая средняя квадратичная
погрешность среднего арифметического

(2)

Пусть P
означает вероятность того, что результат
измерений отличается от истинного на
величину ∆x
, где ∆x
— суммарная погрешность измерения данной
величины: абсолютная погрешность. Тогда
можно записать

где x ист
– истинное значение измеряемой величины,
которое заранее неизвестно.

Вероятность P
называется доверительной вероятностью,
а интервал от

до

—
доверительным интервалом.

Если ограничиться
учётом только случайных погрешностей,
то при небольшом числе измерений
полуширина доверительного интервала
равна

(3)

где t P , n
– коэффициенты Стьюдента, которые
табулированы в зависимости от P
и n.
В наших работах установим P = 0,95. Тогда
при n
= 3 t 0,95;4
= 4,3, при n
= 4 t 0,95;4
= 3,2, при n
= 5 t 0,95;5
= 2,8.

(4)

где ∆x пр
— наибольшая абсолютная погрешность
прибора; x N
– предельное значение шкалы прибора.

Из (4) следует, что

(5)

Погрешности
цифровых измерительных приборов даются
в паспорте каждого из них.

При многократных
измерениях среднеквадратическое
значение инструментальной погрешности
P
= 0,95 определяется по формуле:

(6)

Если при нескольких
измерениях устойчиво получаются одни
и те же результаты, то за ∆x си
можно принять половину цены деления
шкалы или половину единицы цифры
последнего разряда результата.

Относительная
погрешность результата находится по
формуле

(7)

или часто в процентах

(8)

Таким образом
предлагается следующий порядок операций
при прямых измерениях.

Вычисляется
среднее арифметическое из n
измерений:

Определяется
средняя квадратичная погрешность
среднего арифметического:

Находится

Определяется
абсолютная погрешность результата
измерений

Оценивается
относительная погрешность результата
измерений

Окончательный
результат записывается в виде

;
P
= 0,95, n
= 3÷5.

Погрешности
косвенных измерений

Пусть измеряемая
величина является функцией непосредственно
измеряемых величин

(9)

Теория погрешностей
определяет, что абсолютная погрешность
∆y
находится по формуле

(10)

где ∂f/∂x i
обозначает так называемую частную
производную, т. е. производная, которая
вычисляется от функции f
по аргументу x i ,
причём все остальные аргументы считаются
постоянными.

Если измеряемые
величины x i
входят в основную формулу в виде
произведения, то удобно определить
вначале относительную погрешность по
формуле

(11)

а затем найти и

Рассмотрим
применение формул (10) и (11) на примерах.

и по формуле (10)

причём ∆x 1
и ∆x 2
определены предварительно по формуле
(4).

В этом случае
сначала найдём натуральный логарифм,
а затем – частичные производные:

Подставляем в
(11), найдём

Нетрудно видеть,
что предварительное логарифмирование
существенно упрощает вид частных
производных.

Возможен и другой
подход к оценке погрешности результата
косвенного измерения. Вместо определения
искомой величины через среднее значение

Можно для каждого
выполненного опыта вычислить

а затем найти
.
Пример 2

. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 — 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.

Пример.
А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.

Пример.
Если в числе a
= 0,03450 все цифры верные, то .

Правила приближенных вычислений
понятие	определение	пример или примечание
Приближенные вычисления	Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте.	Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот.
Погрешности	Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что \| а — А \| < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /\|А\| = δ называется относительной погрешностью ; последнюю часто выражают в процентах.	3,14 является приближенным значением числа а , погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.
Значащие цифры	все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться.	Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 . 10 2 или 0,524 . 10 5 . Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5
Округление	Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить.	При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5 , то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Действия над приближенными числами	Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;

Грубые погрешности
исключены;

где: x i
— результат i–го
измерения.

(2)

где x ист
– истинное значение измеряемой величины,
которое заранее неизвестно.

Вероятность P
называется доверительной вероятностью,
а интервал от

до

—
доверительным интервалом.

(3)

(4)

где ∆x пр
— наибольшая абсолютная погрешность
прибора; x N
– предельное значение шкалы прибора.

Из (4) следует, что

(5)

Погрешности
цифровых измерительных приборов даются
в паспорте каждого из них.

(6)

Относительная
погрешность результата находится по
формуле

(7)

или часто в процентах

(8)

Таким образом
предлагается следующий порядок операций
при прямых измерениях.

Вычисляется
среднее арифметическое из n
измерений:

Определяется
средняя квадратичная погрешность
среднего арифметического:

Находится

Определяется
абсолютная погрешность результата
измерений

Оценивается
относительная погрешность результата
измерений

Окончательный
результат записывается в виде

;
P
= 0,95, n
= 3÷5.

Погрешности
косвенных измерений

Пусть измеряемая
величина является функцией непосредственно
измеряемых величин

(9)

Теория погрешностей
определяет, что абсолютная погрешность
∆y
находится по формуле

(10)

(11)

а затем найти и

Рассмотрим
применение формул (10) и (11) на примерах.

и по формуле (10)

причём ∆x 1
и ∆x 2
определены предварительно по формуле
(4).

В этом случае
сначала найдём натуральный логарифм,
а затем – частичные производные:

Подставляем в
(11), найдём

Нетрудно видеть,
что предварительное логарифмирование
существенно упрощает вид частных
производных.

Можно для каждого
выполненного опыта вычислить

а затем найти
как среднее арифметическое и далее
абсолютную погрешность по формуле (3).

Оба способа дают
близкие результаты.

Пусть, например,
находится плотность цилиндрического
тела:

ρ = 4
m

/
πD
2
H
,

причем непосредственно
определяется три раза диаметр цилиндра
D i
и его высота
Н i
(i
= 1, 2, 3). Тогда можно подсчитать

ρ
i

= 4
m

/
πD
2
i
H
i
.

для каждого из
трех измерений.

Среднее значение
плотности можно найти, как обычно, по
формуле:

<ρ>

=∑
ρ
i

/3,

а абсолютная
погрешность определяется как

Δρ = 4,3√[∑(<
ρ
>

– ρ
i
)
/6].

Таблица 1.

Коэффициенты
Стьюдента.

Округление
результата

Результат измерения
округляется по следующим правилам:

Абсолютная
погрешность берётся с двумя значащими
цифрами, если первая из них 1 или 2.

Абсолютная
погрешность берётся с одной значащей
цифрой, если она больше или равна 3.

Это правило вытекает
из законов математической статистики,
так как оказывается, что даже при 10
измерениях относительная погрешность
самой погрешности превышает 3 % (30% от 2
составляет 0,6; а, например, от 4 – 1,2, что
превышает единицу первого разряда).

Числовое значение
результата измерений должно оканчиваться
цифрой того же порядка, что и числовое
значение абсолютной погрешности.

Если первая
отбрасываемая цифра больше или равна
5, то последняя сохраняемая цифра
увеличивается на единицу.

Если отбрасываемая
цифра меньше 5, то последняя сохраняемая
цифра остаётся без изменений.

При округлении
целых чисел все цифры, отброшенные при
округлении, заменяют множителем 10 m ,
где m
– число от брошенных цифр. Например,
при округлении до двух значащих цифр
число 31127 примет вид 31×10 3 .

Реферат

Абсолютная и относительная погрешность

Введение

Абсолютная погрешность
— является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если — измеренное значение, а — истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

·Обычно используется запись со знаком ±
. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с
.

·Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10
?23
Дж/К
, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10
?23
±
0,000 0013×10
?23
Дж/К
.

Относительная погрешность
— погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

1. Что называется приближённым значением?

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А
— точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А.
Под приближенным значением величины А,
или приближенным числам,
называется число а
, заменяющее точное значение величины А.
Если а
< А,
то а
называется приближенным значением числа А по недостатку.
Если а
> А,
— то по избытку.
Например, 3,14 является приближенным значением числа ?
по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности
или ошибки.

Погрешностью ?а
приближенного числа а
называется разность вида

?а = А — а,

где А
— соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 — приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 — с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b — приближенным значением х с избытком. Длина отрезка
АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

. Что называется погрешностью приближения?

А) Абсолютной?

Б) Относительной?

А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x — x_n|, где x — истинное значение, x_n — приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором — одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.

Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.

математический погрешность дробь

где x — истинное значение, x_n — приближённое.

Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.

Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.

Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.

) Какое округление, называется округлением?

А) С недостатком?

Б) С избытком?

А) Округление с недостатком

При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.

Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.

Б) Округление с избытком

При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.

Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.

) Правило округления десятичных дробей.

Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.

Пример. Округлить дробь 93,70584 до:

десятитысячных: 93,7058

тысячных: 93,706

сотых: 93,71

десятых: 93,7

целого числа: 94

десятков: 90

Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.

Заказ работы

Наши специалисты помогут написать работу с обязательной проверкой на уникальность в системе «Антиплагиат»
Отправь заявку
с требованиями прямо сейчас, чтобы узнать стоимость и возможность написания.

Источник