Работа над ошибками решение задач и уравнений

Математика 3 класс

Тема: «Работа
над ошибками. Решение задач с помощью уравнения».

Цель:
проанализировать исправить ошибки, допущенные в контрольной работе;

познакомить с новым видом решения задач с
помощью уравнения;

Планируемые
результаты:

·        
учащиеся
научатся понимать причины ошибок, допущенных в контрольной работе, и исправлять
их;

·        
решать
задачи с помощью уравнений;

·        
анализировать
и делать выводы;

·        
работать
в парах, индивидуально;

·        
контролировать
свою работу и ее результат.

Оборудование:
раздаточных 
карточках «Восприятие и внимание 1» (набор карточек к «Палитре» для организации
индивидуальной работы с самопроверкой); телевизор, компьютер; презентация по
теме урока;  таблицы для самоанализа; индивидуальные карточки для работы над
ошибками.

Ход урока

I. Организационный
момент

II. Анализ
контрольной работы.

( Учащиеся
просматривают свои контрольные работы и заполняют таблицу)

                                                              
Ф. И. учащегося _________________________

Умения	Ошибки ( + или  -)	Мои достижения
Решение задачи
Внетабличное умножение и деление
Решение уравнений
Вычисление периметра и площади прямоугольника
Задание на сравнение
Задание повышенной сложности

Оценка
за урок:

 —
Как вы думаете, в чем причина всех допущенных в контрольной работе ошибок? ( В
недостаточном внимании при чтении заданий и их выполнении.) Давайте попробуем
потренировать наше внимание  при помощи полезных заданий на внимание, работая в
паре.

1.
Выполнение заданий на раздаточных  карточках «Восприятие и внимание 1» (набор
карточек к «Палитре» для организации индивидуальной работы с самопроверкой)

2. Коллективный
 разбор  ошибок.

3.Самостоятельная
работа по карточкам. (Каждый ученик получает карточки с теми
заданиями, в которых допустил ошибки в контрольной работе. По окончании работы
над каждым заданием проводится взаимопроверка. )

4. Решение
задач

( Решение
задач при помощи схематического чертежа к задаче)

Вариант 1.

    Группа
экскурсантов разместилась в 2 катерах по 16 человек в каждом и в 3 лодках по 8
человек. На сколько больше человек было в катерах, чем в лодках?

Решение

1)  2 х 16
= 32 (ч.) – в катерах

2)  3 х 8
= 24 (ч.) – в лодках

3) 32 – 24
= 8 (ч.)

Ответ: в катерах на
8 ч. больше, чем в лодках.

Вариант 2.

  
Школьники посадили 4 ряда яблонь по 15 деревьев  в каждом ряду и 3 ряда слив по
10 деревьев в каждом ряду. На сколько больше посадили яблонь, чем слив.

Решение

1) 4 х 15
= 60 (д.) – яблонь

2) 3 х 10
= 30 (д.) – слив

3) 60 – 30
= 30 (д.)

Ответ: на 30 яблонь
больше, чем слив.

5. Внетабличное
умножение и деление

 — Реши
примеры по образцу.

Вариант 1.

13 х 5 = (
10 + 3) х 5 = 10х5 + 3х5 = 50 + 15 = 65

7 х 12=

25 х 3 =

18 х 5 =

4 х 21 =

81 : 3 = (
60 + 21 ) : 3 = 60:3 + 21:3 = 20 + 7 = 27

96 : 3 =

76 : 2 =

80 : 16 = 5

16 х 2 =
32, 32 < 80

16 х 3 =
48, 48 < 80

16 х 4 =
64, 64 < 80

16 х 5 =
80, 80 = 80

70 : 14 =

84 : 28 =

Вариант 2.

13 х 5 = (
10 + 3) х 5 = 10х5 + 3х5 = 50 + 15 = 65

7 ∙ 14 =

26 ∙ 3=

19 ∙ 5=

2 ∙ 48 =

81 : 3 = (
60 + 21 ) : 3 = 60:3 + 21:3 = 20 + 7 = 27

46 : 2 =

92 : 4 =

 80 : 16 =
5

16 х 2 =
32, 32 < 80

16 х 3 =
48, 48 < 80

16 х 4 =
64, 64 < 80

16 х 5 =
80, 80 = 80

90 : 15 =

72 : 24 =

6. 
Физкультминутка для глаз

7. Решение
геометрической задачи.

Вариант 1.

— Что такое периметр
фигуры? (
Сумма длин сторон фигуры)

— Что такое площадь  фигуры?
( Произведение длины на  ширину фигуры)

Длина прямоугольника 15см, ширина 6см. Найдите площадь
и периметр этого прямоугольника.

Вариант 2.

— Что такое периметр
фигуры? (
Сумма длин сторон фигуры)

— Что такое площадь  фигуры?
( Произведение длины и ширины фигуры)

Длина прямоугольника 18
см, ширина 5 см. Найдите площадь и периметр этого  прямоугольника

8.
Сравнение  именованных величин

Вариант 1.

— Какое
правило существует для сравнения именованных величин?( Переводим величины в
общую наименьшую величину, затем сравниваем )

8 дм 3
см … 3 дм 8 см            1 м … 6 дм

4 м 5 дм … 45 дм                    61
см … 7 дм

Вариант 2.

7 дм 2
см … 2 дм 7 см            53 см … 5 дм

9 м 4 дм … 94 дм                    8
дм … 1 м

9*. 
Найди  площадь заштрихованной фигуры. Какая часть фигуры  вырезана?

Вариант 1.

— Можем мы
сразу найти площадь заштрихованной фигуры? (Нет)

— Что надо
найти сначала?( Площадь маленького квадрата, затем сложить их количество.)

— Как
узнать, какая часть фигуры вырезана?

Вариант 2.

— Можем мы
сразу найти площадь заштрихованной фигуры? (Нет)

— Что надо
найти сначала?( Площадь маленького квадрата, затем сложить их количество.)

— Как
узнать,  какая часть фигуры вырезана?

10.
Решение уравнений

Вариант 1.

 — Какое
правило поможет нам решить данное уравнение.

 — Прочитай
правила

Чтобы
найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на  известный
множитель.

х
∙ 14 = 84      

Какое
правило поможет нам решить данное уравнение.

 — Прочитай
правила

Чтобы
найти делитель, надо делимое разделить на частное.

96
: х = 24

 —
По какому правилу решается уравнение, в котором вы допустили ошибки. Исправьте
ошибки в решении уравнений.

Вариант 2.

— Какое
правило поможет нам решить данное уравнение.

 — Прочитай
правила

Чтобы
найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на  известный множитель.

16 ∙ х = 64

— Какое
правило поможет нам решить данное уравнение.

 — Прочитай
правила

Чтобы найти неизвестное
делимое, надо делитель умножить на частное.

 х : 23 = 4

—
По какому правилу решается уравнение, в котором вы допустили ошибки. Исправьте
ошибки в решении уравнений.

III.Рефлексия.
Подведение итогов работы над ошибками.

       — А
теперь попробуем проанализировать, что у меня стало получаться лучше после
работы над ошибками, что я понял, чему научился, а над чем мне придется еще поработать,
попросить помощи учителя. родителей? И  заполним последнюю графу таблицы,
которую вы получили вначале урока.

— Что
такое уравнение?
-Уравнение – это равенство с переменной, значение которой надо найти.

— Сегодня
мы научимся решать задачи при помощи уравнения.

 IV.
Физкультминутка

Вот мы
руки развели,

Словно
удивились.

И друг
другу до земли

В пояс
поклонились.

Наклонились,
выпрямились.

Наклонились,
выпрямились.

Ниже,
ниже, не ленись,

Поклонись
и улыбнись.

V.Самоопределение
к деятельности.

— Последним
заданием в работе над ошибками были уравнения. Поднимите руки те, кто научился
их решать. А знаете вы, что при помощи уравнений можно решать задачи. Вот
сейчас мы и попробуем это сделать.

VI. Решим
задачу с помощью уравнений.

(
Объяснение нового материала на примере решения следующей задачи)

В двух  коробках 24  цветных мелков, причём во 2 коробке в 2 раз больше, чем в
1 коробке. Сколько цветных мелков в каждой коробке?

1к-? цв.к.

2к.-?,  в 2 раза >,чем   

Всего-24
цв.к.  

— Давайте неизвестное
обозначим лат. буквой Х

И тогда
условие задачи можно записать так:

1к-? цв.к.
– Х карандашей

2к.-?,  в
2 раза > —  Х  х 2, а так как всего у нас 24 карандаша,

то
получаем следующее равенство с неизвестным:
1) Х+Хх2=24
  

VII.
Закрепление изученного материала.

— А теперь
попробуйте сами решить следующую задачу.

(Условие и
решение задачи представлены в презентации. Самостоятельная работа с проверкой
готового  решения.)

К 23
Февраля ученики 1 и 2 классов сделали 36 открыток. Причем ученики 2 класса
сделали в 3 раза больше, чем ученики 1 класса. Сколько открыток сделали ученики
каждого класса?

1 класс
—   Х отк.

2 класс — 
3  х  Х

Всего  —
36 отк.

Составим
уравнение

1)Х + 3 х
Х + 36

4 х Х = 36

Х= 36 : 4

Х = 9(
отк.) – сделал 1 класс

2)  3 х 9
= 27 ( отк.) – сделал 2 класс

Проверка:
9 + 27 = 36 ( отк.)

Ответ: 1
класс – 9 открыток, 2 класс – 27 открыток.

VIII. Итоговая
рефлексия.

— Оцените
свою работу на уроке.

IX.
Подведение итогов урока.

— С каким
новым видом решения задач мы ознакомились на уроке?

— Кто
хорошо понял тему и может объяснить ее товарищам?

— Какие
задания на уроке вам больше всего понравилось выполнять?

X. Домашнее
задание.

С. 25 з.
11, пр. 12 (1)

Дата: 26.04.2021

Тема: Работа над ошибками. Решение задач и уравнений.

Цель: формирование способности видеть и анализировать ошибки, допущенные в контрольной работе; закреплять знания, умения и навыки, полученные на предыдущих уроках.

Планируемые результаты: учащиеся научатся находить и исправлять свои ошибки; соотносить свои знания с заданием, которое нужно выполнить; рассуждать и делать выводы; выполнять задания творческого и поискового характера; контролировать и оценивать свою работу и ее результат.

Ход урока

I Организационный момент.

II. Актуализация знаний

1) Работа над ошибками (разбор задач 1 и 2 вариантов).

— Ребята, сегодня у нас будет тема закрепление пройденного материала.

— Какие цели мы можем поставить на урок? (повторить, закрепить изученное).

2). Устный счет. Игра «Молчанка»

3). Работа над задачами

• В упаковке 12 штук витаминов. В день можно принимать по 2 штуки. На сколько дней хватит этих витаминов?

• В упаковке 12 штук витаминов. Их надо раздать двум детям. Сколько витаминов получит каждый?

— Чем похожи и чем отличаются данные задачи?

4). Логическая разминка

— Запишите число 25 пятью цифрами 5.

(25= 5 +5 +5+5 + 5.)

— Выразите число 27 тремя девятками.

(27 = 9+9 +9)

III. Работа по теме урока «Что узнали. Чему научились»

Работа по учебнику

1. № 29 (с. 68). (Устное выполнение с комментированием)

2. № 30 (с. 68).

(Проверка в парах.)

3. № 36 (с. 69). (Устное выполнение.)

IV. Физкультминутка

Так проворны наши руки

Нет им времени для скуки

Руки вверх, вперед, назад –

С ними можно полетать!

Мы на пояс их поставим

И наклоны делать станем

Ими можно помахать,

А прижав, тихонько спать,

Руки вверх поднимем выше

И легко-легко подышим.

V. Продолжение работы по теме урока

Работа по учебнику

1). №48 (с. 70).

— Прочитайте задание 1. Постройте прямоугольник.

— Прочитайте задание 2.

— Можем ли мы сразу выполнить это задание? (Нет.)

— Почему? (Не знаем, чему равен периметр прямоугольника.)

— Найдите периметр прямоугольника рациональным

способом. ((2 + 3) х 2= 10(см).)

— Начертите отрезок.

— Постройте ломаную такой же длины, состоящую из пяти одинаковых звеньев.

2). №34 (с. 69) Самостоятельное выполнение.

Проверка. (Учащиеся по цепочке называют ответы.)

VI. Закрепление ранее изученного материала.

Работа по учебнику

№. 49, 51(с.70). Самостоятельное выполнение. Проверка.

— Оцените свою работу на уроке.

VII. Рефлексия. Подведение итогов урока.

— Какие знания мы закрепляли на уроке?

— Кто правильно вычислил периметр прямоугольника?

— Какие задачи решали на уроке?

— Всё ли вам было понятно?

— Какое задание вам показалось особенно трудным?

VIII. Домашнее задание

№ 47, 50, страница 70.

Как правильно выполнить работу над ошибками по математике.

Работа над ошибками проводится в той или иной форме ежедневно в тетрадях как для текущих, так и для контрольных работ.

1. Ошибки в решении задачи: 
— прочитай задачу и представь себе, о чём говорится в задаче; 
— запиши задачу кратко, можно выполнить рисунок или чертеж; 
— поясни, что показывает каждое число, повтори вопрос задачи; — подумай, можно ли сразу ответить на вопрос задачи. Если нет, то почему? — что нужно узнать сначала, что потом? — составь план решения; -реши по действиям с пояснениями; 
— проверь решение; — запиши ответ задачи.

2. Ошибки в ходе решения уравнения: 
— запиши уравнение; 
— назови компоненты; 
— вспомни правило нахождения неизвестного компонента; 
— реши уравнение верно; 
— составь и реши похожее уравнение. Образец: х + 23 = 47 47-23=24 х + 36 = 88 88-36=52 х = 47 – 23 х = 88 – 36 х = 24 х = 52 24 + 13 = 47 52+36=88 47 = 47 88=88

3. Сложение и вычитание в пределах 10: 
— запиши пример верно; 
— повтори таблицу сложения и вычитания в пределах 10; 
— реши пример по образцу: Образец: 
3 + 5 = 8 10 – 4 = 6 
5 + 3 = 8 10 – 6 = 4 
8 – 5 = 3 4 + 6 = 10 
8 – 3 = 5 6 + 4 = 10 4. Сложение и вычитание многозначных чисел: 
— повтори таблицу разрядов и классов; 
— запиши пример правильно (разряд под разрядом); 
— реши пример правильно; 
— проверь сложение вычитанием или вычитание сложением. 
Образец: 234 Проверка: 487 + 253 -253 487 234

5. Таблица умножения и деления: 
— повтори таблицу умножения; 
— запиши пример и реши его верно; 
— запиши все случаи умножения и деления с этими числами; Образец: 
18 : 3 = 6 
18 : 6 = 3 
6 * 3 = 18 
3 * 6 = 18 6. Внетабличное умножение и деление: 
— запиши пример; 
— разложи одно из чисел на сумму удобных или разрядных слагаемых; 
— реши пример с объяснением; 
Образец: 84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4 = 14 7. Деление вида 96 : 16. 
— вспомни правило подбора частного; 
— запиши пример и реши его верно; 
— проверь умножением. 
Образец: 96 : 16 = 6 
Проверка: 16 * 6 = (10 + 6) * 6 = 10 * 6 + 6 * 6 = 60 + 36 = 96 8. Внетабличное умножение и деление многозначных чисел: 
— запиши пример верно; 
— вспомни правило умножения или деления в столбик; 
— реши пример; 
— проверь умножение делением или деление умножением. 9. Ошибки на порядок действий в выражениях со скобками и без скобок: 
— запиши выражение верно; 
— вспомни порядок выполнения действий в выражениях со скобками или без скобок; 
— выполни действия по порядку: действие в скобках, умножение и (или) деление, а потом сложение и (или) вычитание; 
— запиши ответ.

10. Геометрический материал.

— начерти фигуру; — напиши формулу нахождения периметра или площади;

— произведи вычисления. Образец: АВ = СД = 3 см АС = ВД = 2 см Р- ? или Р= (a+b)*2 
Р= (3+2)*2=10 (см) S-? S=a*b 
S=3*2=6 (см2)

Работа над ошибками. Решение задач и уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Работа над ошибками. Решение задач и уравнений.»

Тема: Работа над ошибками. Решение задач и уравнений.

Цель: формирование способности видеть и анализировать ошибки, допущенные в контрольной работе; закреплять знания, умения и навыки, полученные на предыдущих уроках.

Планируемые результаты: учащиеся научатся находить и исправлять свои ошибки; соотносить свои знания с заданием, которое нужно выполнить; рассуждать и делать выводы; выполнять задания творческого и поискового характера; контролировать и оценивать свою работу и ее результат.

I Организационный момент.

II. Актуализация знаний

1) Работа над ошибками (разбор задач 1 и 2 вариантов).

— Ребята, сегодня у нас будет тема закрепление пройденного материала.

— Какие цели мы можем поставить на урок? (повторить, закрепить изученное).

2). Устный счет. Игра «Молчанка»

3). Работа над задачами

• В упаковке 12 штук витаминов. В день можно принимать по 2 штуки. На сколько дней хватит этих витаминов?

• В упаковке 12 штук витаминов. Их надо раздать двум детям. Сколько витаминов получит каждый?

— Чем похожи и чем отличаются данные задачи?

4). Логическая разминка

— Запишите число 25 пятью цифрами 5.

— Выразите число 27 тремя девятками.

III. Работа по теме урока «Что узнали. Чему научились»

Работа по учебнику

1. № 29 (с. 68). (Устное выполнение с комментированием)

(Проверка в парах.)

3. № 36 (с. 69). (Устное выполнение.)

Так проворны наши руки

Нет им времени для скуки

Руки вверх, вперед, назад –

С ними можно полетать!

Мы на пояс их поставим

И наклоны делать станем

Ими можно помахать,

А прижав, тихонько спать,

Руки вверх поднимем выше

И легко-легко подышим.

V. Продолжение работы по теме урока

Работа по учебнику

— Прочитайте задание 1. Постройте прямоугольник.

— Прочитайте задание 2.

— Можем ли мы сразу выполнить это задание? (Нет.)

— Почему? (Не знаем, чему равен периметр прямоугольника.)

— Найдите периметр прямоугольника рациональным

способом. ((2 + 3) х 2= 10(см).)

— Постройте ломаную такой же длины, состоящую из пяти одинаковых звеньев.

2). №34 (с. 69) Самостоятельное выполнение.

Проверка. (Учащиеся по цепочке называют ответы.)

VI. Закрепление ранее изученного материала.

Работа по учебнику

№. 49, 51(с.70). Самостоятельное выполнение. Проверка.

— Оцените свою работу на уроке.

VII. Рефлексия. Подведение итогов урока.

— Какие знания мы закрепляли на уроке?

— Кто правильно вычислил периметр прямоугольника?

— Какие задачи решали на уроке?

— Всё ли вам было понятно?

— Какое задание вам показалось особенно трудным?

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Урок математики «Работа над ошибками. Решение задач с помощью уравнения».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Математика 3 класс

Тема: «Работа над ошибками. Решение задач с помощью уравнения».

Цель : проанализировать исправить ошибки, допущенные в контрольной работе;

познакомить с новым видом решения задач с помощью уравнения;

учащиеся научатся понимать причины ошибок, допущенных в контрольной работе, и исправлять их;

решать задачи с помощью уравнений;

анализировать и делать выводы;

работать в парах, индивидуально;

контролировать свою работу и ее результат.

Оборудование: раздаточных карточках «Восприятие и внимание 1» (набор карточек к «Палитре» для организации индивидуальной работы с самопроверкой); телевизор, компьютер; презентация по теме урока; таблицы для самоанализа; индивидуальные карточки для работы над ошибками.

I . Организационный момент

II . Анализ контрольной работы.

( Учащиеся просматривают свои контрольные работы и заполняют таблицу)

Ф. И. учащегося _________________________

Внетабличное умножение и деление

Вычисление периметра и площади прямоугольника

Задание на сравнение

Задание повышенной сложности

— Как вы думаете, в чем причина всех допущенных в контрольной работе ошибок? ( В недостаточном внимании при чтении заданий и их выполнении.) Давайте попробуем потренировать наше внимание при помощи полезных заданий на внимание, работая в паре.

1. Выполнение заданий на раздаточных карточках «Восприятие и внимание 1» (набор карточек к «Палитре» для организации индивидуальной работы с самопроверкой)

2. Коллективный разбор ошибок.

3.Самостоятельная работа по карточкам. (Каждый ученик получает карточки с теми заданиями, в которых допустил ошибки в контрольной работе. По окончании работы над каждым заданием проводится взаимопроверка. )

4. Решение задач

( Решение задач при помощи схематического чертежа к задаче)

Группа экскурсантов разместилась в 2 катерах по 16 человек в каждом и в 3 лодках по 8 человек. На сколько больше человек было в катерах, чем в лодках?

1) 2 х 16 = 32 (ч.) – в катерах

2) 3 х 8 = 24 (ч.) – в лодках

Ответ: в катерах на 8 ч. больше, чем в лодках.

Школьники посадили 4 ряда яблонь по 15 деревьев в каждом ряду и 3 ряда слив по 10 деревьев в каждом ряду. На сколько больше посадили яблонь, чем слив.

1) 4 х 15 = 60 (д.) – яблонь

2) 3 х 10 = 30 (д.) – слив

Ответ: на 30 яблонь больше, чем слив.

5. Внетабличное умножение и деление

— Реши примеры по образцу.

13 х 5 = ( 10 + 3) х 5 = 10х5 + 3х5 = 50 + 15 = 65

81 : 3 = ( 60 + 21 ) : 3 = 60:3 + 21:3 = 20 + 7 = 27

16 х 5 = 80, 80 = 80

13 х 5 = ( 10 + 3) х 5 = 10х5 + 3х5 = 50 + 15 = 65

81 : 3 = ( 60 + 21 ) : 3 = 60:3 + 21:3 = 20 + 7 = 27

16 х 5 = 80, 80 = 80

6. Физкультминутка для глаз

7. Решение геометрической задачи.

— Что такое периметр фигуры? ( Сумма длин сторон фигуры)

— Что такое площадь фигуры? ( Произведение длины на ширину фигуры)

Длина прямоугольника 15см, ширина 6см. Найдите площадь и периметр этого прямоугольника.

— Что такое периметр фигуры? ( Сумма длин сторон фигуры)

— Что такое площадь фигуры? ( Произведение длины и ширины фигуры)

Длина прямоугольника 18 см, ширина 5 см. Найдите площадь и периметр этого прямоугольника

8. Сравнение именованных величин

— Какое правило существует для сравнения именованных величин?( Переводим величины в общую наименьшую величину, затем сравниваем )

8 дм 3 см … 3 дм 8 см 1 м … 6 дм

4 м 5 дм … 45 дм 61 см … 7 дм

7 дм 2 см … 2 дм 7 см 53 см … 5 дм

9 м 4 дм … 94 дм 8 дм … 1 м

9*. Найди площадь заштрихованной фигуры. Какая часть фигуры вырезана?

— Можем мы сразу найти площадь заштрихованной фигуры? (Нет)

— Что надо найти сначала?( Площадь маленького квадрата, затем сложить их количество.)

— Как узнать, какая часть фигуры вырезана?

— Можем мы сразу найти площадь заштрихованной фигуры? (Нет)

— Что надо найти сначала?( Площадь маленького квадрата, затем сложить их количество.)

— Как узнать, какая часть фигуры вырезана?

10. Решение уравнений

— Какое правило поможет нам решить данное уравнение.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Какое правило поможет нам решить данное уравнение.

Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное.

— По какому правилу решается уравнение, в котором вы допустили ошибки. Исправьте ошибки в решении уравнений.

— Какое правило поможет нам решить данное уравнение.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

— Какое правило поможет нам решить данное уравнение.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

— По какому правилу решается уравнение, в котором вы допустили ошибки. Исправьте ошибки в решении уравнений.

III .Рефлексия. Подведение итогов работы над ошибками.

— А теперь попробуем проанализировать, что у меня стало получаться лучше после работы над ошибками, что я понял, чему научился, а над чем мне придется еще поработать, попросить помощи учителя. родителей? И заполним последнюю графу таблицы, которую вы получили вначале урока.

— Что такое уравнение?
-Уравнение – это равенство с переменной, значение которой надо найти.

— Сегодня мы научимся решать задачи при помощи уравнения.

Вот мы руки развели,

И друг другу до земли

В пояс поклонились.

Ниже, ниже, не ленись,

Поклонись и улыбнись.

V .Самоопределение к деятельности.

— Последним заданием в работе над ошибками были уравнения. Поднимите руки те, кто научился их решать. А знаете вы, что при помощи уравнений можно решать задачи. Вот сейчас мы и попробуем это сделать.

VI . Решим задачу с помощью уравнений.

( Объяснение нового материала на примере решения следующей задачи)

В двух коробках 24 цветных мелков, причём во 2 коробке в 2 раз больше, чем в 1 коробке. Сколько цветных мелков в каждой коробке?

1к-? цв.к.
2к.-?, в 2 раза >,чем

— Давайте неизвестное обозначим лат. буквой Х

И тогда условие задачи можно записать так:

1к-? цв.к. – Х карандашей

2к.-?, в 2 раза > — Х х 2, а так как всего у нас 24 карандаша,

то получаем следующее равенство с неизвестным:
1) Х+Хх2=24

VII . Закрепление изученного материала.

— А теперь попробуйте сами решить следующую задачу.

(Условие и решение задачи представлены в презентации. Самостоятельная работа с проверкой готового решения.)

К 23 Февраля ученики 1 и 2 классов сделали 36 открыток. Причем ученики 2 класса сделали в 3 раза больше, чем ученики 1 класса. Сколько открыток сделали ученики каждого класса?

Х = 9( отк.) – сделал 1 класс

2) 3 х 9 = 27 ( отк.) – сделал 2 класс

Проверка: 9 + 27 = 36 ( отк.)

Ответ: 1 класс – 9 открыток, 2 класс – 27 открыток.

VIII . Итоговая рефлексия.

— Оцените свою работу на уроке.

IX . Подведение итогов урока.

— С каким новым видом решения задач мы ознакомились на уроке?

— Кто хорошо понял тему и может объяснить ее товарищам?

— Какие задания на уроке вам больше всего понравилось выполнять?

С. 25 з. 11, пр. 12 (1)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Дислексия, дисграфия, дискалькулия у младших школьников: нейропсихологическая диагностика и коррекция

• Курс добавлен 24.12.2021
• Сейчас обучается 206 человек из 53 регионов

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО

• Сейчас обучается 373 человека из 71 региона

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 341 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.06.2016
• 823
• 1

• 30.06.2016
• 427
• 2

• 30.06.2016
• 549
• 0

• 30.06.2016
• 2416
• 6

• 30.06.2016
• 2962
• 17

• 30.06.2016
• 420
• 0

• 30.06.2016
• 296
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.06.2016 2260
• DOCX 28.1 кбайт
• 29 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Завада Ольга Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 38331
• Всего материалов: 21

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.