Пример в котором есть вычислительная ошибка - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

Тест за год 3 класс

1 вариант.

1)Продолжите: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

а)из известного слагаемого вычесть значение суммы.

Б)из значения суммы вычесть известное слагаемое.

2)Число из которого вычитают, называется …

а)слагаемое, б)уменьшаемое в)вычитаемое

3)Найдите пример, в котором есть вычислительная ошибка:

а)54+47=91 б)79-48=31 в)36+25=61

4)Среди данных записей найди уравнение.

а)21+Х б)76-21=55 в)Х+3>1 г)36-Х=25

5)В каком из этих уравнений неверное решение:

а)Х+13=17 б)а+6=29 в) 16-в=10

Х=17+13 а=29-6 в=16-10

Х=30 а=23 в=6

6)На одной клумбе распустилось 15 роз, а на другой – 21 роза. 7 роз срезали. Сколько роз осталось на клумбах?

а)1) (+) 2) (-) б) 1) (-) 2) (+) в) 1) (+) 2) (+)

7)Миша разложил 15 марок на одной странице альбома, и 20 марок на другой. После этого ему осталось разложить 16 марок. Сколько всего марок было у Миши?

а) 1) (+) 2) (-) б) 1) (+) 2) (+)

8)После того, как мама раздала детям 8 груш, у неё осталось ещё 5. Сколько всего груш было у мамы?

А) (-) б) (+)

9)В одном мотке было 15 метров провода, во втором – на 6 метров больше, чем в первом, а а третьем – на 9 метров меньше, чем во втором. Сколько метров провода в третьем куске?

а) 1) (+) 2)(+) б) 1) (+) 2)(-) в)1) (-) 2) (+)

10)В книге 56 страниц. Коля читал каждый день по 8 страниц. За сколько дней он прочитал эту книгу?

а)за 7 дней б) за 9 дней в) за 8 дней г) за 3 дня

11)В одной книге 9 страниц. Это в 3 раза меньше, чем в другой. Сколько страниц во второй книге?

а)3 страницы б)6 страниц в)27 страниц г)18 страниц

12)В одной книге 40 страниц, а в другой в 5 раз меньше. Сколько страниц в двух книгах?

а)45 страниц б)48 страниц в)53 страницы г)75 страниц

13)В одной книге 30 страниц, а в другой 10 страниц. Во сколько раз в первой книге больше страниц, чем во второй?

а)в 10раз б)в 3 раза в)в 5 раз г)в2 раза

14)Ширина обложки книги прямоугольной формы 8 см, а длина 12 см. Чему равен периметр этого прямоугольника?

а)20см б)40см в)60см г)80см

15)В трёх одинаковых коробках 18 карандашей. Сколько карандашей в 5 таких коробках?

а)18карандашей б)25 карандашей в)30 карандашей г)35 карандашей

16)Как представить в виде произведения двух множителей число 54?

а)7х7 б)6х9 в)8х7

17)Найдите число, которое делится на 6:

а)46 б)42 в)28

18)Какое число надо вставить в окошко, чтобы равенство стало верным: 63: = 9?

а)8 б)7 в)6

19)Какое число надо вставить в окошко, чтобы неравенство стало верным: : 8 > 9?

а)56 б)80 в)48

20)Сравните выражение: 30-9:3… (30-9):3

а)< б)> в)=

21)Представьте число 56 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 4.

а)50+6 б)40+16 в)24+26

22)Во сколько раз увеличили 17,если получили 68?

а)в 6 раз б)в 51 раз в) в 4 раза

23) Произведение каких двух чисел равно 51?

а)18и3 б)3 и 17 в)36 и 2

24)Найдите число, в котором 7 единиц 2 разряда:

а)709 б)607 в)576

25)Какое число при счёте следует за числом 679?

а)669 б)579 в)680

2 вариант.

1)Продолжите: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо …

а)к уменьшаемому прибавить значение разности

б)из уменьшаемого вычесть значение разности.

2)Продолжите предложение: Числа, которые складываются, называются …

а)уменьшаемые б)слагаемые в)вычитаемые

3)Найдите пример, в котором допущена вычислительная ошибка:

а)38+54=92 б)63-27=46 в)56+25=81

4)Среди данных записей найдите уравнение:

а)54+23=77 б)У-62 в)4-У<11 г)У+18=30

5)Найдите уравнение, в решении которого допущена ошибка:

а)У-15=45 б)12+Х=24 в)37-а=20

У=45-15 Х=24-12 а=37-20

У=30 Х=12 а=17

6)В ларёк привезли 35 кг моркови и 50 кг картофеля. До обеда продали 30 кг овощей. Сколько кг овощей осталось?

а) 1) (-) 2) (+) б)1) (+) 2)(+) в)1) (+) 2) (-)

7)В цветнике цветут георгины и астры, всего 23 цветка. Из них 6 астр. Сколько в цветнике георгинов?

а) (+) б) (-)

8)На верхней палубе теплохода было 16 пассажиров, на нижней 30 пассажиров. 7 пассажиров ещё оставались на трапе. Сколько всего пассажиров должен увезти теплоход?

а) 1) (+) 2) (-) б) 1) (+) 2) (+)

9)На праздник надули воздушные шарики красных 17 шаров, синих на 6 больше, чем красных, а зелёных на 10 меньше, чем синих. Сколько зелёных шаров надули на праздник?

а) 1) (+) 2) (+) б) 1) (+) 2) (-) в) 1) (-) 2) (-)

10)В книге 48 страниц. Коля читал каждый день по 8 страниц. За сколько дней он прочитал эту книгу?

а) за 6дней б) за 7 дней в) за 8 дней г) за 9 дней

11)В одной книге 8 страниц. Это в 4 раза меньше, чем в другой. Сколько страниц во второй книге?

а)4 страницы б)2 страницы в) 20 страниц г) 32 страницы

12)В одной книге 42 страницы, а в другой в 6 раз меньше. Сколько страниц в двух книгах?

а) 48 страниц б) 50 страниц в) 49 страниц г)51 страница

13)В одной книге 40 страниц, а в другой 10 страниц. Во сколько раз в первой книге больше страниц, чем во второй?

а)в 4 раза б)в 3 раза в)в 10 раз г)в 2 раза

14)Ширина обложки журнала прямоугольной формы 10см, а длина 20см. Чему равен периметр этого прямоугольника?

а)40см б)60см в) 50см г)70см

15)Корова за 4 дня съедает 12 кг сена. Сколько нужно заготовить сена на 7 дней?

а)18кг б)24кг в)21кг г)27кг

16)Как представить в виде произведения двух множителей число 56?

а)7х6 б)7х7 в)7х8

17)Найдите число, которое делится на 8.

а)21 б)48 в)36

18)Какое число надо вставить в окошко, чтобы равенство стало верным: 72: = 9?

а) 9 б)7 в)8

19)Какое число надо вставить в окошко, чтобы неравенство стало верным: : 8 > 7?

а)56 б)80 в)48

20)Сравните выражение: (3+24):3… 3+24:3

а)< б)> в)=

21)Представьте число 45 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 3.

а)43+2 б)40+5 в)30+15

22)Во сколько раз увеличили 18,если получили 90?

а)в 3 раза б)в 5 раз в) в 4 раза

23) Произведение каких двух чисел равно 56?

а)16и6 б)22 и 3 в)28 и 2

24)Найдите число, в котором 8 единиц 2 разряда:

а)807 б)709 в)780

25)Какое число при счёте следует за числом 489?

а)479 б)389 в)490

3 вариант.

1)Продолжите: Чтобы найти неизвестный делитель, надо…

а)частное умножить на делимое.

б)делимое разделить на частное

2)Число, которого делят, называется …

а)слагаемое, б)делимое в)вычитаемое

3)Найдите пример, в котором есть вычислительная ошибка:

а)55+36=91 б)89-58=31 в)36+24=61

4)Среди данных записей найди уравнение.

а)21+Х б)76-Х=55 в)Х+3>1 г)36-Х

5)В каком из этих уравнений неверное решение:

а)Х+13=17 б)а+6=49 в) 26-в=20

Х=17-13 а=49-6 в=26+20

Х=4 а=43 в=46

6)На одной клумбе распустилось 24 роз, а на другой – 33 роза. 17 роз срезали. Сколько роз осталось на клумбах?

а)1) (+) 2) (-) б) 1) (-) 2) (+) в) 1) (+) 2) (+)

7)Миша разложил 34 марок на одной странице альбома, и 50 марок на другой. После этого ему осталось разложить 6 марок. Сколько всего марок было у Миши?

а) 1) (+) 2) (-) б) 1) (+) 2) (+)

8)После того, как мама раздала детям 28 груш, у неё осталось ещё 2. Сколько всего груш было у мамы?

А) (-) б) (+)

9)В одном мотке было 45 метров провода, во втором – на 9 метров больше, чем в первом, а а третьем – на 19 метров меньше, чем во втором. Сколько метров провода в третьем куске?

а) 1) (+) 2)(+) б) 1) (+) 2)(-) в)1) (-) 2) (+)

10)В книге 72 страниц. Коля читал каждый день по 9 страниц. За сколько дней он прочитал эту книгу?

а)за 7 дней б) за 9 дней в) за 8 дней г) за 3 дня

11)В одной книге 6 страниц. Это в 3 раза меньше, чем в другой. Сколько страниц во второй книге?

а)3 страницы б)6 страниц в)27 страниц г)18 страниц

12)В одной книге 50 страниц, а в другой в 2 раз меньше. Сколько страниц в двух книгах?

а)45 страниц б)48 страниц в)53 страницы г)75 страниц

13)В одной книге 35 страниц, а в другой 7 страниц. Во сколько раз в первой книге больше страниц, чем во второй?

а)в 10раз б)в 3 раза в)в 5 раз г)в2 раза

14)Ширина обложки книги прямоугольной формы 18 см, а длина 12 см. Чему равен периметр этого прямоугольника?

а)20см б)40см в)60см г)80см

15)В трёх одинаковых коробках 12 карандашей. Сколько карандашей в 5 таких коробках?

а)18карандашей б)20 карандашей в)30 карандашей г)35 карандашей

16)Как представить в виде произведения двух множителей число 49?

а)7х7 б)6х9 в)8х7

17)Найдите число, которое делится на 4:

а)46 б)42 в)28

18)Какое число надо вставить = 9?

в окошко, чтобы равенство стало верным: 54:

а)8 б)7 в)6

19)Какое число надо вставить : 8

в окошко, чтобы неравенство стало верным: > 9?

а)56 б)80 в)96

20)Сравните выражение: 27-9:3… (27-9):3

а)< б)> в)=

21)Представьте число 78 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 3.

а)70+8 б)60+18 в)43+35

22)Во сколько раз увеличили 15,если получили 75?

а)в 6 раз б)в 5 раз в) в 41 раза

23) Произведение каких двух чисел равно 54?

а)18и3 б)3 и 18 в)36 и 2

24)Найдите число, в котором 8 единиц 2 разряда:

а)708 б)687 в)576

25)Какое число при счёте следует за числом 579?

а)669 б)579 в)580

4 вариант.

1)Продолжите: Чтобы найти неизвестное делимое, надо …

а)частное разделить на делитель.

б)делитель умножить на частное

2)Продолжите предложение: Числа, которые умножаются, называются …

а)уменьшаемые б)слагаемые в)множителями

3)Найдите пример, в котором допущена вычислительная ошибка:

а)38+44=82 б)73-37=46 в)46+25=71

4)Среди данных записей найдите уравнение:

а)54+23=77 б)У-62 =56 в)4-У<11 г)У+18

5)Найдите уравнение, в решении которого допущена ошибка:

а)У-15=45 б)12+Х=24 в)37-а=20

У=45+15 Х=24+12 а=37-20

У=60 Х=36 а=17

6)В ларёк привезли 75 кг моркови и 40 кг картофеля. До обеда продали 30 кг овощей. Сколько кг овощей осталось?

а) 1) (-) 2) (+) б)1) (+) 2)(+) в)1) (+) 2) (-)

7)В цветнике цветут георгины и астры, всего 43 цветка. Из них 8 астр. Сколько в цветнике георгинов?

а) (+) б) (-)

8)На верхней палубе теплохода было 26 пассажиров, на нижней 40 пассажиров. 17 пассажиров ещё оставались на трапе. Сколько всего пассажиров должен увезти теплоход?

а) 1) (+) 2) (-) б) 1) (+) 2) (+)

9)На праздник надули воздушные шарики красных 16 шаров, синих на 7 больше, чем красных, а зелёных на 12 меньше, чем синих. Сколько зелёных шаров надули на праздник?

а) 1) (+) 2) (+) б) 1) (+) 2) (-) в) 1) (-) 2) (-)

10)В книге 42 страниц. Коля читал каждый день по 6 страниц. За сколько дней он прочитал эту книгу?

а) за 6дней б) за 7 дней в) за 8 дней г) за 9 дней

11)В одной книге12 страниц. Это в 4 раза меньше, чем в другой. Сколько страниц во второй книге?

а)3 страницы б)48 страницы в) 20 страниц г) 32 страницы

12)В одной книге 42 страницы, а в другой в 7 раз меньше. Сколько страниц в двух книгах?

а) 48 страниц б) 50 страниц в) 49 страниц г)51 страница

13)В одной книге 40 страниц, а в другой 20 страниц. Во сколько раз в первой книге больше страниц, чем во второй?

а)в 4 раза б)в 3 раза в)в 20 раз г)в 2 раза

14)Ширина обложки журнала прямоугольной формы 15см, а длина 25см. Чему равен периметр этого прямоугольника?

а)40см б)60см в) 50см г)80см

15)Корова за 6 дня съедает 12 кг сена. Сколько нужно заготовить сена на 9 дней?

а)18кг б)24кг в)21кг г)27кг

16)Как представить в виде произведения двух множителей число 42?

а)7х6 б)7х7 в)7х8

17)Найдите число, которое делится на 3.

а)21 б)48 в)35

18)Какое число надо вставить = 9?

в окошко, чтобы равенство стало верным: 81:

а) 9 б)7 в)8

19)Какое число надо вставить : 8

в окошко, чтобы неравенство стало верным: > 7?

а)56 б)48 в)88

20)Сравните выражение: (3+27):3… 3+27:3

а)< б)> в)=

21)Представьте число 51 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 3.

а)46+5 б)50+1 в)30+21

22)Во сколько раз увеличили 18,если получили 72?

а)в 3 раза б)в 5 раз в) в 4 раза

23) Произведение каких двух чисел равно 96?

а)16и6 б)22 и 3 в)28 и 2

24)Найдите число, в котором 6 единиц 2 разряда:

а)806 б)609 в)760

25)Какое число при счёте следует за числом 389?

а)391 б)379 в)390

Ключи к обработке теста.

1 вариант.

1)б 2)в 3)а 4)г 5)а

6)а 7)б 8)б 9)б 10)а

11)в 12)б 13)б 14)б 15)в

16)б 17)б 18)б 19)б 20)б

21)б 22)в 23)б 24)в 25)в

2 вариант.

1)б 2)б 3)б 4)г 5)а

6)в 7)б 8)б 9)б 10)а

11)г 12)в 13)а 14)б 15)в

16)в 17)б 18)в 19)б 20)а

21)в 22)б 23)в 24)в 25)в

3 вариант.

1)б 2)б 3)в 4)б 5)в

6)а 7)б 8)б 9)б 10)в

11)г 12)г 13)в 14)в 15)б

16)а 17)в 18)в 19)б, в 20)б

21)б 22)б 23)а, б 24)б 25)в

4 вариант.

1)б 2)в 3)б 4)б 5)б

6)в 7)б 8)б 9)б 10)б

11)б 12)а 13)г 14)г 15)а

16)а 17)а, б 18)а 19)в 20)а

21)в 22)в 23)а 24)в 25)в

Источник

Типичные вычислительные ошибки учащихся при решении пробных
заданий ОГЭ и методы их предотвращения

При выполнении пробных заданий ОГЭ учащимися
допускается ряд типичных ошибок, в связи с чем, была предпринята попытка их
систематизировать и предложить методы их предотвращения.

Многие ошибки вызваны тем, что задания ОГЭ
охватывают материал фактически с 1 по 9 класс и учащиеся к 9 классу порой
забывают материал и утрачивают навыки, полученные в начальной школе и 5-6
классах, когда закладываются умения производить вычисления без использования
калькулятора.

Наиболее распространённая ошибка – «потеря
знака». В процессе вычислений учащиеся забывают о том, будет результат
положительным или отрицательным. Предлагается акцентировать внимание учащихся на
необходимости предварительно определить знак результата до осуществления
вычислений и записать его после знака «=» и лишь после этого производить
вычисления. Например: необходимо перемножить «-36» и «48», определяем, что
произведение этих чисел будет со знаком «-» и записываем его после знака «=» и
лишь после этого приступаем к умножению этих чисел столбиком.

Также часто ошибочный знак у числа или
переменной получается при действиях с дробями. Необходимо обратить внимание учащихся,
что при любых действиях с дробями желательно числитель записывать в скобках,
тогда при перемножении дробей содержащих в числителе выражение

снижается вероятность ошибки в определении
знака второго слагаемого в числителе после умножения по распределительному
закону.

Вообще необходимо акцентировать внимание, что
знак «-» относится к числу перед которым он стоит и выражение «-3+5-6+4» — это
сложение четырёх чисел, имеющих разные знаки. И при выполнении выражения
«-3*(х-1)» нужно «-3» умножить на «х», а затем «-3» умножить на «-1».

Данные проблемы могут показаться примитивом,
не заслуживающим внимания, но на практике многие учащиеся девятых классов
делают такие ошибки очень часто.

Следующий распространённый тип ошибок –
неправильный порядок вычислений, приводящий к громоздким числам и
вычислительным ошибкам. Дети начинают выполнять вычисления по порядку «в лоб»,
забывая, что, во-первых, в дробях можно сократить множители в числителе и
знаменателе в выражениях типа после сокращения которых
действие выполняется устно, при попытке же последовательно перемножить
числители и знаменатели дробей и потом разделить их «уголком» вероятность
допущения ошибки растёт с каждый разрядом числа. Во-вторых, при сложении чисел
не нужно торопиться и определить порядок сложения, например в выражении
«14+17+6+3» гораздо проще вспомнить, что можно выполнять сложение в любом
порядке и сложить «14 и 6, 17 и 3».

И в целом, часто ошибки – следствие утраты
навыка производить вычисления без калькулятора. Необходимо ещё раз напомнить
учащимся материал второго — пятого класса. Даже вполне успевающие ученики порой
делают глупые ошибки при необходимости из «9» вычесть «0,36» ибо правило
«записать запятую под запятой» часто забыто. А при делении «83» на «4» или
«2030» на «5» и других чисел, где необходимо дважды «сносить» число при делении
уголком, предварительно записав в частное «0», ошибку делают почти все
учащиеся.

Библиографическое описание:

Смородинова, Л. В. Причины вычислительных ошибок младших школьников / Л. В. Смородинова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 5.6 (109.6). — С. 93-94. — URL: https://moluch.ru/archive/109/27017/ (дата обращения: 31.01.2023).

В статье рассматриваются различные аспекты возникновения вычислительных ошибок младших школьников. Перечислены типы вычислительных ошибок, приведены возможные пути устранения вычислительных ошибок.

Ключевые слова: вычислительные ошибки, содержание ошибок, причины ошибок.

При формировании способов вычислений у младших школьников часто возникают типичные ошибки, поскольку процесс формирования является сложным и длительным. Под типичной вычислительной ошибкой в литературе понимают полученный несколькими учениками результат вычислений, неадекватный объективному (А.К. Артемов, П.Я. Шеварев). Успех обучения зависит от своевременного предупреждения таких ошибок [2]. Это возможно лишь в случае выявления их причин возникновения.

Различные аспекты причин ошибок, допускаемых школьниками, были исследованы в диссертациях Г. А. Асанова, Д.И. Икрамова, И.М. Кирилецкого [4], А.Г. Муханова, В.Г. Прочухаева, Д.А. Скрыпника, А.Ф. Сычикова и др. В этих работах перечислены типы допускаемых ошибок [1]. Приведено большое количество примеров ошибочных рассуждений и связанных с ними неверных решений [2].

Достаточно подробно исследованы отклонения действий учащихся от верных.

В то же время, можно констатировать, что в приведенных источниках предлагается анализ ошибок, проведенный с позиций их содержания. Однако он не гарантирует исчезновения типичных ошибок при дальнейшей работе [3].

Многие исследователи единодушны в том, что чаще всего причина появления ошибки имеет методический характер. Для анализа причин появления типичных ошибок в процессе вычислений воспользуемся методикой, разработанной А.К. Артемовым.

Будем различать содержание ошибки и причину ее возникновения. Содержание ошибки составляет то, что объективно неверно, неадекватно выполнено в действиях учащихся. Причиной ошибки называется некоторое обстоятельство (или их совокупность), повлекшие выполнение неадекватного действия. Например, если учащийся выполняет сложение чисел следующим образом: 54 + 3 = 84, то содержание ошибки составляет нарушение алгоритма сложения двузначного и однозначного чисел (вместо прибавления второго слагаемого к единицам первого слагаемого ученик прибавляет второе слагаемое к десяткам первого слагаемого). Причина ошибки остается пока неясной.

Методика выявления причин ошибок, предложенная названными авторами, предусматривает сопоставление двух ситуаций: той, в которой ученик допустил ошибку, и той, в которой он выполнил верное действие. В качестве последней может быть взят процесс объективно выполненного действия. Эти ситуации должны быть сходны (или различаться) по одному существенному компоненту. При сопоставлении ситуаций сначала устанавливается, какие условия необходимы и достаточны для верно выполненного действия. Затем путем анализа условий обучения выявляются обстоятельства, благоприятствующие зарождению ошибки. Для приведенного примера процесс объективно верного выполнения сложения будет таким: 54+3=(50+4)+3=50+(4+3)=50+7=57. При сопоставлении ошибочно и верно выполненных действий возникают следующие предположения:

− Ученик не заменил двузначное число суммой разрядных слагаемых (причиной этого может служить неполная ориентировочная основа действия сложения двузначного и однозначного чисел).

− Ученик не включил в обобщенную ориентировочную основу действия существенный для сложения признак «можно складывать только величины, измеренные в одних мерках».

Оба предположения указывают на то, что у ученика, совершившего ошибку, сформирована неполная частная ориентировочная основа действия сложения двузначного и однозначного чисел. В этом заключается ближайшая причина возникновения ошибки.

Сформированная неполная частная ориентировочная основа действия может быть причиной слишком узких и слишком широких обобщений. Поясним это утверждение.

Ориентировочная основа действия – это набор ориентиров, необходимый и достаточный для верного выполнения действия или распознавания понятия. Если хотя бы один из ориентиров отсутствует в ООД, действие становится другим и ведет к неверному результату. Если ученик не достраивает самостоятельно сформированную ООД, то будем говорить, что в этом случае ученик владеет слишком широкой ООД.

Сформированная неполная ориентировочная основа действия, в свою очередь, является следствием неверного методического подхода к обучению, рассогласованности методики обучения с закономерностями процесса усвоения знаний и умений. В частности, возможно, что неполнота ориентировочная основа действия, сформированной у детей, обусловлена игнорированием закономерности получения обобщений (Н.Ф.Талызина): «Обобщение идет только по тем признакам, которые включены в ориентировочную основу действия, направленного на анализ изучаемого объекта». Это означает, что методические ошибки являются отдаленными причинами возникновения массовых ошибок [4] .

Таким образом, для предупреждения появления ошибок необходимо не только выявить их содержание, но и определить ближайшие и отдаленные причины возникновения. Результатом этого анализа может быт разработка специальных упражнений с учетом психологических закономерностей процесса усвоения знаний и умений. [6]

Литература:

Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1967. 191 с.
Далингер В.А. Начала математического анализа. Типичные ошибки, их причины и пути их предупреждения. Омск: ООО «Издатель-полиграфист», 2002. 158 с.
Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Причины вычислительных ошибок младших школьников и пути их предупреждения. Педагогика городского пространства: теория, методология, практика. Сборник трудов по материалам Всероссийской научно-практической конференции. Самара, 2015. С. 284-288
Кочетова Н.Г., Севенюк С.А., Лысогорова Л.В. Юбилею факультета начального образования Поволжской государственной социально-гуманитарной академии посвящается//Поволжский педагогический вестник. 2014. № 4 (5). С. 5-7.
Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников. Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233

Основные термины (генерируются автоматически): ошибка, однозначное число, ориентировочная основа действия, содержание ошибки, ученик, выполненное действие, действие, действие сложения, отдаленная причина возникновения, причина ошибки.

Ключевые слова

вычислительные ошибки,

содержание ошибок,

причины ошибок

вычислительные ошибки, содержание ошибок, причины ошибок

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где tilde a – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере $Delta(tilde a)le0,5cdot10^{3-2+1}le0,5cdot10^2=50$ .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где alpha_m — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число tilde a является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа tilde a и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

означает, что число tilde a является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

AX=F

характеризуется невязкой

где tilde X — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть $left|{t_j - t_j^*}right| le Delta (t_j^* ), qquad j = 1 div n$ — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

Можно показать, что при малых $rho = sqrt{{(Delta (t_1^* ))}^2 + ldots + {(Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

— предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом tilde a , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={01$ , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда a_1=1 . Тогда $|a|ge2^pcdot2^{-1}=2^{p-1}$ и относительная погрешность равна $frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t+1}$ . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где $|epsilon|le2^{-t}$ – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через fl(x) (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где box — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

tilde S=(tilde S_1+x_3)(1+delta_2)=(x_1+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_3(1+delta_2).

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

tilde S=(x_3+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_1(1+delta_2).

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

tilde S=a_1cdot a_2(1+delta(a_1))(1+delta(a_2))

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно delta .

Тогда .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

где – суммарная погрешность, $|delta_{fl}|leepsilon$ – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, epsilon – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции y=f(x) , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если f(x)>0 , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$

Если , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной y=f(x) , если f(x) дифференцируема и :

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

Если компьютер работает при $delta _M > 10^{ - 8}$ , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до 16,0 и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. $x_{1,2,3,4} = 2$ , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена $approx10^{-8}$ привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении $approx10^{-2}$ .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

u''(t) = u(t), qquad u(0) = 1, qquad u'(0) = - 1.

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

При заданных начальных данных точное решение задачи: $u(x) = e^{-t}$ , однако малая погрешность delta в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t), u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Его решение: $u(t) = u_0e^{10(t - t_0 )}$ , однако значение u(t_0) известно лишь приближенно: , и на самом деле $u^*(t) = u_0^*e^{10(t - t_0)}$ .

Соответственно, разность u* - u будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных $delta: qquad|u_0^* - u_0| < delta, qquad delta le varepsilon e^{ - 10}$ при t_0= 0 .

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, 100u + 1001v = 1101; end{array} right.

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на 0,01 , получим возмущенную систему:

left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, 100u + 1001v = 1101; end{array} right.

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

u_M = u(1 + delta_M^u), quad v_M = v(1 + delta_M^v)

, причем

Тогда:

u_M - u approx udelta_M^u, quad v_M - v approx vdelta_M^v.

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

Очевидно, что $delta = left|{frac{delta_M^u - delta_M^v}{Delta }} right| le frac{2delta_M}{0,001} approx 2000delta_M = 1$ , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо $u_{i+1}$ получим $u_{i + 1}^M = q(u_i + delta_i) = u_{i + 1} + qdelta_i$ , т.е. $delta_{i + 1} = qdelta_i,quad i = 0,1,ldots$ .

Следовательно, если |q| > 1 , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Авторы
Файлы
Ключевые слова
Литература

Беляева Е.Р.

1 МБОУ ШР «СОШ №2»

подготовка к огэ по математике

анализ ошибок

уравнения

1. Марков С.Н., Осипенко Л.А., Лапшина Е.С. Результаты государственной итоговой аттестации в форме основного государственного экзамена по математике в Иркутской области в 2017 году. Методические рекомендации. – И: ГАУ ДПО ИРО, 2017. – 23с.

2. Лапшина Е. С., Марков С. Н., Осипенко Л. А. Результаты государственной итоговой аттестации в форме основного государственного экзамена по математике в Иркутской области в 2018 году. Методические рекомендации.– И: ГАУ ДПО ИРО, 2018. – 42 с.

3. Гаер М. А., Лапшина Е. С., Марков С. Н. Результаты государственной итоговой аттестации в форме основного государственного экзамена по математике в Иркутской области в 2019 году. Методические рекомендации. – И: ГАУ ДПО ИРО, 2019. – 38 с.

Введение

Структура Контрольно-измерительных материалов ОГЭ отвечает цели построения системы дифференцированного обучения математике в современной школе. Дифференциация обучения направлена на решение двух задач: формирования у всех обучающихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования, и одновременного создания условий, способствующих получению частью обучающихся подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики во время дальнейшего обучения, прежде всего при изучении её в средней школе на профильном уровне.

Чтобы быть зачисленным в профильный 10 класс на базе нашего учебного учреждения, необходимо сдать успешно экзамены по итогу 9-го класса. Успешно для меня – это значит на «отлично». Критерии оценивания экзамена по математике таковы: чтобы получить отметку «отлично», необходимо набрать минимум 22 балла. Это становится возможным лишь тогда, когда выпускник приступает к решению заданий с развёрнутым ответом с №20 — №25.

Со слов сверстников, я знаю, что не все педагоги, работающие в общеобразовательных школах, рассматривают с обучающимися задания повышенного уровня сложности, анализ типичных ошибок, которые допускают выпускники прошлых лет.

Мой вклад в решение данного проблемного вопроса заключается в том, что я предлагаю своим ровесникам, на основании моей работы, рассмотреть типичные ошибки выпускников, и самостоятельно закрепить материал, подготовиться к экзамену с помощью предложенных заданий. Мной были проанализированы КИМы с 2016-2019 годы.

Обзор литературы

Вопрос типичных ошибок, которые допускают выпускники, в тех или иных заданиях, особенно 2 части, рассматривается педагогами на совещаниях по итогам ГИА. Я не нашла ни одной исследовательской работы по данному направлению, которая была бы предложена учащимися. В основном данный проблемный вопрос представлен в виде педагогических статей.

По рекомендации своего руководителя основным источником исследования стали «Методические рекомендации результатов государственной итоговой аттестации в форме основного государственного экзамена по математике в Иркутской области», которые издаются Государственным автономным учреждением дополнительного профессионального образования Иркутской области «Институт развития образования Иркутской области».

Цель

Анализ типичных ошибок выпускников в решении задания №20 (2 часть) по теме «Уравнения».

Методы исследования

1.Поисковый.

2. Анализ, синтез (отбор необходимой информации, обобщение)

3.Практический

Результаты исследования

Спецификация контрольно измерительных материалов ОГЭ по математике.

Я рассмотрела спецификацию контрольных измерительных материалов для проведения ОГЭ. И сделала вывод, что задание №20 проверяет умение учащегося выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения. Задание №20 относится к повышенному уровню сложности и оценивается на 2 балла. Задания, оцениваемые в 2 балла, считаются выполненными верно, если обучающийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не имеющая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то участнику выставляется 1 балл.

Задание №20 подразделяется на:

-алгебраические выражения;

-уравнения;

-неравенства;

-системы неравенств;

-системы уравнений.

На данном этапе мной рассмотрены и представлены в работе:

Уравнения:

· Иррациональные.

· Дробно-рациональные.

· Уравнения, приводимые к квадратным.

· Применение свойств при решении уравнений.

Таблица 1

Основная статистика по выполнению задания №20 учащимися 9-х классов Иркутской области.

№ задания	Содержание задания	Процент участников, набравших максимальный балл по заданию
2016	2017	2018	2019
21 *	Решить уравнение или систему уравнений	6,4	21,1	10,6	14,8

*До 2020 года задание №20 значилось под №21. Изменения произошли в контрольно-измерительных материалах в 2020-2021 учебном году.

Приведённая статистика говорит о том, что в среднем лишь 13% выпускников справляются с заданием №20. [3:19]

Содержание задания №20 по годам. Типичные ошибки выпускников.

2016 год

Решите уравнение:

Поскольку приём использования в решении уравнений свойств отрабатывается в школе редко, с заданием справились лишь 6,4% учащихся Иркутской области.

2017 год

Решите уравнение:

Типичные ошибки выпускников:

1.Вычислительные ошибки

2.Ошибки в формуле нахождения корней квадратного уравнения

3.Распостранённая ошибка в представлении ответа. Множество из двух корней уравнения описывалось как упорядоченная пара , что является ошибкой в математической символике

4.Обучающиеся записывали корни в виде десятичных дробей и отбрасывали из ответа те из них, которые имели ненулевой период.

О критериях оценивания:

Решение, в котором была допущена вычислительная ошибка, но с ее учетом доведенное до конца, оценивалось в 1 балл.

Подчеркну, что ошибка в формуле нахождения корней квадратного уравнения не является вычислительной, и за ее допущение ставится 0 баллов.

Правильное решение с ошибкой в форме представления ответа – 1 балл.

Появление лишних корней в ответе в результате логической (не вычислительной) ошибки – 0 баллов.[1:15]

2018 год

Решите уравнение:

Типичные ошибки выпускников:

1) Основные ошибки в решении задачи 21 связаны с областью допустимых значений переменной, входящей в уравнение. Ошибка, как правило, заключалась либо в неэквивалентном преобразовании уравнения, произведенном без учета ограничения на область допустимых значений переменной, либо в неправильном определении (возможно, описании) области допустимых значений. Ошибки такого рода не относятся к вычислительным. Решение в таком случае оценивается в 0 баллов.

2) Вычислительные ошибки.

О критериях оценивания:

Решение, в котором была допущена вычислительная ошибка, но с ее

учетом доведенное до конца, оценивалось в 1 балл.

Подчеркну, что ошибка в определении области допустимых значений переменной не является вычислительной и за ее допущение ставится 0 баллов.

Появление лишних корней в ответе в результате логической (не вычислительной) ошибки – 0 баллов. [2:15]

Рисунок 1

Вывод: данное уравнение решено верно. Обучающийся получил максимальное количество баллов.

Рисунок 2

Вывод: в данном примере решения уравнения учащийся не определил ОДЗ и не учёл его при ответе. Оценка эксперта 0 баллов.

Рисунок 3

Вывод: здесь учащимся определена область допустимых значений, но неправильно: упущен случай равенства 5. Оценка эксперта 0 баллов.

2019 год

Решите уравнение:

Типичные ошибки выпускников:

1.Вычислительные ошибки

2.Второй класс ошибок касается применения метода введения вспомогательной неизвестной при решении уравнения. [3:20]

Рисунок 4

Вывод: уравнение выпускником решено верно. Оценка эксперта 2 балла.

Банк заданий №20

Тщательно разобравшись в решении новых для меня уравнений, сделав анализ типичных ошибок выпускников, предлагаю небольшой банк заданий, который поможет моим сверстникам отработать задание №20.

Иррациональные уравнения (2019 год)

Решите уравнение:

Решение:

Поскольку подкоренное выражение не может быть меньше нуля, по свойству арифметического корня, область допустимых значений ограничивается выражением значит,

ОДЗ:

при уничтожении корней получаем:

решаем квадратное уравнение и получаем корни:

Решением искомого уравнения является только , так как не входит в область допустимых значений.

Ответ: .

Решите уравнения самостоятельно:

a) (Ответ: );

b) (Ответ: );

c) (Ответ:);

d) (Ответ: ).

Применение свойств при решении уравнений (2016 год)

Решите уравнение: .

Решение:

Квадрат любого числа неотрицателен. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если они оба равны нулю. Получаем систему уравнений:

Так как системе удовлетворяет только , он и будет являться ответом.

Ответ: .

Решите уравнения самостоятельно:

a) (Ответ: ;

b) (Ответ: ;

c) (Ответ: ;

d) (Ответ: .

Дробно-рациональные уравнения (2017 год)

Решите уравнение:

Решение:

Так как на ноль делить нельзя, обозначаем область допустимых значений и решаем:

ОДЗ:

Решением через дискриминант получаем:

Сверим корни с ОДЗ, не входят. Соответственно в ответе записываем оба корня.

Ответ: ; .

Второй способ: замена переменной

, отсюда имеем, и , а значит ответ: ; .

Второй способ решения был предложен составителями экзаменационных материалов. Его применяет подавляющее большинство обучающихся.

Решите уравнения самостоятельно:

a) (Ответ: );

b) (Ответ: );

c) (Ответ: ;

d) (Ответ: ).

Библиографическая ссылка

Беляева Е.Р. АНАЛИЗ ТИПИЧНЫХ ОШИБОК В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ, ПРЕДЛАГАЕМЫХ В КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ ОГЭ. ЗАДАНИЕ №20. МАТЕМАТИКА // Международный школьный научный вестник. – 2021. – № 2.
;

URL: https://school-herald.ru/ru/article/view?id=1423 (дата обращения: 31.01.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Чтобы успешно сдать экзамен, подготовку нужно начинать заранее. И если вы не можете самостоятельно определить свои слабые места и проблемы, рекомендуем начать с разбора типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Здесь мы приведем анализ типичных ошибок 2023 и дадим советы, как их не допустить при сдаче ОГЭ/ЕГЭ по математике. Следите за нашим телеграм-каналом – там мы будем разбирать и другие дисциплины, чтобы помочь вам в поступлении.

Базовый уровень математики

Ошибки в задачах на проценты

Чаще всего их допускают, так как не разбираются в сути процента.

Возьмем пример задачи, когда нужно сначала снизить цену на 25%, а потом повысить ее на 25%. Самая частая ошибка – полагать, что эти проценты будут равны одной и той же сумме. На самом же деле база их зачисления будет совершенно разной.

В этом примере 6% участников допустили вариант, что новую цену нужно понизить на 25%. На самом же деле новая цена – это 125% от старой. И вопрос в этой задаче – узнать, сколько будет 100% от старой цены.

Совет: повторить основы расчета процентов, повторить взаимосвязи величин, подумать над способом решения таких задач.

Невнимательное прочтение условия задания

Волнение и психологическое напряжение приводят к тому, что участники часто неправильно понимают условие задания. В итоге – снижение итогового балла по невнимательности, а не по незнанию.

Например:

В 24% участников упомянули те точки, где значение функции (а не производной) положительное. Еще 2% указали номера точек, где производная принимает положительное значение.

Совет: вдумчиво, медленно и несколько раз читайте задание.

Непонимание текста задачи (на повышенном уровне и в практико-ориентированных заданиях)

Учащиеся могут не только неправильно понять, но и вовсе не понять условия. Иногда это происходит из-за незнания величин, единиц их измерения или плохой работы с формулами. Многие просто пропускают эту часть тестирования.

Вот пример задачи:

Её выполнило только 57% участников тестирования. 8% вообще не дали ответа, 6% дали ответ «чем ближе, тем лучше», 4% – «лампочку необходимо поместить в середину разрешенного интервала», еще 4,5% приняли фокус за основной параметр.

Совет: изучайте задания прошлых лет, просите учителя практиковать как можно более разные задачи.

Ошибки в вычислениях

Школьная привычка использовать даже в самых легких примерах калькулятор приводит к плачевному результату на экзамене. Если учащийся не научиться быстро считать в уме или хотя бы на бумаге, во время тестирования он может ошибиться даже в самых простых заданиях.

Особенно сложно участникам тестирования даются дроби, отрицательные числа, элементарные преобразования выражений и другие проблемы, копившиеся еще с 5 класса.

Совет: если в чем-то не разбираетесь, обязательно отработайте эту тему до автоматизма перед экзаменом, потому что она обязательно попадется.

Ошибки теоретического характера

Это касается фактов по геометрии и алгебре, незнание которых приводит к снижению процента выполнения заданий и базового, и профильного уровней.

Например:

В этой задаче около 8% участников вообще не ответили на поставленное условие, 38% дали ответ с ошибками относительно боковой поверхности конуса, а 12% совершили ошибки в расчёте объёма.

Статистика показывает, что в таких заданиях ошибок гораздо больше, чем в гораздо более сложных профильных заданиях.

Совет: потренируйтесь перед тестированием. Если ответы не сходятся с ключами, обратитесь за помощью к стороннему специалисту (репетитору или сервису студенческой помощи), чтобы они указали, где вы ошибаетесь.

Ошибки в алгоритмах и методах решения

Этот тип ошибок встречается во всех заданиях.

Например:

Около 15% участников получили нулевые баллы из-за проблем с невнимательным чтением неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств.

Хватает ошибок и в решении дробнорациональных неравенств, когда ученики забывают про знаменатель.

Совет: всегда проверяйте решение. Научитесь правильно находить последовательность в решении алгоритмов.

Ошибки в чтении и построении чертежа

Такое случается, когда ученик не понимает взаимосвязь элементов геометрических конструкций, а также не обладает основными пространственными представлениями.

Например:

Около 10% участников экзамена сделали ошибки в вычислении углов по их записи, просто перепутав буквы или не понимая, где расположены вершины всех углов. Еще 5% решили, что угол ACD прямой. А 3% увидели в угле ABD равносторонний треугольник.

Совет: тренируйтесь находить взаимосвязь элементов геометрических конструкций.

Неумение обосновывать и доказывать

14 и 16 задания по стереометрии и планиметрии отличаются повышенным уровнем сложности и требуют развернутого ответа. В каждом по 2 пункта: в первом нужно доказать, во втором – произвести вычисления.

Самые распространенные ошибки касаются первого пункта, так как у участников выявились проблемы с умением доказывать.

Есть проблемы и в оформлении доказательств. Например:

Основная трудность в отсутствии понимания логики построения доказательства.

Совет: тренируйтесь в доказательной базе, повышайте математическую культуру, учитесь обосновывать выбранные методы и способы их решения.

Ошибки в заданиях по тригонометрии

Из-за невнимательности и неаккуратности, а также отсутствия знаний по большому количеству теоретических фактов и способности их применять на практике, участники совершают частые ошибки в решении тригонометрических заданий.

Например:

Только 34% участников выполнили его. Самые частые ошибки (около 12%) связаны в первую очередь с нахождением тригонометрического знака – чаще всего потеря знака «минус». Еще 22% ждут «красивого» ответа, равного 1 или 2.

Ошибки математического моделирования

В 11 и 17 заданиях проверяют способность учащихся к построению и исследованию простейших математических моделей.

В текстовых задачах основную роль играет сюжетная часть – она имеет практическую ориентацию. И часто из-за непонимания взаимосвязи величин в этих заданиях допускают ошибки.

Например, в задачах на движение примерно 10% не понимают принципы движения по реке – они умножают собственную скорость на время движения.

Совет: тренируйте текстовые задачи, внимательно читайте условие задачи.

Профильный уровень

Здесь приведем краткий список трудностей и ошибок участников ЕГЭ по математике:

Задание 2 – учащиеся не понимают разницу в сравнении отрицательных чисел и их моделей.
Задание 6 – не понимают геометрический рисунок (относятся к нему как к чертежу, где соблюдены все размеры).
Задание 7 – отвечают наугад в решениях производных и попытках увидеть ее на чертеже.
Задание 8 – ошибаются в наглядном решении.
Задание 9 – неправильно применяют свойства степеней, ошибаются в решении логарифмов из-за отсутствия практики.
Задание 12 – ошибаются в задачах с нулями производной.

Как правильно читать задание, чтобы не совершать ошибок по невнимательности

Есть несколько рекомендаций, чтобы избежать ошибок из-за невнимательного прочтения задания. Это и будет алгоритмом решения задачи:

прочтите условие;
выпишите данные величины, сделайте рисунок в геометрическом задании;
установите и запишите отношения и взаимосвязи между известными данными;
выпишите что найти, ответ на какой вопрос нужно дать;
определите тип задания;
сформулируйте содержание и последовательность действий.

Это будет ваш своеобразный чек-лист, который обязательно нужно соблюдать при решении любой задачи, чтобы не допустить обидных ошибок.

Данные условия важно именно выписывать, а не иметь в виду. Фиксация их в уме чаще всего приводит к записи неправильного ответа.

И еще момент: не приступайте к решению задачи сразу же после ее прочтения. Психологи утверждают, что важно выдержать паузу между стимулом и реакцией – именно при этом условии удастся добиться оптимальных результатов:

сориентироваться в условии,
обдумать и спланировать ее решение,
понять уровень ее сложности и решить, откладывать ли ее решение напоследок.

Кроме сложности задачи оцените, сколько баллов она принесет и насколько она утомительна. Важно оставить энергию для решения других заданий при сдаче единого государственного экзамена.

Начинайте с самой простой задачи, постепенно продвигаясь к самой сложной. На экзамене важно количество решенных заданий, а не их сложность.

Знание типичных ошибок ЕГЭ и ОГЭ по математике даст вам полную картину того, к каким заданиями нужно готовиться с большим усилием. А чтобы не отвлекаться на другие учебные дела, не забывайте: рядом есть сервис студенческой помощи, который подставит плечо в трудную минуту.

Математику базового уровня часто недооценивают, пренебрегая подготовкой к ней. Однако от нее зависит судьба аттестата: без «отлично» за математику отличник не получит красный аттестат, а без порогового балла выпускники в принципе рискуют уйти из школы со справкой! Типичные ошибки на ЕГЭ по математике помогут избежать этой участи.

Типичные ошибки ЕГЭ по математике в задачах на проценты

Проблемы возникают из-за неумения рассчитывать процент от суммы. Так, стоит обратить внимание, что процент повышения или понижения стоимости вычисляется от старой, а не новой цены, поэтому принимать новую цену за 100% и исходить из нее станет причиной ошибки на ЕГЭ по математике. Новая цена — это 100% ± процент повышения (+) или понижения (-).

Частые ошибки в вычислениях

Вычислительные ошибки на ЕГЭ по математике не редкость, но от этого они не перестают быть опасными и обидными. Стоит следить за наличием минуса (и его сокращением), а также помнить правила преобразования выражений, действий с дробями. Не стоит полагаться исключительно на умение считать в уме: лучше выполнять свои вычисления на бумаге и обязательно производить проверку (подставляя значение на место неизвестной в уравнениях и производя смежные действия (сложение-вычитание, деление-умножение) в простых примерах).

Основные ошибки теоретического характера

Ошибки на ЕГЭ по математике часто возникают из-за неумение работать с чертежами и терминологией. Большинство выпускников пытается найти заданную в номере величину с помощью инструментов или на глаз, часть из них не знает терминологии и находит не ту величину. Чтобы не допустить этого, стоит научиться работать с объемными фигурами: находить площадь их поверхности (всей или боковой), объемы и их части.

Также стоит обратить внимание на важные аспекты теории: основные теоремы, аксиомы, свойства.

Распространенные ошибки в алгоритмах и методах решения

Последовательность выполнения действий проходится еще во втором классе, однако даже такие ошибки на ЕГЭ по математике встречаются. Стоит помнить как простейшие алгоритмы решения примеров: сначала действия в скобках, а потом остальные; первыми идут умножение и деление, потом сложение и вычитание, — так и более сложные. Так, в дробях ни в коем случае нельзя забывать про знаменатель, а сокращаться из числителя и знаменателя могут только множители (простые числа и выражения в скобках).

Ошибки при чтении и построении чертежа

Ошибки на ЕГЭ по математике, касающиеся чертежа, возникают при работе как с объемными фигурами, так и с расположенными в одной плоскости. Они связаны с отсутствием пространственного представления и невнимательностью, вызванной неправильным прочтением буквенной записи (угол АВС — это не то же самое, что углы АСВ и САВ). Также сложности могут возникнуть при неумении ориентироваться в основных обозначениях на чертеже (равные стороны, равные углы, прямые углы).

Типовые ошибки в заданиях по тригонометрии

Раздел тригонометрии построен на знании тригонометрических тождеств и свойств тригонометрических функций, поэтому ошибки на ЕГЭ по математике могут быть допущены из-за недостаточного владения теорией. В КИМ-е базовой математике даны основные формулы, которые могут быть полезны выпускникам, однако стоит также научиться выводить из них остальные.

Ошибки математического моделирования

Трудности, связанные с математическими моделями, вызваны неумением решать практические текстовые задачи. Для их решения необходимо понимать принцип работы действия (чаще всего, один из видов движения). Сложности возникают с подстановкой в формулу неверных данных, из-за чего искажается ответ.

Таким образом, базовая математика не так проста, как может показаться на первый взгляд. Она не займет так много времени, как профильная, но все равно требует подготовки.

Типичные ошибки: вычислительные (умножение и деление натуральных чисел);

нахождение в уравнении неизвестного вычитаемого, уменьшаемого,

неизвестного множителя;

Анализ причин появления ошибок:

Систематизировать материал по пройденным темам.

Недостаточно развит навык применения теоретических знаний на практике.

Недостаточно сконцентрировано внимание при чтении заданий теста и при выполнении их.

Необходимо организовать уроки повторения по данным вопросам.

Необходимо обратить внимание на типичные ошибки (вычислительные ошибки сложения и вычитания, перевод единиц измерения) и включать повторение данных вопросов в устный счет на уроках.

Причины ошибок:

ЗАДЕРЖКА ПСИХИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ— особый тип дефицитарной аномалии психического развития ребенка. З. п. р. имеет различное происхождение: в одних случаях она связана с особенностями, а точнее — дефектами конституции ребенка, вследствие чего по своему физическому и психическому развитию он начинает соответствовать более раннему возрасту в других случаях З. п. р. возникает в результате различных соматических заболеваний (физически ослабленные дети) или органического поражения ц. н. с. (дети с минимальной мозговой дисфункцией).

У детей с З. п. р. отмечается значительное снижение работоспособности вследствие возникающих у них явлений цереброастении, психомоторной расторможенности, аффективной возбудимости. У них затруднено усвоение навыков чтения, письма, счета; страдают непосредственная память и внимание; имеются легкие нарушения речевых функций.

Пути решения:

Коррекция переключаемости и распределения внимания.
Коррекция логического мышления, зрительной и вербальной памяти.
Коррекция слухового и зрительного восприятия.
Коррекция произвольного внимания.
Коррекция мышц мелкой моторики.

Источник

Помогите пожалуйста сегодня последний день учёбы Тест за год по математике для 3 класса.

1) Продолжите: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…
а) из известного слагаемого вычесть значение суммы.
Б )из значения суммы вычесть известное слагаемое.
2) Число из которого вычитают, называется …
а) слагаемое, б) уменьшаемое в) вычитаемое
3)Найдите пример, в котором есть вычислительная ошибка:
а) 54+47=91 б) 79-48=31 в) 36+25=61
4)Среди данных записей найди уравнение.
а) 21+Х б) 76-21=55 в) Х+3>1 г) 36-Х=25
5)В каком из этих уравнений неверное решение:
а)Х+13=17 б)а+6=29 в) 16-в=10
Х=17+13 а=29-6 в=16-10
Х=30 а=23 в=6
6)На одной клумбе распустилось 15 роз, а на другой – 21 роза. 7 роз срезали. Сколько роз осталось на клумбах?
а)1) (+) 2) (-) б) 1) (-) 2) (+) в) 1) (+) 2) (+)
7)Миша разложил 15 марок на одной странице альбома, и 20 марок на другой. После этого ему осталось разложить 16 марок. Сколько всего марок было у Миши?
а) 1) (+) 2) (-) б) 1) (+) 2) (+)
8)После того, как мама раздала детям 8 груш, у неё осталось ещё 5. Сколько всего груш было у мамы?
А) (-) б) (+)
9)В одном мотке было 15 метров провода, во втором – на 6 метров больше, чем в первом, а а третьем – на 9 метров меньше, чем во втором. Сколько метров провода в третьем куске?
а) 1) (+) 2)(+) б) 1) (+) 2)(-) в)1) (-) 2) (+)
10)В книге 56 страниц. Коля читал каждый день по 8 страниц. За сколько дней он прочитал эту книгу?
а)за 7 дней б) за 9 дней в) за 8 дней г) за 3 дня
11)В одной книге 9 страниц. Это в 3 раза меньше, чем в другой. Сколько страниц во второй книге?
а)3 страницы б)6 страниц в)27 страниц г)18 страниц
12)В одной книге 40 страниц, а в другой в 5 раз меньше. Сколько страниц в двух книгах?
а)45 страниц б)48 страниц в)53 страницы г)75 страниц
13)В одной книге 30 страниц, а в другой 10 страниц. Во сколько раз в первой книге больше страниц, чем во второй?
а)в 10раз б)в 3 раза в)в 5 раз г)в2 раза
14)Ширина обложки книги прямоугольной формы 8 см, а длина 12 см. Чему равен периметр этого прямоугольника?
а)20см б)40см в)60см г)80см
15)В трёх одинаковых коробках 18 карандашей. Сколько карандашей в 5 таких коробках?
а)18карандашей б)25 карандашей в)30 карандашей г)35 карандашей
16)Как представить в виде произведения двух множителей число 54? а) 7х7 б) 6х9 в) 8х7
17)Найдите число, которое делится на 6: а) 46 б) 42 в) 28
18)Какое число надо вставить в окошко, чтобы равенство стало верным: 63:  = 9?
а)8 б)7 в)6
19)Какое число надо вставить в окошко, чтобы неравенство стало верным:  : 8 > 9?
а)56 б)80 в)48
20)Сравните выражение: 30-9:3… (30-9):3 а) < б) > в) =
21)Представьте число 56 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 4.
а)50+6 б)40+16 в)24+26
22)Во сколько раз увеличили 17,если получили 68? а) в 6 раз б) в 51 раз в) в 4 раза
23) Произведение каких двух чисел равно 51? а)18и3 б)3 и 17 в)36 и 2
24)Найдите число, в котором 7 единиц 2 разряда: а)709 б)607 в)576
25)Какое число при счёте следует за числом 679? а)669 б)579 в)680 даю все балы пожалуйста срооооочноооо!!!!!!.

Источник

Данный урок посвящен тому, как найти вычислительную ошибку в ваших вычислениях. Многие из вас, решая задачи, примеры, уравнения, сталкивались с тем, что ответы неправильные, а искать ошибку в длинном примере или заново его решать будет очень долго. В сегодняшнем уроке вы узнаете несколько способов, как найти вычислительную ошибку, не решая заново, это быстро и эффективно. Вы узнаете, как пользоваться методом последней цифры и методом округления.

Введение

Тема сегодняшнего урока посвящена тому, как найти вычислительную ошибку. Вы когда-нибудь ошибались в вычислениях? Не ошибается только тот, который ничего не делает. С другой стороны, из этого можно сделать один очень важный вывод: уметь искать свои ошибки не менее важно, чем решать задачу. Задача, решенная с ошибкой, и задача, не решенная вовсе, чаще всего будут значить одинаково, то есть ничего. Поэтому сегодня мы попробуем научиться отыскивать ошибки в своих вычислениях и исправлять.

Сразу возникает следующая проблема. Хорошо, когда вы уверены, что в вашем примере есть ошибка, и рано или поздно вы ее найдете. А вот как самому во время контрольной работы или экзамена догадаться, что в примере есть ошибка? Ведь можно час искать ошибку в примере, а потом выяснится, что ее нет. Сегодня мы познакомимся с некоторыми довольно простыми соображениями, которые позволяют проверять, есть ли в примере ошибка.

Метод последней цифры

Одно из таких соображений называется последняя цифра (или анализ последней цифры). Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих данный подход.

Например:

1) 346757 + 23546 = 369575

Даже не считая в столбик можно сразу увидеть, что в этом примере есть ошибка, потому что если проверить по последним цифрам 7 + 6 = 13, то есть число должно оканчиваться на 3, а оканчивается на 5 – значит, где-то есть ошибка. Нужно вернуться к своим вычислениям и эту ошибку найти.

346757 + 23546 369575

2) 2465313 = 6546371

Можно сразу сказать, что в вычислении допущена ошибка. Почему? Потому что если перемножить последние цифры 5 и 3, то получается 15, число должно оканчиваться на 5, а у нас оканчивается на 1.

2465 313 6546371

3). 347 + 234 235 = 47806

Опять без подсчетов в столбик можно сказать, что здесь допущена ошибка. Как видите, этот пример содержит два действия. Попробуем сделать все действия с последними цифрами. Как вы помните, порядок действия у нас таков: сначала делаем умножение, потом сложение. Мы умножаем 4 на 5 – и получается 20, на конце числа должен стоять 0, к 0 прибавляем 7, должно получиться 7, а у нас на конце числа 6, значит, в примере допущена ошибка. Где именно, мы не знаем, может, была допущена ошибка в умножении или в сложении, но то, что ошибка есть, мы уже поняли.

347 + 234 235 47806

4) (345 4567 – 9873) 237 – 366 = 12948371

Первым действием мы 5 умножаем на 7 и получаем 35, на конце 5. Вторым действием вычитаем: 5 минус число, оканчивающееся на 3, и получаем 2 на конце. Умножаем это на 237, дважды семь – получаем 14, после третьего действия получаем на конце 4. Наконец, вычитаем из 14 число 6, получаем 8, которое должно стоять на конце. Значит, ответ 12948371 неправильный.

(345 4567 – 9873) 237 – 366 12948371

Нужно быть очень аккуратными, если в вашем выражении присутствует знак деления.

1) 28 : 4 = 7

Если разделить это выражение просто, то получится 7. С другой стороны, если мы попробуем проверить это равенство по методу последней цифры, 8 разделить на 4 равно 2, что не подходит к уравнению. Метод последней цифры к делению не применяется. Если по последней цифре все совпало, это еще ничего не значит. Это значит, что мы не нашли противоречия в данном случае, но ошибка все же может быть.

Например:

2) 2 2 = 14

Понятно, что это уравнение изначально неправильное, но, если проверить по последней цифре, два умножить на два будет 4, и у нас в конце уравнения стоит 4. Поэтому, если по последней цифре не сошлось, значит, в уравнении есть ошибка. Если же сошлось, это ничего не значит, может, ошибка есть, а может, и нет.

2 2 14

Итак, давайте подведем краткий итог первого метода. Если у вас решен пример на вычисление, который не содержит деления, а содержит только натуральные числа, то вы можете проверить себя, проделав все вычисления устно только с последними цифрами. Если результат сошелся, значит, с большой вероятностью, ошибки нет. Если же результат не сошелся, то ищем ошибку.

Метод округления

Давайте рассмотрим следующий пример: 143 147 = 221.

По проверке последней цифры, 3 умножить на 7, получаем 21, в конце числа 1, все в порядке, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, давайте сделаем простой предварительный подсчет. Если 100 умножить на 100, уже получится 10000, но у нас числа больше, чем 100, и мы получили в произведении только 221. Конечно, где-то закралась ошибка.

100 100 = 10000

143 147 221

Такая очень грубая прикидка, такое округление, позволяет нам понять, что пример решен неверно.

2) 2342 + 23426 = 234648

Опять же мы можем прикинуть по последней цифре и выяснить, что 2 плюс 6 – это 8, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, сделаем грубую прикидку: каждое число округлим до тысяч: 2 тысячи плюс 23 тысячи получается 25 тысяч, а в уравнении 234 тысячи. Значит, в примере где-то есть ошибка.

2000 + 23000 = 25000

3) 73462 – 2346 = 5362

Этот пример показателен тем, что вы можете найти ошибку, пользуясь и первым методом, и вторым. Действительно, если вычесть из 12 число 6, получаем 6, а в ответе последняя цифра 2. Уже неправильно. С другой стороны, давайте опять округлим до тысяч: 73 тысячи минус 2 тысячи получается 71 тысяча, а у нас примере 5 тысяч.

73000 – 2000 = 71000

4) 27 27 = 729

С последней цифрой все в порядке, семью семь – сорок девять, оканчивается на 9. Давайте сделаем округление: 30 30 = 900.

То есть ответ вроде правильный. Метод округления ошибку не выявляет. И этот пример действительно решен верно.

5) 342 + 253 175 = 306777

Обратите внимание, что с последней цифрой все в порядке: 3 умножить на 5 будет 15, то есть оканчивается на 5 плюс еще 2 – и будет 7. Но давайте снова округлим до сотен.

300 + 300 200 = 60300

Сами видите, что в левой части 60300, а в правой – 306 тысяч, равенство неверное. Значит, где-то допущена ошибка, при этом мы не знаем, где именно.

Таким образом, если мы хотим сделать проверку нашего примера с помощью прикидки или округления, мы должны сделать следующее: берем каждое число нашего примера и округляем его, то есть приравниваем его к ближайшему круглому числу. Проводим все вычисления с округленными числами и сравниваем тот ответ, который мы получаем с тем, который получился у нас в исходном примере. Естественно, ответы не должны полностью совпасть. Если они получились неравными, не паникуйте. Но они должны получиться близкими друг к другу. Если в примере ответ получился 102, а после округления ответ получился 1000000, значит, вы где-то ошиблись. Если же ответ у вас получился 102, а после округления 100, скорее всего, все правильно. Посмотрим еще на один пример: 33 ⋅ 33 = 1089.

Давайте округлим: 30 30 = 900. О чем же говорит такой ответ? Формально, как вы видите, у нас в ответе 4 цифры, а при округлении получилось 3 цифры. То есть вроде бы мы ошиблись на целый порядок, наверное, ошибка есть. Но, если вы присмотритесь к этим числам, вы увидите, что эти числа близки: 900 и 1000. Если вы видите, что разница в количестве цифр есть, но реально она не велика, возможно, никакого противоречия нет. В данном случае пример верный.

Еще один маленький совет. Если задача имеет какой-то практический смысл, старайтесь проверять, подходит ответ под этот смысл или нет. Например, если в задаче требуется найти скорость велосипедиста, а у вас после вычисления получилось 500 км/ч, скорее всего, вы ошиблись. Или предположим, вам нужно посчитать, сколько молока в литрах привезли на завод в сумме двух цистернах, а у вас получилось 3 литра. Наверное, это все-таки маловато для двух цистерн, так что тоже, скорее всего, у вас ошибка.

Итоги

Давайте подведем краткие итоги сегодняшнего урока. Сегодня мы познакомились с некоторыми методами, которые позволяют проверить, правильным ли получился ваш ответ. Эти методы не дают стопроцентной гарантии того, что вы отыщете ошибку. Даже если с помощью каждого из методов все получается в порядке, возможно, в примере есть ошибка. С другой стороны, проверка каждого из этих методов занимает не очень много времени, и поэтому, если даже в трех случаях из десяти какой-то из этих методов даст вам возможность найти ошибку, это уже будет хорошо.

Список рекомендованной литературы

Гельфман Э. Г., Холодная О. В. Математика: учебник для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. – 2012.
Шварцбурд С. И. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. – М.: Просвещение. – 2012.
Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 5 класс, 31-е изд., стер. – М.: 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «lifehacker.ru» (Источник)
Интернет-портал «kp.ru» (Источник)
Интернет-портал «5klass.net» (Источник)

Домашнее задание

Каким методом вы обычно пользуетесь, что найти вычислительную ошибку в примере?
В чем заключается метод последней цифры? Приведите пример.
В чем заключается метод округления (прикидки)? Приведите пример.

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

где tilde a – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где alpha_m — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число tilde a является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа tilde a и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

означает, что число tilde a является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

AX=F

характеризуется невязкой

Предельные погрешности

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина .

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

— предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={0\1$ , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

Погрешности арифметических операций

где box — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

сумма приближенных чисел равна

где — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где — относительные погрешности представления чисел.

( 3 )

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

≅

с точностью величин второго порядка малости относительно delta .

Тогда .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции y=f(x) , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента , оценивается величиной .

Если f(x)>0 , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$

Если , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t),\ u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Соответственно, разность u* - u будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в $e^{10}$ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на 0,01 , получим возмущенную систему:

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

, причем

Тогда:

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник

Типичные вычислительные ошибки учащихся при решении пробных заданий ОГЭ и методы их предотвращения

Библиографическое описание:

Ключевые слова

Похожие статьи

Как не допускать типичных вычислительных ошибок, используя…

Теория ошибки в свете различных подходов | Статья в журнале…

Теоретическое значение определения понятия «счётная ошибка»…

Обучение решению арифметических задач | Статья в журнале…

Типичные ошибки в бухгалтерском учёте и их исправление

Нормы оценки знаний обучающихся по математике

Педагогические условия устранения характерных текстовых…

Самостоятельная работа учащегося над ошибками как…

Формирование действия самоконтроля младших школьников

Похожие статьи

Как не допускать типичных вычислительных ошибок, используя…

Теория ошибки в свете различных подходов | Статья в журнале…

Теоретическое значение определения понятия «счётная ошибка»…

Обучение решению арифметических задач | Статья в журнале…

Типичные ошибки в бухгалтерском учёте и их исправление

Нормы оценки знаний обучающихся по математике

Педагогические условия устранения характерных текстовых…

Самостоятельная работа учащегося над ошибками как…

Формирование действия самоконтроля младших школьников

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также

Библиографическая ссылка

Базовый уровень математики

Ошибки в задачах на проценты

Невнимательное прочтение условия задания

Непонимание текста задачи (на повышенном уровне и в практико-ориентированных заданиях)

Ошибки в вычислениях

Ошибки теоретического характера

Ошибки в алгоритмах и методах решения

Ошибки в чтении и построении чертежа

Неумение обосновывать и доказывать

Ошибки в заданиях по тригонометрии

Ошибки математического моделирования

Профильный уровень

Как правильно читать задание, чтобы не совершать ошибок по невнимательности

Типичные ошибки ЕГЭ по математике в задачах на проценты

Частые ошибки в вычислениях

Основные ошибки теоретического характера

Распространенные ошибки в алгоритмах и методах решения

Ошибки при чтении и построении чертежа

Типовые ошибки в заданиях по тригонометрии

Ошибки математического моделирования

Введение

Метод последней цифры

Метод округления

Итоги

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также

Возможно, вам также будет интересно:

Типичные вычислительные ошибки учащихся при решении пробных
заданий ОГЭ и методы их предотвращения