Ошибка репрезентативности выборочной средней это - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

В
статистике выделяют два основных метода
исследования — сплошной и выборочный.
При проведении выборочного исследования
обязательным является соблюдение
следующих требований: репрезентативность
выборочной совокупности и достаточное
число единиц наблюдений. При выборе
единиц наблюдения возможны ошибки
смещения,
т.е. такие события, появление которых
не может быть точно предсказуемым. Эти
ошибки являются объективными и
закономерными. При определении степени
точности выборочного исследования
оценивается величина ошибки, которая
может произойти в процессе выборки
— случайная
ошибка репрезентативности (m)
— является
фактической разностью между средними
или относительными величинами, полученными
при проведении выборочного исследования
и аналогичными величинами, которые были
бы получены при проведении исследования
на генеральной совокупности.

Оценка
достоверности результатов исследования
предусматривает определение:

1.
ошибки репрезентативности

2.
доверительных границ средних (или
относительных) величин в генеральной
совокупности

3.
достоверности разности средних (или
относительных) величин (по критерию t)

Расчет
ошибки репрезентативности
(m_м)
средней арифметической величины
(М):

,
где σ
— среднее квадратическое отклонение; n
— численность выборки (>30).

Расчет
ошибки репрезентативности (m_Р)
относительной величины (Р):

,
где Р — соответствующая относительная
величина (рассчитанная, например, в %);

q
=100 — Ρ%
— величина, обратная Р; n
— численность выборки (n>30)

В
клинических и экспериментальных работах
довольно часто приходится использовать
малую
выборку, когда
число наблюдений меньше или равно 30.
При малой выборке для расчета ошибок
репрезентативности, как средних, так
и относительных величин,
число
наблюдений уменьшается на единицу,
т.е.

;
.

Величина
ошибки репрезентативности зависит от
объема выборки: чем больше число
наблюдений, тем меньше ошибка. Для оценки
достоверности выборочного показателя
принят следующий подход: показатель
(или средняя величина) должен в 3 раза
превышать свою ошибку, в этом случае он
считается достоверным.

83. Определение доверительных границ средних и относительных величин.

Знание
величины ошибки недостаточно для того,
чтобы быть уверенным в результатах
выборочного исследования, так как
конкретная ошибка выборочного
исследования может быть значительно
больше (или меньше) величины средней
ошибки репрезентативности. Для
определения точности, с которой
исследователь желает получить результат,
в статистике используется такое понятие,
как вероятность безошибочного
прогноза, которая является характеристикой
надежности результатов выборочных
медико-биологических статистических
исследований. Обычно, при проведении
медико-биологических статистических
исследований используют вероятность
безошибочного прогноза 95% или 99%. В
наиболее ответственных случаях, когда
необходимо сделать особенно важные
выводы в теоретическом или практическом
отношении, используют вероятность
безошибочного прогноза 99,7%

Определенной
степени вероятности безошибочного
прогноза соответствует определенная
величина предельной
ошибки случайной выборки (Δ
— дельта),
которая определяется по формуле:

Δ=t
* m
, где t
— доверительный коэффициент, который
при большой выборке при вероятности
безошибочного прогноза 95% равен 2,6;
при вероятности безошибочного
прогноза 99% — 3,0; при вероятности
безошибочного прогноза 99,7% — 3,3, а при
малой выборке определяется по специальной
таблице значений t
Стьюдента.

Используя
предельную ошибку выборки (Δ),
можно определить доверительные
границы,
в которых с определенной вероятностью
безошибочного прогноза заключено
действительное значение статистической
величины,
характеризующей
всю генеральную совокупность (средней
или относительной).

Для
определения доверительных границ
используются следующие формулы:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Оценка
достоверности результатов исследования
предусматривает определение:

1.
ошибки репрезентативности

2.
доверительных границ средних (или
относительных) величин в генеральной
совокупности

3.
достоверности разности средних (или
относительных) величин (по критерию t)

Расчет
ошибки репрезентативности
(m_м)
средней арифметической величины
(М):

,
где σ
— среднее квадратическое отклонение; n
— численность выборки (>30).

Расчет
ошибки репрезентативности (m_Р)
относительной величины (Р):

,
где Р — соответствующая относительная
величина (рассчитанная, например, в %);

q
=100 — Ρ%
— величина, обратная Р; n
— численность выборки (n>30)

;
.

83. Определение доверительных границ средних и относительных величин.

Для
определения доверительных границ
используются следующие формулы:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по ОП.11 Статистика

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся 2 курса

специальность 40.02.01 Право и организация социального обеспечения

(набор 2016 г.)

(углубленная подготовка)

дата проведения занятия по расписанию

Тема 3.1. Выборочное наблюдение

Занятие 15. ПЗ №8 Определение ошибки репрезентативности.

Определение объема выборочной совокупности

Цель занятия: отработать практические навыки по определению доверительных пределов и исчислению ошибок выборки

Задачи занятия:

Обучающая: Обеспечить усвоение обучающимися материала о понятиях: ошибки репрезентативности, выборка, выборочная совокупность;

Воспитательная: воспитывать навыки самостоятельной работы, чувство ответственности за порученный участок работы, дисциплину умственного труда, уверенность в своих силах, стремление к достижению результата;

Развивающая: создавать условия для развития самостоятельности мышления, способности высказывания собственной точки зрения, систематизировать необходимую информацию, анализировать, сравнивать и обобщать информацию, развивать монологическую речь.

Основная литература:

Глава 11. Выборочное наблюдение. (211-220) Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО

Дополнительная литература:

Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. — М.: Юрист, 2016

Интернет-ресурсы:

Информационно-издательский центр «Статистика России» http://www.statbook.ru
Электронный фонд правовой и технической документации http://docs.cntd.ru
Информационно правовой портал http://www.garant.ru/

Междисциплинарные связи: Право социальное обеспечение

Внутридисциплинарные связи: Тема 2.1. Сводка и группировка статистических данных

1. Актуализация знаний по ранее пройденному материалу учебного курса

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1.

Вопрос (тестовое задание)	Ответ
Задача сводки… дать характеристику объекту исследования с помощью запроектированных систем статистических показателей, выявить и измерить такие путем его существенные черты и особенности; дать характеристику объекту исследования с помощью запроектированных систем статистических показателей; выявить и измерить такие путем его существенные черты и особенности; подсчет общих и групповых итогов, получение системы взаимосвязанных показателей.
Перегруппировка ранее сгруппированных данных статистического наблюдения называется: типологической группировкой; структурной группировкой; вторичной группировкой; аналитической группировкой.
Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала; количество единиц в ширине интервала; все верно; нет верного ответа.
К атрибутивным группировочным признакам относятся: пол человека; возраст человека; среднедушевой доход семьи; правильного ответа нет.
«Объем производства товаров и услуг», по временному фактору относятся к … моментному виду; интервальному виду; минутному виду; интенсивному виду.

2. Изучаемые вопросы занятия

1. Определение ошибки репрезентативности.

2. Определение объема выборочной совокупности.

Вопрос 1. Определение ошибки репрезентативности

В статистике выделяют два основных метода исследования – сплошной и выборочный. При проведении выборочного исследования обязательным является соблюдение следующих требований: репрезентативность выборочной совокупности и достаточное число единиц наблюдений. При выборе единиц наблюдения возможны Ошибки смещения, т. е. такие события, появление которых не может быть точно предсказуемым. Эти ошибки являются объективными и закономерными. При определении степени точности выборочного исследования оценивается величина ошибки, которая может произойти в процессе выборки – Случайная ошибка репрезентативности (M) – Является фактической разностью между средними или относительными величинами, полученными при проведении выборочного исследования и аналогичными величинами, которые были бы получены при проведении исследования на генеральной совокупности.

Оценка достоверности результатов исследования предусматривает определение:

1. ошибки репрезентативности

2. доверительных границ средних (или относительных) величин в генеральной совокупности

3. достоверности разности средних (или относительных) величин (по критерию t)

Расчет ошибки репрезентативности (mм) средней арифметической величины (М):

, где σ – среднее квадратическое отклонение; n – численность выборки (>30).

Расчет ошибки репрезентативности (mР) относительной величины (Р):

, где Р – соответствующая относительная величина (рассчитанная, например, в %);

Q =100 – Ρ% – величина, обратная Р; n – численность выборки (n>30)

В клинических и экспериментальных работах довольно часто приходится использовать Малую выборку, Когда число наблюдений меньше или равно 30. При малой выборке для расчета ошибок репрезентативности, как средних, так и относительных величин, Число наблюдений уменьшается на единицу, т. е.

; .

Величина ошибки репрезентативности зависит от объема выборки: чем больше число наблюдений, тем меньше ошибка. Для оценки достоверности выборочного показателя принят следующий подход: показатель (или средняя величина) должен в 3 раза превышать свою ошибку, в этом случае он считается достоверным.

Знание величины ошибки недостаточно для того, чтобы быть уверенным в результатах выборочного исследования, так как конкретная ошибка выборочного исследования может быть значительно больше (или меньше) величины средней ошибки репрезентативности. Для определения точности, с которой исследователь желает получить результат, в статистике используется такое понятие, как вероятность безошибочного прогноза, которая является характеристикой надежности результатов выборочных медико-биологических статистических исследований. Обычно, при проведении медико-биологических статистических исследований используют вероятность безошибочного прогноза 95% или 99%. В наиболее ответственных случаях, когда необходимо сделать особенно важные выводы в теоретическом или практическом отношении, используют вероятность безошибочного прогноза 99,7%

Определенной степени вероятности безошибочного прогноза соответствует определенная величина Предельной ошибки случайной выборки (Δ – дельта), которая определяется по формуле:

Δ=t * m, где t – доверительный коэффициент, который при большой выборке при вероятности безошибочного прогноза 95% равен 2,6; при вероятности безошибочного прогноза 99% – 3,0; при вероятности безошибочного прогноза 99,7% – 3,3, а при малой выборке определяется по специальной таблице значений t Стьюдента.

Используя предельную ошибку выборки (Δ), можно определить Доверительные границы, в которых с определенной вероятностью безошибочного прогноза заключено действительное значение статистической величины, Характеризующей всю генеральную совокупность (средней или относительной).

Для определения доверительных границ используются следующие формулы:

для средних величин:

,где Мген – доверительные границы средней величины в генеральной совокупности;

Мвыб – средняя величина, Полученная при проведении исследования на выборочной совокупности; t – доверительный коэффициент, значение которого определяется степенью вероятности безошибочного прогноза, с которой исследователь желает получить результат; mM – ошибка репрезентативности средней величины.

2) для относительных величин:

, где Рген – доверительные границы относительной величины в генеральной совокупности; Рвыб – относительная величина, полученная при проведении исследования на выборочной совокупности; t – доверительный коэффициент; mP – ошибка репрезентативности относительной величины.

Доверительные границы показывают, в каких пределах может колебаться размер выборочного показателя в зависимости от причин случайного характера.

При малом числе наблюдений (n<30), для вычисления доверительных границ значение коэффициента t находят по специальной таблице Стьюдента. Значения t расположены в таблице на пересечении с избранной вероятностью безошибочного прогноза и строки, Указывающей на имеющееся число степеней свободы (n), Которое равно n-1.

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Мген) при числе наблюдений больше 30

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было установлено, что средняя частота пульса у 36 обследованных водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч работы составила 80 ударов в 1 минуту; σ = ± 6 ударов в минуту.

Задание: определить ошибку репрезентативности (mM) и доверительные границы средней величины генеральной совокупности (Мген).

Решение.

Вычисление средней ошибки средней арифметической (ошибки репрезентативности) (m): m = σ / √n = 6 / √36 = ±1 удар в минуту
Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Мген). Для этого необходимо:

а) задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р = 95 %);
б) определить величину критерия t. При заданной степени вероятности (Р=95%) и числе наблюдений меньше 30 величина критерия t, определяемого по таблице, равна 2 (t = 2). Тогда Мген = Мвыб ± tm = 80 ± 2×1 = 80 ± 2 удара в минуту.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р = 95%, что средняя частота пульса в генеральной совокупности, т.е. у всех водителей сельскохозяйственных машин, через 1 ч работы в аналогичных условиях будет находиться в пределах от 78 до 82 ударов в минуту, т.е. средняя частота пульса менее 78 и более 82 ударов в минуту возможна не более, чем у 5% случаев генеральной совокупности.

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ относительного показателя генеральной совокупности (Рген)

Условие задачи: при медицинском осмотре 164 детей 3 летнего возраста, проживающих в одном из районов городе Н., в 18% случаев обнаружено нарушение осанки функционального характера.

Задание: определить ошибку репрезентативности (mp) и доверительные границы относительного показателя генеральной совокупности (Рген).

Решение.

Вычисление ошибки репрезентативности относительного показателя: m = √P x q / n = √18 x (100 — 18) / 164 = ± 3%
Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Рген) производится следующим образом:

необходимо задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р=95%);
при заданной степени вероятности и числе наблюдений больше 30, величина критерия t равна 2 (t = 2). Тогда Рген = Рвыб± tm = 18% ± 2 х 3 = 18% ± 6%.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р=95%, что частота нарушения осанки функционального характера у детей 3 летнего возраста, проживающих в городе Н., будет находиться в пределах от 12 до 24% случаев.

на оценку достоверности разности средних величин

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было установлено, что средняя частота пульса у водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч после начала работы составила 80 ударов в минуту; m = ± 1 удар в мин. Средняя частота пульса у этой же группы водителей до начала работы равнялась 75 ударам в минуту; m = ± 1 удар в минуту.

Задание: оценить достоверность различий средних значений пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы.

Решение.

Вывод. Значение критерия t = 3,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р > 99,7%, следовательно можно утверждать, что различия в средних значениях пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы не случайно, а достоверно, существенно, т.е. обусловлено влиянием воздействия шума и низкочастотной вибрации.

на оценку достоверности разности относительных показателей

Условие задачи: при медицинском осмотре детей 3 летнего возраста в 18% (m = ± 3%) случаях обнаружено нарушение осанки функционального характера. Частота аналогичных нарушений осанки при медосмотре детей 4-летнего возраста составила 24% (m = ± 2,64%).

Задание: оценить достоверность различий в частоте нарушения осанки у детей 2 возрастных групп.

Решение.

Вывод. Значение критерия t=1,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р<95%. Следовательно, различие в частоте нарушений осанки среди детей, сравниваемых возрастных групп случайно, недостоверно, несущественно, т.е. не обусловлено влиянием возраста детей.

Источники информации по 1 вопросу	Автор и наименование	Страницы (форма доступа для Интернет-ресурсов)
Основная литература	Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО	стр. 211-220
Интернет ресурсы	Информационно-издательский центр «Статистика России»	http://www.statbook.ru
Электронный фонд правовой и технической документации	http://docs.cntd.ru
Информационно правовой портал	http://www.garant.ru/

Контрольное задание по Вопросу 1

Записать в тетрадь конспект (1-2 стр.)

Вопрос 2. Определение объема выборочной совокупности

Социологические исследования редко бывают сплошными, как, например, перепись населения. Обычно сплошное исследование проводится при небольшой генеральной совокупности.

Чаще всего исследования носят выборочный характер, при котором наиболее важным основанием является возможность распространения полученных результатов и выводов на всю генеральную совокупность. В таком случае сплошное исследование нецелесообразно. Обеспечение этой нецелесообразности — вопрос о репрезентативности выборки, т.е. достаточной количественной и качественной представительности генеральной совокупности в выборке.

Условиями соблюдения репрезентативности выборки являются:

1) равная возможность каждого члена генеральной совокупности попасть в выборку;

2) отбор необходимо проводить независимо от изучаемого признака (иначе в выборку могут попасть, например, только спортсмены);

3) отбор по возможности должен производиться из однородных совокупностей;

4) величина выборки должна быть достаточно большой.

Далее возникает вопрос: как определить достаточный объем выборки? Для этого необходимо иметь характеристики генеральной совокупности по важнейшим (с точки зрения исследования) признакам. К ним, например, можно отнести сведения о количестве желающих заниматься физической культурой и спортом, о числе занимающихся и т.д. Но, как правило, такие характеристики (или многие из них) не известны. Пилотажные исследования как раз и направлены на их выявление.

Приведем пример определения объема выборочной совокупности. В ходе подготовки к проведению конкретно-социологического исследования на основании теоретических посылок были выделены характеристики и признаки, подлежащие изучению. Например, желание заниматься физической культурой, спортом, величина потребности, участие в видах деятельности и др.

На основании результатов изучения этих признаков в пробном исследовании (30 и более респондентов) определяется объем выборки.

Предположим, что в пробном исследовании опрошено 147 студентов 4-х курсов в четырех вузах Республики Беларусь.

Для желания заниматься физической культурой получены следующие распределения:

1.«Нет, не хочу» — 5 человек;

2.«Скорее не хочу, чем хочу» — 3 человека;

3.«Безразлично» — 11 человек;

4.«Скорее хочу, чем не хочу» — 34 человека;

5.«Да, хочу» — 72 человека.

Для расчета объема выборки используются формулы:

t — 1,96 — распределение Стьюдента для вероятности 0,95 или 95% (т.е., если требуемая вероятность соответствия характеристик выборки и характеристик генеральной совокупности 95%, всегда = 1,96. Их соответствие на 95% — общепринятое требование в социологических исследованиях.

Для нашего распределения:

При условии, что выборка в пробном исследовании представляла бы собой модель генеральной совокупности, величина выборочной совокупности для изучения желания заниматься физической культурой должна быть не меньше 147 человек. Тогда с вероятностью 95% можно утверждать, что генеральное среднее лежит в пределах 4,39+0,155.

Поскольку модель выборки в пробном исследовании во вузам не представляет собой модели генеральной совокупности (опрос был в четырех вузах из 30), то увеличиваем полученное n (30/4) в 7,5 раза. Тогда необходимый объем выборки — 1102 респондента.

Качественная представительность полученной выборки оценивается сравнением существенных характеристик (либо связанных с существенными) генеральной совокупности и выборки. Для студенчества, например, такими характеристиками являются: соотношение по полу, охват учебными занятиями по физическому воспитанию, соотношение форм занятий и др.

Когда информация о признаках элементов генеральной совокупности отсутствует, исключается возможность определения объема выборочной совокупности при помощи формул. В этом случае можно опереться на многолетний опыт социологов — практиков, свидетельствующий о том, что для пробных опросов достаточна выборка объемом 100-250 человек. При массовых опросах, если величина генеральной совокупности 5000 человек, достаточный объем выборочной совокупности — не менее 500 человек, если же величина генеральной совокупности 5000 человек и более, то — 10% ее состава (но не более 2000-2500 человек). Это характеризует достаточно достоверные результаты исследования.

ПРИМЕР 1

При проверке импортирования груза на таможне методом случайной выборки было обработано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30г., при СКО=4г с вероятностью 0,997. Определите пределы в которых находится средний вес изделий генеральной совокупности.

Решение.

В данном примере – случайный повторный отбор.

n=200

=30г

=4г — СКО

p=0,997, тогда t=3

Формула средней ошибки для случайного повторного отбора:

=0,84 г

Определяем величину средней ошибки.

Ответ: пределы в которых находится средний вес изделий: г

ПРИМЕР 2

В городе проживает 250тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей:

P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности.

Число детей в семье, xi	0	1	2	3	4	5
Кол-во детей в семье	1000	2000	1200	400	200	200

Решение

2%-я выборка означает: n=250000*0,02= 5000 семей было исследовано.

Т.к. выборка бесповторная, используем следующую формулу для определения средней величины ошибки:

Найдем среднее число детей в выборочной совокупности:

ребенка

Определим дисперсию

ребенка – средняя величина ошибки

Т.к p = 0,954, то t = 2

ребенка

Вывод: из-за слишком малой величины ошибки, среднее число детей в генеральной совокупности можно принять за 1,5 ребенка.

Источники информации по 2 вопросу	Автор и наименование	Страницы (форма доступа для Интернет-ресурсов)
Основная литература	Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 3-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2019. – 232 с. – СПО	стр. 211-220
Интернет ресурсы	Информационно-издательский центр «Статистика России»	http://www.statbook.ru
Электронный фонд правовой и технической документации	http://docs.cntd.ru
Информационно правовой портал	http://www.garant.ru/

Контрольное задание по Вопросу 2

Записать в тетрадь конспект (1-2 стр.)

3. Подведение итогов учебного занятия

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 2.

Наименование изученного вопроса учебного занятия	Контрольное задание по изученному вопросу	Ответ
Определение ошибки репрезентативности.	ЗАДАНИЕ 1 Условие задачи: при медицинском осмотре 126 детей 6 летнего возраста, проживающих в одном из районов городе А., в 12% случаев обнаружено нарушение осанки функционального характера. Задание: определить ошибку репрезентативности (mp) и доверительные границы относительного показателя генеральной совокупности (Рген).
Определение ошибки репрезентативности.	ЗАДАНИЕ 2. Условие задачи: при медицинском осмотре детей 6 летнего возраста в 15% (m = ± 3%) случаях обнаружено нарушение осанки функционального характера. Частота аналогичных нарушений осанки при медосмотре детей 7-летнего возраста составила 24% (m = ± 2,64%). Задание: оценить достоверность различий в частоте нарушения осанки у детей 2 возрастных групп.
Определение объема выборочной совокупности	ЗАДАНИЕ 3. В городе проживает 300 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей: P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности
Определение объема выборочной совокупности	Сформулируйте понятие генеральной совокупности
Определение объема выборочной совокупности	Перечислите способы отбора единиц для выборочного наблюдения

Домашнее задание на следующее занятие

Выучить основные понятия. Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО (стр. 211-220)
Выполнить задание 11.1. в тетради (стр. 224) учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО

Преподаватель Ю.В. Древаль

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания ЦК дисциплин профессионального цикла специальности «Право и организация

социального обеспечения»

ГБПОУ Юридический колледж

от ____________ 2017 г. № ___

Источник

Как мы уже знаем, репрезентативность — свойство выборочной совокупности представлять характеристику генеральной. Если совпадения нет, говорят об ошибке репрезентативности — мере отклонения статистической структуры выборки от структуры соответствующей генеральной совокупности. Предположим, что средний ежемесячный семейный доход пенсионеров в генеральной совокупности составляет 2 тыс. руб., а в выборочной — 6 тыс. руб. Это означает, что социолог опрашивал только зажиточную часть пенсионеров, а в его исследование вкралась ошибка репрезентативности. Иными словами, ошибкой репрезентативности называется расхождение между двумя совокупностями — генеральной, на которую направлен теоретический интерес социолога и представление о свойствах которой он хочет получить в конечном итоге, и выборочной, на которую направлен практический интерес социолога, которая выступает одновременно как объект обследования и средство получения информации о генеральной совокупности.

Наряду с термином «ошибка репрезентативности» в отечественной литературе можно встретить другой — «ошибка выборки». Иногда они употребляются как синонимы, а иногда «ошибка выборки» используется вместо «ошибки репрезентативности» как количественно более точное понятие.

Ошибка выборки — отклонение средних характеристик выборочной совокупности от средних характеристик генеральной совокупности.

На практике ошибка выборки определяется путем сравнения известных характеристик генеральной совокупности с выборочными средними. В социологии при обследованиях взрослого населения чаще всего используют данные переписей населения, текущего статистического учета, результаты предшествующих опросов. В качестве контрольных параметров обычно применяются социально-демографические признаки. Сравнение средних генеральной и выборочной совокупностей, на основе этого определение ошибки выборки и ее уменьшение называется контролированием репрезентативности. Поскольку сравнение своих и чужих данных можно сделать по завершении исследования, такой способ контроля называется апостериорным, т.е. осуществляемым после опыта.

В опросах Института Дж. Гэллапа репрезентативность контролируется по имеющимся в национальных переписях данным о распределении населения по полу, возрасту, образованию, доходу, профессии, расовой принадлежности, месту проживания, величине населенного пункта. Всероссийский центр изучения общественного мнения (ВЦИОМ) использует для подобных целей такие показатели, как пол, возраст, образование, тип поселения, семейное положение, сфера занятости, должностной статус респондента, которые заимствуются в Государственном комитете по статистике РФ. В том и другом случае генеральная совокупность известна. Ошибку выборки невозможно установить, если неизвестны значения переменной в выборочной и генеральной совокупностях.

Специалисты ВЦИОМ обеспечивают при анализе данных тщательный ремонт выборки, чтобы минимизировать отклонения, возникшие на этапе полевых работ. Особенно сильные смещения наблюдаются по параметрам пола и возраста. Объясняется это тем, что женщины и люди с высшим образованием больше времени проводят дома и легче идут на контакт с интервьюером, т.е. являются легко достижимой группой по сравнению с мужчинами и людьми «необразованными»35.

Ошибка выборки обусловливается двумя факторами: методом формирования выборки и размером выборки.

Ошибки выборки подразделяются на два типа — случайные и систематические. Случайная ошибка — это вероятность того, что выборочная средняя выйдет (или не выйдет) за пределы заданного интервала. К случайным ошибкам относят статистические погрешности, присущие самому выборочному методу. Они уменьшаются при возрастании объема выборочной совокупности.

Второй тип ошибок выборки — систематические ошибки. Если социолог решил узнать мнение всех жителей города о проводимой местными органами власти социальной политике, а опросил только тех, у кого есть телефон, то возникает предумышленное смещение выборки в пользу зажиточных слоев, т.е. систематическая ошибка.

Таким образом, систематические ошибки — результат деятельности самого исследователя. Они наиболее опасны, поскольку приводят к довольно значительным смещениям результатов исследования. Систематические ошибки считаются страшнее случайных еще и потому, что они не поддаются контролю и измерению.

Они возникают, когда, например:

выборка не соответствует задачам исследования (социолог решил изучить только работающих пенсионеров, а опросил всех подряд);
налицо незнание характера генеральной совокупности (социолог думал, что 70% всех пенсионеров не работает, а оказалось, что не работает только 10%);
отбираются только «выигрышные» элементы генеральной совокупности (например, только обеспеченные пенсионеры).

Внимание! В отличие от случайных ошибок систематические ошибки при возрастании объема выборки не уменьшаются.

Обобщив все случаи, когда происходят систематические ошибки, методисты составили их реестр. Они полагают, что источником неконтролируемых перекосов в распределении выборочных наблюдений могут быть следующие факторы:

нарушены методические и методологические правила проведения социологического исследования;
выбраны неадекватные способы формирования выборочной совокупности, методы сбора и расчета данных;
произошла замена требуемых единиц наблюдения другими, более доступными;
отмечен неполный охват выборочной совокупности (недополучение анкет, неполное их заполнение, труднодоступность единиц наблюдения).

Намеренные ошибки социолог допускает редко. Чаще ошибки возникают из-за того, что социологу плохо известна структура генеральной совокупности: распределение людей по возрасту, профессии, доходам и т.д.

Систематические ошибки легче предупредить (по сравнению со случайными), но их очень трудно устранить. Предупреждать систематические ошибки, точно предвидя их источники, лучше всего заранее — в самом начале исследования.

Вот некоторые способы избежать ошибок выборки:

каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;
отбор желательно производить из однородных совокупностей;
надо знать характеристики генеральной совокупности;
при составлении выборочной совокупности надо учитывать случайные и систематические ошибки.

Если выборочная совокупность (или просто выборка) составлена правильно, то социолог получает надежные результаты, харастеризующие всю генеральную совокупность. Если она составлена неправильно, то ошибка, возникшая на этапе составления выборки, на каждом следующем этапе проведения социологического исследования приумножается и достигает в конечном счете такой величины, которая перевешивает ценность проведенного исследования. Говорят, что от такого исследования больше вреда, нежели пользы.

Подобные ошибки могут произойти только с выборочной совокупностыо. Чтобы избежать или уменьшить вероятность ошибки, самый простой способ — увеличивать размеры выборки (в идеале до объема генеральной: когда обе совокупности совпадут, ошибка выборки вообще исчезнет). Экономически такой метод невозможен. Остается другой путь — совершенствовать математические методы составления выборки. Они то и применяются на практике. Таков первый канал проникновения в социологию математики. Второй канал — математическая обработка данных.

Особенно важной проблема ошибок становится в маркетинговых исследованиях, где используются не очень большие выборки. Обычно они составляют несколько сотен, реже — тысячу респондентов. Здесь исходным пунктом расчета выборки выступает вопрос об определении размеров выборочной совокупности. Численность выборочной совокупности зависит от двух факторов:

стоимости сбора информации,
стремления к определенной степени статистической достоверности результатов, которую надеется получить исследователь.

Конечно, даже не искушенные в статистике и социологии люди интуитивно понимают, что чем больше размеры выборки, т.е. чем ближе они к размерам генеральной совокупности в целом, тем более надежны и достоверны полученные данные. Однако выше мы уже говорили о практической невозможности сплошных опросов в тех случаях, когда они проводятся на объектах, численность которых превышает десятки, сотни тысяч и даже миллионы. Понятно, что стоимость сбора информации (включающая оплату тиражирования инструментария, труда анкетеров, полевых менеджеров и операторов по компьютерному вводу) зависит от той суммы, которую готов выделить заказчик, и слабо зависит от исследователей. Что же касается второго фактора, то мы остановимся на нем чуть подробнее.

Итак, чем больше величина выборки, тем меньше возможная ошибка. Хотя необходимо отметить, что при желании увеличить точность вдвое вам придется увеличить выборку не в два, а в четыре раза. Например, чтобы сделать в два раза более точной оценку данных, полученных путем опроса 400 человек, вам потребуется опросить не 800, а 1600 человек. Впрочем, вряд ли маркетинговое исследование испытывает нужду в стопроцентной точности. Если пивовару необходимо узнать, какая часть потребителей пива предпочитает именно его марку, а не сорт его конкурента, — 60% или 40%, то на его планы никак не повлияет разница между 57%, 60 или 63%.

Ошибка выборки может зависеть не только от ее величины, но и от степени различий между отдельными единицами внутри генеральной совокупности, которую мы исследуем. Например, если нам нужно узнать, какое количество пива потребляется, то мы обнаружим, что внутри нашей генеральной совокупности нормы потребления у различных людей существенно различаются (гетерогенная генеральная совокупность). В другом случае мы будем изучать потребление хлеба и установим, что у разных людей оно различается гораздо менее существенно {гомогенная генеральная совокупность). Чем больше различия (или гетерогенность) внутри генеральной совокупности, тем больше величина возможной ошибки выборки. Указанная закономерность лишь подтверждает то, что нам подсказывает простой здравый смысл. Таким образом, как справедливо утверждает В. Ядов, «численность (объем) выборки зависит от уровня однородности или разнородности изучаемых объектов. Чем более они однородны, тем меньшая численность может обеспечить статистически достоверные выводы».

Определение объема выборки зависит также от уровня доверительного интервала допустимой статистической ошибки. Здесь имеются в виду так называемые случайные ошибки, которые связаны с природой любых статистических погрешностей. В.И. Паниотто приводит следующие расчеты репрезентативной выборки с допущением 5%-ной ошибки:
Это означает,что если вы, опросив, предположим, 400 человек в районном городе, где численность взрослого платежеспособного населения составляет 100 тыс. человек, выявили, что 33% опрошенных покупателей предпочитают продукцию местного мясокомбината, то с 95%-ной вероятностью можете утверждать, что постоянными покупателями этой продукции являются 33+5% (т.е. от 28 до 38%) жителей этого города.

Можно также воспользоваться расчетами института Гэллапа для оценки соотношения размеров выборки и ошибки выборки.

Источник

Содержание курса лекций “Статистика”

Выборочное наблюдение как источник статистической информации в изучении социально-экономических явлений и процессов

Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.

Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.

К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйственной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.

Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статистического исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.

На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.

Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.

При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.

При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.

Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенными ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности (представительности).

Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репрезентативности.

Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.

При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:

N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;

n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;

‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генеральной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность работников предприятия и т.п.);

‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;

М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);

р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как

m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;

w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,

определяется как ;

‑ средняя ошибка выборки;

‑ предельная ошибка выборки;

‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.

Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как

(10.1)

При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:

(10.2)

В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.

Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:

(10.3)

Где ‑ дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.

При определении возможных границ значений характеристик генеральной совокупности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.

Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной совокупности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.

Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представлены в статистических справочниках.

При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:

Таблица 10.1 ‑ !!!Некоторые значения t

Вероятность, р_i.	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки выборки.

Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли единиц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.

Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд последовательных этапов:

Определение цели обследования.
Установление границ генеральной совокупности.
Составление программы наблюдения и программы разработки данных
Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.

В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.

К наиболее распространенным на практике видам относятся:

собственно-случайная (простая случайная) выборка;
механическая (систематическая) выборка;
типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
серийная (гнездовая) выборка.

Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, многоступенчатым и многофазным.

Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.

Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.

Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.

Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:

(10.4)

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

(10.5)

а при расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки:

(10.6)

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.

Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

(10.7)

где и ‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;

‑ предельная ошибка выборочной средней.

Пример.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.

Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:

Определим пределы генеральной средней:

или

Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.

Пример 2.

В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:

Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N

Число детей в семье

Количество

семей

1000

2000

1200

400

200

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.

Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:

Таблица 10.3 ‑ Вспомогательная таблица для расчета среднего числа детей

Число детей

в семье, х;

Количество семей, f

1000

2000

1200

400

200

2000

2400

1200

800

1000

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

2,25

0,25

2,25

6,25

12,25

2250

500

300

900

1250

2450

Итого

5000

7400

–

7650

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при р = 0,954 t = 2).

Следовательно, пределы генеральной средней:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака.

В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

(10.8)

где ‑ доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.

Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

(10.9)

Соответственно, при бесповторном отборе:

(10.10)

Пределы доли признака в генеральной совокупности p выглядят следующим образом:

(10.11)

Рассмотрим пример.

С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня в государственном учреждении с численностью служащих 480 человек, в январе 2009 г. было проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности:

n= 480 х 0,25 = 120 чел.

Выборочная доля w равна по условию 10%.

Учитывая, что при р = 0,683 t=1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6% до 12,4%.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объем выборочной совокупности и требует определения.

Для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки применяют следующую формулу:

(10.12)

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы.

С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокупность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (10.12) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(10.13)

Укажем на одну особенность формулы (10.13). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц.

Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.

Так, если из совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы.

Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) – каждая 20-я единица и т.д.

Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на установленный процент отбора.

Так, например при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе ‑ 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным.

Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.

Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае – единицы с номерами 11,31,51,71 и т.д.

При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов располагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе(10.6 и 10.13). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.

Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ± 2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (10.13).

С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9.

Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону произведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема.

Следовательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100% : 83).

Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп.. Такие группы также называют стартами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий – отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.

Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предположить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.

Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко не все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет определяться величиной не общей дисперсии, а только ее части – средней из внутригрупповых дисперсий.

При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

(10.14)

Где N_i – объем i-ой группы. а n_i ‑ объем выборки из i-ой группы.

Пример. Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское – 900 тыс. чел. и сельское – 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(10.15)

(10.16)

где – средняя из внутригрупповых дисперсий.

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле:

(10.17)

Где ‑ среднее отклонение признака в i-ой группе.

Cредняя ошибка такого отбора определяется следующим образом:

(10.18)

(10.19)

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Таблица 10.4 ‑ Результаты обследования рабочих предприятия

Цех

Всего рабочих, человек

Обследовано, человек

Число дней временной нетрудоспособности за год

средняя

дисперсия

III

1000

1400

800

100

140

Рассмотрим оба варианта типической выборки на условном примере. Предположим, 10% бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. 10.4)

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):

Рассчитаем выборочную среднюю:

С вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию находится в пределах:

Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора пропорционального дифференциации признака. Определим необходимый объем выборки по каждому цеху:

С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:

В данном случае средняя, а следовательно, и предельная ошибки будут несколько меньше, что отразится и на границах генеральной средней.

Серийный отбор. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

(10.20)

(10.21)

Где r ‑ число отобранных серий; R ‑ общее число серий.

Межгрупповую дисперсию вычисляют следующим образом:

(10.22)

где ‑ средняя i-й серии;

‑ общая средняя по всей выборочной совокупности.

Пример.

В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16 ц/га; 15,5 ц/га; 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия равна:

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2 при р = 0,954):

Вывод: Следовательно, урожайность будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах:

Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

– собственно-случайная и механическая выборка:

(10.23)

(10.24)

– типическая выборка:

(10.25)

(10.26)

– серийная выборка:

(10.27)

(10.28)

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример.

В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:

Пример.

С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

Вывод: Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.

Пример.

В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

Содержание курса лекций “Статистика”

Контрольные задания

Самостоятельно проведите выборочное наблюдение и произведите соответствующие расчеты.

Источник