Ошибка первого второго третьего четвертого рода - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

8 июля 2021 г.

При проверке гипотез нулевая гипотеза — это гипотеза по умолчанию, которая утверждает, что между переменными нет статистической значимости. Исследователь проверяет нулевую гипотезу, чтобы увидеть, достаточно ли статистической значимости, чтобы опровергнуть ее, и это иногда приводит к ошибке типа 1 или типа 2. Если вы занимаетесь проверкой гипотез как частью своей работы, важно понимать, как ошибки типа 1 и типа 2 могут повлиять на ваши результаты.

В этой статье мы объясним, что такое ошибки типа 1 и типа 2, рассмотрим, как они могут возникнуть, обсудим их важность в исследованиях и приведем примеры, которые помогут вам понять эти концепции.

Ошибки типа 1 и типа 2 относятся к неправильным определениям нулевой гипотезы, но они различаются тем, что исследователь считает верным или ложным в отношении гипотезы. Ошибка 1-го типа, также называемая ложноположительной, возникает, когда исследователь отвергает нулевую гипотезу, которая является истинной, и решает, что существует статистически значимое различие, которого не существует. Ошибка типа 2 является обратной ошибкой типа 1. Также известная как ложный отрицательный результат, она возникает, когда исследователь не отвергает нулевую гипотезу, когда альтернативная гипотеза верна.

Например, в судебном деле нулевая гипотеза будет заключаться в том, что обвиняемый невиновен, пока его вина не будет доказана, а альтернативная гипотеза будет состоять в том, что он виновен. Есть четыре возможных исхода в отношении истинного характера дела:

Истинно отрицательный: признан невиновным в суде и невиновен на самом деле.
Ложное срабатывание: признан виновным в суде, но на самом деле невиновен.
Ложноотрицательный: признан невиновным в суде, но на самом деле виновен.
Истинно положительный: признан виновным в суде и фактически виновен

В приведенном выше примере второй и третий результаты являются ошибками типа 1 и типа 2 соответственно. В случае ложного срабатывания присяжные ошибочно отвергают нулевую гипотезу, утверждающую, что подсудимый невиновен. В случае ложноотрицательного результата они ошибочно не отвергают нулевую гипотезу.

Почему возникают ошибки первого рода?

Есть два фактора, которые обычно способствуют возникновению ошибок 1-го рода:

Шанс

Проверка гипотез никогда не бывает стопроцентной, поэтому всегда есть возможность сделать неверные выводы на основе имеющихся данных. Как правило, данные поступают из выборочной совокупности, относительно небольшой выборки лиц, предназначенных для обозначения более широкой демографической группы. Иногда данные, генерируемые выборочными совокупностями, искажают выводы, которые не обязательно отражают интересы всего населения. Это переменная, которую исследователи не могут контролировать, но они могут помочь смягчить ее, выбрав более крупные выборки.

Злоупотребление служебным положением

Иногда ошибки 1-го рода возникают из-за неправильной исследовательской практики. Например, исследователи могут неосознанно исказить результаты теста, завершив его слишком рано. Им может показаться, что у них достаточно данных, хотя стандартная практика рекомендует продолжить тест. В качестве альтернативы они могут сделать вывод, несмотря на то, что им не удалось достичь соответствующего уровня статистической значимости. Исследователи могут избежать выводов типа 1, связанных с злоупотреблением служебным положением, если будут следовать протоколам исследований и обеспечивать надежность своей практики.

Почему возникают ошибки второго рода?

Основным фактором, способствующим возникновению ошибок 2-го рода, является размер выборки. Чем больше размер выборки, тем больше вероятность обнаружения различий в статистическом тесте. Например, если вы хотите проверить, относятся ли студенты колледжа положительно или отрицательно к определенному продукту, группа из трех человек может выразить только два к одному разнообразию или вообще ничего не сказать. Для сравнения, выборка из 1000 человек с большей вероятностью вызовет широкий спектр мнений и, таким образом, более точно отразит большую часть населения.

Какова важность ошибок типа 1 по сравнению с ошибками типа 2?

Ошибки типа 1 и типа 2 являются значительными из-за последствий, которые они имеют в реальных приложениях. Ошибки типа 1 обычно приводят к ненужному использованию ресурсов без какой-либо выгоды. Например, если исследователь-медик совершает ошибку 1-го рода в отношении эффективности нового лечения, он может подтвердить ошибочность исследований и методов, что может привести к созданию лекарства, не приносящего облегчения.

Ошибки 2-го типа важны тем, что могут помешать выделению ресурсов и выполнению необходимых действий. Например, при скрининге пациента на наличие заболевания ложноотрицательный результат может свидетельствовать о том, что пациент здоров, хотя на самом деле он нуждается в медицинском вмешательстве.

Примеры ошибок типа 1 и типа 2

Рассмотрим эти примеры ошибок типа 1 и типа 2, чтобы помочь вам понять, что они из себя представляют:

Пример ошибки 1 рода

Медицинский исследователь проверяет эффективность домашнего средства от головной боли. Нулевая гипотеза состоит в том, что домашнее средство не влияет на головную боль, в то время как альтернативная гипотеза состоит в том, что оно лечит головную боль. Исследователь набирает выборку из 20 пациентов с хроническими головными болями и назначает лекарство половине из них в течение одного месяца. Половина, не получающая лекарство, продолжает страдать от хронических головных болей, в то время как у шести человек из оставшейся половины головные боли прекратились.

На основании вышеизложенного исследователь отвергает нулевую гипотезу. Однако, учитывая небольшое количество тех, кто испытал облегчение, могут возникнуть сомнения относительно того, было ли это лекарство или посторонний фактор, который улучшил состояние шести участников. Если эти шесть участников использовали другие средства от головной боли вместе с тестируемым средством, вполне вероятно, что исследователь совершил ошибку 1-го типа.

Пример ошибки 2 рода

Интернет-магазин хочет знать, могут ли изменения дизайна его веб-сайта помочь увеличить продажи. Нулевая гипотеза состоит в том, что изменения дизайна не влияют на продажи, а альтернативная гипотеза говорит об обратном. Продавец проводит A/B-тестирование, в ходе которого сравниваются две версии сайта, существующая версия и обновленная версия. Три дня мониторят продажи на основе существующей версии. Затем в течение следующих трех дней они представляют новую версию и смотрят, как она повлияет на продажи. По истечении шести дней они не видят значительных изменений в показателях продаж.

Однако возможно, что увеличение периодов наблюдения для каждой версии сайта привело бы к статистически значимой разнице. Если бы розничный продавец отслеживал продажи в течение одного месяца каждый и заметил увеличение продаж во втором месяце, он совершил бы ошибку второго рода, ошибочно приняв нулевую гипотезу.

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Методика проверки статистических гипотез
2 Альтернативная методика на основе достигаемого уровня значимости
3 Типы критической области
4 Ошибки первого и второго рода
5 Свойства статистических критериев
6 Типы статистических гипотез
7 Типы статистических критериев
- 7.1 Критерии согласия
- 7.2 Критерии сдвига
- 7.3 Критерии нормальности
- 7.4 Критерии однородности
- 7.5 Критерии симметричности
- 7.6 Критерии тренда, стационарности и случайности
- 7.7 Критерии выбросов
- 7.8 Критерии дисперсионного анализа
- 7.9 Критерии корреляционного анализа
- 7.10 Критерии регрессионного анализа
8 Литература
9 Ссылки

Статистическая гипотеза (statistical hypothesys) — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.

Проверка статистической гипотезы (testing statistical hypotheses) — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.

Статистический тест или статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается статистическая гипотеза.

Методика проверки статистических гипотез

Пусть задана случайная выборка — последовательность объектов из множества .
Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера .

Методика состоит в следующем.

Формулируется нулевая гипотеза о распределении вероятностей на множестве . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что означает «не ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.
Задаётся некоторая статистика (функция выборки) $T:: X^m to mathbb{R}$ , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика . Вывод функции распределения при заданных и является строгой математической задачей, которая решается методами теории вероятностей; в справочниках приводятся готовые формулы для ; в статистических пакетах имеются готовые вычислительные процедуры.
Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число . На практике часто полагают .
На множестве допустимых значений статистики выделяется критическое множество наименее вероятных значений статистики , такое, что $mathbb{P}{TinOmega_alphaleft|H_0right.} = alpha$ . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.
Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

Итак, статистический критерий определяется статистикой
и критическим множеством , которое зависит от уровня значимости alpha .

Замечание.
Если данные не противоречат нулевой гипотезе, это ещё не значит, что гипотеза верна.
Тому есть две причины.

Альтернативная методика на основе достигаемого уровня значимости

Широкое распространение методики фиксированного уровня значимости было вызвано сложностью вычисления многих статистических критериев в докомпьютерную эпоху. Чаще всего использовались таблицы, в которых для некоторых априорных уровней значимости были выписаны критические значения. В настоящее время результаты проверки гипотез чаще представляют с помощью достигаемого уровня значимости.

Достигаемый уровень значимости (пи-величина, англ. p-value) — это наименьшая величина уровня значимости,
при которой нулевая гипотеза отвергается для данного значения статистики критерия

$p(T) = min { alpha:: TinOmega_alpha },$

где
— критическая область критерия.

Другая интерпретация:
достигаемый уровень значимости p(T) — это вероятность при справедливости нулевой гипотезы получить значение статистики, такое же или ещё более экстремальное, чем

Если достигаемый уровень значимости достаточно мал (близок к нулю), то нулевая гипотеза отвергается.
В частности, его можно сравнивать с фиксированным уровнем значимости;
тогда альтернативная методика будет эквивалентна классической.

Типы критической области

Обозначим через t_alpha значение, которое находится из уравнения , где — функция распределения статистики .
Если функция распределения непрерывная строго монотонная,
то t_alpha есть обратная к ней функция:

$t_alpha = F^{-1}(alpha)$ .

Значение t_alpha называется также alpha —квантилем распределения F(t) .

На практике, как правило, используются статистики с унимодальной (имеющей форму пика) плотностью распределения.
Критические области (наименее вероятные значения статистики) соответствуют «хвостам» этого распределения.
Поэтому чаще всего возникают критические области одного из трёх типов:

Левосторонняя критическая область:

определяется интервалом

пи-величина:

Правосторонняя критическая область:

определяется интервалом $Omega_alpha = (t_{1-alpha},,+infty)$ .

пи-величина:

Двусторонняя критическая область:

определяется двумя интервалами $Omega_alpha = (-infty,, t_{alpha/2}) cup (t_{1-alpha/2},,+infty);$

пи-величина:

p(T) = min left{ 2F(T),; 2(1-F(T)) right}.

Ошибки первого и второго рода

Ошибка первого рода или «ложная тревога» (англ. type I error, error, false positive) — когда нулевая гипотеза отвергается, хотя на самом деле она верна. Вероятность ошибки первого рода:

$alpha = mathbb{P}left{ TinOmega_alpha | H_0 right}.$

Ошибка второго рода или «пропуск цели» (англ. type II error, error, false negative) — когда нулевая гипотеза принимается, хотя на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода:

$beta(H_1) = mathbb{P}left{ TnotinOmega_alpha | H_1 right}.$

	Верная гипотеза

Результат применения критерия		верно принята	неверно принята (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

Свойства статистических критериев

Мощность критерия:
$1 - beta(H) = mathbb{P}left{ TinOmega_alpha | H right}$ — вероятность отклонить гипотезу H_0 , если на самом деле верна альтернативная гипотеза .
Мощность критерия является числовой функцией от альтернативной гипотезы .

Несмещённый критерий:

для всех альтернатив
или, что то же самое,
$mathbb{P}left{ TinOmega_alpha | H right} geq mathbb{P}left{ TinOmega_alpha | H_0 right}$
для всех альтернатив .

Состоятельный критерий:
при для всех альтернатив .

Равномерно более мощный критерий.
Говорят, что критерий с мощностью является равномерно более мощным, чем критерий с мощностью , если выполняются два условия:

;
для всех рассматриваемых альтернатив , причём хотя бы для одной альтернативы неравенство строгое.

Типы статистических гипотез

Простая гипотеза однозначно определяет функцию распределения на множестве . Простые гипотезы имеют узкую область применения, ограниченную критериями согласия (см. ниже). Для простых гипотез известен общий вид равномерно более мощного критерия (Теорема Неймана-Пирсона).

Сложная гипотеза утверждает принадлежность распределения к некоторому множеству распределений на . Для сложных гипотез вывести равномерно более мощный критерий удаётся лишь в некоторых специальных случаях.

Типы статистических критериев

В зависимости от проверяемой нулевой гипотезы статистические критерии делятся на группы, перечисленные ниже по разделам.

Наряду с нулевой гипотезой, которая принимается или отвергается по результату анализа выборки, статистические критерии могут опираться на дополнительные предположения, которые априори предпологаются выполненными.

Параметрические критерии предполагают, что выборка порождена распределением из заданного параметрического семейства. В частности, существует много критериев, предназначенных для анализа выборок из нормального распределения. Преимущество этих критериев в том, что они более мощные. Если выборка действительно удовлетворяет дополнительным предположениям, то параметрические критерии дают более точные результаты. Однако если выборка им не удовлетворяет, то вероятность ошибок (как I, так и II рода) может резко возрасти. Прежде чем применять такие критерии, необходимо убедиться, что выборка удовлетворяет дополнительным предположениям. Гипотезы о виде распределения проверяются с помощью критериев согласия.

Непараметрические критерии не опираются на дополнительные предположения о распределении. В частности, к этому типу критериев относится большинство ранговых критериев.

Критерии согласия

Критерии согласия проверяют, согласуется ли заданная выборка с заданным фиксированным распределением, с заданным параметрическим семейством распределений, или с другой выборкой.

Критерий Колмогорова-Смирнова
Критерий хи-квадрат (Пирсона)
Критерий омега-квадрат (фон Мизеса)

Критерии сдвига

Специальный случай двухвыборочных критериев согласия.
Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.

Критерий Стьюдента
Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни

Критерии нормальности

Критерии нормальности — это выделенный частный случай критериев согласия.
Нормально распределённые величины часто встречаются в прикладных задачах, что обусловлено действием закона больших чисел.
Если про выборки заранее известно, что они подчиняются нормальному распределению, то к ним становится возможно применять более мощные параметрические критерии.
Проверка нормальность часто выполняется на первом шаге анализа выборки, чтобы решить, использовать далее параметрические методы или непараметрические.
В справочнике А. И. Кобзаря приведена сравнительная таблица мощности для 21 критерия нормальности.

Критерий Шапиро-Уилка
Критерий асимметрии и эксцесса

Критерии однородности

Критерии однородности предназначены для проверки нулевой гипотезы о том, что
две выборки (или несколько) взяты из одного распределения,
либо их распределения имеют одинаковые значения математического ожидания, дисперсии, или других параметров.

Критерии симметричности

Критерии симметричности позволяют проверить симметричность распределения.

Одновыборочный критерий Уилкоксона и его модификации: критерий Антилла-Кёрстинга-Цуккини, критерий Бхаттачария-Гаствирса-Райта
Критерий знаков
Коэффициент асимметрии

Критерии тренда, стационарности и случайности

Критерии тренда и случайности предназначены для проверки нулевой гипотезы об
отсутствии зависимости между выборочными данными и номером наблюдения в выборке.
Они часто применяются в анализе временных рядов, в частности, при анализе регрессионных остатков.

Критерии выбросов

Критерии дисперсионного анализа

Критерии корреляционного анализа

Критерии регрессионного анализа

Литература

Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Справочник для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Ссылки

Statistical hypothesis testing — статья в англоязычной Википедии.

Источник

Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.

Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.

Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.

Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:

гипотеза принимается,
причём и в действительности она
правильная;
гипотеза отвергается,
причём и в действительности она неверна.

Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия

Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.

Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.

Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:.

Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.

Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсиии,
то наблюдаемое значение критерия.

Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки

После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.

Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.

Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.

Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.

Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.

Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.

Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.

Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>,
где— положительное число.

Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<,
где— отрицательное число.

Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.

Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где.

В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):

,
или равносильным неравенством
.

Отыскание
правосторонней критической области

Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>,
где>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?

Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерийпримет значение, большее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(>)=.

Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>,
то нулевую гипотезу отвергают; если же<,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение

Р(>)=?
(*)

Поскольку вероятность
события
>мала (— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.

Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностьюрискуем совершить ошибку первого рода.

Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».

На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.

Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<(<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(<)=.

Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшееили большее,
была равна принятому уровню значимости:

.
(*)

Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и(>0),
то

Учитывая (*), получим
.

Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.

Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия

Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.

Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-.
Действительно, если— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —.

Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятностьсовершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.

Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.

Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
иневозможно; если уменьшить,
тобудет возрастать. Например, если принять=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятностьошибки второго рода.

Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее.

Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которойбудет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.

Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.

Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр

Источник