Ошибка первого рода вероятность ошибки первого рода - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.

Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.

Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.

Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:

гипотеза принимается,
причём и в действительности она
правильная;
гипотеза отвергается,
причём и в действительности она неверна.

Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия

Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.

Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.

Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:.

Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.

Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсиии,
то наблюдаемое значение критерия.

Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки

После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.

Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.

Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.

Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.

Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.

Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.

Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.

Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>,
где— положительное число.

Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<,
где— отрицательное число.

Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.

Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где.

В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):

,
или равносильным неравенством
.

Отыскание
правосторонней критической области

Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>,
где>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?

Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерийпримет значение, большее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(>)=.

Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>,
то нулевую гипотезу отвергают; если же<,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение

Р(>)=?
(*)

Поскольку вероятность
события
>мала (— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.

Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностьюрискуем совершить ошибку первого рода.

Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».

На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.

Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<(<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(<)=.

Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшееили большее,
была равна принятому уровню значимости:

.
(*)

Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и(>0),
то

Учитывая (*), получим
.

Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.

Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия

Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.

Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-.
Действительно, если— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —.

Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятностьсовершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.

Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.

Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
иневозможно; если уменьшить,
тобудет возрастать. Например, если принять=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятностьошибки второго рода.

Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее.

Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которойбудет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.

Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.

Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр

Источник

5.3. Ошибки первого и второго рода

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность

допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой («альфа»).

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность

совершить эту ошибку обозначают буквой («бета»). Значение называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной

гипотезы.

В практических задачах, как правило, задают уровень значимости, наиболее часто выбирают значения .

И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении

вероятности —

отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность — принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях).

Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей и , при этом учитывается тяжесть последствий, которые

повлекут за собой та и другая ошибки.

Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я приведу пару

нестатистических примеров.

Петя зарегистрировался в почтовике. По умолчанию, – он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам

фильтр. И вот Петя отправляет письмо. В большинстве случаев всё произойдёт, как должно произойти – нормальное письмо дойдёт до

адресата (правильное принятие нулевой гипотезы), а спамное – попадёт в спам (правильное отвержение). Однако фильтр может

совершить ошибку двух типов:

1) с вероятностью ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо

за спам и Петю за спаммера) или
2) с вероятностью ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Петя редиска).

Какая ошибка более «тяжелая»? Петино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра

целесообразно уменьшить уровень значимости , «пожертвовав» вероятностью (увеличив её). В результате в основной ящик будут попадать все

«подозрительные» письма, в том числе особо талантливых спаммеров. …Такое и почитать даже можно, ведь сделано с любовью

Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность следует увеличить (в пользу уменьшения

вероятности ). Не хотел я

приводить подобные примеры, и даже отшутился на сайте, но по какой-то мистике через пару месяцев сам столкнулся с непростой

дилеммой. Видимо, таки, надо рассказать:

У человека появилась серьёзная болячка. В медицинской практике её принято лечить (основное «нулевое» решение). Лечение

достаточно эффективно, однако не гарантирует результата и более того опасно (иногда приводит к серьёзному пожизненному

увечью). С другой стороны, если не лечить, то возможны осложнения и долговременные функциональные нарушения.

Вопрос: что делать? И ответ не так-то прост – в разных ситуациях разные люди могут принять разные

решения (упаси вас).

Если болезнь не особо «мешает жить», то более тяжёлые последствия повлечёт ошибка 2-го рода – когда человек соглашается

на лечение, но получает фатальный результат (принимает, как оказалось, неверное «нулевое» решение). Если же…, нет, пожалуй,

достаточно, возвращаемся к теме:

5.4. Процесс проверки статистической гипотезы

5.2. Нулевая и альтернативная гипотезы

| Оглавление |

Источник

Статистические гипотезы

Определение статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий, наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия нулевой гипотезы; критическая точка. Общая методика построения право-, лево- и двухсторонней критических областей

Понятие и определение статистической гипотезы

Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике для выяснения того или иного случайного факта часто прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются.

Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины , в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина имеет нормальное распределение с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание — число из отрезка [a;b] , то это сложная гипотеза. Другим примером сложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина с вероятностью 1slash 3 принимает значение из интервала (1;5) , в этом случае распределение случайной величины может быть любым из класса непрерывных распределений.

Часто распределение величины известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются параметрическими.

Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается H_0 . Наряду с гипотезой H_0 рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез H_1 . Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра Theta некоторому заданному значению Theta_0 , то есть H_0colonTheta=Theta_0 , то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: $H_1^{(1)}colonTheta>Theta_0;$ $H_1^{2}colonTheta<Theta_0;$ $H_1^{3}colonThetaneTheta_0;$ $H_1^{4}colonTheta=Theta_1,$ где Theta_1 — заданное значение, Theta_1neTheta_0 . Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу H_0 , называется критерием . Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины , необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой критерия . При проверке простой параметрической гипотезы H_0colonTheta=Theta_0 в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра Theta .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, — достоверными; Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность alpha , называемая уровнем значимости. Пусть — множество значений статистики , а $V_ksubseteq{V}$ — такое подмножество, что при условии истинности гипотезы H_0 вероятность попадания статистики критерия в V_k равна alpha , то есть $P{Zin{V_k/H_0}}=alpha$ .

Обозначим $z_text{v}$ выборочное значение статистики , вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется так: отклонить гипотезу H_0 , если $z_text{v}in{V_k}$ ; принять гипотезу H_0 , если $z_text{v}in{Vsetminus{V_k}}$ . Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости. Множество V_k всех значений статистики критерия , при которых принимается решение отклонить гипотезу H_0 , называется критической областью; область $Vsetminus{V_k}$ называется областью принятия гипотезы H_0 .

Уровень значимости alpha определяет размер критической области V_k . Положение критической области на множестве значений статистики зависит от формулировки альтернативной гипотезы H_1 . Например, если проверяется гипотеза H_0colonTheta=Theta_0 , а альтернативная гипотеза формулируется как H_1colonTheta>Theta_0~(Theta<Theta_0) , то критическая область размещается на правом (левом) «хвосте» распределения статистики , т. е. имеет вид неравенства $Z>z_{1-alpha}(Z<z_alpha)$ , где $z_{1-alpha},z_alpha$ — значения статистики , которые принимаются с вероятностями соответственно 1-alpha и alpha при условии, что верна гипотеза H_0 . В этом случае критерий называется односторонним (соответственно правосторонним и левосторонним). Если альтернативная гипотеза формулируется как H_1colonThetaneTheta_0 , то критическая область размещается на обоих «хвостах» распределения , то есть определяется совокупностью неравенств $Z<z_{alpha/2}$ и $Z>z_{1-alpha/2}$ в этом случае критерий называется двухсторонним.

Расположение критической области V_k для различных альтернативных гипотез показано на рис. 30, где f(z|H_0) — плотность распределения статистики критерия при условии, что верна гипотеза H_0 , $Vsetminus{V_k}$ — область принятия гипотезы, $P{Zin{Vsetminus{V_k}}}=1-alpha$ .

Критическая область и статистические гипотезы

Проверку параметрической статистической гипотезы с помощью критерия значимости можно разбить на этапы:

1) сформулировать проверяемую (H_0) и альтернативную (H_1) гипотезы;

2) назначить уровень значимости alpha ;

3) выбрать статистику критерия для проверки гипотезы H_0 ;

4) определить выборочное распределение статистики при условии, что верна гипотеза H_0 ;

5) в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область V_k одним из неравенств $z>z_{1-alpha},$ Z<z_alpha или совокупностью неравенств $Z<z_{alpha/2}$ и $Z>z_{1-alpha/2}$ ;

6) получить выборку наблюдений и вычислить выборочные значения $z_text{v}$ статистики критерия;

7) принять статистическое решение: если $z_text{v}in{V_k}$ , то отклонить гипотезу H_0 как не согласующуюся с результатами наблюдений; если $z_text{v}in{Vsetminus{V_k}}$ , то принять гипотезу H_0 , т. е. считать, что гипотеза H_0 не противоречит результатам наблюдений.

Обычно при выполнении пп. 4-7 используют статистику с нормальным распределением, статистику Стьюдента, Фишера.

Пример 3. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л. Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним и дисперсией D=4 л². Используя критерий значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Решение. Проверим гипотезу о среднем нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку проведем по этапам:

1) проверяемая гипотеза $H_0colon{m=10}$ ; альтернативная гипотеза $H_1colon{m<10}$ ;

2) уровень значимости alpha=0,!05 ;

3) в качестве статистики критерия используем статистику математического ожидания — выборочное среднее;

4) так как выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, выборочное среднее также имеет нормальное распределение с дисперсией $frac{D}{n}=frac{4}{25}$ . При условии, что верна гипотеза H_0 , математическое ожидание этого распределения равно 10. Нормированная статистика $Z=frac{overline{X}-10}{sqrt{4/25}}$ имеет нормальное распределение;

5) альтернативная гипотеза $H_1colon{m<10}$ предполагает уменьшение расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний критерий. Критическая область определяется неравенством $Z<z_{alpha}$ . По прил. 5 находим $z_{0,!05}=-z_{0,!95}=-1,!645$ ;

б) выборочное значение нормированной статистики критерия

$z_text{v}=frac{9,!3-10}{sqrt{4/25}}=-frac{0,!7}{0,!4}=-1,!75;$

7) статистическое решение: так как выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области, гипотеза H_0 отклоняется: следует считать, что изменение конструкции двигателя привело к уменьшению расхода топлива. Границу $overline{x}_k$ критической области для исходной статистики критерия можно получить из соотношения $frac{overline{x}_k-10}{sqrt{4/25}}=-1,!645$ , откуда $overline{x}_k=9,!342$ , т. е. критическая область для статистики определяется неравенством X<9,!342 .

Ошибки первого и второго рода

Решение, принимаемое на основе критерия значимости, может быть ошибочным. Пусть выборочное значение статистики критерия попадает в критическую область, и гипотеза H_0 , отклоняется в соответствии с критерием. Если, тем не менее, гипотеза H_0 верна, то принимаемое решение неверно. Ошибка, совершаемая при отклонении правильной гипотезы if о, называется ошибкой первого рода. Вероятность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза H_0 , т. е. равна уровню значимости alpha:

$alpha=P{Zin{V_k/H_0}}.~~~~~~~~~~(11.1)$

Ошибка второго рода происходит тогда, когда гипотеза H_0 принимается, но в действительности верна гипотеза H_1 . Вероятность beta ошибки второго рода вычисляется по формуле

$beta=P{Zin{Vsetminus{V_k}/H_1}}.~~~~~~~~~~(11.2)$

Пример 4. В условиях примера 3 предположим, что наряду с гипотезой $H_0colon{m=10}$ л рассматривается альтернативная гипотеза $H_1colon{m=9}$ л. В качестве статистики критерия снова возьмем выборочное среднее overline{X} . Предположим, что критическая область задана неравенством overline{X}<9,!44 л. Найти вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью.

Решение. Найдем вероятность ошибки первого рода. Статистика overline{X} критерия при условии, что верна гипотеза $H_0colon{m=10}$ л, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 10, и дисперсией, равной sqrt{4/25} . Используя прил. 5, по формуле (11.1) находим

${alpha=P{overline{X}<9,!44/H_0colon{m=10}}=Phi_1!left(frac{9,!44-10}{sqrt{4/25}}right)=Phi_1(-1,!4)=1-Phi_1(1,!4)approx0,!08.}$

Это означает, что принятый критерий классифицирует примерно 8% автомобилей, имеющих расход 10 л на 100 км пробега, как автомобили, имеющие меньший расход топлива. При условии, что верна гипотеза $H_1colon{m=9}$ л, статистика overline{X} имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 9, и дисперсией, равной sqrt{4/25} . Вероятность ошибки второго рода найдем по формуле (11.2):

${beta=P{overline{X}geqslant9,!44/H_1colon{m=9}}=Phi_1!left(frac{9,!44-9}{sqrt{4/25}}right)1-Phi_1(1,!1)approx0,!136.}$

Следовательно, в соответствии с принятым критерием 13,6% автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируются как автомобили, имеющие расход топлива 10 л.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник