Обратная функция для функции ошибок

Error function
Plot of the error function

Plot of the error function
General information
General definition {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}
Fields of application Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain mathbb {C}
Image {displaystyle left(-1,1right)}
Basic features
Parity Odd
Specific features
Root 0
Derivative {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}}
Antiderivative {displaystyle int operatorname {erf} z,dz=zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}+C}
Series definition
Taylor series {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}}

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:[1]

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t.}

This integral is a special (non-elementary) sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

{displaystyle operatorname {erfc} z=1-operatorname {erf} z,}

and the imaginary error function (erfi) defined as

{displaystyle operatorname {erfi} z=-ioperatorname {erf} iz,}

where i is the imaginary unit

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»[2] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.[3]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

{displaystyle f(x)=left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}}

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

{displaystyle left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}int _{p}^{q}e^{-cx^{2}},mathrm {d} x={tfrac {1}{2}}left(operatorname {erf} left(q{sqrt {c}}right)-operatorname {erf} left(p{sqrt {c}}right)right).}

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Xleq L]&={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {L-mu }{{sqrt {2}}sigma }}&approx Aexp left(-Bleft({frac {L-mu }{sigma }}right)^{2}right)end{aligned}}}

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

{displaystyle Pr[Xleq L]leq Aexp(-Bln {k})={frac {A}{k^{B}}}}

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [La, Lb] can be derived as

{displaystyle {begin{aligned}Pr[L_{a}leq Xleq L_{b}]&=int _{L_{a}}^{L_{b}}{frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x&={frac {1}{2}}left(operatorname {erf} {frac {L_{b}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}-operatorname {erf} {frac {L_{a}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}right).end{aligned}}}

Properties[edit]

Integrand exp(−z2)

erf z

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

{displaystyle operatorname {erf} {overline {z}}={overline {operatorname {erf} z}}}

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z2) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»[4]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions, but by expanding the integrand e−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}-{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}-cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }left(zprod _{k=1}^{n}{frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}right)[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}end{aligned}}}

because −(2k − 1)z2/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z+{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}+{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}+cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}.}

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

{displaystyle {frac {d}{dz}}operatorname {erfi} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{z^{2}}.}

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erfi} z-{frac {e^{z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

Higher order derivatives are given by

{displaystyle operatorname {erf} ^{(k)}z={frac {2(-1)^{k-1}}{sqrt {pi }}}{mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={frac {2}{sqrt {pi }}}{frac {mathrm {d} ^{k-1}}{mathrm {d} z^{k-1}}}left(e^{-z^{2}}right),qquad k=1,2,dots }

where H are the physicists’ Hermite polynomials.[5]

Bürmann series[edit]

An expansion,[6] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:[7]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} x&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left(1-{frac {1}{12}}left(1-e^{-x^{2}}right)-{frac {7}{480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{2}-{frac {5}{896}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{3}-{frac {787}{276480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{4}-cdots right)[10pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+sum _{k=1}^{infty }c_{k}e^{-kx^{2}}right).end{aligned}}}

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c1 = 31/200 and c2 = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

{displaystyle operatorname {erf} xapprox {frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+{frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}right).}

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf−1 x satisfying

{displaystyle operatorname {erf} left(operatorname {erf} ^{-1}xright)=x.}

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where c0 = 1 and

{displaystyle {begin{aligned}c_{k}&=sum _{m=0}^{k-1}{frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}&=left{1,1,{frac {7}{6}},{frac {127}{90}},{frac {4369}{2520}},{frac {34807}{16200}},ldots right}.end{aligned}}}

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z={frac {sqrt {pi }}{2}}left(z+{frac {pi }{12}}z^{3}+{frac {7pi ^{2}}{480}}z^{5}+{frac {127pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{frac {4369pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{frac {34807pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+cdots right).}

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf−1 z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

{displaystyle operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=operatorname {erf} ^{-1}z.}

For real x, there is a unique real number erfi−1 x satisfying erfi(erfi−1 x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi−1 x.[8]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi−1 x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

{displaystyle operatorname {erfi} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where ck is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}left(1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {1cdot 3cdot 5cdots (2n-1)}{left(2x^{2}right)^{n}}}right)[6pt]&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}},end{aligned}}}

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

{displaystyle operatorname {erfc} x={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}}+R_{N}(x)}

where the remainder, in Landau notation, is

{displaystyle R_{N}(x)=Oleft(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}right)}

as x → ∞.

Indeed, the exact value of the remainder is

{displaystyle R_{N}(x):={frac {(-1)^{N}}{sqrt {pi }}}2^{1-2N}{frac {(2N)!}{N!}}int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t,}

which follows easily by induction, writing

{displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}

and integrating by parts.

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:[9]

{displaystyle operatorname {erfc} z={frac {z}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}{cfrac {1}{z^{2}+{cfrac {a_{1}}{1+{cfrac {a_{2}}{z^{2}+{cfrac {a_{3}}{1+dotsb }}}}}}}},qquad a_{m}={frac {m}{2}}.}

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

{displaystyle int _{-infty }^{infty }operatorname {erf} left(ax+bright){frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x=operatorname {erf} {frac {amu +b}{sqrt {1+2a^{2}sigma ^{2}}}},qquad a,b,mu ,sigma in mathbb {R} }

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3[10] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} z&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{bar {n}}}}&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}left(1-{frac {1}{2}}{frac {1}{(z^{2}+1)}}+{frac {1}{4}}{frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-cdots right)end{aligned}}}

converges for Re(z2) > 0. Here

{displaystyle {begin{aligned}Q_{n}&{overset {text{def}}{{}={}}}{frac {1}{Gamma left({frac {1}{2}}right)}}int _{0}^{infty }tau (tau -1)cdots (tau -n+1)tau ^{-{frac {1}{2}}}e^{-tau },dtau &=sum _{k=0}^{n}left({tfrac {1}{2}}right)^{bar {k}}s(n,k),end{aligned}}}

zn denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.[11][12]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

  • Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}right)^{4}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 5×10−4)

    where a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 2.5×10−5)

    where p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{6}x^{6}right)^{16}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 3×10−7)

    where a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{5}t^{5}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}}}

    (maximum error: 1.5×10−7)

    where p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429

    All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

  • Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by[13]
    {displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&leq {tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},&quad x&>0operatorname {erfc} x&approx {tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-{frac {4}{3}}x^{2}},&quad x&>0.end{aligned}}}
  • The above have been generalized to sums of N exponentials[14] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where
    {displaystyle {tilde {Q}}(x)=sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}

    In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.[15]

  • A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)[16] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that
    {displaystyle operatorname {erfc} xapprox {frac {left(1-e^{-Ax}right)e^{-x^{2}}}{B{sqrt {pi }}x}}.}

    They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.[17]

  • A single-term lower bound is[18]

    {displaystyle operatorname {erfc} xgeq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,quad beta >1,}

    where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

  • Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:[19][20]: 2–3 
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-exp left(-x^{2}{frac {{frac {4}{pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}right)}}}

    where

    {displaystyle a={frac {8(pi -3)}{3pi (4-pi )}}approx 0.140012.}

    This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.[21]

    This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

    {displaystyle operatorname {erf} ^{-1}xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {{sqrt {left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)^{2}-{frac {ln left(1-x^{2}right)}{a}}}}-left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)}}.}
  • An approximation with a maximal error of 1.2×10−7 for any real argument is:[22]
    {displaystyle operatorname {erf} x={begin{cases}1-tau &xgeq 0tau -1&x<0end{cases}}}

    with

    {displaystyle {begin{aligned}tau &=tcdot exp left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}right.&left.qquad qquad qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}right)end{aligned}}}

    and

    {displaystyle t={frac {1}{1+{frac {1}{2}}|x|}}.}

Table of values[edit]

x erf x 1 − erf x
0 0 1
0.02 0.022564575 0.977435425
0.04 0.045111106 0.954888894
0.06 0.067621594 0.932378406
0.08 0.090078126 0.909921874
0.1 0.112462916 0.887537084
0.2 0.222702589 0.777297411
0.3 0.328626759 0.671373241
0.4 0.428392355 0.571607645
0.5 0.520499878 0.479500122
0.6 0.603856091 0.396143909
0.7 0.677801194 0.322198806
0.8 0.742100965 0.257899035
0.9 0.796908212 0.203091788
1 0.842700793 0.157299207
1.1 0.880205070 0.119794930
1.2 0.910313978 0.089686022
1.3 0.934007945 0.065992055
1.4 0.952285120 0.047714880
1.5 0.966105146 0.033894854
1.6 0.976348383 0.023651617
1.7 0.983790459 0.016209541
1.8 0.989090502 0.010909498
1.9 0.992790429 0.007209571
2 0.995322265 0.004677735
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0.001862846
2.3 0.998856823 0.001143177
2.4 0.999311486 0.000688514
2.5 0.999593048 0.000406952
3 0.999977910 0.000022090
3.5 0.999999257 0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&=1-operatorname {erf} x[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{x}^{infty }e^{-t^{2}},mathrm {d} t[5pt]&=e^{-x^{2}}operatorname {erfcx} x,end{aligned}}}

which also defines erfcx, the scaled complementary error function[23] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow[23][24]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:[25]

{displaystyle operatorname {erfc} (xmid xgeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:[26]

{displaystyle operatorname {erfc} (x+ymid x,ygeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}-{frac {y^{2}}{cos ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} x&=-ioperatorname {erf} ix[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},mathrm {d} t[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{x^{2}}D(x),end{aligned}}}

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow[23]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

w(z)=e^{-z^{2}}operatorname {erfc} (-iz)=operatorname {erfcx} (-iz).

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages[citation needed], as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

{displaystyle {begin{aligned}Phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{tfrac {-t^{2}}{2}},mathrm {d} t[6pt]&={frac {1}{2}}left(1+operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}right)[6pt]&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} left(-{frac {x}{sqrt {2}}}right)end{aligned}}}

or rearranged for erf and erfc:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} (x)&=2Phi left(x{sqrt {2}}right)-1[6pt]operatorname {erfc} (x)&=2Phi left(-x{sqrt {2}}right)&=2left(1-Phi left(x{sqrt {2}}right)right).end{aligned}}}

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

{displaystyle {begin{aligned}Q(x)&={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} {frac {x}{sqrt {2}}}.end{aligned}}}

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

{displaystyle operatorname {probit} (p)=Phi ^{-1}(p)={sqrt {2}}operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{sqrt {2}}operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

{displaystyle operatorname {erf} x={frac {2x}{sqrt {pi }}}Mleft({tfrac {1}{2}},{tfrac {3}{2}},-x^{2}right).}

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.[further explanation needed]

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

{displaystyle operatorname {erf} x=operatorname {sgn} xcdot Pleft({tfrac {1}{2}},x^{2}right)={frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {pi }}}gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Graph of generalised error functions En(x):
grey curve: E1(x) = 1 − e−x/√π
red curve: E2(x) = erf(x)
green curve: E3(x)
blue curve: E4(x)
gold curve: E5(x).

Some authors discuss the more general functions:[citation needed]

{displaystyle E_{n}(x)={frac {n!}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{n}},mathrm {d} t={frac {n!}{sqrt {pi }}}sum _{p=0}^{infty }(-1)^{p}{frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}

Notable cases are:

  • E0(x) is a straight line through the origin: E0(x) = x/e√π
  • E2(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the En for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the En for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

{displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),qquad x>0.}

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

{displaystyle operatorname {erf} x=1-{frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by[27]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z&=int _{z}^{infty }operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} zeta ,mathrm {d} zeta [6pt]operatorname {i} ^{0}!operatorname {erfc} z&=operatorname {erfc} zoperatorname {i} ^{1}!operatorname {erfc} z&=operatorname {ierfc} z={frac {1}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}-zoperatorname {erfc} zoperatorname {i} ^{2}!operatorname {erfc} z&={tfrac {1}{4}}left(operatorname {erfc} z-2zoperatorname {ierfc} zright)end{aligned}}}

The general recurrence formula is

{displaystyle 2ncdot operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=operatorname {i} ^{n-2}!operatorname {erfc} z-2zcdot operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} z}

They have the power series

{displaystyle operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=sum _{j=0}^{infty }{frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!,Gamma left(1+{frac {n-j}{2}}right)}},}

from which follow the symmetry properties

{displaystyle operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} (-z)=-operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}

and

{displaystyle operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} (-z)=operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

  • In Posix-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.[28]
  • The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.[29]

As complex function of a complex argument[edit]

  • libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

  • Gaussian integral, over the whole real line
  • Gaussian function, derivative
  • Dawson function, renormalized imaginary error function
  • Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

  • Normal distribution
  • Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
  • Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
  • Q-function, the tail probability of the normal distribution

References[edit]

  1. ^ Andrews, Larry C. (1998). Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press. p. 110. ISBN 9780819426161.
  2. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). «On a class of definite integrals». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302. doi:10.1080/14786447108640568. Retrieved 6 December 2017.
  3. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). «On a class of definite integrals. Part II». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421–436. doi:10.1080/14786447108640600. Retrieved 6 December 2017.
  4. ^ «A007680 – OEIS». oeis.org. Retrieved 2 April 2020.
  5. ^ Weisstein, Eric W. «Erf». MathWorld.
  6. ^ Schöpf, H. M.; Supancic, P. H. (2014). «On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion». The Mathematica Journal. 16. doi:10.3888/tmj.16-11.
  7. ^ Weisstein, Eric W. «Bürmann’s Theorem». MathWorld.
  8. ^ Bergsma, Wicher (2006). «On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence». arXiv:math/0604627.
  9. ^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
  10. ^ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). «A table of integrals of the Error functions». Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
  11. ^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). «Ueber facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German). 4: 390–415. Retrieved 4 December 2017.
  12. ^ Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (in German). Leipzig: B. G. Teubner. p. 283 Eq. 3. Retrieved 4 December 2017.
  13. ^ Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, M.K. (2003). «New Exponential Bounds and Approximations for the Computation of Error Probability in Fading Channels» (PDF). IEEE Transactions on Wireless Communications. 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761. doi:10.1109/TWC.2003.814350.
  14. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Global minimax approximations and bounds for the Gaussian Q-function by sums of exponentials». IEEE Transactions on Communications. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. doi:10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
  15. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]». Zenodo. doi:10.5281/zenodo.4112978.
  16. ^ Karagiannidis, G. K.; Lioumpas, A. S. (2007). «An improved approximation for the Gaussian Q-function» (PDF). IEEE Communications Letters. 11 (8): 644–646. doi:10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID 4043576.
  17. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2021). «Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function». IEEE Communications Letters. 25 (5): 1468–1471. arXiv:2101.07631. doi:10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
  18. ^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C.; Milstein, Laurence B. (November 2011). «Chernoff-Type Bounds for the Gaussian Error Function». IEEE Transactions on Communications. 59 (11): 2939–2944. doi:10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID 13636638.
  19. ^ Winitzki, Sergei (2003). «Uniform approximations for transcendental functions». Computational Science and Its Applications – ICCSA 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2667. Springer, Berlin. pp. 780–789. doi:10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
  20. ^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). «Global Padé approximations of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse». Fractional Calculus and Applied Analysis. 18 (6): 1492–1506. arXiv:1310.5592. doi:10.1515/fca-2015-0086. S2CID 118148950. Indeed, Winitzki [32] provided the so-called global Padé approximation
  21. ^ Winitzki, Sergei (6 February 2008). «A handy approximation for the error function and its inverse».
  22. ^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, page 214, Cambridge University Press.
  23. ^ a b c Cody, W. J. (March 1993), «Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers» (PDF), ACM Trans. Math. Softw., 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394, doi:10.1145/151271.151273, S2CID 5621105
  24. ^ Zaghloul, M. R. (1 March 2007), «On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 375 (3): 1043–1048, Bibcode:2007MNRAS.375.1043Z, doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
  25. ^ John W. Craig, A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations Archived 3 April 2012 at the Wayback Machine, Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, pp. 571–575.
  26. ^ Behnad, Aydin (2020). «A Novel Extension to Craig’s Q-Function Formula and Its Application in Dual-Branch EGC Performance Analysis». IEEE Transactions on Communications. 68 (7): 4117–4125. doi:10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
  27. ^ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
  28. ^ https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9699919799/basedefs/math.h.html
  29. ^ «Special Functions – GSL 2.7 documentation».

Further reading[edit]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

External links[edit]

  • A Table of Integrals of the Error Functions
Error function
Plot of the error function

Plot of the error function
General information
General definition {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}
Fields of application Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain mathbb {C}
Image {displaystyle left(-1,1right)}
Basic features
Parity Odd
Specific features
Root 0
Derivative {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}}
Antiderivative {displaystyle int operatorname {erf} z,dz=zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}+C}
Series definition
Taylor series {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}}

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:[1]

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t.}

This integral is a special (non-elementary) sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

{displaystyle operatorname {erfc} z=1-operatorname {erf} z,}

and the imaginary error function (erfi) defined as

{displaystyle operatorname {erfi} z=-ioperatorname {erf} iz,}

where i is the imaginary unit

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»[2] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.[3]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

{displaystyle f(x)=left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}}

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

{displaystyle left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}int _{p}^{q}e^{-cx^{2}},mathrm {d} x={tfrac {1}{2}}left(operatorname {erf} left(q{sqrt {c}}right)-operatorname {erf} left(p{sqrt {c}}right)right).}

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Xleq L]&={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {L-mu }{{sqrt {2}}sigma }}&approx Aexp left(-Bleft({frac {L-mu }{sigma }}right)^{2}right)end{aligned}}}

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

{displaystyle Pr[Xleq L]leq Aexp(-Bln {k})={frac {A}{k^{B}}}}

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [La, Lb] can be derived as

{displaystyle {begin{aligned}Pr[L_{a}leq Xleq L_{b}]&=int _{L_{a}}^{L_{b}}{frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x&={frac {1}{2}}left(operatorname {erf} {frac {L_{b}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}-operatorname {erf} {frac {L_{a}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}right).end{aligned}}}

Properties[edit]

Integrand exp(−z2)

erf z

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

{displaystyle operatorname {erf} {overline {z}}={overline {operatorname {erf} z}}}

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z2) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»[4]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions, but by expanding the integrand e−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}-{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}-cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }left(zprod _{k=1}^{n}{frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}right)[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}end{aligned}}}

because −(2k − 1)z2/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z+{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}+{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}+cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}.}

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

{displaystyle {frac {d}{dz}}operatorname {erfi} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{z^{2}}.}

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erfi} z-{frac {e^{z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

Higher order derivatives are given by

{displaystyle operatorname {erf} ^{(k)}z={frac {2(-1)^{k-1}}{sqrt {pi }}}{mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={frac {2}{sqrt {pi }}}{frac {mathrm {d} ^{k-1}}{mathrm {d} z^{k-1}}}left(e^{-z^{2}}right),qquad k=1,2,dots }

where H are the physicists’ Hermite polynomials.[5]

Bürmann series[edit]

An expansion,[6] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:[7]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} x&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left(1-{frac {1}{12}}left(1-e^{-x^{2}}right)-{frac {7}{480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{2}-{frac {5}{896}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{3}-{frac {787}{276480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{4}-cdots right)[10pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+sum _{k=1}^{infty }c_{k}e^{-kx^{2}}right).end{aligned}}}

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c1 = 31/200 and c2 = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

{displaystyle operatorname {erf} xapprox {frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+{frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}right).}

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf−1 x satisfying

{displaystyle operatorname {erf} left(operatorname {erf} ^{-1}xright)=x.}

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where c0 = 1 and

{displaystyle {begin{aligned}c_{k}&=sum _{m=0}^{k-1}{frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}&=left{1,1,{frac {7}{6}},{frac {127}{90}},{frac {4369}{2520}},{frac {34807}{16200}},ldots right}.end{aligned}}}

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z={frac {sqrt {pi }}{2}}left(z+{frac {pi }{12}}z^{3}+{frac {7pi ^{2}}{480}}z^{5}+{frac {127pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{frac {4369pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{frac {34807pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+cdots right).}

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf−1 z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

{displaystyle operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=operatorname {erf} ^{-1}z.}

For real x, there is a unique real number erfi−1 x satisfying erfi(erfi−1 x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi−1 x.[8]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi−1 x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

{displaystyle operatorname {erfi} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where ck is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}left(1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {1cdot 3cdot 5cdots (2n-1)}{left(2x^{2}right)^{n}}}right)[6pt]&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}},end{aligned}}}

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

{displaystyle operatorname {erfc} x={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}}+R_{N}(x)}

where the remainder, in Landau notation, is

{displaystyle R_{N}(x)=Oleft(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}right)}

as x → ∞.

Indeed, the exact value of the remainder is

{displaystyle R_{N}(x):={frac {(-1)^{N}}{sqrt {pi }}}2^{1-2N}{frac {(2N)!}{N!}}int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t,}

which follows easily by induction, writing

{displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}

and integrating by parts.

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:[9]

{displaystyle operatorname {erfc} z={frac {z}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}{cfrac {1}{z^{2}+{cfrac {a_{1}}{1+{cfrac {a_{2}}{z^{2}+{cfrac {a_{3}}{1+dotsb }}}}}}}},qquad a_{m}={frac {m}{2}}.}

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

{displaystyle int _{-infty }^{infty }operatorname {erf} left(ax+bright){frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x=operatorname {erf} {frac {amu +b}{sqrt {1+2a^{2}sigma ^{2}}}},qquad a,b,mu ,sigma in mathbb {R} }

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3[10] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} z&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{bar {n}}}}&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}left(1-{frac {1}{2}}{frac {1}{(z^{2}+1)}}+{frac {1}{4}}{frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-cdots right)end{aligned}}}

converges for Re(z2) > 0. Here

{displaystyle {begin{aligned}Q_{n}&{overset {text{def}}{{}={}}}{frac {1}{Gamma left({frac {1}{2}}right)}}int _{0}^{infty }tau (tau -1)cdots (tau -n+1)tau ^{-{frac {1}{2}}}e^{-tau },dtau &=sum _{k=0}^{n}left({tfrac {1}{2}}right)^{bar {k}}s(n,k),end{aligned}}}

zn denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.[11][12]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

  • Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}right)^{4}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 5×10−4)

    where a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 2.5×10−5)

    where p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{6}x^{6}right)^{16}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 3×10−7)

    where a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{5}t^{5}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}}}

    (maximum error: 1.5×10−7)

    where p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429

    All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

  • Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by[13]
    {displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&leq {tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},&quad x&>0operatorname {erfc} x&approx {tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-{frac {4}{3}}x^{2}},&quad x&>0.end{aligned}}}
  • The above have been generalized to sums of N exponentials[14] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where
    {displaystyle {tilde {Q}}(x)=sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}

    In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.[15]

  • A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)[16] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that
    {displaystyle operatorname {erfc} xapprox {frac {left(1-e^{-Ax}right)e^{-x^{2}}}{B{sqrt {pi }}x}}.}

    They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.[17]

  • A single-term lower bound is[18]

    {displaystyle operatorname {erfc} xgeq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,quad beta >1,}

    where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

  • Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:[19][20]: 2–3 
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-exp left(-x^{2}{frac {{frac {4}{pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}right)}}}

    where

    {displaystyle a={frac {8(pi -3)}{3pi (4-pi )}}approx 0.140012.}

    This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.[21]

    This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

    {displaystyle operatorname {erf} ^{-1}xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {{sqrt {left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)^{2}-{frac {ln left(1-x^{2}right)}{a}}}}-left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)}}.}
  • An approximation with a maximal error of 1.2×10−7 for any real argument is:[22]
    {displaystyle operatorname {erf} x={begin{cases}1-tau &xgeq 0tau -1&x<0end{cases}}}

    with

    {displaystyle {begin{aligned}tau &=tcdot exp left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}right.&left.qquad qquad qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}right)end{aligned}}}

    and

    {displaystyle t={frac {1}{1+{frac {1}{2}}|x|}}.}

Table of values[edit]

x erf x 1 − erf x
0 0 1
0.02 0.022564575 0.977435425
0.04 0.045111106 0.954888894
0.06 0.067621594 0.932378406
0.08 0.090078126 0.909921874
0.1 0.112462916 0.887537084
0.2 0.222702589 0.777297411
0.3 0.328626759 0.671373241
0.4 0.428392355 0.571607645
0.5 0.520499878 0.479500122
0.6 0.603856091 0.396143909
0.7 0.677801194 0.322198806
0.8 0.742100965 0.257899035
0.9 0.796908212 0.203091788
1 0.842700793 0.157299207
1.1 0.880205070 0.119794930
1.2 0.910313978 0.089686022
1.3 0.934007945 0.065992055
1.4 0.952285120 0.047714880
1.5 0.966105146 0.033894854
1.6 0.976348383 0.023651617
1.7 0.983790459 0.016209541
1.8 0.989090502 0.010909498
1.9 0.992790429 0.007209571
2 0.995322265 0.004677735
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0.001862846
2.3 0.998856823 0.001143177
2.4 0.999311486 0.000688514
2.5 0.999593048 0.000406952
3 0.999977910 0.000022090
3.5 0.999999257 0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&=1-operatorname {erf} x[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{x}^{infty }e^{-t^{2}},mathrm {d} t[5pt]&=e^{-x^{2}}operatorname {erfcx} x,end{aligned}}}

which also defines erfcx, the scaled complementary error function[23] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow[23][24]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:[25]

{displaystyle operatorname {erfc} (xmid xgeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:[26]

{displaystyle operatorname {erfc} (x+ymid x,ygeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}-{frac {y^{2}}{cos ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} x&=-ioperatorname {erf} ix[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},mathrm {d} t[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{x^{2}}D(x),end{aligned}}}

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow[23]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

w(z)=e^{-z^{2}}operatorname {erfc} (-iz)=operatorname {erfcx} (-iz).

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages[citation needed], as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

{displaystyle {begin{aligned}Phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{tfrac {-t^{2}}{2}},mathrm {d} t[6pt]&={frac {1}{2}}left(1+operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}right)[6pt]&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} left(-{frac {x}{sqrt {2}}}right)end{aligned}}}

or rearranged for erf and erfc:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} (x)&=2Phi left(x{sqrt {2}}right)-1[6pt]operatorname {erfc} (x)&=2Phi left(-x{sqrt {2}}right)&=2left(1-Phi left(x{sqrt {2}}right)right).end{aligned}}}

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

{displaystyle {begin{aligned}Q(x)&={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} {frac {x}{sqrt {2}}}.end{aligned}}}

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

{displaystyle operatorname {probit} (p)=Phi ^{-1}(p)={sqrt {2}}operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{sqrt {2}}operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

{displaystyle operatorname {erf} x={frac {2x}{sqrt {pi }}}Mleft({tfrac {1}{2}},{tfrac {3}{2}},-x^{2}right).}

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.[further explanation needed]

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

{displaystyle operatorname {erf} x=operatorname {sgn} xcdot Pleft({tfrac {1}{2}},x^{2}right)={frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {pi }}}gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Graph of generalised error functions En(x):
grey curve: E1(x) = 1 − e−x/√π
red curve: E2(x) = erf(x)
green curve: E3(x)
blue curve: E4(x)
gold curve: E5(x).

Some authors discuss the more general functions:[citation needed]

{displaystyle E_{n}(x)={frac {n!}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{n}},mathrm {d} t={frac {n!}{sqrt {pi }}}sum _{p=0}^{infty }(-1)^{p}{frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}

Notable cases are:

  • E0(x) is a straight line through the origin: E0(x) = x/e√π
  • E2(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the En for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the En for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

{displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),qquad x>0.}

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

{displaystyle operatorname {erf} x=1-{frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by[27]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z&=int _{z}^{infty }operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} zeta ,mathrm {d} zeta [6pt]operatorname {i} ^{0}!operatorname {erfc} z&=operatorname {erfc} zoperatorname {i} ^{1}!operatorname {erfc} z&=operatorname {ierfc} z={frac {1}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}-zoperatorname {erfc} zoperatorname {i} ^{2}!operatorname {erfc} z&={tfrac {1}{4}}left(operatorname {erfc} z-2zoperatorname {ierfc} zright)end{aligned}}}

The general recurrence formula is

{displaystyle 2ncdot operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=operatorname {i} ^{n-2}!operatorname {erfc} z-2zcdot operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} z}

They have the power series

{displaystyle operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=sum _{j=0}^{infty }{frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!,Gamma left(1+{frac {n-j}{2}}right)}},}

from which follow the symmetry properties

{displaystyle operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} (-z)=-operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}

and

{displaystyle operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} (-z)=operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

  • In Posix-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.[28]
  • The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.[29]

As complex function of a complex argument[edit]

  • libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

  • Gaussian integral, over the whole real line
  • Gaussian function, derivative
  • Dawson function, renormalized imaginary error function
  • Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

  • Normal distribution
  • Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
  • Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
  • Q-function, the tail probability of the normal distribution

References[edit]

  1. ^ Andrews, Larry C. (1998). Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press. p. 110. ISBN 9780819426161.
  2. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). «On a class of definite integrals». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302. doi:10.1080/14786447108640568. Retrieved 6 December 2017.
  3. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). «On a class of definite integrals. Part II». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421–436. doi:10.1080/14786447108640600. Retrieved 6 December 2017.
  4. ^ «A007680 – OEIS». oeis.org. Retrieved 2 April 2020.
  5. ^ Weisstein, Eric W. «Erf». MathWorld.
  6. ^ Schöpf, H. M.; Supancic, P. H. (2014). «On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion». The Mathematica Journal. 16. doi:10.3888/tmj.16-11.
  7. ^ Weisstein, Eric W. «Bürmann’s Theorem». MathWorld.
  8. ^ Bergsma, Wicher (2006). «On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence». arXiv:math/0604627.
  9. ^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
  10. ^ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). «A table of integrals of the Error functions». Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
  11. ^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). «Ueber facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German). 4: 390–415. Retrieved 4 December 2017.
  12. ^ Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (in German). Leipzig: B. G. Teubner. p. 283 Eq. 3. Retrieved 4 December 2017.
  13. ^ Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, M.K. (2003). «New Exponential Bounds and Approximations for the Computation of Error Probability in Fading Channels» (PDF). IEEE Transactions on Wireless Communications. 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761. doi:10.1109/TWC.2003.814350.
  14. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Global minimax approximations and bounds for the Gaussian Q-function by sums of exponentials». IEEE Transactions on Communications. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. doi:10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
  15. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]». Zenodo. doi:10.5281/zenodo.4112978.
  16. ^ Karagiannidis, G. K.; Lioumpas, A. S. (2007). «An improved approximation for the Gaussian Q-function» (PDF). IEEE Communications Letters. 11 (8): 644–646. doi:10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID 4043576.
  17. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2021). «Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function». IEEE Communications Letters. 25 (5): 1468–1471. arXiv:2101.07631. doi:10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
  18. ^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C.; Milstein, Laurence B. (November 2011). «Chernoff-Type Bounds for the Gaussian Error Function». IEEE Transactions on Communications. 59 (11): 2939–2944. doi:10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID 13636638.
  19. ^ Winitzki, Sergei (2003). «Uniform approximations for transcendental functions». Computational Science and Its Applications – ICCSA 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2667. Springer, Berlin. pp. 780–789. doi:10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
  20. ^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). «Global Padé approximations of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse». Fractional Calculus and Applied Analysis. 18 (6): 1492–1506. arXiv:1310.5592. doi:10.1515/fca-2015-0086. S2CID 118148950. Indeed, Winitzki [32] provided the so-called global Padé approximation
  21. ^ Winitzki, Sergei (6 February 2008). «A handy approximation for the error function and its inverse».
  22. ^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, page 214, Cambridge University Press.
  23. ^ a b c Cody, W. J. (March 1993), «Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers» (PDF), ACM Trans. Math. Softw., 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394, doi:10.1145/151271.151273, S2CID 5621105
  24. ^ Zaghloul, M. R. (1 March 2007), «On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 375 (3): 1043–1048, Bibcode:2007MNRAS.375.1043Z, doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
  25. ^ John W. Craig, A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations Archived 3 April 2012 at the Wayback Machine, Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, pp. 571–575.
  26. ^ Behnad, Aydin (2020). «A Novel Extension to Craig’s Q-Function Formula and Its Application in Dual-Branch EGC Performance Analysis». IEEE Transactions on Communications. 68 (7): 4117–4125. doi:10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
  27. ^ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
  28. ^ https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9699919799/basedefs/math.h.html
  29. ^ «Special Functions – GSL 2.7 documentation».

Further reading[edit]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

External links[edit]

  • A Table of Integrals of the Error Functions
Функция ошибки
График функции ошибок

График функции ошибок
Главная Информация
Общее определение
Области применения Вероятность, термодинамика
Домен, кодовый домен и изображение
Домен
Изображение
Основные характеристики
Паритет Странный
Особенности
Корень 0
Производная
Первообразная
Определение серии
Серия Тейлора

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая как erf , представляет собой комплексную функцию комплексной переменной, определяемую как: [1]

Этот интеграл представляет собой специальную ( неэлементарную ) сигмовидную функцию, которая часто встречается в теории вероятностей , статистике и уравнениях с частными производными . Во многих из этих приложений аргументом функции является действительное число. Если аргумент функции действителен, то значение функции также является вещественным.

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y , которая нормально распределена со средним значением 0 и стандартным отклонением 1/√ 2, erf x — вероятность того, что Y попадает в диапазон [− x , x ] .

Две тесно связанные функции — это дополнительная функция ошибки ( erfc ), определенная как

и мнимая функция ошибки ( erfi ), определенная как

где я — мнимая единица

Имя

Название «функция ошибки» и ее аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. из-за ее связи с «теорией вероятностей и особенно теорией ошибок ». [2] Дополнение функции ошибки также обсуждалось Глэшером в отдельной публикации в том же году. [3]
Для «закона легкости» ошибок, плотность которых определяется выражением

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q , как:

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ и ожидаемым значением 0, то erf (а/σ √ 2) — это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.

Функции ошибок и дополнительных ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда .

Функцию ошибок и ее аппроксимацию можно использовать для оценки результатов, которые выполняются с высокой или низкой вероятностью. Для случайной величины X ~ Norm[ μ , σ ] (нормальное распределение со средним значением μ и стандартным отклонением σ ) и константой L < μ :

где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, в частности, µ − L ≥ σ √ ln k , то:

поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .

Вероятность того, что X находится в интервале [ La , Lb ] , может быть получена
как

Свойства

Подынтегральное выражение exp(− z 2 )

эрф z

Свойство erf ( −z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это непосредственно следует из того, что подынтегральная функция e − t 2 является четной функцией (первообразная четной функции, равная нулю в нуле, является нечетной функцией, и наоборот).

Поскольку функция ошибок — это целая функция , которая переводит действительные числа в действительные числа, для любого комплексного числа z :

где z является комплексно — сопряженным z .

Подынтегральная функция f = exp(− z 2 ) и f = erf z показаны в комплексной плоскости z на рисунках справа с раскраской области .

Функция ошибки при +∞ точно равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На вещественной оси erf z приближается к единице при z → +∞ и −1 при z → −∞ . На мнимой оси она стремится к ± i ∞ .

Серия Тейлора

Функция ошибки — это целая функция ; у него нет особенностей (за исключением того, что на бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но известно, что «[…] он плохо сходится, если x > 1 ». [4]

Определяющий интеграл не может быть оценен в закрытой форме с точки зрения элементарных функций , но путем разложения подынтегрального выражения e — z 2 в его ряд Маклорена и интегрирования почленно, можно получить ряд Маклорена для функции ошибки как:

который выполняется для любого комплексного числа  z . Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS .

Для итеративного расчета приведенного выше ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

потому что−(2 k − 1) z 2/к (2 к + 1)выражает множитель для превращения k -го члена в ( k  + 1) -й член (рассматривая z как первый член).

Мнимая функция ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

который выполняется для любого комплексного числа  z .

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

Отсюда также непосредственна производная мнимой функции ошибки:

Первообразная функции ошибок, получаемая интегрированием по частям , есть

Первообразная мнимой функции ошибок, которую также можно получить путем интегрирования по частям, равна

Производные более высокого порядка задаются выражением

где H — физические полиномы Эрмита . [5]

Серия Бюрманна

Разложение [6] , которое сходится для всех действительных значений x быстрее, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана : [7]

где sign — знаковая функция . Оставив только первые два коэффициента и выбрав c 1 =31/200и с 2 = —341/8000, полученное приближение показывает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796 , где она меньше 0,0036127:

Обратные функции

Учитывая комплексное число z , не существует уникального комплексного числа w , удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1 существует единственное действительное число, обозначаемое erf −1 x , удовлетворяющее

Обратная функция ошибки обычно определяется с помощью домена (−1,1) и ограничивается этим доменом во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно расширить на диск | г | < 1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

где с 0 = 1 и

Таким образом, мы имеем разложение ряда (общие множители были исключены из числителей и знаменателей):

(После отмены дроби числителя/знаменателя представляют собой записи OEIS :  A092676 / OEIS :  A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS :  A002067 .) Значение функции ошибки при  ±∞ равно  ±1 .

Для | г | < 1 , имеем erf(erf− 1 z ) = z .

Обратная дополнительная функция ошибок определяется как

Для вещественного x существует единственное вещественное число erfi− 1 x , удовлетворяющее условию erfi(erfi− 1 x ) = x . Обратная мнимая функция ошибки определяется как erfi −1 x . [8]

Для любого реального x метод Ньютона можно использовать для вычисления erfi −1 x , а для −1 ≤ x ≤ 1 сходится следующий ряд Маклорена:

где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое расширение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

где (2 n − 1)!! является двойным факториалом ( 2 n — 1) , который является произведением всех нечетных чисел до (2 n — 1) . Этот ряд расходится для каждого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 имеет место

где остаток в обозначениях Ландау равен

при х → ∞ .

Действительно, точное значение остатка равно

которое легко следует по индукции, записав

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x нужны только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

Непрерывное дробное разложение дополнительной функции ошибок: [9]

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

которая оказывается связанной с Нг и Геллером, формулой 13 в разделе 4.3 [10] с заменой переменных.

Факторный ряд

Обратный факторный ряд :

сходится при Re( z 2 ) > 0 . Здесь

zn обозначает возрастающий факториал , а s ( n , k ) обозначает знаковое число Стирлинга первого рода . [11] [12]
Также существует представление бесконечной суммы, содержащей двойной факториал :

Численные приближения

Аппроксимация элементарными функциями

  • Абрамовиц и Стеган дают несколько приближений разной точности (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать самое быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке возрастания точности это:


    (максимальная ошибка:    5 × 10 -4 )

    где а 1 = 0,278393 , а 2 = 0,230389 , а 3 = 0,000972 , а 4 = 0,078108

    (максимальная ошибка:2,5 × 10 -5 )

    где р = 0,47047 , а 1 = 0,3480242 , а 2 = -0,0958798 , а 3 = 0,7478556


    (максимальная ошибка:    3 × 10 −7 )

    где а 1 = 0,0705230784 , а 2 = 0,0422820123 , а 3 = 0,0092705272 , а 4 = 0,0001520143 , а 5 = 0,0002765672 , а 6 = 0,0000430638


    (максимальная ошибка:    1,5 × 10 -7 )

    где р = 0,3275911 , а 1 = 0,254829592 , а 2 = -0,284496736 , а 3 = 1,421413741 , а 4 = -1,453152027 , а 5 = 1,061405429


    Все эти приближения справедливы для     x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x , используйте тот факт, что erf x является нечетной функцией, поэтому erf x = -erf(- x ) .

  • Экспоненциальные оценки и чисто экспоненциальная аппроксимация дополнительной функции ошибок даются формулой [13]
  • Вышеприведенное было обобщено на суммы N экспонент [14] с возрастающей точностью в терминах N , так что erfc x может быть точно аппроксимирован или ограничен 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где


    В частности, существует систематическая методика решения числовых коэффициентов     {( an , b n ) }Н
    п = 1    которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a n , b n )}Н
    п = 1    для многих вариаций экспоненциальных аппроксимаций и границ до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде всеобъемлющего набора данных. [15]

  • Точное приближение дополнительной функции ошибок для x ∈ [0, ∞) дано Карагианнидисом и Лиумпасом (2007) [16] , которые показали для соответствующего выбора параметров { A , B } , что


    Они определили     { A , B } = {1.98,1.135} , что дало хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу. [17]

  • Одночленная нижняя граница [18]

    где параметр β можно подобрать так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.

  • Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»: [19] [20] : 2–3. 


    куда


    Это разработано, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и окрестности бесконечности, а     относительная ошибка составляет менее 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 уменьшает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013. [21]

    Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

  • Аппроксимация с максимальной ошибкой1,2 × 10 −7 для любого действительного аргумента: [22]

    с

    а также

Таблица значений

Икс х _ 1 — эрф х
0 0 1
0,02 0,022 564 575 0,977 435 425
0,04 0,045 111 106 0,954 888 894
0,06 0,067 621 594 0,932 378 406
0,08 0,090 078 126 0,909 921 874
0,1 0,112 462 916 0,887 537 084
0,2 0,222 702 589 0,777 297 411
0,3 0,328 626 759 0,671 373 241
0,4 0,428 392 355 0,571 607 645
0,5 0,520 499 878 0,479 500 122
0,6 0,603 856 091 0,396 143 909
0,7 0,677 801 194 0,322 198 806
0,8 0,742 100 965 0,257 899 035
0,9 0,796 908 212 0,203 091 788
1 0,842 700 793 0,157 299 207
1.1 0,880 205 070 0,119 794 930
1,2 0,910 313 978 0,089 686 022
1,3 0,934 007 945 0,065 992 055
1,4 0,952 285 120 0,047 714 880
1,5 0,966 105 146 0,033 894 854
1,6 0,976 348 383 0,023 651 617
1,7 0,983 790 459 0,016 209 541
1,8 0,989 090 502 0,010 909 498
1,9 0,992 790 429 0,007 209 571
2 0,995 322 265 0,004 677 735
2.1 0,997 020 533 0,002 979 467
2.2 0,998 137 154 0,001 862 846
2.3 0,998 856 823 0,001 143 177
2,4 0,999 311 486 0,000 688 514
2,5 0,999 593 048 0,000 406 952
3 0,999 977 910 0,000 022 090
3,5 0,999 999 257 0,000 000 743

Дополнительная функция ошибки

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая erfc , определяется как

который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок [23] (которую можно использовать вместо erfc , чтобы избежать арифметического потери значимости [23] [24] ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя: [25]

Это выражение справедливо только для положительных значений x , но его можно использовать в сочетании с erfc x = 2 − erfc(− x ) для получения erfc( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования фиксирован и конечен. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом: [26]

Функция мнимой ошибки

Мнимая функция ошибки , обозначаемая erfi , определяется как

где D ( x ) — функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi , чтобы избежать арифметического переполнения [23] ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi x действительна, когда x действительна.

Когда функция ошибок вычисляется для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно рассматривается в масштабированном виде как функция Фаддеева :

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существу идентична стандартной функции нормального кумулятивного распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой( x ) в некоторых языках программного обеспечения [ нужна ссылка ] , поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Верно,

или переставить для erf и erfc :

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Q-функцию можно выразить через функцию ошибок как

Обратная функция Φ известна как нормальная квантильная функция или пробит — функция и может быть выражена через обратную функцию ошибки как

Стандартная нормальная cdf чаще используется в теории вероятностей и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера , а также может быть выражена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Он имеет простое выражение через интеграл Френеля . [ требуются дополнительные пояснения ]

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполной гамма-функции ,

sign x – знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n ( x ) :
серая кривая: E 1 ( x ) =1 — е — х/√ π
красная кривая: E 2 ( x ) = erf ( x )
зеленая кривая: E 3 ( x )
синяя кривая: E 4 ( x )
золотая кривая: E 5 ( x ) .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции :

Известные случаи:

  • E 0 ( x ) — прямая, проходящая через начало координат: E 0 ( x ) =Икс/е √ π
  • E 2 ( x ) — функция ошибок, erf x .

После деления на n ! , все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу. Точно так же E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной x стороне графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются согласно [27]

Общая рекуррентная формула

У них силовой ряд

откуда следуют свойства симметрии

а также

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

  • В операционных системах, совместимых с Posix , заголовок math.hдолжен объявлять, а математическая библиотека libmдолжна предоставлять функции erfи erfc( двойной точности ), а также их аналоги одинарной точности и расширенной точностиerff , erflи erfcf, erfcl. [28]
  • Научная библиотека GNU предоставляет erf, erfc, log(erf)и масштабированные функции ошибок. [29]

Как сложная функция сложного аргумента

  • libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет сложные функции cerf, cerfcи cerfcxдействительные функции erfiс erfcxточностью примерно 13–14 цифр на основе функции Фаддеева , реализованной в MIT Faddeeva Package .

Смотрите также

  • Интеграл Гаусса по всей прямой
  • Гауссова функция , производная
  • Функция Доусона , перенормированная мнимая функция ошибок
  • Интеграл Гудвина – Статона

Вероятность

  • Нормальное распределение
  • Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
  • Probit , обратная или квантильная функция нормального CDF
  • Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения

Ссылки

  1. ^ Эндрюс, Ларри С. (1998). Специальные функции математики для инженеров . СПАЙ Пресс. п. 110. ISBN 9780819426161.
  2. ↑ Glaisher, Джеймс Уитбред Ли (июль 1871 г.). «Об одном классе определенных интегралов» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 4. 42 (277): 294–302. дои : 10.1080/14786447108640568 . Проверено 6 декабря 2017 г.
  3. ↑ Glaisher, Джеймс Уитбред Ли (сентябрь 1871 г.). «Об одном классе определенных интегралов. Часть II» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 4. 42 (279): 421–436. дои : 10.1080/14786447108640600 . Проверено 6 декабря 2017 г.
  4. Викискладе есть медиафайлы по теме A007680 . oeis.org . Проверено 2 апреля 2020 г. .
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Эрф» . Мир Математики . Вольфрам.
  6. ^ Шёпф, Х.М.; Супанчич, РН (2014). «О теореме Бюрмана и ее приложении к задачам линейной и нелинейной теплопередачи и диффузии» . Журнал «Математика» . 16 . doi : 10.3888/tmj.16-11 .
  7. ^ Weisstein, EW «Теорема Бюрмана» . Wolfram MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
  8. ^ Бергсма, Вичер (2006). «О новом коэффициенте корреляции, его ортогональном разложении и связанных с ним тестах на независимость». arXiv : математика/0604627 .
  9. ^ Кайт, Энни AM ; Петерсен, Вигдис Б.; Вердонк, Бриджит; Вааделанд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008). Справочник по непрерывным дробям для специальных функций . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-4020-6948-2.
  10. ^ Нг, Эдвард В .; Геллер, Мюррей (январь 1969 г.). «Таблица интегралов функций ошибок». Журнал исследований Национального бюро стандартов Раздел B . 73B (1): 1. doi : 10.6028/jres.073B.001 .
  11. ^ Шлемильх, Оскар Ксавьер (1859). «Ueber facultätenreihen» . Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 4 : 390–415 . Проверено 4 декабря 2017 г.
  12. ^ Нильсон, Нильс (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. п. 283 уравнение 3 . Проверено 4 декабря 2017 г.
  13. ^ Чиани, М .; Дардари, Д.; Саймон, MK (2003). «Новые экспоненциальные границы и приближения для расчета вероятности ошибки в каналах с замираниями» (PDF) . Транзакции IEEE в беспроводной связи . 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761 . doi : 10.1109/TWC.2003.814350 .  
  14. ^ Танаш, И.М.; Риихонен, Т. (2020). «Глобальные минимаксные аппроксимации и оценки гауссовой Q-функции суммами экспонент». Транзакции IEEE в коммуникациях . 68 (10): 6514–6524. архив : 2007.06939 . doi : 10.1109/TCOMM.2020.3006902 . S2CID 220514754 . 
  15. ^ Танаш, И.М.; Риихонен, Т. (2020). «Коэффициенты для глобальных минимаксных аппроксимаций и границы для Q-функции Гаусса по суммам экспонент [набор данных]» . Зенодо . doi : 10.5281/zenodo.4112978 .
  16. ^ Карагианнидис, Г.К.; Лиумпас, А.С. (2007). «Улучшенное приближение для Q-функции Гаусса» (PDF) . Коммуникационные письма IEEE . 11 (8): 644–646. doi : 10.1109/LCOMM.2007.070470 . S2CID 4043576 .  
  17. ^ Танаш, И.М.; Риихонен, Т. (2021). «Улучшенные коэффициенты для приближений Карагианнидиса – Лиумпаса и границы гауссовой Q-функции». Коммуникационные письма IEEE . 25 (5): 1468–1471. архив : 2101.07631 . doi : 10.1109/LCOMM.2021.3052257 . S2CID 231639206 . 
  18. ^ Чанг, Сок-Хо; Косман, Памела С.; Мильштейн, Лоуренс Б. (ноябрь 2011 г.). «Границы типа Чернова для функции ошибки Гаусса» . Транзакции IEEE в коммуникациях . 59 (11): 2939–2944. doi : 10.1109/TCOMM.2011.072011.100049 . S2CID 13636638 . 
  19. ^ Виницкий, Сергей (2003). «Равномерные приближения для трансцендентных функций» . Вычислительная наука и ее приложения — ICCSA 2003 . Конспект лекций по информатике. Том. 2667. Спрингер, Берлин. стр.  780–789 . doi : 10.1007/3-540-44839-X_82 . ISBN 978-3-540-40155-1.
  20. ^ Цзэн, Кайбин; Чен, Ян Цуань (2015). «Глобальные аппроксимации Паде обобщенной функции Миттаг-Леффлера и ее обратной». Дробное исчисление и прикладной анализ . 18 (6): 1492–1506. архив : 1310.5592 . doi : 10.1515/fca-2015-0086 . S2CID 118148950 . Действительно, Виницки [32] предложил так называемое глобальное приближение Паде 
  21. ↑ Виницкий, Сергей (6 февраля 2008 г.). «Удобное приближение для функции ошибок и ее обратной».
  22. ^ Численные рецепты на Фортране 77: Искусство научных вычислений ( ISBN 0-521-43064-X ), 1992, стр. 214, Cambridge University Press. 
  23. ^ a b c Коди, WJ (март 1993 г.), «Алгоритм 715: SPECFUN — переносимый пакет специальных функций и тестовых драйверов на FORTRAN» (PDF) , ACM Trans. Мат. ПО , 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394 , doi : 10.1145/151271.151273 , S2CID 5621105   
  24. ↑ Zaghloul , MR (1 марта 2007 г.), «О расчете профиля линии Фойгта: единственный правильный интеграл с затухающим синусоидальным интегралом», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 375 (3): 1043–1048, Bibcode : 2007MNRAS.375.1043Z , doi : 10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
  25. ↑ Джон В. Крейг, Новый, простой и точный результат для расчета вероятности ошибки для двумерных сигнальных созвездий . Архивировано 3 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, стр. 571–575.
  26. ^ Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности EGC с двумя ветвями». Транзакции IEEE в коммуникациях . 68 (7): 4117–4125. doi : 10.1109/TCOMM.2020.2986209 . S2CID 216500014 . 
  27. ^ Карслоу, HS ; Джагер, Дж . К. (1959), Теплопроводность твердых тел (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, стр. 484
  28. ^ https://pubs.opengroup.org/onlinepubs/9699919799/basedefs/math.h.html
  29. ^ «Специальные функции — документация GSL 2.7» .

Дальнейшее чтение

  • Абрамовиц, Милтон ; Стеган, Ирэн Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия прикладной математики. Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 297. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . МР  0167642 . LCCN  65-12253 .
  • Пресс, Уильям Х .; Теукольский, Саул А .; Феттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Лозьер, Дэниел М .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (редакторы), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248

Внешние ссылки

  • MathWorld – Эрф
  • Таблица интегралов функций ошибок

3.3.Температурное
поле непрерывного неподвижного точечного
источ­ни­ка в неограниченной среде.
Функция ошибок Гаусса (функция erf(x)).

Если в точ­ке с
координатами x‘,
y‘,
z‘
в интервале времени от t‘
= 0 до t‘
= t
ра­ботает источник тепла мощностью
W,
то температурное поле этого ис­точ­ни­ка,
как указано выше, мо­жет быть найдено
интегрированием фундаментального
решения по t‘
от 0 до t
(т.е. от момента включения до момента
выключения источника). Поместим начало
координат в точку, где находится источник
теп­ла. Тогда x’
= y’
= z’
= 0, и формула
для температуры принимает вид:

,
(3.3.1)

где r2
= (x — x’)2
+ (y — y’)2
+ (z — z’)2
= x2
+ y2
+ z2
— квадрат расстояния от источника до
точки на­блю­де­ния.

Произведем в
интеграле (3.3.1) замену переменных:
r2/[4a(t
— t’)] = 2.
Тогда: (t —
t’)3/2
= r3/(8a3/23),
dt’ = r2d/(2a3),
пределы интегрирования: t’
= 0 
,
t’ = t


= ,
и фор­мула (3.3.1) принимает вид:

.
(3.3.2)

Первый интеграл,
стоящий в скобках, известен из курса
высшей математики:


(интеграл
Пуассона),

а второй интеграл
через элементарные функции не выражается
и определяет специальную фун­к­цию,
которая называется функцией
ошибок Гаусса,
или интегралом
вероятностей,
или фун­к­ци­ей эрфектум:


(3.3.3)

(читается «эрфектум»
или сокращенно: «эрф»). Через эту
функцию выражаются решения мно­гих
задач в теории теплопроводности, да и
в других областях физики она играет
важную роль.

Из определения
(3.3.3) видно, что erf(0)
= 0, а erf()
= 1, т.е. erf(x)
— это мо­но­тон­но возрастающая
функция, вид ко­то­рой изо­бражен
на Рис.3.3. Функция erf(x)
та­бу­ли­­ро­вана, и ее зна­чения
приводят­ся в раз­лич­ных
справочниках; в таблице 3.1 при­ве­де­ны
несколько значений этой функции. В
биб­ли­о­те­ках не­ко­торых
языков программирова­ния имеются
го­то­вые под­про­грам­мы для
вы­чис­ления функции erf(x).
Если готовой под­про­­грам­мы
нет, функцию erf(x)
можно
вы­чис­лить с помощью степенного
ряда. «Стан­дар­т­ное»
раз­ло­жение этой функ­ции в
сте­пен­ной ряд, которое обычно
приводится в математи­чес­ких
спра­воч­никах, име­ет вид:

.
(3.3.4)

Этот
ряд удобен для анализа свойств функции,
но для практических расчетов он неудобен,
т.к. яв­ляется знакопеременным, что
при вычислениях приводит к потере
точности. Более удобен сле­­дующий
ряд:

,
(3.3.5)

где

,

.

С

Рис. 3.3.

помощью этого ряда легко соста­вить
программу вычисления erf(x)
на лю­бом языке про­грам­ми­рования
и да­же на программируемом
микро­каль­ку­ля­торе. Суммирование
надо пре­кра­щать, ко­гда при
добавлении оче­ред­но­го an-го
слагаемого сумма перестанет ме­няться
(будет до­стиг­ну­та «ма­шин­ная
точность»).

Если большой
точности не требуется, то можно
использовать приближенную фор­мулу:

erf(x)

[1 — exp(-4x2/)]1/2.
(3.3.6)

Формула (3.3.6) дает
значения, абсолютная погрешность которых
не более 6.310-3,
а отно­си­тель­ная погрешность
не более 0.71%.

Иногда требуется
определить erf(x)
в области отрицательных значений x.
Из формулы (3.3.3) очевидно, что erf(-x)
= — erf(x).

Заметим, что хотя
функция erf(x)
не является «элементарной», с точки
зре­ния ее свойств и способов
вы­чис­ления она проще, чем многие
«элементарные» функции, например,
тригонометрические.

С функцией erf(x)
связано еще несколько функций, часто
встречающихся в тепло­фи­зи­чес­ких
задачах. Это прежде всего дополнительный
интеграл ве­ро­ят­ностей:

,
(3.3.7)

который встречается
настолько часто, что для него используется
специальное обозначение: erfc(x)
(сокращенно читается «эрфик»). Вид
этой функции также приведен на рис.3.3.

Довольно часто
функцию erf(x)
приходится дифференцировать и
ин­те­грировать. Из оп­ре­де­ления
(3.3.3) следует, что

,
(3.3.8)

а интеграл от
erfc(x)
(обозначается как ierfc(x))
равен:

.
(3.3.9)

Вернемся к формуле
(3.3.2). Замечая, что ca
= ,
запишем эту формулу в виде:

.
(3.3.10)

При t


значение функции

0,


1, и формула (3.3.10), как и должно быть,
сов­па­да­ет с формулой для
стационарного решения (если T0
принять за на­ча­ло отсчета
тем­пе­ра­ту­ры), т.к. при t


до­сти­га­ет­ся стационарное
распределение тем­пе­ра­ту­ры
в безграничной среде.

Таблица 3.1.
Некоторые значения функции erf(x).

x

erf(x)

x

erf(x)

x

erf(x)

x

erf(x)

x

erf(x)

0.0

0.0

0.3

0.32863

0.6

0.60386

0.9

0.79691

2.0

0.99532

0.1

0.11246

0.4

0.42839

0.7

0.67780

1.0

0.84270

2.5

0.99959

0.2

0.22270

0.5

0.52050

0.8

0.74210

1.5

0.96611

Соседние файлы в папке КраткийКонспектЛекций

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

эрф | Функции ошибок, использующие cmath в C ++

В математике функция ошибки (также называемая функцией ошибки Гаусса) является специальной (неэлементарной) функцией сигмоидальной формы, которая встречается в уравнениях вероятности, статистики и дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих диффузию.

Это вероятность того, что нормальная случайная величина со средним значением 0 и дисперсией 0,5 принимает значение между [-x, x]. Обозначается через erf (x) и рассчитывается как:

В cmath библиотеке C ++ функция ошибок уже была реализована. Есть две такие функции:

  1. erf (x) : эта встроенная функция вычисляет функцию ошибки для входного значения x. Параметр x, который может быть int или float или double. Возвращает двойное число, которое есть erf (x).
  2. erfc (x) : эта встроенная функция вычисляет дополнительную функцию ошибки для входного значения x. Параметр x, который может быть int или float или double. Возвращает двойное число, равное 1 — erf (x).

/ * C ++ код для использования erf * /
#include <iostream>
#include <cmath> /* erf */

Функция ошибки

В математике , то функция ошибок (также называется гауссовская ошибка функция ) является функция целого числа используется в анализе . Эта функция обозначается erf и является частью специальных функций . Это определяется:

Функция erf регулярно вмешивается в области вероятностей и статистики , а также в проблемы диффузии ( тепла или вещества ).

Резюме

Интерес этой функции

Вероятность и статистика

Вероятность того, что приведенная центрированная нормальная переменная X принимает значение в интервале [- z , z ], равна:

Функция распределения по X , или функция распределения нормального закона , как правило , обозначаются Ф, связана с функцией ошибки, ERF , обозначенное соотношением:

Проблемы диффузии

Функция ошибок участвует в выражении решений уравнения теплопроводности или уравнения диффузии , например, когда начальные условия задаются функцией Хевисайда .

Рассмотрим, в частности, полупространство x ≥ 0, занятое твердым телом с температуропроводностью κ и изначально однородной температурой T 1 . Если в момент времени t = 0 его граница x = 0 доведена до температуры T 2 , температура T ( x , t ) в любой момент времени t> 0 и в любой точке x > 0 определяется выражением:

Численный расчет

Интеграл не может быть получен с помощью замкнутой формулы, а путем разложения в целочисленный ряд (бесконечного радиуса сходимости), интегрированного по члену,

Существуют таблицы, в которых значения интегралов представлены в зависимости от z , но сегодня большинство числовых программ ( электронные таблицы , Scilab ) или CAS (например, Maple или MuPAD ) включают в себя процедуру вычисления erf (x) и ее взаимное смещение, инвертирование (x), которое еще более полезен при вычислении вероятностей .

Однако могут быть полезны следующие приближения:

  • In (с погрешностью менее 6 × 10 –4 при x <0,5) v ( 0 ) , Эрф ⁡ ( Икс ) знак равно 2 π е — Икс 2 ( Икс + 2 3 Икс 3 + 4 15 Икс 5 ) + о ( Икс 6 е — Икс 2 ) (x) = >> e ^ > left (x + > , x ^ + > , x ^ right) + o (x ^ , e ^ >)>
  • In (с погрешностью менее 2 × 10 –4 при x > 1,75) v ( + ∞ ) , Эрф ⁡ ( Икс ) знак равно 1 — е — Икс 2 1 π . ( 1 Икс — 1 2 Икс 3 + 3 4 Икс 5 — 15 8 Икс 7 ) + о ( Икс — 8 е — Икс 2 ) (x) = 1-e ^ >>>. left ( > — >> + >> — >> right) + o (x ^ e ​​^ >)>
  • Для Икс > 0 , 1 — е — Икс 2 ≤ Эрф ⁡ ( Икс ) ≤ 1 — е — 4 Икс 2 / π >>> leq operatorname (x) leq / pi>>>>

(схема, предложенная Дж. Т. Чу, 1955; верхняя граница приближается к функции erf всюду в пределах 7 × 10 −3 ).

  • Для Икс > 0 , Эрф ⁡ ( Икс ) ≃ 1 — е — 1 , 9 Икс 1 , 3 (x) simeq 1-e ^ >>

(приближение, предложенное Э. Робертом, 1996; оно приближается к функции erf везде в пределах 2,2 × 10 −2 . Приближение улучшается до менее 10 −2 для ). Икс ≥ 1

  • Функция является решением дифференциального уравнения, имеющего значение 0 в 0 и производную в 0. Икс ↦ Эрф ⁡ ( Икс ) × е Икс 2 (x) times e ^ >> y ″ — 2 Икс y ′ — 2 y знак равно 0 2 π >>>

Расширения

Бывает, что более общая функция определяется: E нет >

используется, а E 2 называется интегральной ошибкой.

Другие функции ошибок, используемые в анализе, в том числе:

  • Дополнительная функция ошибок отметила ERFC и определяется по формуле:
  • Функция ierfc (напротив) интеграла дополнительной функции ошибок erfc :
  • Функция мнимой ошибки, отмеченная erfi , определяется следующим образом:

Часто он определяется только в некоторых программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica и Maple . Тем не менее, его можно описать с помощью разложения в целочисленный ряд :

Взаимная функция

Функция обратной ошибки иногда используется в статистических формулах . Это можно описать с помощью последовательного расширения:

где и против 0 знак равно 1 = 1>

Получаем следующую разработку:

( радиус сходимости этого ряда равен 1, он дает хорошие приблизительные значения, например, только для | z | <1/2).

Документация

erf( x ) возвращает Функцию ошибок, оцененную для каждого элемента x .

Примеры

Нахождение функции ошибок

Найдите функцию ошибок значения.

Найдите функцию ошибок элементов вектора.

Найдите функцию ошибок элементов матрицы.

Нахождение кумулятивной функции распределения нормального распределения

Кумулятивная функция распределения (CDF) нормального, или Гауссова, распределения со стандартным отклонением σ и среднее значение μ

ϕ ( x ) = 1 2 ( 1 + e r f ( x — μ σ 2 ) ) .

Обратите внимание на то, что для увеличенной вычислительной точности, можно переписать формулу в терминах erfc . Для получения дополнительной информации смотрите Советы.

Постройте CDF нормального распределения с μ = 0 и σ = 1 .

Figure contains an axes object. The axes object with title C D F blank o f blank n o r m a l blank d i s t r i b u t i o n blank w i t h blank mu blank = blank 0 blank a n d blank sigma blank = blank 1 contains an object of type line.

Вычисление решения уравнения тепла с начальным условием

Где u ( x , t ) представляет температуру в положении x и время t , уравнение тепла

∂ u ∂ t = c ∂ 2 u ∂ x 2 ,

где c константа.

Для материала с коэффициентом тепла k , и для начального условия u ( x , 0 ) = a для x > b и u ( x , 0 ) = 0 в другом месте решение уравнения тепла

u ( x , t ) = a 2 ( e r f ( x — b 4 k t ) ) .

Для k = 2 , a = 5 , и b = 1 , постройте решение уравнения тепла во времена t = 0.1 , 5 , и 100 .

Figure contains an axes object. The axes object with title Temperatures across material at t = 0.1, t = 5, and t = 100 contains 3 objects of type line. These objects represent t = 0.1, t = 5, t = 100.

Входные параметры

x входной параметр
вещественное число | вектор из вещественных чисел | матрица вещественных чисел | многомерный массив вещественных чисел

Введите в виде вещественного числа, или вектора, матрицы или многомерного массива вещественных чисел. x не может быть разреженным.

Типы данных: single | double

Больше о

Функция ошибок

Функция ошибок erf x

erf( x )= 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t .

Советы

Можно также найти стандартное нормальное распределение вероятностей с помощью функции normcdf (Statistics and Machine Learning Toolbox) . Отношение между функцией ошибок erf и normcdf

normcdf ( x ) = 1 2 ( 1 − erf ( − x 2 ) ) .

Для выражений формы 1 — erf(x) , используйте дополнительную функцию ошибок erfc вместо этого. Эта замена обеспечивает точность. Когда erf(x) близко к 1 , затем 1 — erf(x) небольшое число и может быть округлено в меньшую сторону до 0 . Вместо этого замена 1 — erf(x) с erfc(x) .

Расширенные возможности

«Высокие» массивы
Осуществление вычислений с массивами, которые содержат больше строк, чем помещается в памяти.

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Указания и ограничения по применению:

Строгие вычисления с одинарной точностью не поддерживаются. В сгенерированном коде входные параметры с одинарной точностью производят выходные параметры с одинарной точностью. Однако переменные в функциональной силе быть с двойной точностью.

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® backgroundPool или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool .

Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.

Массивы графического процессора
Ускорьте код путем работы графического процессора (GPU) с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Эта функция полностью поддерживает массивы графического процессора. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска на графическом процессоре (Parallel Computing Toolbox) .

Распределенные массивы
Большие массивы раздела через объединенную память о вашем кластере с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Эта функция полностью поддерживает распределенные массивы. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска с Распределенными Массивами (Parallel Computing Toolbox) .

Смотрите также

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация MATLAB

Поддержка

© 1994-2021 The MathWorks, Inc.

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Макеты страниц

7.3.1. Определение.

Функция вероятности ошибок определяется-интегралом

Рассмотрим функцию Гаусса

Она изображается кривой, представленной на рис. 7.9. Площадь, заключенная между кривой и осью абсцисс, равна единице. Действительно.

полагая имеем

Согласно формуле (3) из п. 7.4.1, получаем

что и требовалось доказать.

Площадь между кривой и осью абсцисс слева от абсциссы х обозначается через Следовательно,

Обе функции играют большую роль в теории вероятности. Первая из них часто используется при анализе возмущений, распространяющихся по линиям передачи. Полезно установить зависимость между функциями так как функция подробно затабулирована Если положить то

Так как

то

Рис. 7.9.

7.3.2. Разложение функции Ф(x) в степенной ряд.

Достаточно проинтегрировать разложение в ряд от нуля до х, чтобы получить степенной ряд

сходящийся при любом

7.3.3. Разложение в асимптотический ряд функции 1 — Ф(x)

Имеем

Положим

Повторно интегрируя частям, получаем

Отсюда

Отношение абсолютных величин двух последовательных членов равно Оно близко к единице, если близко к Ясно, что член асимптотического разложения соответствующий этому имеет наименьшую абсолютную величину. Именно на нем и следует остановиться, чтобы получить наименьшую ошибку при вычислении

Замечание. В примере 3 п. 2.2.8 мы показали, что функция Гаусса представленная на рис. 7.9, обладает свойством быть своей собственной трансформантой Фурье. Поэтому понятна та важная роль, которую она играет при изучении спектра сигналов и диаграмм направленности источников радиоволн.

7.3.4. Выражение функции 1 — Ф(x/2) через интеграл Коши.

В разложении функции в степенной ряд заменим х на Получаем

Согласно результатам п. 7.4.3, имеем ( целое)

Это дает возможность написать

Согласно формуле (10) п. 7.4.5. (см. также рис. 7.12),

Отсюда

и

Функция удовлетворяет условиям леммы Жордана

Поэтому мы можем также написать

7.3.5. Таблица функции …

(см. скан)

7.3.6. График функции …

Рис. 7.10.

1. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Если случайная величина $ X $ подчиняется распределению вероятностей с позиционным параметром $ mu $ и параметром масштаба $ sigma $, а ее функция плотности вероятности равна

$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi},sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2 {sigma} ^2}} $$

Тогда эта случайная величина называется нормальной случайной величиной, а распределение, которому подчиняется нормальная случайная величина, называется нормальным распределением и обозначается как $ X Thicksim N ( mu, sigma ^ 2) $.

Когда $ mu = 0, sigma = 1 $, это называется стандартным нормальным распределением. $ X Thicksim N (0, 1) $

$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2 }} $$

На следующем рисунке показано общее нормальное распределение.

 

На следующем рисунке показано стандартное общее распределение.

Функция распределения общего нормального распределения $ F (x) $

$$F(x)=P(X leqslant x)= frac{1}{sqrt{2pi} sigma}int_{-infty}^{x}e^{-tfrac{(t-mu)^2}{2{sigma}^2}}dt $$

Функция распределения стандартного нормального распределения $ Phi (x) $:

$$Phi(x)=P(X leqslant x) = frac{1}{sqrt{2pi} }int_{-infty}^{x}e^{-tfrac{t^2}{2}}dt $$

2.Q функция

Функция Q также называется функцией правого хвоста стандартного нормального распределения.

$$Q(x)=int_x^inftyfrac{1}{sqrt{2pi}} e^{-tfrac{t^2}{2}}dt = 1-Phi(x) $$

 

3. Функция ошибки

$$ erf(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_0^{x}e^{-t^2}dt $$

4. Дополнительная функция ошибок

$$ erfc(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_x^{infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x) $$

5. Отношения между ними

 $$ Q(x) = 1-Phi(x) $$

 $$ Q(x) = frac{1}{2} erfc(x/ sqrt 2) $$

 $$ erfc(x) = 2Q(sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) = 1-2Q(sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) + erfc(x) = 1 $$

Заметка:

Поскольку полный интеграл функции плотности нормального распределения равен 1 (то есть вероятность P (X <∞) = 1):

Вычисление решения уравнения тепла с начальным условием

Где u ( x , t ) представляет температуру в положении x и время t , уравнение тепла

∂ u ∂ t = c ∂ 2 u ∂ x 2 ,

где c константа.

Для материала с коэффициентом тепла k , и для начального условия u ( x , 0 ) = a для x > b и u ( x , 0 ) = 0 в другом месте решение уравнения тепла

u ( x , t ) = a 2 ( e r f ( x — b 4 k t ) ) .

Для k = 2 , a = 5 , и b = 1 , постройте решение уравнения тепла во времена t = 0.1 , 5 , и 100 .

Figure contains an axes object. The axes object with title Temperatures across material at t = 0.1, t = 5, and t = 100 contains 3 objects of type line. These objects represent t = 0.1, t = 5, t = 100.

Входные параметры

x входной параметр
вещественное число | вектор из вещественных чисел | матрица вещественных чисел | многомерный массив вещественных чисел

Введите в виде вещественного числа, или вектора, матрицы или многомерного массива вещественных чисел. x не может быть разреженным.

Типы данных: single | double

Больше о

Функция ошибок

Функция ошибок erf x

erf( x )= 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t .

Советы

Можно также найти стандартное нормальное распределение вероятностей с помощью функции normcdf (Statistics and Machine Learning Toolbox) . Отношение между функцией ошибок erf и normcdf

normcdf ( x ) = 1 2 ( 1 − erf ( − x 2 ) ) .

Для выражений формы 1 — erf(x) , используйте дополнительную функцию ошибок erfc вместо этого. Эта замена обеспечивает точность. Когда erf(x) близко к 1 , затем 1 — erf(x) небольшое число и может быть округлено в меньшую сторону до 0 . Вместо этого замена 1 — erf(x) с erfc(x) .

Расширенные возможности

«Высокие» массивы
Осуществление вычислений с массивами, которые содержат больше строк, чем помещается в памяти.

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Указания и ограничения по применению:

Строгие вычисления с одинарной точностью не поддерживаются. В сгенерированном коде входные параметры с одинарной точностью производят выходные параметры с одинарной точностью. Однако переменные в функциональной силе быть с двойной точностью.

Основанная на потоке среда
Запустите код в фоновом режиме с помощью MATLAB® backgroundPool или ускорьте код с Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool .

Эта функция полностью поддерживает основанные на потоке среды. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска в Основанной на потоке Среде.

Массивы графического процессора
Ускорьте код путем работы графического процессора (GPU) с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Эта функция полностью поддерживает массивы графического процессора. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска на графическом процессоре (Parallel Computing Toolbox) .

Распределенные массивы
Большие массивы раздела через объединенную память о вашем кластере с помощью Parallel Computing Toolbox™.

Эта функция полностью поддерживает распределенные массивы. Для получения дополнительной информации смотрите функции MATLAB Запуска с Распределенными Массивами (Parallel Computing Toolbox) .

Смотрите также

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация MATLAB

Поддержка

© 1994-2021 The MathWorks, Inc.

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Макеты страниц

7.3.1. Определение.

Функция вероятности ошибок определяется-интегралом

Рассмотрим функцию Гаусса

Она изображается кривой, представленной на рис. 7.9. Площадь, заключенная между кривой и осью абсцисс, равна единице. Действительно.

полагая имеем

Согласно формуле (3) из п. 7.4.1, получаем

что и требовалось доказать.

Площадь между кривой и осью абсцисс слева от абсциссы х обозначается через Следовательно,

Обе функции играют большую роль в теории вероятности. Первая из них часто используется при анализе возмущений, распространяющихся по линиям передачи. Полезно установить зависимость между функциями так как функция подробно затабулирована Если положить то

Так как

то

Рис. 7.9.

7.3.2. Разложение функции Ф(x) в степенной ряд.

Достаточно проинтегрировать разложение в ряд от нуля до х, чтобы получить степенной ряд

сходящийся при любом

7.3.3. Разложение в асимптотический ряд функции 1 — Ф(x)

Имеем

Положим

Повторно интегрируя частям, получаем

Отсюда

Отношение абсолютных величин двух последовательных членов равно Оно близко к единице, если близко к Ясно, что член асимптотического разложения соответствующий этому имеет наименьшую абсолютную величину. Именно на нем и следует остановиться, чтобы получить наименьшую ошибку при вычислении

Замечание. В примере 3 п. 2.2.8 мы показали, что функция Гаусса представленная на рис. 7.9, обладает свойством быть своей собственной трансформантой Фурье. Поэтому понятна та важная роль, которую она играет при изучении спектра сигналов и диаграмм направленности источников радиоволн.

7.3.4. Выражение функции 1 — Ф(x/2) через интеграл Коши.

В разложении функции в степенной ряд заменим х на Получаем

Согласно результатам п. 7.4.3, имеем ( целое)

Это дает возможность написать

Согласно формуле (10) п. 7.4.5. (см. также рис. 7.12),

Отсюда

и

Функция удовлетворяет условиям леммы Жордана

Поэтому мы можем также написать

7.3.5. Таблица функции …

(см. скан)

7.3.6. График функции …

Рис. 7.10.

1. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Если случайная величина $ X $ подчиняется распределению вероятностей с позиционным параметром $ mu $ и параметром масштаба $ sigma $, а ее функция плотности вероятности равна

$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi},sigma} e^{-frac{(x-mu)^2}{2 {sigma} ^2}} $$

Тогда эта случайная величина называется нормальной случайной величиной, а распределение, которому подчиняется нормальная случайная величина, называется нормальным распределением и обозначается как $ X Thicksim N ( mu, sigma ^ 2) $.

Когда $ mu = 0, sigma = 1 $, это называется стандартным нормальным распределением. $ X Thicksim N (0, 1) $

$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2 }} $$

На следующем рисунке показано общее нормальное распределение.

 

На следующем рисунке показано стандартное общее распределение.

Функция распределения общего нормального распределения $ F (x) $

$$F(x)=P(X leqslant x)= frac{1}{sqrt{2pi} sigma}int_{-infty}^{x}e^{-tfrac{(t-mu)^2}{2{sigma}^2}}dt $$

Функция распределения стандартного нормального распределения $ Phi (x) $:

$$Phi(x)=P(X leqslant x) = frac{1}{sqrt{2pi} }int_{-infty}^{x}e^{-tfrac{t^2}{2}}dt $$

2.Q функция

Функция Q также называется функцией правого хвоста стандартного нормального распределения.

$$Q(x)=int_x^inftyfrac{1}{sqrt{2pi}} e^{-tfrac{t^2}{2}}dt = 1-Phi(x) $$

 

3. Функция ошибки

$$ erf(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_0^{x}e^{-t^2}dt $$

4. Дополнительная функция ошибок

$$ erfc(x)=frac{2}{sqrt{ pi}}int_x^{infty}e^{-t^2}dt = 1-erf(x) $$

5. Отношения между ними

 $$ Q(x) = 1-Phi(x) $$

 $$ Q(x) = frac{1}{2} erfc(x/ sqrt 2) $$

 $$ erfc(x) = 2Q(sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) = 1-2Q(sqrt 2 x) $$

 $$ erf(x) + erfc(x) = 1 $$

Заметка:

Поскольку полный интеграл функции плотности нормального распределения равен 1 (то есть вероятность P (X <∞) = 1):

График функции ошибок

В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}}intlimits_0^x e^{-t^2},mathrm dt.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая operatorname{erfc},x (иногда применяется обозначение operatorname{Erf},x) определяется через функцию ошибок:

operatorname{erfc},x = 1-operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}} intlimits_x^{infty} e^{-t^2},mathrm dt.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

w(x) = e^{-x^2}operatorname{erfc},(-ix).

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Применение
  • 3 Асимптотическое разложение
  • 4 Родственные функции
    • 4.1 Обобщённые функции ошибок
    • 4.2 Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
  • 5 Реализация
  • 6 См. также
  • 7 Литература
  • 8 Ссылки

Свойства

  • Функция ошибок нечётна:
operatorname{erf},(-x) = -operatorname{erf},x.
  • Для любого комплексного x выполняется
operatorname{erf},bar{x} = overline{operatorname{erf},x}

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =frac{2}{sqrt{pi}} left(x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{10}-frac{x^7}{42}+frac{x^9}{216}- cdotsright)

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x[источник не указан 302 дня], так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinleft(x prod_{i=1}^n{frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}right) = frac{2}{sqrt{pi}} sum_{n=0}^infin frac{x}{2n+1} prod_{i=1}^n frac{-x^2}{i}

поскольку frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i+1)-й, считая первым членом x.

  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка z=infty будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
frac{d}{dx},operatorname{erf},x=frac{2}{sqrt{pi}},e^{-x^2}.
  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд
operatorname{erf}^{-1},x=sum_{k=0}^infinfrac{c_k}{2k+1}left (frac{sqrt{pi}}{2}xright )^{2k+1}, ,!

где c0 = 1 и

c_k=sum_{m=0}^{k-1}frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = left{1,1,frac{7}{6},frac{127}{90},ldotsright}.

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

operatorname{erf}^{-1},x=frac{1}{2}sqrt{pi}left (x+frac{pi x^3}{12}+frac{7pi^2 x^5}{480}+frac{127pi^3 x^7}{40320}+frac{4369pi^4 x^9}{5806080}+frac{34807pi^5 x^{11}}{182476800}+dotsright ). ,![1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением sigma, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна operatorname{erf},frac{a}{sigma sqrt{2}}.

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

operatorname{erfc},x = frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}left [1+sum_{n=1}^infty (-1)^n frac{1cdot3cdot5cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}right ]=frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}sum_{n=0}^infty (-1)^n frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.,

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления operatorname{erfc},x с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

(operatorname{erf},x)^2approx 1-expleft(-x^2frac{4/pi+ax^2}{1+ax^2}right)

где

a = frac{-8}{3pi}frac{pi-3}{pi-4}.

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Phi(x)

Phi(x) = frac{1}{2}left(1+operatorname{erf},frac{x}{sqrt{2}}right),.

Обратная функция к Phi, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается operatorname{probit} и выражается через нормальную функцию ошибок как

operatorname{probit},p = Phi^{-1}(p) = sqrt{2},operatorname{erf}^{-1}(2p-1).

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

operatorname{erf},x= frac{2x}{sqrt{pi}},_1F_1left(frac{1}{2},frac{3}{2},-x^2right).

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

operatorname{erf},x=operatorname{sign},x,Pleft(frac{1}{2}, x^2right)={operatorname{sign},x over sqrt{pi}}gammaleft(frac{1}{2}, x^2right).

Обобщённые функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

E_n(x) = frac{n!}{sqrt{pi}} intlimits_0^x e^{-t^n},mathrm dt =frac{n!}{sqrt{pi}}sum_{p=0}^infin(-1)^pfrac{x^{np+1}}{(np+1)p!},.

Примечательными частными случаями являются:

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обобщённые функции ошибок с n>0 выглядят похоже на полуоси x>0.

На полуоси x>0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

E_n(x) = frac{xleft(x^nright)^{-1/n}Gamma(n)left(Gammaleft(frac{1}{n}right)-Gammaleft(frac{1}{n},x^nright)right)}{sqrtpi}, quad quad x>0

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

operatorname{erf},x = 1 - frac{Gammaleft(frac{1}{2},x^2right)}{sqrtpi}

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

i^n,operatorname{erfc},z = intlimits_z^infty i^{n-1},operatorname{erfc},zeta,dzeta.,

Их можно разложить в ряд:

i^n,operatorname{erfc},z = sum_{j=0}^infty frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!,Gamma left( 1 + frac{n-j}{2}right)},,

откуда следуют свойства симметрии

i^{2m},operatorname{erfc},(-z) = -i^{2m},operatorname{erfc},z + sum_{q=0}^m frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}

и

i^{2m+1},operatorname{erfc},(-z) =i^{2m+1},operatorname{erfc},z + sum_{q=0}^m frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!},.

Реализация

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, 7.12.8) предусмотрены функция ошибок operatorname{erf} и дополнительная функция ошибок operatorname{erfc}. Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке Java функции ошибок нет в стандартной библиотеке математических функций java.lang.Math [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от Apache [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab[4], Mathematica и Maxima[5] содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. [6] Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy [7].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math, [8].

См. также

  • Функция Гаусса
  • Функция Доусона

Литература

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)
  • Nikolai G. Lehtinen «Error functions», April 2010 [9]

Ссылки

  • MathWorld — Erf
  • Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
  • Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf
Источник
Error function
Plot of the error function

Plot of the error function
General information
General definition {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t}
Fields of application Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain mathbb {C}
Image {displaystyle left(-1,1right)}
Basic features
Parity Odd
Specific features
Root 0
Derivative {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}}
Antiderivative {displaystyle int operatorname {erf} z,dz=zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}+C}
Series definition
Taylor series {displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}}

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:[1]

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{z}e^{-t^{2}},mathrm {d} t.}

Some authors define operatorname {erf} without the factor of {displaystyle 2/{sqrt {pi }}}.[2]
This integral is a special (non-elementary) sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

{displaystyle operatorname {erfc} z=1-operatorname {erf} z,}

and the imaginary error function (erfi) defined as

{displaystyle operatorname {erfi} z=-ioperatorname {erf} iz,}

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

{displaystyle f(x)=left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}}

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

{displaystyle left({frac {c}{pi }}right)^{frac {1}{2}}int _{p}^{q}e^{-cx^{2}},mathrm {d} x={tfrac {1}{2}}left(operatorname {erf} left(q{sqrt {c}}right)-operatorname {erf} left(p{sqrt {c}}right)right).}

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

{displaystyle {begin{aligned}Pr[Xleq L]&={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {L-mu }{{sqrt {2}}sigma }}\&approx Aexp left(-Bleft({frac {L-mu }{sigma }}right)^{2}right)end{aligned}}}

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

{displaystyle Pr[Xleq L]leq Aexp(-Bln {k})={frac {A}{k^{B}}}}

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [La, Lb] can be derived as

{displaystyle {begin{aligned}Pr[L_{a}leq Xleq L_{b}]&=int _{L_{a}}^{L_{b}}{frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x\&={frac {1}{2}}left(operatorname {erf} {frac {L_{b}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}-operatorname {erf} {frac {L_{a}-mu }{{sqrt {2}}sigma }}right).end{aligned}}}

Properties[edit]

Integrand exp(−z2)

erf z

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

{displaystyle operatorname {erf} {overline {z}}={overline {operatorname {erf} z}}}

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z2) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}-{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}-cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }left(zprod _{k=1}^{n}{frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}right)\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z}{2n+1}}prod _{k=1}^{n}{frac {-z^{2}}{k}}end{aligned}}}

because −(2k − 1)z2/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} z&={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\[6pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}left(z+{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{10}}+{frac {z^{7}}{42}}+{frac {z^{9}}{216}}+cdots right)end{aligned}}}

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} z}}operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}.}

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

{displaystyle {frac {d}{dz}}operatorname {erfi} z={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{z^{2}}.}

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erf} z+{frac {e^{-z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

{displaystyle zoperatorname {erfi} z-{frac {e^{z^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

Higher order derivatives are given by

{displaystyle operatorname {erf} ^{(k)}z={frac {2(-1)^{k-1}}{sqrt {pi }}}{mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={frac {2}{sqrt {pi }}}{frac {mathrm {d} ^{k-1}}{mathrm {d} z^{k-1}}}left(e^{-z^{2}}right),qquad k=1,2,dots }

where H are the physicists’ Hermite polynomials.[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:[8]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} x&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left(1-{frac {1}{12}}left(1-e^{-x^{2}}right)-{frac {7}{480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{2}-{frac {5}{896}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{3}-{frac {787}{276480}}left(1-e^{-x^{2}}right)^{4}-cdots right)\[10pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+sum _{k=1}^{infty }c_{k}e^{-kx^{2}}right).end{aligned}}}

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c1 = 31/200 and c2 = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

{displaystyle operatorname {erf} xapprox {frac {2}{sqrt {pi }}}operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-e^{-x^{2}}}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}+{frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}right).}

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf−1 x satisfying

{displaystyle operatorname {erf} left(operatorname {erf} ^{-1}xright)=x.}

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series[9]

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where c0 = 1 and

{displaystyle {begin{aligned}c_{k}&=sum _{m=0}^{k-1}{frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\&=left{1,1,{frac {7}{6}},{frac {127}{90}},{frac {4369}{2520}},{frac {34807}{16200}},ldots right}.end{aligned}}}

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

{displaystyle operatorname {erf} ^{-1}z={frac {sqrt {pi }}{2}}left(z+{frac {pi }{12}}z^{3}+{frac {7pi ^{2}}{480}}z^{5}+{frac {127pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{frac {4369pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{frac {34807pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+cdots right).}

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf−1 z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

{displaystyle operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=operatorname {erf} ^{-1}z.}

For real x, there is a unique real number erfi−1 x satisfying erfi(erfi−1 x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi−1 x.[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi−1 x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

{displaystyle operatorname {erfi} ^{-1}z=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}left({frac {sqrt {pi }}{2}}zright)^{2k+1},}

where ck is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}left(1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{frac {1cdot 3cdot 5cdots (2n-1)}{left(2x^{2}right)^{n}}}right)\[6pt]&={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}},end{aligned}}}

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

{displaystyle operatorname {erfc} x={frac {e^{-x^{2}}}{x{sqrt {pi }}}}sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{frac {(2n-1)!!}{left(2x^{2}right)^{n}}}+R_{N}(x)}

where the remainder is

{displaystyle R_{N}(x):={frac {(-1)^{N}}{sqrt {pi }}}2^{1-2N}{frac {(2N)!}{N!}}int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t,}

which follows easily by induction, writing

{displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

{displaystyle R_{N}(x)=Oleft(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}right)}

as x → ∞. This can be found by

{displaystyle R_{N}(x)propto int _{x}^{infty }t^{-2N}e^{-t^{2}},mathrm {d} t=e^{-x^{2}}int _{0}^{infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx},mathrm {d} tleq e^{-x^{2}}int _{0}^{infty }x^{-2N}e^{-2tx},mathrm {d} tpropto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:[11]

{displaystyle operatorname {erfc} z={frac {z}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}{cfrac {1}{z^{2}+{cfrac {a_{1}}{1+{cfrac {a_{2}}{z^{2}+{cfrac {a_{3}}{1+dotsb }}}}}}}},qquad a_{m}={frac {m}{2}}.}

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

{displaystyle int _{-infty }^{infty }operatorname {erf} left(ax+bright){frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right),mathrm {d} x=operatorname {erf} {frac {amu +b}{sqrt {1+2a^{2}sigma ^{2}}}},qquad a,b,mu ,sigma in mathbb {R} }

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} z&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{bar {n}}}}\&={frac {e^{-z^{2}}}{{sqrt {pi }},z}}left(1-{frac {1}{2}}{frac {1}{(z^{2}+1)}}+{frac {1}{4}}{frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-cdots right)end{aligned}}}

converges for Re(z2) > 0. Here

{displaystyle {begin{aligned}Q_{n}&{overset {text{def}}{{}={}}}{frac {1}{Gamma left({frac {1}{2}}right)}}int _{0}^{infty }tau (tau -1)cdots (tau -n+1)tau ^{-{frac {1}{2}}}e^{-tau },dtau \&=sum _{k=0}^{n}left({tfrac {1}{2}}right)^{bar {k}}s(n,k),end{aligned}}}

zn denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.[13][14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

{displaystyle operatorname {erf} z={frac {2}{sqrt {pi }}}sum _{n=0}^{infty }{frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

  • Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}right)^{4}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 5×10−4)

    where a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 2.5×10−5)

    where p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-{frac {1}{left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+cdots +a_{6}x^{6}right)^{16}}},qquad xgeq 0}

    (maximum error: 3×10−7)

    where a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638

    {displaystyle operatorname {erf} xapprox 1-left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{5}t^{5}right)e^{-x^{2}},quad t={frac {1}{1+px}}}

    (maximum error: 1.5×10−7)

    where p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429

    All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

  • Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by[15]
    {displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&leq {tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},&quad x&>0\operatorname {erfc} x&approx {tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{tfrac {1}{2}}e^{-{frac {4}{3}}x^{2}},&quad x&>0.end{aligned}}}
  • The above have been generalized to sums of N exponentials[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where
    {displaystyle {tilde {Q}}(x)=sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}

    In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(an,bn)}N
    n = 1     for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.[17]

  • A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that
    {displaystyle operatorname {erfc} xapprox {frac {left(1-e^{-Ax}right)e^{-x^{2}}}{B{sqrt {pi }}x}}.}

    They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.[19]

  • A single-term lower bound is[20]

    {displaystyle operatorname {erfc} xgeq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,quad beta >1,}

    where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

  • Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:[21][22]: 2–3 
    {displaystyle operatorname {erf} xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {1-exp left(-x^{2}{frac {{frac {4}{pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}right)}}}

    where

    {displaystyle a={frac {8(pi -3)}{3pi (4-pi )}}approx 0.140012.}

    This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.[23]

    This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

    {displaystyle operatorname {erf} ^{-1}xapprox operatorname {sgn} xcdot {sqrt {{sqrt {left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)^{2}-{frac {ln left(1-x^{2}right)}{a}}}}-left({frac {2}{pi a}}+{frac {ln left(1-x^{2}right)}{2}}right)}}.}
  • An approximation with a maximal error of 1.2×10−7 for any real argument is:[24]
    {displaystyle operatorname {erf} x={begin{cases}1-tau &xgeq 0\tau -1&x<0end{cases}}}

    with

    {displaystyle {begin{aligned}tau &=tcdot exp left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}right.\&left.qquad qquad qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}right)end{aligned}}}

    and

    {displaystyle t={frac {1}{1+{frac {1}{2}}|x|}}.}

Table of values[edit]

x erf x 1 − erf x
0 0 1
0.02 0.022564575 0.977435425
0.04 0.045111106 0.954888894
0.06 0.067621594 0.932378406
0.08 0.090078126 0.909921874
0.1 0.112462916 0.887537084
0.2 0.222702589 0.777297411
0.3 0.328626759 0.671373241
0.4 0.428392355 0.571607645
0.5 0.520499878 0.479500122
0.6 0.603856091 0.396143909
0.7 0.677801194 0.322198806
0.8 0.742100965 0.257899035
0.9 0.796908212 0.203091788
1 0.842700793 0.157299207
1.1 0.880205070 0.119794930
1.2 0.910313978 0.089686022
1.3 0.934007945 0.065992055
1.4 0.952285120 0.047714880
1.5 0.966105146 0.033894854
1.6 0.976348383 0.023651617
1.7 0.983790459 0.016209541
1.8 0.989090502 0.010909498
1.9 0.992790429 0.007209571
2 0.995322265 0.004677735
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0.001862846
2.3 0.998856823 0.001143177
2.4 0.999311486 0.000688514
2.5 0.999593048 0.000406952
3 0.999977910 0.000022090
3.5 0.999999257 0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} x&=1-operatorname {erf} x\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{x}^{infty }e^{-t^{2}},mathrm {d} t\[5pt]&=e^{-x^{2}}operatorname {erfcx} x,end{aligned}}}

which also defines erfcx, the scaled complementary error function[25] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow[25][26]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:[27]

{displaystyle operatorname {erfc} (xmid xgeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:[28]

{displaystyle operatorname {erfc} (x+ymid x,ygeq 0)={frac {2}{pi }}int _{0}^{frac {pi }{2}}exp left(-{frac {x^{2}}{sin ^{2}theta }}-{frac {y^{2}}{cos ^{2}theta }}right),mathrm {d} theta .}

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfi} x&=-ioperatorname {erf} ix\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{t^{2}},mathrm {d} t\[5pt]&={frac {2}{sqrt {pi }}}e^{x^{2}}D(x),end{aligned}}}

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow[25]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

w(z)=e^{-z^{2}}operatorname {erfc} (-iz)=operatorname {erfcx} (-iz).

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages[citation needed], as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

{displaystyle {begin{aligned}Phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{tfrac {-t^{2}}{2}},mathrm {d} t\[6pt]&={frac {1}{2}}left(1+operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}right)\[6pt]&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} left(-{frac {x}{sqrt {2}}}right)end{aligned}}}

or rearranged for erf and erfc:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erf} (x)&=2Phi left(x{sqrt {2}}right)-1\[6pt]operatorname {erfc} (x)&=2Phi left(-x{sqrt {2}}right)\&=2left(1-Phi left(x{sqrt {2}}right)right).end{aligned}}}

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

{displaystyle {begin{aligned}Q(x)&={frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}operatorname {erf} {frac {x}{sqrt {2}}}\&={frac {1}{2}}operatorname {erfc} {frac {x}{sqrt {2}}}.end{aligned}}}

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

{displaystyle operatorname {probit} (p)=Phi ^{-1}(p)={sqrt {2}}operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{sqrt {2}}operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

{displaystyle operatorname {erf} x={frac {2x}{sqrt {pi }}}Mleft({tfrac {1}{2}},{tfrac {3}{2}},-x^{2}right).}

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.[further explanation needed]

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

{displaystyle operatorname {erf} x=operatorname {sgn} xcdot Pleft({tfrac {1}{2}},x^{2}right)={frac {operatorname {sgn} x}{sqrt {pi }}}gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Graph of generalised error functions En(x):
grey curve: E1(x) = 1 − e−x/√π
red curve: E2(x) = erf(x)
green curve: E3(x)
blue curve: E4(x)
gold curve: E5(x).

Some authors discuss the more general functions:[citation needed]

{displaystyle E_{n}(x)={frac {n!}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{n}},mathrm {d} t={frac {n!}{sqrt {pi }}}sum _{p=0}^{infty }(-1)^{p}{frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}

Notable cases are:

  • E0(x) is a straight line through the origin: E0(x) = x/e√π
  • E2(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the En for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the En for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

{displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),qquad x>0.}

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

{displaystyle operatorname {erf} x=1-{frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma left({tfrac {1}{2}},x^{2}right).}

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by[29]

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z&=int _{z}^{infty }operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} zeta ,mathrm {d} zeta \[6pt]operatorname {i} ^{0}!operatorname {erfc} z&=operatorname {erfc} z\operatorname {i} ^{1}!operatorname {erfc} z&=operatorname {ierfc} z={frac {1}{sqrt {pi }}}e^{-z^{2}}-zoperatorname {erfc} z\operatorname {i} ^{2}!operatorname {erfc} z&={tfrac {1}{4}}left(operatorname {erfc} z-2zoperatorname {ierfc} zright)\end{aligned}}}

The general recurrence formula is

{displaystyle 2ncdot operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=operatorname {i} ^{n-2}!operatorname {erfc} z-2zcdot operatorname {i} ^{n-1}!operatorname {erfc} z}

They have the power series

{displaystyle operatorname {i} ^{n}!operatorname {erfc} z=sum _{j=0}^{infty }{frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!,Gamma left(1+{frac {n-j}{2}}right)}},}

from which follow the symmetry properties

{displaystyle operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} (-z)=-operatorname {i} ^{2m}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}

and

{displaystyle operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} (-z)=operatorname {i} ^{2m+1}!operatorname {erfc} z+sum _{q=0}^{m}{frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

  • In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.[30]
  • The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.[31]

As complex function of a complex argument[edit]

  • libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

  • Gaussian integral, over the whole real line
  • Gaussian function, derivative
  • Dawson function, renormalized imaginary error function
  • Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

  • Normal distribution
  • Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
  • Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
  • Q-function, the tail probability of the normal distribution
  • Standard score

References[edit]

  1. ^ Andrews, Larry C. (1998). Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press. p. 110. ISBN 9780819426161.
  2. ^ Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. p. 341. ISBN 978-0-521-58807-2.
  3. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). «On a class of definite integrals». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302. doi:10.1080/14786447108640568. Retrieved 6 December 2017.
  4. ^ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). «On a class of definite integrals. Part II». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421–436. doi:10.1080/14786447108640600. Retrieved 6 December 2017.
  5. ^ «A007680 – OEIS». oeis.org. Retrieved 2 April 2020.
  6. ^ Weisstein, Eric W. «Erf». MathWorld.
  7. ^ Schöpf, H. M.; Supancic, P. H. (2014). «On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion». The Mathematica Journal. 16. doi:10.3888/tmj.16-11.
  8. ^ Weisstein, Eric W. «Bürmann’s Theorem». MathWorld.
  9. ^ Dominici, Diego (2006). «Asymptotic analysis of the derivatives of the inverse error function». arXiv:math/0607230.
  10. ^ Bergsma, Wicher (2006). «On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence». arXiv:math/0604627.
  11. ^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
  12. ^ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). «A table of integrals of the Error functions». Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
  13. ^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). «Ueber facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German). 4: 390–415.
  14. ^ Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (in German). Leipzig: B. G. Teubner. p. 283 Eq. 3. Retrieved 4 December 2017.
  15. ^ Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, M.K. (2003). «New Exponential Bounds and Approximations for the Computation of Error Probability in Fading Channels» (PDF). IEEE Transactions on Wireless Communications. 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761. doi:10.1109/TWC.2003.814350.
  16. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Global minimax approximations and bounds for the Gaussian Q-function by sums of exponentials». IEEE Transactions on Communications. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. doi:10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
  17. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]». Zenodo. doi:10.5281/zenodo.4112978.
  18. ^ Karagiannidis, G. K.; Lioumpas, A. S. (2007). «An improved approximation for the Gaussian Q-function» (PDF). IEEE Communications Letters. 11 (8): 644–646. doi:10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID 4043576.
  19. ^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2021). «Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function». IEEE Communications Letters. 25 (5): 1468–1471. arXiv:2101.07631. doi:10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
  20. ^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C.; Milstein, Laurence B. (November 2011). «Chernoff-Type Bounds for the Gaussian Error Function». IEEE Transactions on Communications. 59 (11): 2939–2944. doi:10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID 13636638.
  21. ^ Winitzki, Sergei (2003). «Uniform approximations for transcendental functions». Computational Science and Its Applications – ICCSA 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2667. Springer, Berlin. pp. 780–789. doi:10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
  22. ^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). «Global Padé approximations of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse». Fractional Calculus and Applied Analysis. 18 (6): 1492–1506. arXiv:1310.5592. doi:10.1515/fca-2015-0086. S2CID 118148950. Indeed, Winitzki [32] provided the so-called global Padé approximation
  23. ^ Winitzki, Sergei (6 February 2008). «A handy approximation for the error function and its inverse».
  24. ^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, page 214, Cambridge University Press.
  25. ^ a b c Cody, W. J. (March 1993), «Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers» (PDF), ACM Trans. Math. Softw., 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394, doi:10.1145/151271.151273, S2CID 5621105
  26. ^ Zaghloul, M. R. (1 March 2007), «On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 375 (3): 1043–1048, Bibcode:2007MNRAS.375.1043Z, doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
  27. ^ John W. Craig, A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations Archived 3 April 2012 at the Wayback Machine, Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, pp. 571–575.
  28. ^ Behnad, Aydin (2020). «A Novel Extension to Craig’s Q-Function Formula and Its Application in Dual-Branch EGC Performance Analysis». IEEE Transactions on Communications. 68 (7): 4117–4125. doi:10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
  29. ^ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
  30. ^ «math.h — mathematical declarations». opengroup.org. 2018. Retrieved 21 April 2023.
  31. ^ «Special Functions – GSL 2.7 documentation».

Further reading[edit]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

External links[edit]

  • A Table of Integrals of the Error Functions
Источник

График функции

В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:

erf ⁡ z = 2 π ∫ 0 ze — t 2 dt. { displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}{ displaystyle operatorname {erf} z = { гидроразрыва {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}

Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x — это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].

Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как

erfc ⁡ z = 1 — erf ⁡ z, { displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z,}{ displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z, }

и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как

erfi ⁡ z = — i erf ⁡ (iz), { displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}{ displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}

, где i — мнимая единица.

Содержание

  • 1 Имя
  • 2 Приложения
  • 3 Свойства
    • 3.1 Ряд Тейлора
    • 3.2 Производная и интеграл
    • 3.3 Ряд Бюрмана
    • 3.4 Обратные функции
    • 3.5 Асимптотическое разложение
    • 3.6 Разложение на непрерывную дробь
    • 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
    • 3.8 Факториальный ряд
  • 4 Численные приближения
    • 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
    • 4.2 Полином
    • 4.3 Таблица значений
  • 5 Связанные функции
    • 5.1 функция дополнительных ошибок
    • 5.2 Функция мнимой ошибки
    • 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
    • 5.4 Обобщенные функции ошибок
    • 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
  • 6 Реализации
    • 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
    • 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
  • 7 См. Также
    • 7.1 Связанные функции
    • 7.2 Вероятность
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
  • 10 Внешние ссылки

Имя

Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок плотность задана как

f (x) = (c π) 1 2 e — cx 2 { displaystyle f (x) = left ({ frac {c } { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}{ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p { displaystyle p}p и q { displaystyle q}д как:

(c π) 1 2 ∫ pqe — cx 2 dx = 1 2 (erf ⁡ (qc) — erf ⁡ (pc)). { displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) — operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).}{ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2 }} dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).}

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ { displaystyle sigma} sigma и ожидаемое значение 0, затем erf ⁡ (a σ 2) { displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}) }}} right)}{ displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}}} right)} — это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a, для положительного a. Это полезно, например, при определении коэффициента битовых ошибок цифровой системы связи.

Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина X ∼ Norm ⁡ [μ, σ] { displaystyle X sim operatorname {Norm} [ mu, sigma]}X sim operatorname {Norm} [ му, sigma] и константа L < μ {displaystyle L<mu }L < mu :

Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ (L — μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L — μ σ) 2) { Displaystyle Pr [X Leq L] = { frac {1} {2 }} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)}{ displaystyle Pr [X leq L ] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma }} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)}

где A и B — верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть μ — L ≥ σ ln ⁡ k { displaystyle mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}}} mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}} , то:

Pr [X ≤ L] ≤ A exp ⁡ (- B ln ⁡ k) = A К B { displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}{ displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}

, поэтому становится вероятность 0 при k → ∞ { displaystyle k to infty}k to infty .

Свойства

Графики на комплексной плоскости Интегрируем exp (-z) erf (z)

Свойство erf ⁡ (- z) = — erf ⁡ (z) { displaystyle operatorname {erf} (-z) = — operatorname {erf} (z)} operatorname {erf} (-z) = - operatorname {erf} (z) означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 { displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}e ^ {- t ^ {2}} является четной функцией.

Для любого комплексное число z:

erf ⁡ (z ¯) = erf ⁡ (z) ¯ { displaystyle operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}} operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}

где z ¯ { displaystyle { overline {z}}}{ overline {z}} — комплексное сопряжение число z.

Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x>1».

определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z — z 3 3 + z 5 10 — z 7 42 + z 9 216 — ⋯) { displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z — { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} — { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} — cdots right)}{ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { (-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {п! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}

, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N — (2 К — 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N — Z 2 К { Displaystyle OperatorName { erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}

потому что что — (2 k — 1) z 2 k (2 k + 1) { displaystyle { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} }{ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

erfi ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯) { displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}{ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}

, которое выполняется для любого комплексного числа z.

Производная и интеграл

Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:

ddz erf ⁡ (z) = 2 π e — z 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} е ^ {- z ^ {2}}.}

Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :

ddz erfi ⁡ (z) = 2 π ez 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi }}} e ^ {z ^ {2}}.}{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}

первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет

z erf ⁡ (z) + е — z 2 π. { displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}{ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}

Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:

z erfi ⁡ (z) — ez 2 π. { displaystyle z operatorname {erfi} (z) — { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}{ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}

Производные высшего порядка задаются как

erf (k) ⁡ (z) = 2 (- 1) k — 1 π H k — 1 (z) e — z 2 = 2 π dk — 1 dzk — 1 (e — z 2), k = 1, 2, … { Displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H} } _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ { 2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}

где H { displaystyle { mathit {H}}}{ displaystyle { mathit {H}}} — физики многочлены Эрмита.

ряд Бюрмана

Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений x { displaystyle x}x , чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

erf ⁡ (x) = 2 π sgn ⁡ (x) 1 — e — x 2 (1 — 1 12 ( 1 — e — x 2) — 7 480 (1 — e — x 2) 2 — 5 896 (1 — e — x 2) 3 — 787 276480 (1 — e — x 2)) 4 — ⋯) знак равно 2 π знак ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke — kx 2). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 — { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) — { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} — { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} — { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} — cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {выровнено}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1 -e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {4} - cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1 -e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {align}}}

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 = 31 200 { displaystyle c_ {1} = { frac {31} {200}}}c_ {1} = { frac {31} {200}} и c 2 = — 341 8000, { displaystyle c_ {2} = — { frac {341} {8000}},}{ displayst yle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},} результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796, { displaystyle x = pm 1,3796,}{ displaystyle x = pm 1.3796,} , где оно меньше 3,6127 ⋅ 10 — 3 { displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}{ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}} :

erf ⁡ (x) ≈ 2 π sign ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + 31 200 e — x 2 — 341 8000 e — 2 х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} — { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}

Обратные функции

Обратная функция

Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf ⁡ (w) = z { displaystyle operatorname {erf} (w) = z} operatorname {erf} (w) = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x)} operatorname {erf} ^ {- 1} (х) , удовлетворяющего

erf ⁡ (erf — 1 ⁡ ( х)) = х. { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}{ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}

Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

erf — 1 ⁡ (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}

где c 0 = 1 и

ck = ∑ m = 0 k — 1 cmck — 1 — m (m + 1) (2 m + 1) = {1, 1, 7 6, 127 90, 4369 2520, 34807 16200,…}. { displaystyle c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.}c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):

erf — 1 ⁡ (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12} } z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). }{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320} } z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right).}

(После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | < 1, we have erf ⁡ (erf — 1 ⁡ (z)) = z { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z} OperatorName {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z .

обратная дополнительная функция ошибок определяется как

erfc — 1 ⁡ (1 — z) = erf — 1 ⁡ (z). { displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).} operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) удовлетворяет erfi ⁡ (erfi — 1 ⁡ (x)) = x { displaystyle operatorname { erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x} operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x . функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) .

Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) , а для — 1 ≤ x ≤ 1 { displaystyle -1 leq x leq 1}-1 leq x leq 1 , сходится следующий ряд Маклорена:

erfi — 1 ⁡ (z) = ∑ k = 0 ∞ (- 1) ККК 2 К + 1 (π 2 Z) 2 К + 1, { Displaystyle OperatorName {erfi} ^ {- 1} (г) = сумма _ {к = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}{ displaystyle имя оператора {erfi} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z справа) ^ {2k + 1},}

, где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x

erfc ⁡ (x) = e — x 2 x π [1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2 n — 1) (2 x 2) n] = e — x 2 x π ∑ n = 0 ∞ (- 1) п (2 п — 1)! ! (2 х 2) n, { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} right] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( -1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}{ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ { n}}} right] = { frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}

где (2n — 1) !! — это двойной факториал числа (2n — 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n — 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N ∈ N { displaystyle N in mathbb {N}}N in N имеется

erfc ⁡ (Икс) знак равно е — Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N — 1 (- 1) N (2 N — 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}{ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ { - x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N- 1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

где остаток в нотации Ландау равен

RN (x) = O (x 1 — 2 N e — x 2) { displaystyle R_ {N} ( x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}{ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}

при x → ∞. { displaystyle x to infty.}x к infty.

Действительно, точное значение остатка равно

R N (x): = (- 1) N π 2 1 — 2 N (2 N)! N! ∫ Икс ∞ T — 2 N e — T 2 dt, { Displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ { 1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}{ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}

который легко следует по индукции, записывая

e — t 2 = — (2 t) — 1 (e — t 2) ′ { displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = — (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) ‘}{displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:

erfc ⁡ (z) = z π e — z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ am = м 2. { displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+) dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}{ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2 } + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}} }} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

∫ — ∞ ∞ erf ⁡ (ax + б) 1 2 π σ 2 е — (Икс — μ) 2 2 σ 2 dx знак равно erf ⁡ [a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2], a, b, μ, σ ∈ R { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b } { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, му, sigma in mathbb {R}}

Факториальный ряд

  • Обратное:
erfc ⁡ z = e — z 2 π z ∑ n = 0 ∞ (- 1) n Q n (z 2 + 1) n ¯ = e — z 2 π z (1 — 1 2 1 (z 2 + 1) + 1 4 1 (z 2 + 1) (z 2 + 2) — ⋯) { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} + 1)} ^ { ba r {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left ( 1 — { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)}} — cdots right) end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1) } ^ { bar {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2 } +1) (z ^ {2} +2)}} - cdots right) end {align}}}
сходится для Re ⁡ (z 2)>0. { displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})>0.}{displaystyle operatorname {Re} (z^{2})>0.} Здесь

Q n = def 1 Γ (1/2) ∫ 0 ∞ τ (τ — 1) ⋯ ( τ — n + 1) τ — 1/2 е — τ d τ знак равно ∑ К знак равно 0 N (1 2) к ¯ s (n, k), { displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {-1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}{ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def} } {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}
zn ¯ { displaystyle z ^ { bar {n}}}{ displaystyle z ^ { bar {n}}} обозначает возрастающий факториал, а s (n, k) { displaystyle s (n, k)}{ displaystyle s (n, k)} обозначает знаковое число Стирлинга первого рода.
  • Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :
ERF ⁡ (Z) знак равно 2 π ∑ N знак равно 0 ∞ (- 2) N (2 N — 1)! (2 N + 1)! Z 2 N + 1 { Displaystyle OperatorName {ERF} (г) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( -2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}{ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { число Пи}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} { (2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

  • Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:
erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4) 4, x ≥ 0 { displaystyle имя оператора {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ { 4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- { frac {1 } {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad х geq 0}
(максимальная ошибка: 5 × 10)
, где a 1 = 0,278393, a 2 = 0,230389, a 3 = 0,000972, a 4 = 0,078108
erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3) e — x 2, t = 1 1 + px, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0} (максимальная ошибка: 2,5 × 10)
где p = 0,47047, a 1 = 0,3480242, a 2 = -0,0958798, a 3 = 0,7478556
erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a 6 x 6) 16, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a _ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0} (максимальная ошибка: 3 × 10)
, где a 1 = 0,0705230784, a 2 = 0,0422820123, a 3 = 0,0092705272, a 4 = 0,0001520143, a 5 = 0,0002765672, a 6 = 0,0000430638
erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a 5 t 5) e — x 2, t = 1 1 + px { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}} (максимальная ошибка: 1,5 × 10)
, где p = 0,3275911, a 1 = 0,254829592, a 2 = −0,284496736, a 3 = 1,421413741, a 4 = −1,453152027, a 5 = 1,061405429
Все эти приближения действительны для x ≥ 0 Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x, викорируйте тот факт, что erf (x) — нечетная функция, поэтому erf (x) = −erf (−x).
  • Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как
erfc ⁡ (x) ≤ 1 2 e — 2 x 2 + 1 2 e — x 2 ≤ e — x 2, x>0 erfc ⁡ ( х) ≈ 1 6 е — х 2 + 1 2 е — 4 3 х 2, х>0. { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x>0 \ имя оператора {erfc} (x) приблизительно { frac {1} { 6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}}{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} (x)leq {frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{frac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},qquad x>0 \ operatorname {erfc} (x) приблизительно { frac {1} {6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}}
erfc ⁡ (x) ≈ (1 — e — A x) e — x 2 B π х. { displaystyle operatorname {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.}{ Displaystyle имя оператора {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi }} x}}.}
Они определили {A, B} = {1.98, 1.135}, { displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },}{ displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },} , что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0. { displaystyle x geq 0.}{ displaystyle x geq 0.}
  • Одноканальная нижняя граница:
erfc ⁡ (x) ≥ 2 e π β — 1 β е — β Икс 2, Икс ≥ 0, β>1, { Displaystyle OperatorName {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta>1,}{displaystyle operatorname {erfc} (x)geq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,beta>1, }
где параметр β может быть выбран, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.
  • Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:
erf ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) 1 — exp ⁡ (- x 2 4 π + ax 2 1 + ax 2) { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно Operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi) })} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}}{ Displaystyle OperatorName {ERF} (х) приблизительно OperatorName {SGN } (х) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2 }}} right)}}}
где
a = 8 (π — 3) 3 π (4 — π) ≈ 0, 140012. { displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}{ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}
Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестностях 0 и добавление бесконечности, а относительная погрешность меньше 0,00035 для всех действительных x. Использование альтернативного значения ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.
Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для других функций ошибок:
erf — 1 ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2) 2 — ln ⁡ (1 — x 2) a — (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right) ^ {2} — { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} — left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} ( x) приблизительно OperatorName {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2}))} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a }} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}

Многочлен

Приближение с максимальной ошибкой 1,2 × 10-7 { displaystyle 1,2 times 10 ^ {- 7}}1,2 times 10 ^ {- 7} для любого действительного аргумента:

erf ⁡ ( x) = {1 — τ x ≥ 0 τ — 1 x < 0 {displaystyle operatorname {erf} (x)={begin{cases}1-tau xgeq 0\tau -1x<0end{cases}}}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = { begin {case} 1- tau x geq 0 \ тау -1 x <0 end {cases}}

с

τ = t ⋅ exp ⁡ (- x 2 — 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 — 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 — 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 — 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) { displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} вправо. \ left. qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087 277t ^ {9} right) end {align}}}{ displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ { 2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} right. \ осталось. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1.48851587t ^ {7} - 0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {align}}}

и

t = 1 1 + 0,5 | х |. { displaystyle t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}t = { frac {1} {1 + 0,5 | х |}}.

Таблица значений

x erf(x) 1-erf (x)
0 0 1
0,02 0,022564575 0,977435425
0,04 0,045111106 0,954888894
0,06 0,067621594 0, 932378406
0,08 0.090078126 0,909921874
0,1 0,112462916 0,887537084
0,2 0,222702589 0,777297411
0,3 0,328626759 0,671373241
0, 4 0,428392355 0,571607645
0,5 0,520499878 0,479500122
0,6 0.603856091 0,396143909
0,7 0,677801194 0,322198806
0,8 257> 0,742100965 0,257899035
0,9 0,796908212 0,203091788
1 0,842700793 0, 157299207
1,1 0,88020507 0,11979493
1,2 0,910313978 0,089686022
1,3 0,934007945 0,065992055
1,4 0.95228512 0,04771488
1,5 0, 966105146 0,033894854
1,6 0,976348383 0,023651617
1,7 0,983790459 0,016209541
1,8 0,989090502 0,010909498
1,9 0,992790429 0,007209571
2 0,995322265<25767> 0,00477
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0,001862846
2,3 0,998856823 0,001143177
2,4 0,999311486 0,000688514
2,5 0.999593048 0.000406952
3 0.99997791 0,00002209
3,5 0,999999257 0,000000743

Связанные функции

Дополнительная функция

дополнительная функция ошибок, обозначается erfc { displaystyle mathrm {erfc}} mathrm {erfc} , определяется как

erfc ⁡ (x) = 1 — erf ⁡ (x) = 2 π ∫ x ∞ e — t 2 dt знак равно е — Икс 2 erfcx ⁡ (х), { displaystyle { begin {выровнено} OperatorName {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5p t] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5pt ] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}}

, который также определяет erfcx { displaystyle mathrm {erfcx} }{ displaystyle mathrm {erfcx}} , масштабированная дополнительная функция ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Известна другая форма erfc ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x)}{ displaystyle operatorname {erfc} (x)} для неотрицательного x { displaystyle x}x как формула Крейга после ее первооткрывателя:

erfc ⁡ (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}{ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 — erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc { displaystyle mathrm {erfc}} mathrm {erfc} суммы двух неотрицательных чисел следующим образом:

erfc ⁡ (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ — y 2 cos 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} — { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}{ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Функция мнимой ошибки

мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как

erfi ⁡ (x) = — i erf ⁡ (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), { displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = — i operatorname {erf} (ix) \ [ 5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = - i operatorname {erf} (ix) \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2 }} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}

где D (x) — функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} (x)} operatorname {erfi} (x) реально, когда x действительно.

Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e — z 2 erfc ⁡ (- iz) = erfcx ⁡ (- iz). { displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).}вес (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

Φ (x) = 1 2 π ∫ — ∞ xe — t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf ⁡ (x 2)] = 1 2 erfc ⁡ (- x 2) { displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)}{ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x } e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x } { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} справа)}

или переставлен для erf и erfc:

erf ⁡ ( x) = 2 Φ (x 2) — 1 erfc ⁡ (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 — Φ (x 2)). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ operatorname {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {выравнивается} }}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ имя оператора {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {align}}}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Q (x) = 1 2 — 1 2 erf ⁡ (x 2) = 1 2 erfc ⁡ (x 2). { displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} — { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}) } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}{ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) = { frac {1 } {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}

Обратное значение из Φ { displaystyle Phi} Phi известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как

пробит ⁡ (p) = Φ — 1 (p) = 2 erf — 1 ⁡ (2 p — 1) = — 2 erfc — 1 ⁡ (2 p). { displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = — { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}{ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {-1 } (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):

erf ⁡ (х) знак равно 2 х π M (1 2, 3 2, — х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, — x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf } (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2}}, - x ^ { 2} right).}

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполная гамма-функция,

erf ⁡ (x) = sgn ⁡ (x) P (1 2, x 2) = sgn ⁡ (x) π γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}

sgn ⁡ (x) { displaystyle operatorname {sgn} (x)} operatorname {sgn} (x) — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 — e) /

π { displaystyle scriptstyle { sqrt { pi}}}

scriptstyle { sqrt { pi}} . красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е — Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}{ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi }}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}.}.}.}.}

Примечательные случаи:

  • E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 (x) = xe π { displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}{ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}
  • E2(x) — функция, erf (x) ошибки.

После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :

E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) — Γ (1 n, xn)), x>0. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) — Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x>0.}{displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),quad quad x>0.}

Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:

erf ⁡ (x) = 1 — 1 π Γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 — { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}

Итерированные интегралы дополнительных функций

Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как

inerfc ⁡ (z) = ∫ z ∞ in — 1 erfc ⁡ (ζ) d ζ i 0 erfc ⁡ (z) = erfc ⁡ (z) i 1 erfc ⁡ (z) = ierfc ⁡ (z) знак равно 1 π е — z 2 — z erfc ⁡ (z) я 2 erfc ⁡ (z) = 1 4 [erfc ⁡ (z) — 2 z ierfc ⁡ (z)] { displaystyle { begin {align } operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operat orname {ierfc} (z) = { frac { 1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} — z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ end {выровнено}}{ displaystyle { begin {align} operatorname { i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac { 1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ конец {выровнено}}}

Общая рекуррентная формула:

2 ninerfc ⁡ (z) = in — 2 erfc ⁡ (z) — 2 цинк — 1 erfc ⁡ (z) { displaystyle 2n operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ { n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z)}{ displaystyle 2n operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }

У них есть степенной ряд

в erfc ⁡ (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N — JJ! Γ (1 + N — J 2), { displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ { j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}{ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}

из следуют свойства симметрии

i 2 m ERFC ⁡ (- Z) знак равно — я 2 m ERFC ⁡ (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м — д) — 1 (2 д)! (м — д)! { displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = — i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}{ displaystyle i ^ {2m} OperatorName {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ { 2 (кв.) - 1} (2 кв.)! (Mq)!}}}

и

i 2 m + 1 erfc ⁡ (- z) = i 2 m + 1 erfc ⁡ (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м — д) — 1 (2 д + 1)! (м — д)!. { displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { гидроразрыва {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}{ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}

Реализации

Как действительная функция вещественного аргумента

  • В операционных системах, совместимых с Posix, заголовок math.h должен являть, а математическая библиотека libm должна быть функция erf и erfc (двойная точность ), а также их одинарная точность и расширенная точность аналоги erff, erfl и erfc, erfcl.
  • Библиотека GNU Scientific предоставляет функции erf, erfc, log (erf) и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция комплексного аргумента

  • libcerf, числовая библиотека C для сложных функций, предоставляет комплексные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva Package

См. также

Связанные ции

  • интеграл Гаусса, по всей действительной прямой
  • функция Гаусса, производная
  • функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
  • интеграл Гудвина — Стона

по вероятности

  • Нормальное распределение
  • Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функций ошибок
  • Пробит, обратная или квантильная функция нормального CDF
  • Q-функция, вероятность хвоста нормального распределения

Ссылки

Дополнительная литература

  • Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Press, William H.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок », Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8
  • Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

Внешние ссылки

  • MathWorld — Erf
  • Таблица интегралов функций ошибок
Источник

График функции

В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:

erf ⁡ z = 2 π ∫ 0 ze — t 2 dt. { displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}{ displaystyle operatorname {erf} z = { гидроразрыва {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}

Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x — это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].

Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как

erfc ⁡ z = 1 — erf ⁡ z, { displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z,}{ displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z, }

и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как

erfi ⁡ z = — i erf ⁡ (iz), { displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}{ displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}

, где i — мнимая единица.

Содержание

  • 1 Имя
  • 2 Приложения
  • 3 Свойства
    • 3.1 Ряд Тейлора
    • 3.2 Производная и интеграл
    • 3.3 Ряд Бюрмана
    • 3.4 Обратные функции
    • 3.5 Асимптотическое разложение
    • 3.6 Разложение на непрерывную дробь
    • 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
    • 3.8 Факториальный ряд
  • 4 Численные приближения
    • 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
    • 4.2 Полином
    • 4.3 Таблица значений
  • 5 Связанные функции
    • 5.1 функция дополнительных ошибок
    • 5.2 Функция мнимой ошибки
    • 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
    • 5.4 Обобщенные функции ошибок
    • 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
  • 6 Реализации
    • 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
    • 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
  • 7 См. Также
    • 7.1 Связанные функции
    • 7.2 Вероятность
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
  • 10 Внешние ссылки

Имя

Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок плотность задана как

f (x) = (c π) 1 2 e — cx 2 { displaystyle f (x) = left ({ frac {c } { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}{ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p { displaystyle p}p и q { displaystyle q}д как:

(c π) 1 2 ∫ pqe — cx 2 dx = 1 2 (erf ⁡ (qc) — erf ⁡ (pc)). { displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) — operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).}{ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2 }} dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right).}

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ { displaystyle sigma} sigma и ожидаемое значение 0, затем erf ⁡ (a σ 2) { displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}) }}} right)}{ displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}}} right)} — это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a, для положительного a. Это полезно, например, при определении коэффициента битовых ошибок цифровой системы связи.

Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина X ∼ Norm ⁡ [μ, σ] { displaystyle X sim operatorname {Norm} [ mu, sigma]}X sim operatorname {Norm} [ му, sigma] и константа L < μ {displaystyle L<mu }L < mu :

Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ (L — μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L — μ σ) 2) { Displaystyle Pr [X Leq L] = { frac {1} {2 }} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)}{ displaystyle Pr [X leq L ] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma }} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)}

где A и B — верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть μ — L ≥ σ ln ⁡ k { displaystyle mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}}} mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}} , то:

Pr [X ≤ L] ≤ A exp ⁡ (- B ln ⁡ k) = A К B { displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}{ displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}

, поэтому становится вероятность 0 при k → ∞ { displaystyle k to infty}k to infty .

Свойства

Графики на комплексной плоскости Интегрируем exp (-z) erf (z)

Свойство erf ⁡ (- z) = — erf ⁡ (z) { displaystyle operatorname {erf} (-z) = — operatorname {erf} (z)} operatorname {erf} (-z) = - operatorname {erf} (z) означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 { displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}e ^ {- t ^ {2}} является четной функцией.

Для любого комплексное число z:

erf ⁡ (z ¯) = erf ⁡ (z) ¯ { displaystyle operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}} operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}

где z ¯ { displaystyle { overline {z}}}{ overline {z}} — комплексное сопряжение число z.

Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x>1».

определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z — z 3 3 + z 5 10 — z 7 42 + z 9 216 — ⋯) { displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z — { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} — { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} — cdots right)}{ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { (-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {п! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}

, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N — (2 К — 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N — Z 2 К { Displaystyle OperatorName { erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}}

потому что что — (2 k — 1) z 2 k (2 k + 1) { displaystyle { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} }{ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

erfi ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯) { displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}{ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ { 5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}

, которое выполняется для любого комплексного числа z.

Производная и интеграл

Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:

ddz erf ⁡ (z) = 2 π e — z 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} е ^ {- z ^ {2}}.}

Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :

ddz erfi ⁡ (z) = 2 π ez 2. { displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi }}} e ^ {z ^ {2}}.}{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}

первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет

z erf ⁡ (z) + е — z 2 π. { displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}{ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}

Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:

z erfi ⁡ (z) — ez 2 π. { displaystyle z operatorname {erfi} (z) — { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}{ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}

Производные высшего порядка задаются как

erf (k) ⁡ (z) = 2 (- 1) k — 1 π H k — 1 (z) e — z 2 = 2 π dk — 1 dzk — 1 (e — z 2), k = 1, 2, … { Displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H} } _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ { 2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}

где H { displaystyle { mathit {H}}}{ displaystyle { mathit {H}}} — физики многочлены Эрмита.

ряд Бюрмана

Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений x { displaystyle x}x , чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

erf ⁡ (x) = 2 π sgn ⁡ (x) 1 — e — x 2 (1 — 1 12 ( 1 — e — x 2) — 7 480 (1 — e — x 2) 2 — 5 896 (1 — e — x 2) 3 — 787 276480 (1 — e — x 2)) 4 — ⋯) знак равно 2 π знак ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke — kx 2). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 — { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) — { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} — { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} — { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} — cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {выровнено}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1 -e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {4} - cdots right) \ [10pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1 -e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {align}}}

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 = 31 200 { displaystyle c_ {1} = { frac {31} {200}}}c_ {1} = { frac {31} {200}} и c 2 = — 341 8000, { displaystyle c_ {2} = — { frac {341} {8000}},}{ displayst yle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},} результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796, { displaystyle x = pm 1,3796,}{ displaystyle x = pm 1.3796,} , где оно меньше 3,6127 ⋅ 10 — 3 { displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}{ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}} :

erf ⁡ (x) ≈ 2 π sign ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + 31 200 e — x 2 — 341 8000 e — 2 х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} — { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}

Обратные функции

Обратная функция

Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf ⁡ (w) = z { displaystyle operatorname {erf} (w) = z} operatorname {erf} (w) = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x)} operatorname {erf} ^ {- 1} (х) , удовлетворяющего

erf ⁡ (erf — 1 ⁡ ( х)) = х. { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}{ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}

Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

erf — 1 ⁡ (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}

где c 0 = 1 и

ck = ∑ m = 0 k — 1 cmck — 1 — m (m + 1) (2 m + 1) = {1, 1, 7 6, 127 90, 4369 2520, 34807 16200,…}. { displaystyle c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.}c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):

erf — 1 ⁡ (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12} } z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). }{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320} } z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right).}

(После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | < 1, we have erf ⁡ (erf — 1 ⁡ (z)) = z { displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z} OperatorName {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z .

обратная дополнительная функция ошибок определяется как

erfc — 1 ⁡ (1 — z) = erf — 1 ⁡ (z). { displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).} operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) удовлетворяет erfi ⁡ (erfi — 1 ⁡ (x)) = x { displaystyle operatorname { erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x} operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x . функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) .

Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений erfi — 1 ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)} имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x) , а для — 1 ≤ x ≤ 1 { displaystyle -1 leq x leq 1}-1 leq x leq 1 , сходится следующий ряд Маклорена:

erfi — 1 ⁡ (z) = ∑ k = 0 ∞ (- 1) ККК 2 К + 1 (π 2 Z) 2 К + 1, { Displaystyle OperatorName {erfi} ^ {- 1} (г) = сумма _ {к = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}{ displaystyle имя оператора {erfi} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z справа) ^ {2k + 1},}

, где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x

erfc ⁡ (x) = e — x 2 x π [1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2 n — 1) (2 x 2) n] = e — x 2 x π ∑ n = 0 ∞ (- 1) п (2 п — 1)! ! (2 х 2) n, { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1 + sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} right] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( -1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}{ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ { n}}} right] = { frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}

где (2n — 1) !! — это двойной факториал числа (2n — 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n — 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N ∈ N { displaystyle N in mathbb {N}}N in N имеется

erfc ⁡ (Икс) знак равно е — Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N — 1 (- 1) N (2 N — 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}{ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ { - x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N- 1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

где остаток в нотации Ландау равен

RN (x) = O (x 1 — 2 N e — x 2) { displaystyle R_ {N} ( x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}{ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}

при x → ∞. { displaystyle x to infty.}x к infty.

Действительно, точное значение остатка равно

R N (x): = (- 1) N π 2 1 — 2 N (2 N)! N! ∫ Икс ∞ T — 2 N e — T 2 dt, { Displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ { 1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}{ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}

который легко следует по индукции, записывая

e — t 2 = — (2 t) — 1 (e — t 2) ′ { displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = — (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) ‘}{displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}left(e^{-t^{2}}right)'}

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:

erfc ⁡ (z) = z π e — z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ am = м 2. { displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+) dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}{ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2 } + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}} }} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

∫ — ∞ ∞ erf ⁡ (ax + б) 1 2 π σ 2 е — (Икс — μ) 2 2 σ 2 dx знак равно erf ⁡ [a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2], a, b, μ, σ ∈ R { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b } { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, му, sigma in mathbb {R}}

Факториальный ряд

  • Обратное:
erfc ⁡ z = e — z 2 π z ∑ n = 0 ∞ (- 1) n Q n (z 2 + 1) n ¯ = e — z 2 π z (1 — 1 2 1 (z 2 + 1) + 1 4 1 (z 2 + 1) (z 2 + 2) — ⋯) { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} + 1)} ^ { ba r {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left ( 1 — { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)}} — cdots right) end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1) } ^ { bar {n}}}} \ = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2 } +1) (z ^ {2} +2)}} - cdots right) end {align}}}
сходится для Re ⁡ (z 2)>0. { displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})>0.}{displaystyle operatorname {Re} (z^{2})>0.} Здесь

Q n = def 1 Γ (1/2) ∫ 0 ∞ τ (τ — 1) ⋯ ( τ — n + 1) τ — 1/2 е — τ d τ знак равно ∑ К знак равно 0 N (1 2) к ¯ s (n, k), { displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {-1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}{ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def} } {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}
zn ¯ { displaystyle z ^ { bar {n}}}{ displaystyle z ^ { bar {n}}} обозначает возрастающий факториал, а s (n, k) { displaystyle s (n, k)}{ displaystyle s (n, k)} обозначает знаковое число Стирлинга первого рода.
  • Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :
ERF ⁡ (Z) знак равно 2 π ∑ N знак равно 0 ∞ (- 2) N (2 N — 1)! (2 N + 1)! Z 2 N + 1 { Displaystyle OperatorName {ERF} (г) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( -2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}{ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { число Пи}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} { (2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

  • Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:
erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4) 4, x ≥ 0 { displaystyle имя оператора {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ { 4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- { frac {1 } {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad х geq 0}
(максимальная ошибка: 5 × 10)
, где a 1 = 0,278393, a 2 = 0,230389, a 3 = 0,000972, a 4 = 0,078108
erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3) e — x 2, t = 1 1 + px, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0} (максимальная ошибка: 2,5 × 10)
где p = 0,47047, a 1 = 0,3480242, a 2 = -0,0958798, a 3 = 0,7478556
erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a 6 x 6) 16, x ≥ 0 { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 — { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a _ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0} (максимальная ошибка: 3 × 10)
, где a 1 = 0,0705230784, a 2 = 0,0422820123, a 3 = 0,0092705272, a 4 = 0,0001520143, a 5 = 0,0002765672, a 6 = 0,0000430638
erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a 5 t 5) e — x 2, t = 1 1 + px { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}{ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}} (максимальная ошибка: 1,5 × 10)
, где p = 0,3275911, a 1 = 0,254829592, a 2 = −0,284496736, a 3 = 1,421413741, a 4 = −1,453152027, a 5 = 1,061405429
Все эти приближения действительны для x ≥ 0 Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x, викорируйте тот факт, что erf (x) — нечетная функция, поэтому erf (x) = −erf (−x).
  • Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как
erfc ⁡ (x) ≤ 1 2 e — 2 x 2 + 1 2 e — x 2 ≤ e — x 2, x>0 erfc ⁡ ( х) ≈ 1 6 е — х 2 + 1 2 е — 4 3 х 2, х>0. { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x>0 \ имя оператора {erfc} (x) приблизительно { frac {1} { 6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}}{displaystyle {begin{aligned}operatorname {erfc} (x)leq {frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{frac {1}{2}}e^{-x^{2}}leq e^{-x^{2}},qquad x>0 \ operatorname {erfc} (x) приблизительно { frac {1} {6}} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x>0. end {align}}}
erfc ⁡ (x) ≈ (1 — e — A x) e — x 2 B π х. { displaystyle operatorname {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.}{ Displaystyle имя оператора {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi }} x}}.}
Они определили {A, B} = {1.98, 1.135}, { displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },}{ displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },} , что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0. { displaystyle x geq 0.}{ displaystyle x geq 0.}
  • Одноканальная нижняя граница:
erfc ⁡ (x) ≥ 2 e π β — 1 β е — β Икс 2, Икс ≥ 0, β>1, { Displaystyle OperatorName {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta>1,}{displaystyle operatorname {erfc} (x)geq {sqrt {frac {2e}{pi }}}{frac {sqrt {beta -1}}{beta }}e^{-beta x^{2}},qquad xgeq 0,beta>1, }
где параметр β может быть выбран, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.
  • Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:
erf ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) 1 — exp ⁡ (- x 2 4 π + ax 2 1 + ax 2) { displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно Operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi) })} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}}{ Displaystyle OperatorName {ERF} (х) приблизительно OperatorName {SGN } (х) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2 }}} right)}}}
где
a = 8 (π — 3) 3 π (4 — π) ≈ 0, 140012. { displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}{ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}
Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестностях 0 и добавление бесконечности, а относительная погрешность меньше 0,00035 для всех действительных x. Использование альтернативного значения ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.
Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для других функций ошибок:
erf — 1 ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2) 2 — ln ⁡ (1 — x 2) a — (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2). { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right) ^ {2} — { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} — left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} ( x) приблизительно OperatorName {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2}))} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a }} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}

Многочлен

Приближение с максимальной ошибкой 1,2 × 10-7 { displaystyle 1,2 times 10 ^ {- 7}}1,2 times 10 ^ {- 7} для любого действительного аргумента:

erf ⁡ ( x) = {1 — τ x ≥ 0 τ — 1 x < 0 {displaystyle operatorname {erf} (x)={begin{cases}1-tau xgeq 0\tau -1x<0end{cases}}}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = { begin {case} 1- tau x geq 0 \ тау -1 x <0 end {cases}}

с

τ = t ⋅ exp ⁡ (- x 2 — 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 — 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 — 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 — 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) { displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} вправо. \ left. qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087 277t ^ {9} right) end {align}}}{ displaystyle { begin {align} tau = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ { 2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} right. \ осталось. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1.48851587t ^ {7} - 0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {align}}}

и

t = 1 1 + 0,5 | х |. { displaystyle t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}t = { frac {1} {1 + 0,5 | х |}}.

Таблица значений

x erf(x) 1-erf (x)
0 0 1
0,02 0,022564575 0,977435425
0,04 0,045111106 0,954888894
0,06 0,067621594 0, 932378406
0,08 0.090078126 0,909921874
0,1 0,112462916 0,887537084
0,2 0,222702589 0,777297411
0,3 0,328626759 0,671373241
0, 4 0,428392355 0,571607645
0,5 0,520499878 0,479500122
0,6 0.603856091 0,396143909
0,7 0,677801194 0,322198806
0,8 257> 0,742100965 0,257899035
0,9 0,796908212 0,203091788
1 0,842700793 0, 157299207
1,1 0,88020507 0,11979493
1,2 0,910313978 0,089686022
1,3 0,934007945 0,065992055
1,4 0.95228512 0,04771488
1,5 0, 966105146 0,033894854
1,6 0,976348383 0,023651617
1,7 0,983790459 0,016209541
1,8 0,989090502 0,010909498
1,9 0,992790429 0,007209571
2 0,995322265<25767> 0,00477
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0,001862846
2,3 0,998856823 0,001143177
2,4 0,999311486 0,000688514
2,5 0.999593048 0.000406952
3 0.99997791 0,00002209
3,5 0,999999257 0,000000743

Связанные функции

Дополнительная функция

дополнительная функция ошибок, обозначается erfc { displaystyle mathrm {erfc}} mathrm {erfc} , определяется как

erfc ⁡ (x) = 1 — erf ⁡ (x) = 2 π ∫ x ∞ e — t 2 dt знак равно е — Икс 2 erfcx ⁡ (х), { displaystyle { begin {выровнено} OperatorName {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5p t] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) = 1- operatorname {erf} (x) \ [5pt ] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x), end {align}}}

, который также определяет erfcx { displaystyle mathrm {erfcx} }{ displaystyle mathrm {erfcx}} , масштабированная дополнительная функция ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Известна другая форма erfc ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfc} (x)}{ displaystyle operatorname {erfc} (x)} для неотрицательного x { displaystyle x}x как формула Крейга после ее первооткрывателя:

erfc ⁡ (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}{ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 — erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc { displaystyle mathrm {erfc}} mathrm {erfc} суммы двух неотрицательных чисел следующим образом:

erfc ⁡ (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ — y 2 cos 2 ⁡ θ) d θ. { displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} — { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}{ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Функция мнимой ошибки

мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как

erfi ⁡ (x) = — i erf ⁡ (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), { displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = — i operatorname {erf} (ix) \ [ 5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) = - i operatorname {erf} (ix) \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2 }} , dt \ [5pt] = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}

где D (x) — функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi ⁡ (x) { displaystyle operatorname {erfi} (x)} operatorname {erfi} (x) реально, когда x действительно.

Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e — z 2 erfc ⁡ (- iz) = erfcx ⁡ (- iz). { displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).}вес (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

Φ (x) = 1 2 π ∫ — ∞ xe — t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf ⁡ (x 2)] = 1 2 erfc ⁡ (- x 2) { displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)}{ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x } e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x } { sqrt {2}}} right) right] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} справа)}

или переставлен для erf и erfc:

erf ⁡ ( x) = 2 Φ (x 2) — 1 erfc ⁡ (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 — Φ (x 2)). { displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ operatorname {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {выравнивается} }}{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ имя оператора {erfc} (x) = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {align}}}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Q (x) = 1 2 — 1 2 erf ⁡ (x 2) = 1 2 erfc ⁡ (x 2). { displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} — { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}) } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}{ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) = { frac {1 } {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}

Обратное значение из Φ { displaystyle Phi} Phi известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как

пробит ⁡ (p) = Φ — 1 (p) = 2 erf — 1 ⁡ (2 p — 1) = — 2 erfc — 1 ⁡ (2 p). { displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = — { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}{ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {-1 } (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):

erf ⁡ (х) знак равно 2 х π M (1 2, 3 2, — х 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, — x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf } (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2}}, - x ^ { 2} right).}

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполная гамма-функция,

erf ⁡ (x) = sgn ⁡ (x) P (1 2, x 2) = sgn ⁡ (x) π γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}

sgn ⁡ (x) { displaystyle operatorname {sgn} (x)} operatorname {sgn} (x) — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 — e) /

π { displaystyle scriptstyle { sqrt { pi}}}

scriptstyle { sqrt { pi}} . красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е — Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}{ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi }}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}.}.}.}.}

Примечательные случаи:

  • E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 (x) = xe π { displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}{ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}
  • E2(x) — функция, erf (x) ошибки.

После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :

E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) — Γ (1 n, xn)), x>0. { displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) — Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x>0.}{displaystyle E_{n}(x)={frac {1}{sqrt {pi }}}Gamma (n)left(Gamma left({frac {1}{n}}right)-Gamma left({frac {1}{n}},x^{n}right)right),quad quad x>0.}

Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:

erf ⁡ (x) = 1 — 1 π Γ (1 2, x 2). { displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 — { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}{ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}

Итерированные интегралы дополнительных функций

Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как

inerfc ⁡ (z) = ∫ z ∞ in — 1 erfc ⁡ (ζ) d ζ i 0 erfc ⁡ (z) = erfc ⁡ (z) i 1 erfc ⁡ (z) = ierfc ⁡ (z) знак равно 1 π е — z 2 — z erfc ⁡ (z) я 2 erfc ⁡ (z) = 1 4 [erfc ⁡ (z) — 2 z ierfc ⁡ (z)] { displaystyle { begin {align } operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operat orname {ierfc} (z) = { frac { 1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} — z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ end {выровнено}}{ displaystyle { begin {align} operatorname { i ^ {n} erfc} (z) = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta) , d zeta \ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) \ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = { frac { 1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] \ конец {выровнено}}}

Общая рекуррентная формула:

2 ninerfc ⁡ (z) = in — 2 erfc ⁡ (z) — 2 цинк — 1 erfc ⁡ (z) { displaystyle 2n operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ { n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z)}{ displaystyle 2n operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }

У них есть степенной ряд

в erfc ⁡ (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N — JJ! Γ (1 + N — J 2), { displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ { j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}{ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}

из следуют свойства симметрии

i 2 m ERFC ⁡ (- Z) знак равно — я 2 m ERFC ⁡ (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м — д) — 1 (2 д)! (м — д)! { displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = — i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}{ displaystyle i ^ {2m} OperatorName {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ { 2 (кв.) - 1} (2 кв.)! (Mq)!}}}

и

i 2 m + 1 erfc ⁡ (- z) = i 2 m + 1 erfc ⁡ (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м — д) — 1 (2 д + 1)! (м — д)!. { displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { гидроразрыва {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}{ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}

Реализации

Как действительная функция вещественного аргумента

  • В операционных системах, совместимых с Posix, заголовок math.h должен являть, а математическая библиотека libm должна быть функция erf и erfc (двойная точность ), а также их одинарная точность и расширенная точность аналоги erff, erfl и erfc, erfcl.
  • Библиотека GNU Scientific предоставляет функции erf, erfc, log (erf) и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция комплексного аргумента

  • libcerf, числовая библиотека C для сложных функций, предоставляет комплексные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva Package

См. также

Связанные ции

  • интеграл Гаусса, по всей действительной прямой
  • функция Гаусса, производная
  • функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
  • интеграл Гудвина — Стона

по вероятности

  • Нормальное распределение
  • Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функций ошибок
  • Пробит, обратная или квантильная функция нормального CDF
  • Q-функция, вероятность хвоста нормального распределения

Ссылки

Дополнительная литература

  • Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
  • Press, William H.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок », Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8
  • Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

Внешние ссылки

  • MathWorld — Erf
  • Таблица интегралов функций ошибок
Источник

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — не элементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}}intlimits_0^x e^{-t^2},mathrm dt }[/math].

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая [math]displaystyle{ operatorname{erfc},x }[/math] (иногда применяется обозначение [math]displaystyle{ operatorname{Erf},x }[/math]), определяется через функцию ошибок:

[math]displaystyle{ operatorname{erfc},x = 1-operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}} intlimits_x^{infty} e^{-t^2},mathrm dt }[/math].

Комплексная функция ошибок, обозначаемая [math]displaystyle{ w(x) }[/math], также определяется через функцию ошибок:

[math]displaystyle{ w(x) = e^{-x^2}operatorname{erfc},(-ix) }[/math].

Свойства

  • Функция ошибок нечётна:
[math]displaystyle{ operatorname{erf},(-x) = -operatorname{erf},x. }[/math]
  • Для любого комплексного [math]displaystyle{ x }[/math] выполняется
[math]displaystyle{ operatorname{erf},bar{x} = overline{operatorname{erf},x} }[/math]
где черта обозначает комплексное сопряжение числа [math]displaystyle{ x }[/math].
  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
[math]displaystyle{ operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =frac{2}{sqrt{pi}} left(x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{10}-frac{x^7}{42}+frac{x^9}{216}- cdotsright) }[/math]
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного [math]displaystyle{ x }[/math], так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.
  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
[math]displaystyle{ operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinleft(x prod_{i=1}^n{frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}right) = frac{2}{sqrt{pi}} sum_{n=0}^infin frac{x}{2n+1} prod_{i=1}^n frac{-x^2}{i} }[/math]
поскольку [math]displaystyle{ frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} }[/math] — сомножитель, превращающий [math]displaystyle{ i }[/math]-й член ряда в [math]displaystyle{ (i+1) }[/math]-й, считая первым членом [math]displaystyle{ x }[/math].
  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка [math]displaystyle{ z=infty }[/math] будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
[math]displaystyle{ frac{d}{dx},operatorname{erf},x=frac{2}{sqrt{pi}},e^{-x^2}. }[/math]
  • Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:
[math]displaystyle{ F(x)=xoperatorname{erf}(x) + frac{e^{-x^2}}{sqrt{pi}}. }[/math]
  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд
[math]displaystyle{ operatorname{erf}^{-1},x=sum_{k=0}^infinfrac{c_k}{2k+1}left (frac{sqrt{pi}}{2}xright )^{2k+1}, }[/math]
где c0 = 1 и

[math]displaystyle{ c_k=sum_{m=0}^{k-1}frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = left{1,1,frac{7}{6},frac{127}{90},ldotsright}. }[/math]
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[math]displaystyle{ operatorname{erf}^{-1},x=frac{1}{2}sqrt{pi}left (x+frac{pi x^3}{12}+frac{7pi^2 x^5}{480}+frac{127pi^3 x^7}{40320}+frac{4369pi^4 x^9}{5806080}+frac{34807pi^5 x^{11}}{182476800}+dotsright ). }[/math][1]
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением [math]displaystyle{ sigma }[/math], то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на [math]displaystyle{ a }[/math], равна [math]displaystyle{ operatorname{erf},frac{a}{sigma sqrt{2}} }[/math].

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших [math]displaystyle{ x }[/math] полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

[math]displaystyle{ operatorname{erfc},x = frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}left [1+sum_{n=1}^infty (-1)^n frac{1cdot3cdot5cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}right ]=frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}sum_{n=0}^infty (-1)^n frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}. }[/math]

Хотя для любого конечного [math]displaystyle{ x }[/math] этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления [math]displaystyle{ operatorname{erfc},x }[/math] с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

[math]displaystyle{ (operatorname{erf},x)^2approx 1-expleft(-x^2frac{4/pi+ax^2}{1+ax^2}right) }[/math]

где

[math]displaystyle{ a = frac{8}{3pi}frac{pi — 3}{4 — pi}. }[/math]

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым [math]displaystyle{ Phi(x) }[/math]

[math]displaystyle{ Phi(x) = frac{1}{2}biggl(1+operatorname{erf},frac{x}{sqrt{2}}biggl). }[/math]

Обратная функция к [math]displaystyle{ Phi }[/math], известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается [math]displaystyle{ operatorname{probit} }[/math] и выражается через нормальную функцию ошибок как

[math]displaystyle{
operatorname{probit},p = Phi^{-1}(p) = sqrt{2},operatorname{erf}^{-1}(2p-1).
}[/math]

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x=
frac{2x}{sqrt{pi}},_1F_1left(frac{1}{2},frac{3}{2},-x^2right). }[/math]

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x=operatorname{sign},x,Pleft(frac{1}{2}, x^2right)={operatorname{sign},x over sqrt{pi}}gammaleft(frac{1}{2}, x^2right). }[/math]

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок [math]displaystyle{ E_n(x) }[/math]:
серая линия: [math]displaystyle{ E_1(x)=(1-e^{-x})/sqrt{pi} }[/math]
красная линия: [math]displaystyle{ E_2(x)=operatorname{erf},x }[/math]
зелёная линия: [math]displaystyle{ E_3(x) }[/math]
синяя линия: [math]displaystyle{ E_4(x) }[/math]
жёлтая линия: [math]displaystyle{ E_5(x) }[/math].

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

[math]displaystyle{ E_n(x) = frac{n!}{sqrt{pi}} intlimits_0^x e^{-t^n},mathrm dt
=frac{n!}{sqrt{pi}}sum_{p=0}^infin(-1)^pfrac{x^{np+1}}{(np+1)p!},. }[/math]

Примечательными частными случаями являются:

  • [math]displaystyle{ E_0(x) }[/math] — прямая линия, проходящая через начало координат: [math]displaystyle{ E_0(x)=frac{x}{e sqrt{pi}} }[/math]
  • [math]displaystyle{ E_2(x) }[/math] — функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erf},x }[/math].

После деления на [math]displaystyle{ n! }[/math] все [math]displaystyle{ E_n }[/math] с нечётными [math]displaystyle{ n }[/math] выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про [math]displaystyle{ E_n }[/math] с чётными [math]displaystyle{ n }[/math]. Все обобщённые функции ошибок с [math]displaystyle{ ngt 0 }[/math] выглядят похоже на полуоси [math]displaystyle{ xgt 0 }[/math].

На полуоси [math]displaystyle{ xgt 0 }[/math] все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

[math]displaystyle{ E_n(x) = frac{Gamma(n)left(Gammaleft(frac{1}{n}right)-Gammaleft(frac{1}{n},x^nright)right)}{sqrtpi},
quad quad
xgt 0 }[/math]

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x = 1 — frac{Gammaleft(frac{1}{2},x^2right)}{sqrtpi} }[/math]

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы [math]displaystyle{ operatorname{I^n erfc} }[/math] дополнительной функции ошибок определяются как[1]

[math]displaystyle{ operatorname{I^0 erfc},z = operatorname{erfc},z }[/math],
[math]displaystyle{ operatorname{I^n erfc},z = intlimits_z^infty operatorname{I^{n-1}erfc},zeta,dzeta, }[/math] для [math]displaystyle{ ngt 0 }[/math].

Их можно разложить в ряд:

[math]displaystyle{
operatorname{I^nerfc},z
=
sum_{j=0}^infty frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!,Gamma left( 1 + frac{n-j}{2}right)},,
}[/math]

откуда следуют свойства симметрии

[math]displaystyle{
operatorname{I^{2m}erfc},(-z)
= -operatorname{I^{2m}erfc},z
+ sum_{q=0}^m frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
}[/math]

и

[math]displaystyle{
operatorname{I^{2m+1}erfc},(-z)
=operatorname{I^{2m+1}erfc},z
+ sum_{q=0}^m frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!},.
}[/math]

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erf} }[/math] и дополнительная функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erfc} }[/math]. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит[2] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой[3] Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна[4] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math[5].

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН[6]

См. также

  • Функция Гаусса
  • Функция Доусона
  • Гауссов интеграл

Примечания

  1. ↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
  2. ↑ Math (Java Platform SE 6). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года.
  3. ↑ Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 9 апреля 2008 года.
  4. ↑ 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation
  5. ↑ Язык Erlang. Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math.
  6. ↑ Функция ФОШ. support.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года.

Литература

  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
  • Nikolai G. Lehtinen. Error functions (April 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

  • MathWorld — Erf
  • Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
  • Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf
Источник

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf , является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как:

{ displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}

Этот интеграл представляет собой специальную ( неэлементарную ) сигмовидную функцию, которая часто встречается в уравнениях вероятности , статистики и дифференциальных уравнений в частных производных . Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, то значение функции также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена со средним значением 0 и стандартным отклонением
1/√ 2, erf x — вероятность того, что Y попадает в диапазон [- x , x ] .

Две тесно связанные функции — это дополнительная функция ошибок ( erfc ), определяемая как

{ Displaystyle OperatorName {ERFC} Z = 1- OperatorName {ERF} Z,}

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

{ displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} iz,}

где i — мнимая единица .

Имя

Название «функция ошибок» и ее сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности и, в частности, теорией ошибок ». Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок, плотность которых определяется как

{ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { frac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q, как:

{ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { frac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } , dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} left (q { sqrt {c}} right) - operatorname {erf} left (p { sqrt {c}} right) right).}

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ и ожидаемым значением 0, тогда erf (а/σ √ 2) — вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между — a и + a для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.

Ошибки и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда .

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые имеют высокую или низкую вероятность. Дана случайная величина X ~ Norm [ μ , σ ] (нормальное распределение со средним μ и стандартным отклонением σ ) и константа L < μ :

{ displaystyle { begin {align} Pr [X leq L] & = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} { frac {L - mu} {{ sqrt {2}} sigma}} \ & приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} right) end {выравнивается}}}

где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, а именно μ — L ≥ σ √ ln k , то:

{ Displaystyle Pr [Икс Leq L] Leq A ехр (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}

поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .

Вероятность того, что X находится в интервале [ L a , L b ], может быть получена как

{ displaystyle { begin {align} Pr [L_ {a} leq X leq L_ {b}] & = int _ {L_ {a}} ^ {L_ {b}} { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} sigma}} exp left (- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right) , dx \ & = { frac {1} {2}} left ( operatorname {erf} { frac {L_ {b} - mu} {{ sqrt {2}} sigma}} - operatorname {erf} { frac {L_ {a} - mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right). end {align}}}

Характеристики

Интегрируем exp (- z 2 )

erf z

Свойство erf (- z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это напрямую связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 является четной функцией (интегрирование четной функции дает нечетную функцию и наоборот).

Для любого комплексного числа z :

{ displaystyle operatorname {erf} { overline {z}} = { overline { operatorname {erf} z}}}

где г представляет собой комплексно сопряженное из г .

Подынтегральное выражение f = exp (- z 2 ) и f = erf z показано на комплексной плоскости z на рисунках справа с раскраской области .

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На действительной оси erf z стремится к единице при z → + ∞ и −1 при z → −∞ . На мнимой оси он стремится к ± i ∞ .

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x > 1 ».

Определяющий интеграл не может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций , но, раскладывая подынтегральное выражение e — z 2 в его ряд Маклорена и интегрируя член за членом, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} z & = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(- 1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} \ [6pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac { z ^ {9}} {216}} - cdots right) end {align}}}

которое выполняется для любого комплексного числа  z . Члены знаменателя — это последовательность (последовательность A007680 в OEIS ) в OEIS .

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} z & = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) \ [6pt] & = { frac {2 } { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k}} end {align}}}

потому что — (2 к — 1) z 2/к (2 к + 1)выражает множитель для превращения k- го члена в ( k  + 1) -й член (считая z первым членом).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} z & = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} \ [6pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3 }} {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216} } + cdots right) end {выровнены}}}

которое выполняется для любого комплексного числа  z .

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

{ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}

Первообразная функции ошибки, получаемый путем интегрирования по частям , является

{ displaystyle z operatorname {erf} z + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}.

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

{ displaystyle z operatorname {erfi} z - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}.

Производные высшего порядка даются формулами

{ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} z = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ { k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k -1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}

где H — полиномы Эрмита физиков .

Серия Bürmann

Разложение, которое сходится быстрее для всех действительных значений x, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} x & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} x cdot { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480} } left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} справа) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} - cdots right) \ [10pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} x cdot { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {align}}}

где sgn — знаковая функция . Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 =31 год/200и c 2 = —341/8000, полученное приближение показывает свою наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796 , где она меньше 0,0036127:

{ displaystyle operatorname {erf} x приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} x cdot { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}

Обратные функции

Для комплексного числа z не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x <1 существует уникальное действительное число, обозначенное erf −1 x, удовлетворяющее

{ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} x right) = x.}

Функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (-1,1) , и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить на диск | z | <1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} z = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}

где c 0 = 1 и

{ displaystyle { begin {align} c_ {k} & = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} \ & = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} { 2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }. End {align}}}

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

{ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} z = { frac { sqrt { pi}} {2}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right).}

(После отмены дроби числителя / знаменателя представляют собой записи OEIS :  A092676 / OEIS :  A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS :  A002067 .) Значение функции ошибок при  ± ∞ равно  ± 1 .

Для | z | <1 , имеем erf (erf −1 z ) = z .

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

{ displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} z.}

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi −1 x, удовлетворяющее erfi (erfi −1 x ) = x . Функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi −1 x .

Для любого вещественного х , метод Ньютона может быть использован для вычисления ЕрФИ -1 х , а для -1 ≤ х ≤ 1 , следующие сходится ряд Маклорена:

{ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} z = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1} } left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}

где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} x & = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left (1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} { left (2x ^ {2} right) ^ {n}}} right) \ [6pt] & = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0 } ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} { left (2x ^ {2} right) ^ {n}}}, end {выровнено} }}

где (2 n — 1) !! — двойной факториал числа (2 n — 1) , который является произведением всех нечетных чисел до (2 n — 1) . Этот ряд расходится для любого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 выполняется

{ displaystyle operatorname {erfc} x = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}}} sum _ {n = 0} ^ {N-1 } (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} { left (2x ^ {2} right) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

где остаток в обозначениях Ландау равен

{ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {- (1 + 2N)} e ^ {- x ^ {2}} right)}

при x → ∞ .

Действительно, точное значение остатка равно

{ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}

что легко следует по индукции, записывая

{ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) '}

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является:

{ displaystyle operatorname {erfc} z = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}}}}, qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}} }} exp left (- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right) , dx = operatorname {erf} { frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}}}, qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}

которая, по-видимому, связана с Нг и Геллером, формула 13 в разделе 4.3 с заменой переменных.

Факторный ряд

Обратный факторный ряд :

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1)} ^ { bar {n}}}} \ & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1 } {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)} } - cdots right) end {align}}}

сходится при Re ( z 2 )> 0 . Здесь

{ displaystyle { begin {align} Q_ {n} & { overset { text {def}} {{} = {}}} { frac {1} { Gamma left ({ frac {1} {2}} right)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- { frac {1} { 2}}} e ^ {- tau} , d tau \ & = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ tfrac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k), end {align}}}

z n обозначает возрастающий факториал , а s ( n , k ) обозначает число Стирлинга первого рода со знаком . Также существует представление бесконечной суммой, содержащее двойной факториал :

{ displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

  • Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:
    { displaystyle operatorname {erf} x приблизительно 1 - { frac {1} { left (1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4} right) ^ {4}}}, qquad x geq 0}

    (максимальная ошибка: 5 × 10 −4 )

    где a 1 = 0,278393 , a 2 = 0,230389 , a 3 = 0,000972 , a 4 = 0,078108

    { displaystyle operatorname {erf} x приблизительно 1- left (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3} right) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}

    (максимальная ошибка: 2,5 × 10 −5 )

    где p = 0,47047 , a 1 = 0,3480242 , a 2 = −0,0958798 , a 3 = 0,7478556

    { displaystyle operatorname {erf} x приблизительно 1 - { frac {1} { left (1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6} right) ^ {16}}}, qquad x geq 0}

    (максимальная ошибка: 3 × 10 −7 )

    где a 1 = 0,0705230784 , a 2 = 0,0422820123 , a 3 = 0,0092705272 , a 4 = 0,0001520143 , a 5 = 0,0002765672 , a 6 = 0,0000430638

    { displaystyle operatorname {erf} x приблизительно 1- left (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5} right) e ^ { -x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}

    (максимальная ошибка: 1,5 × 10 −7 )

    где p = 0,3275911 , a 1 = 0,254829592 , a 2 = −0,284496736 , a 3 = 1,421413741 , a 4 = −1,453152027 , a 5 = 1,061405429.

    Все эти приближения верны для x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x , используйте тот факт, что erf x — нечетная функция, поэтому erf x = −erf (- x ) .

  • Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даются формулами
    { displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} x & leq { tfrac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { tfrac {1} {2}} e ^ {-x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, & quad x &> 0 \ имя оператора {erfc} x & приблизительно { tfrac {1} {6}} e ^ { -x ^ {2}} + { tfrac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, & quad x &> 0. end {выровнено }}}
  • Вышеупомянутое было обобщено до сумм из N экспонент с возрастающей точностью в терминах N, так что erfc x может быть точно аппроксимирован или ограничен величиной 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где
    { displaystyle { tilde {Q}} (x) = sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}

    В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов {( a n , b n )}N
    n = 1    которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a n , b n )}N
    n = 1    для многих вариаций экспоненциальных приближений и границ до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.

  • Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для x ∈ [0, ∞) дана Karagiannidis & Lioumpas (2007), которые показали для соответствующего выбора параметров { A , B }, что
    { displaystyle operatorname {erfc} x приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} Икс}}.}

    Они определили { A , B } = {1.98,1.135} , что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу.

  • Одноканальная нижняя граница

    { displaystyle operatorname {erfc} x geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, quad beta> 1,}

    где параметр β может быть выбран так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.

  • Другое приближение дает Сергей Виницкий, используя свои «глобальные приближения Паде»:
    { displaystyle operatorname {erf} x приблизительно operatorname {sgn} x cdot { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi}) } + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}}

    куда

    { displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}

    Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а относительная ошибка меньше 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

    Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

    { displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} x приблизительно operatorname {sgn} x cdot { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln left (1-x ^ {2} right)} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln left (1-x ^ {2} right)} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln left (1-x ^ {2} right)} {2}} right) }}.}
  • Приближение с максимальной погрешностью 1,2 × 10 −7 для любого действительного аргумента:
    { displaystyle operatorname {erf} x = { begin {cases} 1- tau & x geq 0 \ tau -1 & x <0 end {cases}}}

    с участием

    { displaystyle { begin {align} tau & = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} right. \ & left. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {выравнивается}}}

    а также

    { displaystyle t = { frac {1} {1 + { frac {1} {2}} | x |}}.}

Таблица значений

Икс erf x 1 — эрф х
0 0 1
0,02 0,022 564 575 0,977 435 425
0,04 0,045 111 106 0,954 888 894
0,06 0,067 621 594 0,932 378 406
0,08 0,090 078 126 0,909 921 874
0,1 0,112 462 916 0,887 537 084
0,2 0,222 702 589 0,777 297 411
0,3 0,328 626 759 0,671 373 241
0,4 0,428 392 355 0,571 607 645
0,5 0,520 499 878 0,479 500 122
0,6 0,603 856 091 0,396 143 909
0,7 0,677 801 194 0,322 198 806
0,8 0,742 100 965 0,257 899 035
0,9 0,796 908 212 0,203 091 788
1 0,842 700 793 0,157 299 207
1.1 0,880 205 070 0,119 794 930
1.2 0,910 313 978 0,089 686 022
1.3 0,934 007 945 0,065 992 055
1.4 0,952 285 120 0,047 714 880
1.5 0,966 105 146 0,033 894 854
1.6 0,976 348 383 0,023 651 617
1,7 0,983 790 459 0,016 209 541
1,8 0,989 090 502 0,010 909 498
1.9 0,992 790 429 0,007 209 571
2 0,995 322 265 0,004 677 735
2.1 0,997 020 533 0,002 979 467
2.2 0,998 137 154 0,001 862 846
2.3 0,998 856 823 0,001 143 177
2,4 0,999 311 486 0,000 688 514
2,5 0,999 593 048 0,000 406 952
3 0,999 977 910 0,000 022 090
3.5 0,999 999 257 0,000 000 743

Дополнительная функция ошибок

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая ERFC , определяется как

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} x & = 1- operatorname {erf} x \ [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ { x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt \ [5pt] & = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} x, end {выровнено}} }

который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя:

{ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать вместе с erfc x = 2 — erfc (- x ) для получения erfc ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом:

{ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2} } exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}

Функция мнимой ошибки

Функция мнимой ошибки , обозначаемая erfi , определяется как

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} x & = - i operatorname {erf} ix \ [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ { 0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt \ [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (х), конец {выровнено}}}

где D ( x ) — функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «мнимая функция ошибок», erfi x реально, когда x реально.

Когда функция ошибок оценивается для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной кумулятивной функции распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они различаются только масштабированием и преобразованием. Действительно,

{ displaystyle { begin {align} Phi (x) & = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac { -t ^ {2}} {2}} , dt \ [6pt] & = { frac {1} {2}} left (1+ operatorname {erf} { frac {x} { sqrt {2}}} right) \ [6pt] & = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right ) конец {выровнено}}}

или переставил для erf и erfc :

{ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) & = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 \ [6pt] operatorname {erfc} (x ) & = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) \ & = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right) . end {выровнено}}}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

{ displaystyle { begin {align} Q (x) & = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} { frac {x} { sqrt {2}}} \ & = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} { frac {x} { sqrt {2}}}. End {align}}}

Обратное из Ф называется нормальной функции квантиль , или пробит функции и могут быть выражены в терминах функции обратной ошибки как

{ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

{ displaystyle operatorname {erf} x = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {3} {2}} , -x ^ {2} right).}

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля .

С точки зрения регуляризованном гамма — функции P и неполной гамма — функции ,

{ displaystyle operatorname {erf} x = operatorname {sgn} x cdot P left ({ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn } x} { sqrt { pi}}} gamma left ({ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} right).}

sgn x — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n ( x ) :
серая кривая: E 1 ( x ) =1 — е — х/√ π
красная кривая: E 2 ( x ) = erf ( x )
зеленая кривая: E 3 ( x )
синяя кривая: E 4 ( x )
золотая кривая: E 5 ( x ) .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

{ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}

Известные случаи:

  • E 0 ( x ) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 ( x ) =Икс/е √ π
  • E 2 ( x ) — функция ошибок, erf x .

После деления на п ! , все E n для нечетных n похожи (но не идентичны) друг на друга. Точно так же E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной стороне графика x .

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

{ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) - Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), qquad x> 0.}

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

{ displaystyle operatorname {erf} x = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} right ).}

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

{ displaystyle { begin {align} operatorname {i} ^ {n} ! operatorname {erfc} z & = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i} ^ {n-1} ! operatorname {erfc} zeta , d zeta \ [6pt] operatorname {i} ^ {0} ! operatorname {erfc} z & = operatorname {erfc} z \ operatorname {i} ^ {1} ! Operatorname {erfc} z & = operatorname {ierfc} z = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc } z \ operatorname {i} ^ {2} ! operatorname {erfc} z & = { tfrac {1} {4}} left ( operatorname {erfc} z-2z operatorname {ierfc} z вправо) \ конец {выровнено}}}

Общая рекуррентная формула

{ displaystyle 2n cdot operatorname {i} ^ {n} ! operatorname {erfc} z = operatorname {i} ^ {n-2} ! operatorname {erfc} z-2z cdot operatorname { i} ^ {n-1} ! operatorname {erfc} z}

У них есть степенной ряд

{ displaystyle operatorname {i} ^ {n} ! operatorname {erfc} z = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! , Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}

откуда следуют свойства симметрии

{ displaystyle operatorname {i} ^ {2m} ! operatorname {erfc} (-z) = - operatorname {i} ^ {2m} ! operatorname {erfc} z + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (mq)!}}}

а также

{ displaystyle operatorname {i} ^ {2m + 1} ! operatorname {erfc} (-z) = operatorname {i} ^ {2m + 1} ! operatorname {erfc} z + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (Mq)!}}.}.}

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

  • В Posix -совместимый операционных систем, заголовок math.h возвестят и математическая библиотека libm должна обеспечивать функции erfи erfc( двойной точности ), а также их одинарной точности и повышенной точности аналогов erff, erflи erfcf, erfcl.
  • GNU Scientific Library предоставляет erf, erfc, log(erf), и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция сложного аргумента

  • libcerf , цифровая библиотека C для сложных функций ошибок, обеспечивает комплексные функцииcerf,cerfc,cerfcxи реальные функцииerfi,erfcxпримерно с 13-14 точностью цифр, на основе функции Фаддеева , как реализовано в MIT Фаддеевого пакете

Смотрите также

  • Гауссовский интеграл по всей действительной прямой
  • Функция Гаусса , производная
  • Функция Доусона , перенормированная функция мнимой ошибки
  • Интеграл Гудвина – Стэтона

По вероятности

  • Нормальное распределение
  • Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
  • Пробит , обратная или квантильная функция нормального CDF
  • Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
  • Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

внешние ссылки

  • MathWorld — Эрф
  • Таблица интегралов функций ошибок
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Обратная связь сообщить об ошибке
  • Обратная связь работа над ошибками
  • Образцы заявления в кадастровую палату об исправлении ошибки
  • Образцы заявлений об устранении ошибки
  • Образцы заявлений об ошибке в завещании