Нормальное распределение измерения с систематической ошибкой - ErrorsMaster.ru

Нормальное распределение и его свойства

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

Нормальный закон распределения

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Вычисление вероятности заданного отклонения

Показательный закон распределения

Правило трех сигм

Пример 2

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

Условие

Решение

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Мокров стандартизация и сертификация

Мокров стандартизация и сертификация

Пример №1

Пример №2

Содержание:

Нормальный закон распределения:

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

где

График функции плотности вероятности (2.9.1) имеет максимум в точке а точки перегиба отстоят от точки на расстояние При функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю (ее график изображен на рис. 2.9.1).

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, а дисперсия Если т.е. X имеет нормальный закон распределения с параметрами и то

где – функция Лапласа

Значения функции можно найти по таблице (см. прил., табл. П2). Функция Лапласа нечетна, т.е. Поэтому ее таблица дана только для неотрицательных График функции Лапласа изображен на рис. 2.9.2. При значениях она практически остается постоянной. Поэтому в таблице даны значения функции только для При значениях можно считать, что

Если то

Пример:

Случайная величина X имеет нормальный закон распределения Известно, что а Найти значения параметров и

Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):

Так как По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или

Аналогично Так как то По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или Из системы двух уравнений и находим, что а т.е. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ.

Пример:

Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк². Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

Решение. По условиям задачи Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк. По формуле (2.9.2)

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт. Поэтому по формуле Бернулли (2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна

Ответ.

Пример:

Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

Требуется определить коэффициент найти и определить тип закона распределения, нарисовать график функции вычислить вероятность

Замечание. Если каждый закон распределения из некоторого семейства законов распределения имеет функцию распределения , где – фиксированная функция распределения, a то говорят, что эти законы распределения принадлежат к одному виду или типу распределений. Параметр называют параметром сдвига, – параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

Сделаем замену переменных так, чтобы т.е. Пределы интегрирования при этом останутся прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

Умножим и разделим левую часть равенства на Получим равенство

Так как как интеграл по всей числовой оси от функции плотности вероятности стандартного нормального закона распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

Поэтому

Последняя запись означает, что случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и График функции плотности вероятности этого закона изображен на рис. 2.9.5. Распределение случайной величины X принадлежит к семейству нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

Ответ.

Пример:

Цех на заводе выпускает транзисторы с емкостью коллекторного перехода Сколько транзисторов попадет в группу если в нее попадают транзисторы с емкостью коллекторного перехода от 1,80 до 2,00 пФ. Цех выпустил партию в 1000 штук.

Решение.

Статистическими исследованиями в цеху установлено, что можно трактовать как случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону.

Чтобы вычислить количество транзисторов, попадающих в группу необходимо учитывать, что вся партия транзисторов имеет разброс параметров, накрывающий всю (условно говоря) числовую ось. То есть кривая Гаусса охватывает всю числовую ось, центр ее совпадает с (т. к. все установки в цеху настроены на выпуск транзисторов именно с этой емкостью). Вероятность попадания отклонений параметров всех транзисторов на всю числовую ось равна 1. Поэтому нам необходимо фактически определить вероятность попадания случайной величины в интервал а затем пересчитать количество пропорциональной вероятности.

Для расчета этой вероятности надо построить математическую модель. Экспериментальные данные говорят о том, что нормальное распределение можно принять в качестве математической модели. Эмпирическая оценка (установлена статистическими исследованиями в цеху) среднего значения

дает оценка среднего квадратического отклонения

Обозначая подставим приведенные значения в (6.3):

Тогда количество транзисторов попавших в интервал [1,8; 2,0] пФ, можно найти так: Таким образом можно планировать и рассчитывать количество транзисторов, попадающих в ту или иную группу.

Если выйти на улицу любого города и случайным образом выбранных прохожих спросить о том, какой у них рост, вес, возраст, доход, и т.п., а потом построить график любой из этих величин, например, роста… Но не будем спешить, сначала посмотрим, как можно построить такой график.

Сначала, мы просто запишем результаты своего исследования. Потом, мы отсортируем всех людей по группам, так чтобы каждый попал в свой диапазон роста, например, «от 180 до 181 включительно».

После этого мы должны посчитать количество людей в каждой подгруппе-диапазоне, это будет частота попадания роста жителей города в данный диапазон. Обычно эту часть удобно оформить в виде таблички. Если затем эти частоты построить по оси у, а диапазоны отложить по оси х, можно получить так называемую гистограмму, упорядоченный набор столбиков, ширина которых равна, в данном случае, одному сантиметру, а длина будет равна той частоте, которая соответствует каждому диапазону роста. Если

Вам попалось достаточно много жителей, то Ваша схема будет выглядеть примерно так:

Дальше можно уточнить задачу. Каждый диапазон разбить на десять, жителей рассортировать по росту с точностью до миллиметра. Диаграмма станет глаже, но уменьшится по высоте, «оплывет» вниз, т.к. в каждом маленьком диапазоне количество жителей уменьшается. Чтобы избежать этого, просто увеличим масштаб по вертикальной оси в 10 раз. Если гипотетически повторить эту процедуру несколько раз, будет вырисовываться та знаменитая колоколообразная фигура, которая характерна для нормального (или Гауссова) распределения. В результате, относительная частота встречаемости каждого конкретного диапазона роста может быть посчитана как отношение площади «ломтика» кривой, приходящегося на этот диапазон к площади подо всей кривой. Стандартизированные кривые нормального распределения, значения функций которых приводятся в таблицах книг по статистике, всегда имеют суммарную площадь под кривой равную единице. Это связано с тем, что, как Вы помните из курса теории вероятности, вероятность достоверного события всегда равна 100% (или единице), а для любого человека иметь хоть какое-то значение роста — достоверное событие. А вот вероятность того, что рост произвольного человека попадет в определенный выбранный нами диапазон, будет зависеть от трех факторов.

Во-первых, от величины такого диапазона — чем точнее наши требования, тем меньше вероятности, что нам повезет.

Во-вторых, от того, насколько «популярен» выбранный нами рост. Напомним, что мода — самое часто встречающееся значение роста. Кстати для нормального распределения мода, медиана и среднее значение совпадают. Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения.

И, в-третьих, вероятность попадания роста в определенный диапазон зависит от характеристики рассеивания случайной величины. Отчасти это связано с единицами измерения (представьте, что мы бы измеряли людей в дюймах, а не в миллиметрах, но сами люди и их рост были бы теми же). Но дело не только в этом. Просто некоторые процессы кучнее группируются возле среднего значения, в то время как другие более разбросаны.

Например, рост собак и рост домашних кошек имеют разный разброс значений, их кривые нормального распределения будут выглядеть по-разному (напомним еще раз, что площадь под обеими кривыми будет единичной).

Так, кривая для роста кошек будет более узкой и высокой, а для роста собак кривая будет ниже и шире. Для характеристики разброса конечного ряда данных в прошлом разделе мы использовали величину среднего квадратического отклонения. Аналогичная величина используется для характеристики кривой нормального распределения. Она обозначается буквой s и называется в этом случае стандартным отклонением. Это очень важная величина для кривой нормального распределения. Кривая нормального распределения полностью задана, если известно среднее значение и отклонение s. Кроме того, любой житель города с вероятностью 68% попадет в диапазон роста с вероятностью 95% — в диапазон и с вероятностью 99,7% — в диапазон

Для вычисления других значений вероятности, которые могут Вам понадобиться, можно воспользоваться приведенной таблицей:

Таблица вероятности попадания случайной величины в отмеченный (заштрихованный) диапазон

Нормальный закон распределения случайных величин, который иногда называют законом Гаусса или законом ошибок, занимает особое положение в теории вероятностей, так как 95 % изученных случайных величин подчиняются этому закону. Природа этих случайных величин такова, что их значение в проводимом эксперименте связано с проявлением огромного числа взаимно независимых случайных факторов, действие каждого из которых составляет малую долю их совокупного действия. Например, длина детали, изготавливаемой на станке с программным управлением, зависит от случайных колебаний резца в момент отрезания, от веса и толщины детали, ее формы и температуры, а также от других случайных факторов. По нормальному закону распределения изменяются рост и вес мужчин и женщин, дальность выстрела из орудия, ошибки различных измерений и другие случайные величины.

Определение: Случайная величина X называется нормальной, если она подчиняется нормальному закону распределения, т.е. ее плотность распределения задается формулой — средне-квадратичное отклонение, a m = М[Х] — математическое ожидание.

Приведенная дифференциальная функция распределения удовлетворяет всем свойствам плотности вероятности, проверим, например, свойство 4.:

Выясним геометрический смысл параметров Зафиксируем параметр и будем изменять параметр m. Построим графики соответствующих кривых (Рис. 8).

Рис. 8. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения математического ожидания при фиксированном значении средне-квадратичного отклонения. Из рисунка видно, кривая получается путем смещения кривой вдоль оси абсцисс на величину m, поэтому параметр m определяет центр тяжести данного распределения. Кроме того, из рисунка видно, что функция достигает своего максимального значения в точке Из этой формулы видно, что при уменьшении параметра значение максимума возрастает. Так как площадь под кривой плотности распределения всегда равна 1, то с уменьшением параметра кривая вытягивается вдоль оси ординат, а с увеличением параметра кривая прижимается к оси абсцисс. Построим график нормальной плотности распределения при m = 0 и разных значениях параметра (Рис. 9):

Рис. 9. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения средне-квадратичного отклонения при фиксированном значении математического ожидания.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид (Рис. 10):

Рис. 10. Графика интегральной функции распределения нормальной случайной величины.

Пусть требуется определить вероятность того, что нормальная случайная величина попадает в интервал Согласно определению пересчитаем пределы интегрирования Следовательно,

Рассмотрим основные свойства функции Лапласа Ф(х):

Ф(0) = 0 — график функции Лапласа проходит через начало координат.
Ф (-х) = — Ф(х) — функция Лапласа является нечетной функцией, поэтому
таблицы для функции Лапласа приведены только для неотрицательных значений аргумента.
— график функции Лапласа имеет горизонтальные асимптоты

Следовательно, график функции Лапласа имеет вид (Рис. 11):

Рис. 11. График функции Лапласа.

Закон распределения нормальной случайной величины X имеет вид: Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;8).

Решение:

Согласно условиям задачи Поэтому искомая вероятность равна: 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило .

Если интервал, в который попадает нормальная случайная величина X, симметричен относительно математического ожидания то, используя свойство нечетности функции Лапласа, получим

Данная формула показывает, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания на заданную величину l равна удвоенному значению функции Лапласа от отношения / к среднему квадратичному отклонению. Если положить случаях нормальная случайная величина X отличается от своего математического ожидания на величину равную среднему квадратичному отклонению. Если то вероятность отклонения равна Наконец, в случае то вероятность отклонения равна

Из последнего равенства видно, что только приблизительно в 0.3 % случаях отклонение нормальной случайной величины X от своего математического ожидания превышает Это свойство нормальной случайной величины X называется правилом “трех сигм”. На практике это правило применяется следующим образом: если отклонение случайной величины X от своего математического ожидания не превышает то эта случайная величина распределена по нормальному закону.

Определение: Закон распределения, определяемый фу нкцией распределения:

называется экспоненциальным или показательным.

График экспоненциального закона распределения имеет вид (Рис. 12):

Рис. 12. График функции распределения для случая экспоненциального закона.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) имеет вид: а ее график показан на (Рис. 13):

Рис. 13. График плотности вероятности для случая экспоненциального закона.

Случайная величина X подчиняется дифференциальной функции распределения Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), математическое ожидание M[Х], дисперсию D[X] и среднее квадратичное отклонение Проверить выполнение правила “трех сигм” для показательного распределения.

Решение:

Интегральная функция распределения следовательно, вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), равна: Математическое ожидание Вычислим значение величины М тогда дисперсия случайной величины X равна а средне-квадратичное

отклонение Для проверки правила “трех сигм” вычислим вероятность заданного отклонения:

Основные законы распределения вероятностей
Асимптотика схемы независимых испытаний
Функции случайных величин
Центральная предельная теорема
Повторные независимые испытания
Простейший (пуассоновский) поток событий
Случайные величины
Числовые характеристики случайных величин

Источник

Случайной
погрешностью измерения называется
составляющая погрешности, изменяющаяся
случайным образом (по знаку и значению)
при повторных измерениях одной и той
же физической величины, проведенных
с одинаковой тщательностью. Примеры
распределения случайных величин

Способы
нахождения значений случайной величины
зависят от вида функции ее распределения.
Однако на практике такие функции, как
правило, неизвестны. Если же случайный
характер результатов наблюдений
обусловлен погрешностями измерений,
то полагают, что наблюдения имеют
нормальное
распределение.
Это обусловлено тем, что погрешности
измерений складываются из большого
числа небольших возмущений, ни одно из
которых не является преобладающим.
Согласно же центральной
предельной теореме
сумма бесконечно большого числа взаимно
независимых бесконечно малых случайных
величин с любыми распределениями имеет
нормальное
распределение.
Нормальное распределение для
случайной
величиных
с
математическим ожиданием
и
дисперсиейs
имеет вид:
Реально даже воздействие
ограниченного числа возмущений приводит
к нормальному распределению результатов
измерений и их погрешностей. В
настоящее время наиболее полно разработан
математический аппарат именно для
случайных величин, имеющих нормальное
распределение. Если же предположение
о нормальности распределения отвергается,
то статистическая обработка наблюдений
существенно усложняется и в таком
случае невозможно рекомендовать общую
методику статистической обработки
наблюдений. Часто даже не известно,
какая характеристика распределения
может служить оценкой истинного значения
измеряемой величины.
Выше приведено
аналитическое выражение нормального
распределения для случайной измеряемой
величины х.
Переход к нормальному
распределению случайных погрешностей
осуществляется
переносом центра распределений ви
откладывания по оси абсцисс погрешности.

Нормальное
распределение характеризуется двумя
парамет-рами: математическим ожиданием
m1
и
средним квадратическим отклонением
σ.
При многократных измерениях
несмещенной, состоятельной и эффективной
оценкой m1
для группы из n
наблюдений является среднее арифметическое
:.
Нужно
сказать, что среднее арифметическое
дает оценку математического ожидания
результата наблюдений и может бытьоценкой
истинного (действительного) значения
измеряемой
величины только после
исключения
систематических погрешностей.
Оценка
S
среднего квадратического отклонения
(СКО) дается
формулой:

Эта
оценка характеризуетрассеяние
единичных результатов измерений в ряду
равноточных измерений одной и той же
величины около их среднего значения.

Другими оценками рассеяния результатов
в ряду измерений являются размах
(разница между наибольшим и наименьшим
значением), модуль средней
арифметической погрешности
(арифметическая сумма погрешностей,
деленная на число измерений) и
доверительная граница погрешности
(подробно рассматривается ниже).
СКО
является наиболее удобной характеристикой
погрешности в случае ее дальнейшего
преобразования. Например, для нескольких
некоррелированных слагаемых СКО суммы
определяется по
формуле:

.
Оценка
S характеризует рассеяние единичных
результатов наблюдений относительно
среднего значения, то есть в случае,
если мы за результат измерений примем
отдельный исправленный результат
наблюдений. Если же в качестве результата
измерений принимается среднее
арифметическое, то СКО этого среднегоопределяется
по формуле:Нормальное
распределение погрешностей имеет
следующиесвойства:

симметричность,
т.е. погрешности, одинаковые по величине,
но противоположные по знаку,
встречаются одинаково часто;
математическое
ожидание случайной погрешности равно
нулю;
малые
погрешности более вероятны, чем большие;
чем
меньше s, тем меньше рассеяние результатов
наблюдений и больше вероятность малых
погрешностей.

Доверительные
интервалы

Приведенные
выше оценки параметров распределения
случайных величин в виде среднего
арифметического для оценки математического
ожидания и СКО для оценки дисперсии
называются точечными
оценками,
так как они выражаются одним числом.
Однако в некоторых случаях знание
точечной оценки является недостаточным.
Наиболее корректной и наглядной оценкой
случайной погрешности измерений
является оценка с помощью доверительных
интервалов.

Симметричный интервал в границами
± Δх(Р)
называется доверительным
интервалом случайной
погрешности с довери-тельной вероятностью
Р,
если площадь кривой распределения
между абсциссами –Δх
и
+Δх
составляет Р-ю
часть всей площади под кривой плотности
распределения вероятностей. При
нормировке всей площади на единицу Р
представляет часть этой площади в долях
единицы (или в процентах). Другими
словами, в интервале от -Dх(Р)
до +Dх(Р)
с заданной вероятностью Р
встречаются Р×100%
всех возможных значений случайной
погрешности.
Доверительный интервал
для нормального распределения находится
по формуле:

где
коэффициентt
зависит от доверительной вероятности
Р.
Для
нормального распределения существуют
следующие соотношения между доверительными
интервалами и доверительной вероятностью:
1s (Р=0,68), 2s (Р= 0,95), 3s (Р= 0,997), 4s (Р=0,999).

Доверительные
вероятности для выражения результатов
измерений и погрешностей в различных
областях науки и техники принимаются
равными. Так, в технических измерениях
принята доверительная вероятность
0,95. Лишь для особо точных и ответственных
измерений принимают более высокие
доверительные вероятности. В метрологии
используют, как правило, доверитель-ные
вероятности 0,97, в исключительных случаях
0,99. Необходимо отметить, что точность
измерений должна соответствовать
поставленной измерительной задаче.
Излишняя точность ведет к неоправданному
расходу средств. Недостаточная точность
измерений может привести к принятию
по его результатам ошибочных решений
с самыми непредсказуемыми последствиями,
вплоть до серьезных материальных потерь
или катастроф.

При
проведении многократных измерений
величины х,
подчиняющейся нормальному распределению,
доверительный интервал может быть
построен для любой доверительной
вероятности по формуле:

гдеtq–
коэффициент Стьюдента, зависящий от
числа наблюдений n
и выбранной доверительной вероятности
Р.
Он определяется с помощью таблицы
q-процентных
точек распределения Стьюдента, которая
имеет два параметра: k
= n
– 1 и q=
1 – P;
–
оценка среднего квадратического
отклонения среднего арифметического.
Доверительный
интервал для погрешностиDх(Р)
позволяет построить доверительный
интервал для истинного (действительного)
значения измеряемой величины ,
оценкой которой является среднее
арифметическое
.
Истинное значение измеряемой величины
находится с доверительной вероятностью
Р внутри интервала:.
Доверительный интервал позволяет
выяснить, насколько может измениться
полученная в результате данной серии
измерений оценка измеряемой величины
при проведении повторной серии измерений
в тех же условиях. Необходимо отметить,
что доверительные интервалы строят
длянеслучайных
величин,
значения которых неизвестны. Такими
являются истинное значение измеряемой
величины и средние квадратические
отклонения. В то же время оценки этих
величин, получаемые в результате
обработки данных наблюдений, являются
случайными величинами.
Недостатком
доверительных интервалов при оценке
случай-ных погрешностей является то,
что при произвольно выбираемых
доверительных вероятностях нельзя
суммировать несколько погреш-ностей,
т.к. доверительный интервал суммы не
равен сумме довери-тельных интервалов.
Суммируются
дисперсии независимых случай-ных
величин:
Då
= åDi.
То есть, для возможности суммирования
составляющие случайной погрешности
должны быть представлены своими СКО,
а не предельными или доверительными
погрешностями.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

–
математическое ожидание,

–
среднее квадратическое отклонение

Вероятность того, что

примет
значение, принадлежащее интервалу

где

– функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

В частности, при

справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

, где

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

Таблица значений функции Лапласа
Непрерывная случайная величина
Показательный закон распределения случайной величины
Равномерный закон распределения случайной величины

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

– ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

– ошибка не
превзошла 5 мм;

– ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3;
α=4; β=6

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10. Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11;
σ=0.2.

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

Источник

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, … , ∞ со следующими вероятностями:

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны:

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Значения функции Лапласа приведены в приложении. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x),

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическое ожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равен λ = 1 / m X = 1 / 100 = 0, 01 . Искомая вероятность

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2<X<0,2) = 0,8. Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание m равно 0 (систематические ошибки отсутствуют), то

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

7.1. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.

Ответ: 1,11.

7.2. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

7.3. Шкала рычажных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

7.4. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.

Ответ: 140 ч.

7.5. Сообщение передается последовательностью амплитудномодулированных импульсов с заданным шагом квантования ∆ (∆ – наименьшая разность амплитуд импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования, то при передаче сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования ∆ вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

Ответ: 3,4 σ.

7.6. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = ϕ(X). Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения xi, то величина Y будет принимать дискретные значения yi = ϕ(xi) с вероятностями

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Пример 8.1. Определить плотность вероятности величины Y = X2, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [–1, 2].

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Построим график величины Y = X2 для x в интервале [–1, 2] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Пример 8.2 Случайная величина X равномерно распределена от –1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X2.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

8.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .

8.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X – случайная равномерно распределенная величина со следующими характеристиками mx = 1, Dx = 1, и вычислить вероятность того, что р{1 ≤ Y < 2}.


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

8.3. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X – 0,2 .

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

8.4. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

Ошибка Х измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет (mx=0). Каким должно быть среднее квадратическое отклонение Qx ( сигма), чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ошибка измерения не превышала 20 микрометров по модулю?

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Всегда пожалуйста, только Вы забыли сообщить, какая помощь нужна. Видимо, кусок сообщения, где Вы рассказываете, как решали задачу и что не получается, куда-то потерялся.

К сожалению, я не могу написать ход решения, т к не понимаю, как можно сделать
Поэтому и обращаюсь за помощью к вам.
Знаю только что ответ должен получиться : Qx<12.2(мкм)
натолкните на умные мысли пожалуйста.

Всё просто: изучаете по учебнику, что такое нормальное распределение, как считаются вероятности для него, и задачка сразу решается.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок.doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также
промокод

на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что mx=0). Известно, что вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08. Пусть случайная величина X- это величина ошибки измерения. Предполагается, что случайная величина X нормально распределена, найти:
а) приближенное значение дисперсии;
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4;
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6.

А) Для случайной величины Х имеещей нормальный закон распределения с параметрами mx и σx справедливо:
Px-mx≤ε=Фε σx, где Фt=12π-∞xe- t22dt-функция Лапласа.
По условию задачи вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08
. Тогда вероятность противоположного события (вероятность того, что случайная величина Х не превышает по абсолютной величине 7, равна 1-0,08=0,92. Имеем:
Px-0≤7=Ф7 σx=0,92⇒7 σx≈5⇒ σx≈7 5=1,4.
Тогда искомая дисперсия приближенно равна: Dx=σx2≈1,96.
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4:
Px-0≤4=Ф4 1,4≈Ф2,857≈0,4979..
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6 найдем по формуле:
Pα≤Х≤β=Фβ-mxσx-Фα-mxσx.
P-4≤Х≤6=Ф61,4-Ф-41,4≈Ф4,286-Ф-2,857=
≈0,499997+0,4979≈0,998.
Ответ

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

Макеты страниц

Измерения всегда сопровождаются ошибками. Различают ошибки двух основных видов: систематические и случайные. Систематические ошибки имеют определенные причины, которые искажают измерение всегда в одном направлении и часто на постоянную величину. Они возникают за счет неисправности или плохой регулировки приборов, за счет ошибок в эталонах, из-за плохого выполнения технологии и т. д. Во многих случаях можно найти причины таких ошибок и устранить их.

Случайные ошибки неопределенны, и причина их неизвестна. Свое незнание причины ошибок мы обычно маскируем, говоря, что их порождает случай. А это просто означает, что их можно приписать большому количеству причин, действующих в любом направлении и создающих каждая свою погрешность. Такие случайные ошибки можно учитывать статистическими методами.

Существует еще одна категория ошибок, о которой будет кратко сказано в п. 9.1.27; это категория отдельных промахов, происходящих по однократной вине экспериментатора, например, если он по рассеянности один раз неправильно считает показания со шкалы измерительного прибора. В этом случае мы имеем дело с анормальным результатом измерения. Существует простое правилу, позволяющее исключить из таблицы результатов измерений ошибки этой категории.

Мы займемся в основном категорией случайных ошибок. Допустим, что имеется несколько в одинаковой степени надежных измерений физической величины, истинное значение которой равно Ошибки, соответствующие измерениям будут равны

Это чисто случайные ошибки.

Мы не знаем точного значения величины X и не можем определить ее на опыте, так как всякое измерение, сделанное для ее определения, искажается ошибкой. Обозначим через X наиболее вероятное значение величины

Рассмотрим величины

Величины называются отклонениями. Так как речь здесь идет только о случайных ошибках, то величины х и у могут быть а положительными, и отрицательными, а малые значения будут встречаться чаще, чем большие. Примем допущение, что эти величины, следуют нормальному закону распределения

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вычертим кривые Гаусса при двух различных значениях мерь; точности Легко заметить, что чем больше тем кривые острее, тем круче их склоны. Это означает, что чем больше параметр тем реже встречаются большие ошибки. Поэтому величину и называют мерой точности.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с вероятностью 0,8 они не превосходят по абсолютной величине 12 мм. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Используем нормальный закон и следующую формулу, таблицу значений функции Лапласа Ф(х):
px-a<δ=2Фδσ;
0.8=2Ф12σ;1.62=12σ;σ=7.407 мм.
Ответ: 7,407 мм.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что
Измерить и записать результат измерения активной мощности Р = U·I·cosφ, рассеиваемой на нагрузке Zнагр.;
—
Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра
Измеряется напряжение в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с параметрами: длительность импульсов τ, период
Измеряется напряжение переменного тока.
Дано.
Цифровой вольтметр:
— предел измерения Uк = 200 B;
— измеренное
Измеряется размер некоторой детали, затем из генеральной совокупности берется выборка объемом n=8. Зная, что
Измеряется электрическое сопротивление постоянному току (рисунок).
Получено:
UV =(5,00±0,50) мВ; Р=1
IA=(2,60±0,25) мА; Р=1
RV=
Записать результат измерения сопротивления
Измерительный канал включает в себя термометр сопротивления типа 150М и вторичный прибор со шкалой
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы расситан на ток и Iии напряжение Uи и имеет
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=15 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=100 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=7,5 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный прибор (ИП) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток IП и напряжение UП и имеет

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

Ответ: 1,11.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

Ответ: 140 ч.

Ответ: 3,4 σ.

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Макеты страниц

Это чисто случайные ошибки.

Рассмотрим величины

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Источник

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до

с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность

, где с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность

, где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина

называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение

, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности
обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности
вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки,
— это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2
. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях
значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна

мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна

кг/м 3 .

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины

используется формула

, (1)

где называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение

, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

2
. Оценка систематической (приборной) погрешности

мВ.

кг/м 3 .

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины

используется формула

, (1)

где — приборные ошибки прямых измерений величины , , — частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

Частные производные по переменным d

и
h
будут равны

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

где

приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Частные производные по переменным d

и
h
будут равны

где

приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса)
, выведенный из следующих эмпирических положений.

погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где

— функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки

, σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений.
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического , (2)

где

— функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки

, σ – средняя квадратичная ошибка.

, (3)

где , (3)

где — результат i
-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n

– число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде

Интервал значений от

до

, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом.
Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью,
или надежностью
измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины — среднее арифметическое полученных значений; n

– число измерений.

Интервал значений от

до

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента
, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n
.
С увеличением числа опытов n
распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n
, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х
будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх –
приборная погрешность, Δх
– случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=…
(7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений

рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх
= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04, а если Δх
=0,123, то пишем Δх
=0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (4)

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

, (6)

где δх –
приборная погрешность, Δх
– случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=…
(7)

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин

, можно использовать два способа.

Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется

, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i

. (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ
применяется, если данная функция y

определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y
.
Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y
.
Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности:
штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы:
ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

Наличие случайных погрешностей в результате при повторении измерений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений.

Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.

Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является закон распределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство результатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения:

где W
(D) – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений;

s – параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной величины измерения;

Математическое ожидание результатов наблюдений.

S – являются точечными оценками случайной погрешности.

При случайных погрешностях результат каждого измерения Х
i
будет отличаться от истинного значения Х0

измеряемой величины:

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

, можно использовать два способа.

, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i

. (9)

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

Математическое ожидание результатов наблюдений.

S – являются точечными оценками случайной погрешности.

(4.6)

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения (результата наблюдения).

Истинное значение Х0
неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных.

Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

(4.7)

где n – число измерений.

(4.7)

где n – число измерений.

(4.8)

где xi
– численный результат отдельного измерения;

n – число измерений.

Характер кривых, описываемых (4.5), показан на рисунке 4.1а для трёх значений s. Функция (4.5) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке D=0, а величина этого максимума . Как видно из рисунка 4.1, чем меньше s, тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

. Как видно из рисунка 4.1, чем меньше s, тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Рисунок 4.1

Вероятность появления погрешности в пределах между D1 и D2
определяется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б
, т.е. определённым интегралом от функции W
(D):

(4.9)

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов D1=–¥ и D2=+¥, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от –¥ до +¥ равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

(4.9)

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

(4.10)

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ±s. С вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах ±3s, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую ±3s. Это соотношение называется законом трёх сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десятков, то появление погрешности равной ±3s , маловероятно. Поэтому погрешность ±3s считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3s считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

(4.11)+D — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

где t
α(n) —
табулированный коэффициент распределения Стъюдента, который зависит от доверительной вероятности a и числа измерений n, значения которого можно найти в математических справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.

Случайные погрешности и критерии их оценки.

Случайная погрешность — это погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторном определении одной и той же физической величины с помощью одной и той же измерительной аппаратуры при неизменных внешних условиях. Случайные погрешности вызываются большим количеством факторов, воздействия которых столь незначительны, что их нельзя выделить и учесть в отдельности.

Случайные погрешности могут возникнуть из-за погрешности округления при отсчете показаний, нестабильности переходного сопротивления в контактах коммутирующих устройств, нестабильности напряжения источника питания, влияния электромагнитных полей пылинки, воздушные течения и других влияющих величин. Но истинное значение измеряемой величины заключено в интервале от минимального до максимального результатов измерения.

Случайную погрешность нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Но с помощью многократных наблюдений, а также используя методы теории вероятности и математической статистики, можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Это позволяет определить значение измеряемой величины со значительно меньшей погрешностью, чем погрешности отдельных измерений (наблюдений).

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии принято использовать, в основном, дифференциальную форму.

Дифференциальный закон распределения можно определить через построение гистограммы. Для этого необходимо произвести n независимых наблюдений. При этом каждое наблюдение, возможно, отличается от предыдущего, так как содержит случайную погрешность. Следует разбить интервал между наибольшим и наименьшим измеренными значениями на ряд равных интервалов шириной Δх. По результатам подсчетов строится график: на ось абсцисс наносятся значения результатов наблюдений и обозначаются границы интервалов, на ось ординат – относительная частота попаданий в интервал.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h —
к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей. При некоторых условиях, которые обычно выполняются при проведении измерений, эта кривая представляет собой график функции Гаусса (нормальное распределение), имеющей следующий вид:

(4.11)+D — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.

Случайные погрешности и критерии их оценки.

Основными числовыми характеристиками случайной погрешности являются математическое ожидание М(Δ), дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ .

Дисперсия, т.е. средняя квадратическая погрешность отдельного измерения применяется лишь для оценки точности применяемого метода измерений. А средняя арифметическая погрешность обозначает оценку отклонения среднего арифметического отклонения от истинного значения искомой величины.

Чем больше число опытов, тем ближе значение среднего арифметического отклонения к истинному значению искомой величины.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет взаданный интервал, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом доверия Р, а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погрешности – доверительным интервалом. Достоверность результата при данном количестве измерений можно увеличить, уменьшая его точность, т. е. расширяя доверительный интервал. Случайную погрешность рассчитывают по формуле

ε = ± t S(х), где ε – доверительные границы случайной погрешности результата измерений

t – коэффициент Стьюдента, определяемый по заданным значениям доверительной вероятности Р и числу измерений n.

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа: саму погрешность и доверительную вероятность, позволяющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров деталей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. При большинстве обычных измерений можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности.

Вывод
: случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений.

Реально даже воздействие ограниченного числа возмущений приводит к нормальному распределению результатов измерений и их погрешностей. В настоящее время наиболее полно разработан математический аппарат именно для случайных величин, имеющих нормальное распределение. Если же предположение о нормальности распределения отвергается, то статистическая обработка наблюдений существенно усложняется и в таком случае невозможно рекомендовать общую методику статистической обработки наблюдений. Часто даже не известно, какая характеристика распределения может служить оценкой истинного значения измеряемой величины.

Выше приведено аналитическое выражение нормального распределения для случайной измеряемой величины х
. Переход к нормальному распределению случайных погрешностей

осуществляется переносом центра распределений в и откладывания по оси абсцисс погрешности

Нормальное распределение характеризуется двумя парамет-рами: математическим ожиданием m
1
и средним квадратическим отклонением σ.

При многократных измерениях несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой m
1
для группы из n
наблюдений является среднее арифметическое и откладывания по оси абсцисс погрешности

При многократных измерениях несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой m
1
для группы из n
наблюдений является среднее арифметическое :

Нужно сказать, что среднее арифметическое дает оценку математического ожидания результата наблюдений и может быть оценкой истинного (действительного) значения

измеряемой величины только после исключения

систематических погрешностей.

Оценка S
среднего квадратического отклонения (СКО) дается формулой:

Эта оценка характеризует рассеяние

единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же величины около их среднего значения.

Другими оценками рассеяния результатов в ряду измерений являются размах

(разница между наибольшим и наименьшим значением), модуль средней арифметической погрешности

(арифметическая сумма погрешностей, деленная на число измерений) и доверительная граница погрешности (подробно рассматривается ниже).

СКО является наиболее удобной характеристикой погрешности в случае ее дальнейшего преобразования. Например, для нескольких некоррелированных слагаемых СКО суммы определяется по формуле:

Оценка S характеризует рассеяние единичных результатов наблюдений относительно среднего значения, то есть в случае, если мы за результат измерений примем отдельный исправленный результат наблюдений. Если же в качестве результата измерений принимается среднее арифметическое, то СКО этого среднего

определяется по формуле:

Нормальное распределение погрешностей имеет следующие свойства

:

симметричность,

т.е. погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто;

математическое ожидание случайной погрешности равно нулю;

малые погрешности более вероятны, чем большие;

чем меньше , тем меньше рассеяние результатов наблюдений и больше вероятность малых погрешностей.

Другим распространенным в метрологии распределением случайной величины является равномерное распределение

 распределение, при котором случайная величина принимает значения в пределах конечного интервала от х
1
до х
2
с постоянной плотностью вероятностей.

Дифференциальная функция равномерного распределения имеет вид:

f
(x
) = с
при х
1



x


х
2

f
(x
) = 0
при х
2



x


х
1

При нормировке площади кривой распределения на единицу, получаем, что с(х
2
– х
1
)
= 1 и с = 1/ (х
2
– х
1
).

авномерное распределение характеризуется математичес-ким ожиданием

, дисперсией

или СКО.

Кроме рассмотренных примеров распределений случайных величин существуют и другие важные для практического использования распределения дискретных случайных величин, например, биномиальное распределение и распределение Пуассона

. В настоящем курсе они не рассматриваются.

4.5.5 Доверительные интервалы

Приведенные выше оценки параметров распределения случайных величин в виде среднего арифметического для оценки математического ожидания и СКО для оценки дисперсии называются точечными оценками

, так как они выражаются одним числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов.

Симметричный интервал в границами ± Δх(Р)
называется доверительным интервалом

случайной погрешности с довери-тельной вероятностью Р
, если площадь кривой распределения между абсциссами –Δх
и +Δх
составляет Р
-ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке всей площади на единицу Р
представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от —

х(Р
) до +

х(Р
) с заданной вероятностью Р
встречаются Р
100% всех возможных значений случайной погрешности.

Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:

где коэффициент t
зависит от доверительной вероятности Р
.

Для нормального распределения существуют следующие соотношения между доверительными интервалами и доверительной вероятностью: 1 (Р=0,68), 2 (Р= 0,95), 3 (Р= 0,997), 4 (Р=0,999).

Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются равными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверитель-ные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо отметить, что точность измерений должна соответствовать поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность измерений может привести к принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.

При проведении многократных измерений величины х
, подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:

Доверительный интервал для погрешности 
х(Р
) позволяет построить доверительный интервал для истинного (действи-тельного) значения измеряемой величины

, оценкой которой является среднее арифметическое . Истинное значение измеряе-мой величины находится с доверительной вероятностью Р внутри интервала: . Доверительный интервал позволяет выяснить, насколько может измениться полученная в результате данной серии измерений оценка измеряемой величины при проведении повторной серии измерений в тех же условиях. Необходимо отметить, что доверительные интервалы строят для неслучайных величин

, значения которых неизвестны. Такими являются истинное значение измеряемой величины и средние квадратические отклонения. В то же время оценки этих величин, получаемые в результате обработки данных наблюдений, являются случайными величинами.

Недостатком доверительных интервалов при оценке случай-ных погрешностей является то, что при произвольно выбираемых доверительных вероятностях нельзя суммировать несколько погреш-ностей, т.к. доверительный интервал суммы не равен сумме довери-тельных интервалов.
Суммируются дисперсии независимых случай-ных величин:
D
 = D i .
То есть, для возможности суммирования составляющие случайной погрешности должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными погрешностя-ми.

4.6 Систематические погрешности

Обнаружение и исключение систематических погрешностей представляет собой сложную задачу, требующую глубокого анализа всей совокупности результатов наблюдений, используемых средств, методов и условий измерений. При этом необходимо отметить, что устранение систематических погрешностей осуществляется не путем математической обработки результатов наблюдений, а применением соответствующих методов измерений

. В частности, проведением измерений различными независимыми методами

или выполнением измерений с параллельным применением более точных средств измерений.

Существуют некоторые специальные приемы проведения измерений

, которые позволяют исключить части систематических погрешностей:

Исключение

самого источника погрешностей.

Замещение

измеряемой величины равновеликой ей известной величиной так, чтобы при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходило никаких изменений. Таким путем может быть исключена погрешность компаратора.

Компенсация

погрешности по знаку путем проведения измерений в прямом и обратных направлениях одним и тем же прибором. Например, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа от нее и вычисляя среднее значение.

Наблюдения через период

изменения влияющей величины. Это позволяет исключить погрешности, изменяющиеся по периодическому закону.

Измерения одной величины несколькими независимыми методами

с последующим вычислением среднего взвешенного значения измеряемой величины.

Измерения одной величины несколькими приборами

с последующим вычислением среднего арифметического из показаний всех приборов.

Систематические погрешности устраняются путем введения поправок,

которые находятся разными путями и представляют собой значения абсолютных погрешностей, которые вычитаются из результата измерений. Так, инструментальные составляющие систематической погрешности находят по результатам поверки

средств измерений.

Поправки для учета влияющих величин

вычисляют с использованием известных функций или коэффициентов влияния

по результатам вспомогательных измерений этих величин. Но введение поправок не исключает полностью систематические погрешности, так как остаются, например, погрешности определения поправок. Эти неисключенные части представляют собой неисключенные остатки систематических погрешностей (НСП).

Так как полностью исключить систематические погрешности невозможно, то возникает задача оценивания границ или других параметров этих погрешностей. Как правило, систематическая погрешность результата измерения оценивается по ее состав-ляющим

. Эти составляющие бывают либо известны заранее, либо могут быть определены с помощью вспомогательных данных, например, вычислены для каждой из влияющих величин. В качестве их могут выступать и погрешности определения поправок. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется границей

каждой ее составляющей.

В связи с этим возникает задача суммирования

составляю-щих систематической погрешности. При этом составляющие должны рассматриваться как случайные величины и суммироваться методами теории вероятностей, что предполагает знание функции распределения этих составляющих. Однако, закон распределения элементарных составляющих погрешности, как правило, неизвестен. Поэтому при суммировании руководствуются следующим практи-ческим правилом

, основанном на здравом смысле и интуиции:

если известна оценка границ погрешности, то ее распределение следует считать равномерным;

если же известна оценка СКО погрешности, распределение следует считать нормальным

.

Применение этого правила позволяет статистически суммировать составляющие систематической погрешности. В соответствии с ним при отсутствии дополнительной информации неисключенные остатки систематической погрешности рассматриваются как случайные величины, имеющие равномерное распределение

.

Границы неисключенной систематической погрешности


при числе слагаемых большим или равным 4 вычисляются по формуле:

где .

Оценка S
среднего квадратического отклонения (СКО) дается формулой:

определяется по формуле:

Нормальное распределение погрешностей имеет следующие свойства

:

математическое ожидание случайной погрешности равно нулю;

малые погрешности более вероятны, чем большие;

чем меньше , тем меньше рассеяние результатов наблюдений и больше вероятность малых погрешностей.

Дифференциальная функция равномерного распределения имеет вид:

f
(x
) = с
при х
1



x


х
2

f
(x
) = 0
при х
2



x


х
1

При нормировке площади кривой распределения на единицу, получаем, что с(х
2
– х
1
)
= 1 и с = 1/ (х
2
– х
1
).

авномерное распределение характеризуется математичес-ким ожиданием

, дисперсией

или СКО.

4.5.5 Доверительные интервалы

Приведенные выше оценки параметров распределения случайных величин в виде среднего арифметического для оценки математического ожидания и СКО для оценки дисперсии называются точечными оценками

, так как они выражаются одним числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов.

Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:

где коэффициент t
зависит от доверительной вероятности Р
.

Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются равными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверитель-ные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо отметить, что точность измерений должна соответствовать поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность измерений может привести к принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.

При проведении многократных измерений величины х
, подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:

4.6 Систематические погрешности

Исключение

самого источника погрешностей.

если известна оценка границ погрешности, то ее распределение следует считать равномерным;

если же известна оценка СКО погрешности, распределение следует считать нормальным

.

где — граница i
-ой составляющей погрешности; k
— коэффициент, определяемый доверительной вероятностью. При Р
= 0,95 k
= 1.1, при Р
= 0,99 k
= 1,4.

При числе слагаемых меньших или равных 3 значения суммируются арифметически по модулю. Если же суммировать НСП арифметически при любом числе слагаемых, то полученная оценка будет хотя и надежной, но завышенной.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности.

4.7 Методы обработки результатов прямых измерений

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.

За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое

данных n

наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i
–го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.

Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат
наблюдения
иногда применяют термин результат отдельного измерения
, из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.

При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции

:

Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x
.

Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей

– нет ли значений

, которые выходят за пределы 3S
. При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения

Проверить наличие грубых погрешностей

– нет ли значений

арифметического)

Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

Вычислить доверительные границы  случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где t
q
— коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n
= 14, P
= 0,95 t
q
= 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

Если

, то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата 
=

..
Если

 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата 
=
Θ.
Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле:

, где К
– коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S

— оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

Доверительная вероятность для вычисления

Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Если

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.

Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.

9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.

первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где

где – результат измерения.

Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.

4.8 Однократные измерения

В технике большинство измерений являются однократ-ными

, т.е. для получения результата измерения используется одно показание прибора. К такому виду относятся, например, измерения при проведении индивидуального дозиметрического контроля, при которых часто используется один детектор. Результат однократного измерения включает в себя все присущие ему погрешности (инструментальную, методическую, субъективную), в каждой из которых могут быть как систематические, так и случайные составляющие. Если при этом необходимо точно

оценить погрешность результата измерений, то следует выявить и оценить все составляющие погрешностей и просуммировать их.

Случайная составляющая погрешности не может быть рассчитана по результатам измерения, хотя она неявно присутствует в нем. В качестве оценки случайной составляющей погрешности

может быть использован, например, коэффициент вариации

, определяемый предварительно в процессе многократных измерений при изучении воспроизводимости показаний данного прибора. Коэффициент вариации находится как отношение оценки среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому показа-ний прибора при многократных измерениях. В некоторых случаях случайная погрешность может определяться доверительными границами.

Оценку систематических погрешностей

можно получить по характеристикам используемого прибора (по паспортным данным или из свидетельства о поверке) и метода измерения (путем его анализа). Из документации на прибор можно оценить и учесть дополнительные систематические погрешности.

Основные этапы

оценки погрешности при однократных измерениях с точным оцениванием погрешности следующие:

Учитывается систематическая погрешность прибора.

Оценивается систематическая погрешность метода измерений.

Оцениваются по документации на прибор дополнительные систематические погрешности, обусловленные влияющими величинами.

Из отсчета прибора исключаются все известные система-тические погрешности (в соответствии с пп. 1, 2, 3) и опреде-ляется исправленный результат измерения, который содержит НСП и случайные составляющие погрешности.

Оцениваются границы  i составляющих НСП, распределение которых принимается равномерным. Ими могут быть, например, погрешности эталонов при поверке СИ, погрешности поправок и т.п. После этого определяются границы  суммарной НСП по приведенным выше формулам.

Предварительно перед использованием прибора определяется коэффициент вариации  оценка случайной погрешности, которая используется при последующих однократных измерениях с прибором.

Сопоставляются оценки НСП и случайной погрешности по критериям предыдущего раздела и при возможности пренебрежения какой-либо из них определяются границы погрешности результата 
.

Если необходимо учитывать обе составляющие, то в качестве границы погрешности результата измерения 
принимается суммарная средняя квадратическая погрешность S

,
, вычисляемая по формуле раздела 4.7 с определением СКО результата измерений и полуэмпирического коэффициента К. Для исключения грубых погрешностей однократное измерение следует повторять 2-3 раза и за результат принимать среднее арифметическое.

На практике часто встречаются измерения, для которых нет необходимости точно оценивать погрешность. В таких измерениях в качестве результата принимают значение отсчета х
, а для оценивания погрешности измерения используются предел допускаемой основной погрешности прибора 
О самообследовании основной образовательной программы по
стандартизации
, метрологии и сертификации
постановляет: 1. Принять Общероссийский… N 181-ст 10358 4 Аппаратчик мокрой
классификации 3 — 4 24 8159 … 20321 2 Биолог 2 2211 20324 6 Биофизик
2 2212 20327 5 Биохимик 2 2212 …

Учебное пособие

Человека “Дубна” Кафедра “Биофизика
” Мокров
Ю.В. МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ
И СЕРТИФИКАЦИЯ
Учебное пособие Дубна, 2007 … ТЕХНИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ Система нормирования в области стандартизации
и сертификации
продукции, процессов производства и услуг…

3. СЛУЧАЙНЫЕ
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.

3.1. Понятие
случайной погрешности.

При
проведении повторных измерений постоянной
физической величины в одинаковых
условиях получают результаты измерений,
некоторые из которых иногда совпадают
друг с другом, но зачастую большинство
из них хотя бы незначительно отличаются
друг от друга. Причем, расхождения в
результатах измерений оказываются
хаотическими и не носят систематический
характер, что позволяет предположить
наличие в результатах измерений случайных
погрешностей. Основой таких предположений
является следующее:

а) погрешность
измерения возникает в результате
одновременного воздействия на процесс
измерения (объект измерения, средства
измерений, оператора, выполняющего
измерения, и т.д.) нескольких (многих)
источников возмущений. Каждый из
источников сам по себе может оказывать
на результат измерения незначительное,
незаметное влияние; но суммарное
воздействие всех (или нескольких)
источников может оказаться ощутимым и
привести к заметному отклонению его от
истинного значения измеряемой физической
величины;

б) в
любой момент времени указанные источники
проявляют себя по разному, действуют
независимо друг от друга, без закономерной
связи между собой. Такой характер их
воздействий приводит к тому, что заметные
расхождения в результатах отдельных
измерений оказываются различными по
размеру и знаку, изменяются хаотически
без закономерной связи с предыдущими
и последующими, вследствие чего не
поддаются непосредственному учету.

Сказанное
выше и дает основание говорить о наличии
случайных погрешностей в результатах
измерений.

Теория
вероятностей дает математические методы
изучения свойств случайных событий в
больших совокупностях. Развитие
метрологии и измерительной техники
показало, что математический аппарат
теории вероятностей и математической
статистики полностью соответствует
задаче изучения случайных погрешностей
измерений; во многих случаях получаемые
с его помощью результаты хорошо
согласуются с опытными данными измерений.
Поэтому он является теоретической
основой изучения и анализа случайных
погрешностей.

Теория
вероятностей называет случайным такое
событие, которое при осуществлении
определенного комплекса условий может
произойти или не произойти. Применяя
это определение к области измерений
можно сказать, что при проведении
повторных наблюдений некоторой физической
величины в одинаковых условиях каждая
из возможных незначительных причин
случайных изменений результатов может
или появиться или не появиться. Как
следствие, погрешности оказываются
непредсказуемыми как по размеру, так и
по знаку. Они определяются сложной
совокупностью причин, трудно поддающихся
анализу.

Исходя
из сказанного выше, можно дать следующее
определение.

Случайные
погрешности, это погрешности:
а) изменяющиеся от измерения к
измерению; б) не поддающиеся
непосредственному учету вследствие их
хаотического изменения; в) обусловлены
они одновременным воздействием на
результат измерения ряда различных,
независимых друг от друга факторов.

Присутствие
случайных погрешностей, в отличие от
систематических, легко обнаруживается
при повторных измерениях в виде некоторого
разброса результатов измерений.

Таким
образом, результат измерений может
содержать два вида погрешностей —
систематические и случайные (в том числе
— грубые погрешности или промахи). Оба
вида погрешностей могут проявляться
одновременно в результате измерения и
погрешность измерения можно представить
в виде суммы (а точнее, объединения) двух
составляющих:

где
 S
— систематическая,

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

4.8 Однократные измерения

Учитывается систематическая погрешность прибора.

Оценивается систематическая погрешность метода измерений.

№ измерения

Учебное пособие

3. СЛУЧАЙНЫЕ
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.

3.1. Понятие
случайной погрешности.

Сказанное
выше и дает основание говорить о наличии
случайных погрешностей в результатах
измерений.

Исходя
из сказанного выше, можно дать следующее
определение.

где
 S
— систематическая,
— случайная погрешность.

Случайные
погрешности наиболее полно могут быть
описаны с помощью закона распределения,
в частности — интегральной или
дифференциальной функции распределения
вероятностей. Случайные погрешности
относятся к непрерывным случайным
величинам, т.е. они могут принимать
нечетное множество значений. Когда
говорят о появлении тех или иных случайных
погрешностей, имеют в виду вероятность
того, что погрешность либо меньше
некоторого значения  1

P( 1)=F( 1),

либо
лежит в интервале значений  1
…  2

P( 1  2)=F( 2)–F( 1)/

Функция
распределения F()
является универсальным способом описания
поведения случайных погрешностей.
Однако для ее определения требуется
проведение кропотливых и обширных
экспериментальных и вычислительных
работ. К такому способу описания случайных
погрешностей в метрологии прибегают
только при исследовании принципиально
новых СИ.

В
технических измерениях задача обработки
результатов измерений формулируется
следующим образом: а) необходимо
определить путем статистической
обработки полученного экспериментально
ряда результатов наблюдений, который
редко бывает большим, оценки параметров
функции распределения ряда; б) вид
функции распределения ряда,
как
правило, считается известным из некоторых
практических соображений (обычно —
нормальное распределение); в) при
обработке достаточно получить оценку
мат. ожидания (оценку истинного значения
ФВ) и оценку разброса (дисперсии),
характеризующую плотность группировки
результатов наблюдений вокруг мат.
ожидания (числовую характеристику
случайной погрешности).

3.2. Нормальное
распределение случайных погрешностей.
Параметры
распределения.

Большинство
встречающихся на практике случайных
величин распределено по нормальному
закону (закону Гаусса). К числу таких
случайных величин относится большая
часть случайных погрешностей измерений.
Плотность нормального распределения
для случайной величины Х описывается
уравнением:

где:
m x =М[Х]
—
математическое ожидание случайной
величины;
—
дисперсия.

Нормальное
распределение случайной величины Х
полностью задается двумя характеристиками
—
m x
и  2 ,
которые называют параметрами нормального
распределения.

Математическое
ожидание случайной величины —
это наиболее вероятное ее значение,
т.е.
такое значение вокруг которого
группируются результаты отдельных
наблюдений. Если наблюдается нормальное
распределение случайных погрешностей
измерений, то их математическое ожидание
равно нулю. Если же рассматривать
нормальное распределение результатов
наблюдений, то их математическое ожидание
соответствует истинному значению
измеряемой физической величины. Последнее
справедливо в случае, если систематические
погрешности полностью исключены.

Мерой
рассеяния значений случайной погрешности
,

где:
m x =М[Х]
—
математическое ожидание случайной
величины;
—
дисперсия.

Мерой
рассеяния значений случайной погрешности
служит дисперсия

,
которая для случайной непрерывной
величины (случайной погрешности,
которая для случайной непрерывной
величины (случайной погрешности),
как известно, определяется выражением:

где
,

где
-функция
плотности вероятности случайной
погрешности.

Дисперсия
имеет размерность квадрата измеряемой
физической величины, поэтому с точки
зрения размерности она не совсем удобна
в качестве характеристики рассеивания
(а значит и случайной
погрешности).
На практике в качестве последней чаще
используют положительное значение
корня квадратного из дисперсии — среднее
квадратическое отклонение (СКО)
результатов наблюдений:

СКО
соответствует характерной точке
нормального распределения: вероятность
того, что случайная погрешность измерения
не выйдет за пределы 
составляет

т.е.
вероятность попадания случайной
погрешности в интервал с границами 
в два раза больше, чем вне этого интервала.

Нормальное
распределение следует рассматривать
как теоретическую основу для изучения
случайных погрешностей и их влияния на
результат измерения. Широкое применение
нормального распределения в практике
измерений объясняется центральной
предельной теоремой теории вероятностей.
Она утверждает, что распределение
случайных погрешностей будет близко к
нормальному всякий раз, когда результаты
наблюдений формируются под воздействием
большого числа независимых факторов,
каждый из которых оказывает лишь
незначительное влияние по сравнению с
суммарным влиянием всех остальных
(формулировка теоремы дана в применении
к случайным погрешностям).

Иногда
в практике измерений используется
равномерное распределение, описываемое:

Для
него

3.3. Точечные
оценки истинного значения ФВ и СКО,
получаемые
на основании ограниченного
ряда наблюдений.

Повторив
несколько раз наблюдения, мы получим
ряд числовых значений измеряемой
величины. Эти значения большей частью
отличаются одно от другого, но если
измерения проводились в одинаковых
условиях и с одинаковой тщательностью,
то все заслуживают одинакового доверия.
Возникает вопрос, как на основании
полученной в эксперименте группы
результатов наблюдений оценить истинное
значение измеряемой ФВ, т.е. как получить
результат измерения, и как оценить его
точность, т.е. меру приближения к истинному
значению. Эта задача является частным
случаем задачи нахождения статистических
оценок параметров функции распределения
случайной величины на основании выборки
— ряда значений, полученных в n

независимых опытах. Поскольку результаты
наблюдений обычно распределены нормально,
то оцениваемыми параметрами, как правило,
являются МО и СКО, которые входят в
выражения для дифференциальных функций
нормального распределения случайных
погрешностей и результатов наблюдений.

При
обработке результатов наблюдений
желательно получать оценку «параметра»,
которая выражается одним числом. Такую
оценку называют точечной. Любая точечная
оценка, полученная на основании опытных
данных, является их функцией и представляет
собой случайную величину, распределение
которой зависит от распределения
исходной случайной величины (результатов
наблюдений) и числа опытов n
.
К точечным оценкам предъявляется ряд
требований, определяющих их пригодность
для описания параметров:

Оценка
должна быть состоятельной, т.е. при
увеличении n

она должна приближаться к значению
оцениваемого параметра:

(гдеА –
оцениваемый параметр,
.

Иногда
в практике измерений используется
равномерное распределение, описываемое:

Для
него

3.3. Точечные
оценки истинного значения ФВ и СКО,
получаемые
на основании ограниченного
ряда наблюдений.

(гдеА –
оцениваемый параметр,
— оценка параметра);

Оценка
должна быть несмещенной, т.е. ее МО должно
быть равно оцениваемому
параметру:
М[]=А;

Оценка
должна быть эффективной, т.е. ее дисперсия
должна быть меньше дисперсии любой
другой оценки данного параметра (т.е.
минимальна): D[]=А;

Оценка
должна быть эффективной, т.е. ее дисперсия
должна быть меньше дисперсии любой
другой оценки данного параметра (т.е.
минимальна): D[]=min
.

Существуют
несколько методов определения оценок.
Наиболее распространен метод максимального
правдоподобия, теоретически обоснованный
математиком Р.
Фишером.
Получаемые с помощью этого метода оценки
называют оценками максимального
правдоподобия. Основное достоинство
оценок максимального правдоподобия
заключается в том, что они являются
асимптотически (при n)
несмещенными,
асимптотически эффективными, асимптотически
нормально распределенными.

Для
наиболее часто встречающегося на
практике нормального распределения
результатов наблюдений оценкой
максимального правдоподобия для
истинного значения ФВ (т.е. для мат.ожидания)
является среднее арифметическое
результатов отдельных наблюдений, а
оценкой дисперсии — среднее значение
квадратов отклонений результатов
наблюдений от среднего арифметического:

;

Оценка
СКО результатов наблюдений определяется
следующим образом:

и
характеризует в среднем точность любого
отдельного результата наблюдения в
серии результатов.

*Среднее
значение бесконечно большого числа
наблюдений (n)
стремится к истинному значению измеряемой
ФВ. Практически среднее значение, как
правило, определяется на основании
конечного числа наблюдений. Поэтому
оно отличается от истинного значения
ФВ на величину

,
которая является случайной погрешностью
среднего значения:

При
увеличении числа наблюдений значение
погрешности среднего арифметического
уменьшается и при n

погрешность

В
мат. статистике установлено, что:

а) случайные
погрешности средних значений подчиняются
нормальному закону распределения
вероятностей, если случайные погрешности
результатов отдельных наблюдений
распределены нормально. Т.е. если
результаты наблюдений распределены
нормально, то и средние значения
результатов наблюдений распределены
нормально;

б) дисперсия
средних значений результатов наблюдений
меньше дисперсии результатов отдельных
наблюдений.

При
этом теория вероятностей даёт следующее
соотношение между дисперсией результатов
наблюдений
;

Оценка
СКО результатов наблюдений определяется
следующим образом:

и
характеризует в среднем точность любого
отдельного результата наблюдения в
серии результатов.

,
которая является случайной погрешностью
среднего значения:

В
мат. статистике установлено, что:

б) дисперсия
средних значений результатов наблюдений
меньше дисперсии результатов отдельных
наблюдений.

При
этом теория вероятностей даёт следующее
соотношение между дисперсией результатов
наблюдений
и дисперсией средних значений результатов
наблюдений

n

— число наблюдений.

Для
средних квадратических отклонений
справедливо следующее соотношение:

где
σ – СКО результатов наблюдений; σ(:

n

— число наблюдений.

Для
средних квадратических отклонений
справедливо следующее соотношение:

где
σ – СКО результатов наблюдений; σ()
– СКО среднего значения (СКО результата
измерения).

Для
статистических оценок СКО получаем:

Вывод:
СКО результата измерения σ(и

Вывод:
СКО результата измерения σ()
при увеличении числа наблюдений в «n
»
раз теоретически уменьшается в

раз.

Таким
образом, СКО среднего из «n
»
наблюдений в

раз меньше СКО результатов наблюдений.
Иными словами, если за результат измерения
принять результат единичного наблюдения,
то случайную погрешность такой оценки
будет характеризовать СКО «σ», а если
усреднить результаты наблюдений и
принять среднее по «n
»
наблюдениям за оценку измеряемой
величины, то случайную погрешность
такой оценки будет характеризовать СКО
«σ(раз.

Таким
образом, СКО среднего из «n
»
наблюдений в

раз меньшее.

Вывод:
хоть исключить случайные погрешности
совсем нельзя, можно уменьшить их влияние
на результат измерения. Для этого
необходимо выполнить серию наблюдений;
причем, чем меньшее значение погрешности
допустимо оставить неисключенной, тем
больше должна быть эта серия. Однако
необходимо четко понимать, что если
случайная погрешность, полученная для
серии наблюдений, окажется значительно
меньше погрешности, определяемой классом
точности прибора (т.е. инструментальной),
нет смысла еще уменьшать значение
случайной составляющей погрешности:
все равно результат измерений не станет
от этого точнее. Если же случайная
погрешность больше инструментальной,
следует произвести ряд (серию) наблюдений,
чтобы уменьшить случайную погрешность
и сделать ее меньше или хотя бы одного
порядка с погрешностью прибора.

Итог
измерений с помощью точечных оценок
записывается в виде:

Что
уже позволяет сделать выводы относительно
точности измерений.

3.4. Оценка
результатов измерений с помощью
интервалов.

Представление
результата измерения с использованием
точечных оценок является
не единственным способом записи итога
измерений. Его целесообразно применять,
если полученный результат многократного
измерения планируется использовать
для последующих расчетов или для
сравнения с другими результатами
измерений. Если же результат измерения
окончателен, его целесообразно
предоставлять в виде интервальной
оценки, которую характеризует размер
доверительного интервала, накрывающий
действительное значение измеряемой
величины с заданной (доверительной)
вероятностью Р.

В
теории вероятностей отмечается, что
смысл оценки параметров функции
распределения с помощью интервалов
заключается в нахождении размеров
интервалов, называемых доверительными,
в пределах которых с определенными
(доверительными) вероятностями находятся
истинные значения оцениваемых параметров
функции распределения.

Ранее,
говоря о характеристиках нормального
распределения, мы отмечали, что вероятность
появления случайной погрешности, не
превышающей значения ±,
равна 2/3. В этом случае +
и –
следует рассматривать как границы
интервала, в пределах которого с
вероятностью Р=2/3 лежат значения случайных
погрешностей, а значит и истинное
значение измеряемой ФВ. Заданными могут
быть любые границы интервала; следовательно,
необходимо определить соответствующую
им вероятность. Может решаться и обратная
задача: по заданной вероятности определить
границы доверительного интервала.

Доверительный
интервал (рано, как мат. ожидание и
дисперсия или СКО) — величина неслучайная
и его ширину можно рассматривать в
качестве допустимого значения погрешности
измерения величины Х с доверительной
вероятностью Р. Ясно, что чем больше
размер (ширина) доверительного интервала,
тем с большей вероятностью попадает в
него истинное значение измеряемой ФB —
это с одной стороны. С другой стороны,
чем больше разброс результатов наблюдений,
характеризуемый дисперсией, тем меньше
доверительная вероятность при одном и
том же размере доверительного интервала.
Эти два принципиальных положения
положены в основу определения ширины
доверительных интервалов.

Предположим,
что распределение результатов наблюдений
нормально, известно СКО результатов
наблюдений ,
систематические погрешности из
результатов
наблюдений исключены, т.е. погрешность
результата измерения определяет только
случайная составляющая. В теории
вероятностей доказано, что этом случае:

P[(X–t p )Q(X+t p )]=2Ф(t p)
– 1.

Это
означает, что истинное значение измеряемой
ФВ с доверительной вероятностью P,
равной (2Ф(t p)–1),
находится между границами доверительного
интервала [(X–t p );
(X+t p )],
где Ф(t p)
— некоторое значение интегральной
функции нормированного нормального
распределения; Х — результат любого из
наблюдений.

Половина
ширины доверительного интервала —
 = t p 
— называется доверительной границей
случайного отклонения результатов
наблюдений, соответствующей доверительной
вероятности Р. Для нахождения значения
«»
при заданной доверительной вероятности
Р по таблицам находят значение коэффициента
Стьюдента t p ,
как функцию доверительной вероятности
Р, и рассчитывают доверительное отклонение
 = t p 
при известном значении СКО .

Проведение
измерений с многократными наблюдениями
позволяет значительно сократить ширину
доверительного интервала. Действительно,
если результаты наблюдений x
i
(i=1,
2, 3,
…,
n)
распределены нормально, то распределены
нормально величины «x
i /n»
и среднее арифметическое
раз меньшее.

Итог
измерений с помощью точечных оценок
записывается в виде:

Что
уже позволяет сделать выводы относительно
точности измерений.

3.4. Оценка
результатов измерений с помощью
интервалов.

P[(X–t p )Q(X+t p )]=2Ф(t p)
– 1.

P[(–t p ) Q  (+t p )]=2Ф(t p)–1.

где

—
СКО среднего арифметического, а
коэффициента Стьюдента t p
определяется заданной доверительной
вероятностью Р.

Полученный
доверительный интервал [(–t p );
(+t p )],
построенный с помощью среднего
арифметического из n

независимых повторных наблюдений, в

раз короче доверительного интервала,
вычисленного по результату одного
наблюдения, хотя доверительная вероятность
для них одинакова. Это говорит о том,
что сходимость измерений и их точность
растет пропорционально корню квадратному
из числа наблюдений.

Половина
ширины этого интервала

называется
доверительной границей погрешности
результата измерений.

Итог
измерений с помощью интервалов
записывается в следующем виде:

….

Запись
результата измерений с помощью
интервальных оценок ясно указывает,
что итог измерений не есть одно
определенное число; в результате
измерений мы получаем «полосу значений
измеряемой величины» с несколько
расплывчатыми границами, определяемыми
принятой доверительной вероятностью.

3.5 Оценка
результатов при малом числе наблюдений
«n»
и неизвестной дисперсии
«».

Вычисляемая
по отклонениям от среднего арифметического
оценка СКО «S» является лишь приближенным
значением истинного СКО «

»,
т.е. некоторым приближением к нему.
Определение размера доверительного
интервала по заданной доверительной
вероятности «Р» и оценке СКО «S» (или
наоборот — доверительной вероятности
«Р» для заданного размера доверительного
интервала) оказывается тем менее
надежным, чем меньше число наблюдений
в серии. Стьюдент указал на возможность
при малом числе наблюдений определять
доверительную вероятность (или размер
доверительного интервала) для среднего
арифметического в тех случаях, когда
неизвестно значение истинного СКО «»,
а известна оценка СКО «S». В этом случае
значение коэффициента Стьюдента t р
следует определять в зависимости от
числа наблюдений «n
»
и принятой доверительной вероятности
«Р». Для практического применения служат
специальные таблицы, где даны значения
t р
для различных «Р» и «n
»
(иногда в таблице вместо доверительной
вероятности «Р» указывается «уровень
значимости», равный «1-Р»).

Приклад
1.

Електронним
вольтметром на діапазоні (0,2…2) В
виконано багаторазове вимірювання
відомої е.р.с. джерела опорної напруги
Е 0 =
1,260 В. Шляхом подальшої статистичної
обробки отриманих результатів потрібно:

1) оцінити
результат багаторазового вимірювання
(—
СКО среднего арифметического, а
коэффициента Стьюдента t p
определяется заданной доверительной
вероятностью Р.

Половина
ширины этого интервала

называется
доверительной границей погрешности
результата измерений.

Итог
измерений с помощью интервалов
записывается в следующем виде:

….

3.5 Оценка
результатов при малом числе наблюдений
«n»
и неизвестной дисперсии
«».

Приклад
1.

1) оцінити
результат багаторазового вимірювання
();
у якості результатів спостережень
застосувати наступні (грубі похибки з
результатів спостережень виключені):

2) визначити
поправку, яку слід внести в результати
вимірювання – П u
;

3) оцінити
середнє квадратичне відхилення (СКВ)
випадкового розсіювання результатів
спостережень –
та СКВ результату багаторазового
вимірювання (середнього арифметичного
результатів спостережень) —

;

4) оцінити
інструментальну складову похибки
вимірювання (абсолютну), обумовлену
класом точності застосованого вольтметру
–

;межу відносної похибки
вольтметру, що припускається, визначити
(у відсотках) за формулою:

;

5) оцінити
довірчу межу абсолютної невиключеної
систематичної похибки (НСП) результату
вимірювання —

;

6) оцінити
підсумкову похибку результату
багаторазового вимірювання з урахуванням
обох складових – випадкової та НСП.

Розв’язання
прикладу.

1) Результат
багаторазового вимірювання визначаємо
за наступною формулою, вважаючи розподіл
результатів спостережень нормальним:

В.

2) Визначаємо
різницю результату вимірювання
та СКВ результату багаторазового
вимірювання (середнього арифметичного
результатів спостережень) —

;

;межу відносної похибки
вольтметру, що припускається, визначити
(у відсотках) за формулою:

;

5) оцінити
довірчу межу абсолютної невиключеної
систематичної похибки (НСП) результату
вимірювання —

;

Розв’язання
прикладу.

В.

2) Визначаємо
різницю результату вимірювання

та напруги Е 0 ;
цю різницю за певних умов (дивись далі)
можна вважати систематичною складовою
похибки результатів спостережень.

Loading…