Накопление ошибок в системе слово

«Джеймс Ризон в книге «Человеческие ошибки» (James Reason. Human Error, 1990) писал, что ошибки имеют свойство накапливаться. […] … ошибки организации приводят к ошибкам в контроле, которые ведут к ещё большему количеству ошибок. Каждая ошибка делает в системе дыру наподобие дырки в швейцарском сыре (кучу дырок), так что человеческие ошибки приводят в конце концов к несчастному случаю. Ризон приводит в пример катастрофы на атомных электростанциях».

Сьюзан Уэйшенк, 100 главных принципов дизайна, СПб, «Питер», 2012 г., с. 233.

Джеймс Ризон был далеко не первым, кто написал о накоплении ошибок, но его модель стала относительно популярной, возможно, из-за наглядности образа – дырок в швейцарском сыре…

Ответы

при численном решении алгебраических уравнений — суммарное влияние округлений, сделанных на отдельных шагах вычислительного процесса, на точность полученного решения линейной алгебраич. системы. Наиболее распространенным способом априорной оценки суммарного влияния ошибок округления в численных методах линейной алгебры является схема т. н. обратного анализа. В применении к решению системы линейных алгебраич. уравнений

схема обратного анализа заключается в следующем. Вычисленное прямым методом Мрешение хуи не удовлетворяет (1), но может быть представлено как точное решение возмущенной системы

Качество прямого метода оценивается по наилучшей априорной оценке, к-рую можно дать для норм матрицы и вектора . Такие «наилучшие»и наз. соответственно матрицей и вектором эквивалентного возмущения для метода М.

Если оценки для и имеются, то теоретически ошибка приближенного решения может быть оценена неравенством

Здесь — число обусловленности матрицы А, а матричная норма в (3) предполагается подчиненной векторной норме

В действительности оценка для редко бывает известна, и основной смысл (2) состоит в возможности сравнения качества различных методов. Ниже приводится вид нек-рых типичных оценок для матрицы Для методов с ортогональными преобразованиями и арифметики с плавающей запятой (в системе (1) Аи bсчитаются действительными)

В этой оценке — относительная точность арифметич. операций в ЭВМ,— евклидова матричная норма, f(n) — функция вида , где п- порядок системы. Точные значения константы Си показателя kопределяются такими деталями вычислительного процесса, как способ округления, использование операции накопления скалярных произведений и т. д. Наиболее часто k=1 или 3/2.

В случае методов типа Гаусса в правую часть оценки (4) входит еще множитель , отражающий возможность роста элементов матрицы Ана промежуточных шагах метода по сравнению с первоначальным уровнем (такой рост отсутствует в ортогональных методах). Чтобы уменьшить значение , применяют различные способы выбора ведущего элемента, препятствующие возрастанию элементов матрицы.

Для квадратного корня метода, к-рый применяется обычно в случае положительно определенной матрицы А, получена наиболее сильная оценка

Существуют прямые методы (Жордана, окаймления, сопряженных градиентов), для к-рых непосредственное применение схемы обратного анализа не приводит к эффективным оценкам. В этих случаях при исследовании Н. п. применяются и иные соображения (см. [6] — [9]).

Лит.:[1] Givens W., «TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL», 1954, № 1574; [2] Wilkinson J. H., Rounding errors in algebraic processes, L., 1963; [3] Уилкинсон Д ж. <Х., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М., 1970; [4] Воеводин В. В., Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры, М., 1969; [5] его же, Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [6] Peters G., Wilkinsоn J. H., «Communs Assoc. Comput. Math.», 1975, v. 18, № 1, p. 20-24; [7] Вrоуden C. G., «J. Inst. Math, and Appl.», 1974, v. 14, № 2, p. 131-40; [8] Reid J. К., в кн.: Large Sparse Sets of Linear Equations, L.- N. Y., 1971, p. 231 — 254; [9] Икрамов Х. Д., «Ж. вычисл. матем. и матем. физики», 1978, т. 18, № 3, с. 531-45.

X. Д. Икрамов.

Н. п. округления или погрешности метода возникает при решении задач, где решение является результатом большого числа последовательно выполняемых арифметич. операций.

Значительная часть таких задач связана с решением алгебраич. задач, линейных или нелинейных (см. выше). В свою очередь среди алгебраич. задач наиболее распространены задачи, возникающие при аппроксимации дифференциальных уравнений. Этим задачам свойственны нек-рые специфич. особенности.

Н. п. метода решения задачи происходит по тем же или по более простым законам, что и Н. п. вычислительной погрешности; Н. ,п. метода исследуется при оценке метода решения задачи.

При исследовании накопления вычислительной погрешности различают два подхода. В первом случае считают, что вычислительные погрешности на каждом шаге вносятся самым неблагоприятным образом и получают мажорантную оценку погрешности. Во втором случае считают, что эти погрешности случайны с определенным законом распределения.

Характер Н. п. зависит от решаемой задачи, метода решения и ряда других факторов, на первый взгляд могущих показаться несущественными; сюда относятся форма записи чисел в ЭВМ (с фиксированной запятой или с плавающей запятой), порядок выполнения арифметич. операций и т. д. Напр., в задаче вычисления суммы Nчисел

существенен порядок выполнения операций. Пусть вычисления производятся на машине с плавающей запятой с tдвоичными разрядами и все числа лежат в пределах . При непосредственном вычислении с помощью рекуррентной формулы мажорантная оценка погрешности имеет порядок 2^-tN. Можно поступить иначе (см. [1]). При вычислении попарных сумм (если N=2l+1 нечетно) полагают . Далее вычисляются их попарные суммы и т. д. При после тшагов образования попарных сумм по формулам

получают мажорантная оценка погрешности порядка

В типичных задачах величины а _т вычисляются по формулам, в частности рекуррентным, или поступают последовательно в оперативную память ЭВМ; в этих случаях применение описанного приема приводит к увеличению загрузки памяти ЭВМ. Однако можно организовать последовательность вычислений так, что загрузка оперативной памяти не будет превосходить -log₂N ячеек.

При численном решении дифференциальных уравнений возможны следующие случаи. При стремлении шага сетки hк нулю погрешность растет как где . Такие методы решения задач относят к классу неустойчивых. Их применение носит эпизодич. характер.

Для устойчивых методов характерен рост погрешности как Оценка погрешности таких методов обычно производится следующим образом. Строится уравнение относительно возмущения, вносимого или округлением, или погрешностями метода и затем исследуется решение этого уравнения (см. [2], [3]).

В более сложных случаях применяется метод эквивалентных возмущений (см. [1], [4]), развитый в отношении задачи исследования накопления вычислительной погрешности при решении дифференциальных уравнений (см. [3], [5], [6]). Вычисления по нек-рой расчетной схеме с округлениями рассматриваются как вычисления без округлений, но для уравнения с возмущенными коэффициентами. Сравнивая решение исходного сеточного уравнения с решением уравнения с возмущенными коэффициентами получают оценку погрешности.

Уделяется существенное внимание выбору метода по возможности с меньшими значениями qи A(h). При фиксированном методе решения задачи расчетные формулы обычно удается преобразовать к виду, где (см. [3], [5]). Это особенно существенно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, где число шагов в отдельных случаях оказывается очень большим.

Величина (h)может сильно расти с ростом промежутка интегрирования. Поэтому стараются применять методы по возможности с меньшим значением A(h). В случае задачи Коши ошибка округления на каждом конкретном шаге по отношению к последующим шагам может рассматриваться как ошибка в начальном условии. Поэтому нижняя грань (h)зависит от характеристики расхождения близких решений дифференциального уравнения, определяемого уравнением в вариациях.

В случае численного решения обыкновенного дифференциального уравнения уравнение в вариациях имеет вид

и потому при решении задачи на отрезке ( х ₀ , X )нельзя рассчитывать на константу A(h)в мажорантной оценке вычислительной погрешности существенно лучшую, чем

Поэтому при решении этой задачи наиболее употребительны однощаговые методы типа Рунге — Кутта или методы типа Адамса (см. [3], [7]), где Н. п. в основном определяется решением уравнения в вариациях.

Для ряда методов главный член погрешности метода накапливается по подобному закону, в то время как вычислительная погрешность накапливается существенно быстрее (см. [3]). Область практич. применимости таких методов оказывается существенно уже.

Накопление вычислительной погрешности существенно зависит от метода, применяемого для решения сеточной задачи. Напр., при решении сеточных краевых задач, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям, методами стрельбы и прогонки Н. п. имеет характер A(h)h^-q, где qодно и то же. Значения A(h)у этих методов могут отличаться настолько, что в определенной ситуации один из методов становится неприменимым. При решении методом пристрелки сеточной краевой задачи для уравнения Лапласа Н. п. имеет характер с ^1/h, с>1, а в случае метода прогонки Ah^-q. При вероятностном подходе к исследованию Н. п. в одних случаях априорно предполагают какой-то закон распределения погрешности (см. [2]), в других случаях вводят меру на пространстве рассматриваемых задач и, исходя из этой меры, получают закон распределения погрешностей округления (см. [8], [9]).

При умеренной точности решения задачи мажорантные и вероятностные подходы к оценке накопления вычислительной погрешности обычно дают качественно одинаковые результаты: или в обоих случаях Н. п. происходит в допустимых пределах, или в обоих случаях Н. п. превосходит такие пределы.

Лит.:[1] Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [2] Шура-Бура М. Р., «Прикл. матем. и механ.», 1952, т. 16, № 5, с. 575-88; [3] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [4] Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М.. 1970; [5] Бахвалов Н. С, в кн.: Вычислительные методы и программирование, в. 1, М., 1962, с, 69-79; [6] Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [7] Бахвалов Н. С, «Докл. АН СССР», 1955, т. 104, № 5, с. 683-86; [8] его же, «Ж. вычислит, матем. и матем. физики», 1964; т. 4, № 3, с. 399- 404; [9] Лапшин Е. А., там же, 1971, т. 11, № 6, с.1425-36.

Н. С. Бахвалов.

Накопление — ошибка — округление

Cтраница 1

Накопление ошибок округления в процессе описанных выше преобразований зависит от порядка исключения ненулевых элементов. В [9, 25, 44] описаны методы, позволяющие свести ошибку к минимуму.
 [1]

Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, во всех данных для расчета следует сохранять не только верные знаки, но и несколько сомнительных. Количество сохраняемых сомнительных знаков зависит от объема расчетов: если количество выполняемых действий измеряется десятками, надо сохранять один-два сомнительных знака, если количество действий измеряется сотнями, надо сохранять два-три сомнительных знака.
 [2]

Следовательно, из-за накопления ошибок округления выход модели может неограниченно возрастать.
 [3]

Расхождение результатов обусловлено накоплением ошибок округления при вычислении величин (, и если полученная точность недостаточна, то вычисления надо проводить с большим числом знаков.
 [4]

Для метода вырезания узлов характерно накопление ошибок округления.
 [5]

Расхождение возникает и постепенно увеличивается из-за накопления ошибок округления на прямом и обратном пути даже в таких простых вычислениях, как наши итерации. Для них ошибка r ( k) в x ( k) после вычисления x ( k l) F ( x ( k)) изменится примерно в F ( x ( k)) раз, но мы не станем иллюстрировать это вычислениями.
 [6]

При этом, для того чтобы избежать накопления ошибок округления, все промежуточные вычисления надо проводить с одной лишней значащей цифрой, которую затем отбрасываем при округлении результатов.
 [7]

Эта статья приводила к заключению, что эффект накопления ошибок округления делает невозможным решение больших ( скажем, 100×100) систем уравнений.
 [8]

В этой главе также рассматриваются вопросы, связанные с накоплением ошибок округлений, обсуждается взаимосвязь структуры программы и структуры данных, проблемы экономичного программирования и методология коллективной разработки и создания программ.
 [9]

Возможное нарушение монотонности функции рт при больших т обусловлено накоплением ошибок машинных округлений.
 [10]

Некоторые из модифицированных схем, приведенных в литературе [20.5], позволяют уменьшить накопление ошибок округления.
 [11]

Наиболее поразительной чертой этого алгоритма является то, что он совершенно свободен от опасного накопления ошибок округления. В то время как в р, — алгоритме ( см. § 3) ошибки округления быстро накапливаются и должны компенсироваться постоянным процессом повторной ортогонализации, спектроскопический алгоритм допускает образование сотен, а быть может даже тысяч итераций без особой опасности искажения со стороны ошибок округления.
 [12]

Выполненные исследования свидетельствуют о высокой точности получаемых с помощью программ решений, устойчивости алгоритмов к накоплению ошибок округления и возмущению исходных данных.
 [13]

Кроме того, решение системы уравнений с плохо обусловленной матрицей коэффициентов оказывается весьма чувствительным к накоплению ошибок округления при реализации алгоритмов метода Гаусса или метода прогонки.
 [14]

Это подходит для большинства задач управления процессами, и если требуется повысить точность ( чтобы предотвратить накопление ошибки округления при расчетах) длина слова может быть увеличена вдвое.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Западную модель можно свести к аналогии со сложной компьютерной программой, накопившей непомерно большое количество критичных ошибок (багов), залатать которые простыми обновлениями уже не представляется возможным.

В рамках проекта «Клуб читателей» газета ВЗГЛЯД представляет текст Александра Дубровского о том, почему западная модель мироустройства дает сбои.

Завершая разговор о государственно-имперских генах, могу сказать главное: означенные гены не могут быть предметом изучения, как традиционной генетики, так и прочих психофизиологических дисциплин.

Жесткая вертикаль власти с минимумом промежуточных звеньев – вот будущее крупных государств и империй

Скорее, это поле для приложения сил на стыке нескольких наук: от философии, рассматривающей явления во всей их полноте, до этнологии, обобщающей разнообразные проявления этнических процессов.

Впрочем, это не столь важно, в любом случае, нет более интересного времени для изучения причин проявления имперских амбиций и способности этносов к государственному строительству, чем время ломки старого мирового порядка и рождения нового. То есть времени, в котором мы живем здесь и сейчас.

Между тем мир уже изменился до неузнаваемости, и впереди его ждут, без всякого сомнения, тектонические и, пожалуй, катастрофические сдвиги. На пороге время, когда волей-неволей придется напрочь забыть все наши представления о привычном мироустройстве и наконец-то принять участие в строительстве новой парадигмы развития человечества.

Пожалуй, слишком близоруко в мировых проблемах обвинять одну лишь заокеанскую империю, банально не справившуюся с ролью единственного центра принятия решений. Ошибок, как тактических, так и стратегических, хватает у всех, хотя, с учетом доминирования Штатов в последние десятилетия, безусловно, львиная доля ответственности лежит на них.

Даже если отбросить политические предпочтения, трудно отрицать, что именно послевоенная Америка в свое время приступила к созданию чрезвычайно сложной и тяжеловесной конструкции, максимально независящей от человеческого фактора и основанной на правильном соблюдении процедур во всех звеньях человеческой деятельности. Изначально подразумевалось, что конструкция должна быть саморегулирующейся. Получилось же то, что получилось.

К примеру, бизнесмены знают, что согласно английскому праву и практике заключения хозяйственных договоров, договаривающиеся стороны обязаны прописать максимальное количество случаев отклонения от процесса исполнения сторонами обязательств и действий в случае такого отклонения.

В результате очень часто «копеечный» предмет договора обрастает килограммами бумаги, заполненной штампованными формулировками, читать и осмысливать которые могут лишь специально обученные «лойеры», вознаграждение которых прямо пропорционально толщине исписанной бумаги.

Подобная практика, кстати, явилась логическим продолжением римского права, изначально поставившего правовые нормы выше норм морали, что означает минимальную зависимость от человеческой индивидуальности. Верхом обезличенности является прецедентное право, когда судья, независимо от внутренней уникальности любого события, вынужден, в первую очередь, искать внешнее сходство в прошлом и на этом сомнительном основании выносить приговор.

В противовес английской, китайская практика старается свести договор к «одностраничному» документу, оставляя все остальное на усмотрение сторон, конечной целью которых изначально провозглашается строгое выполнение договорных обязательств.

Понимая, что все вынужденные отклонения описать невозможно, китайцы, в конечном итоге, отбрасывают формальности и тем самым, кстати, удешевляют конечный продукт, сводя к минимуму все высокооплачиваемые паразитические надстройки. Будучи одним из древнейших центров правовой культуры, китайская традиция идет от своего родоначальника в лице Конфуция, отводившего правовым нормам второстепенную роль по сравнению с нормами морали.

Суть этой правовой системы проста, хотя и достаточно дискредитирована: жизнь по понятиям, основанным на морально-этических нормах, а не на букве закона. Кстати, такой подход гораздо ближе русской душе, никогда за всю историю не замеченной в особом рвении к выполнению буквы закона.

Оба описанных подхода имеют свои достоинства и недостатки, но нельзя не заметить их ярко выраженную противоположность и внутренний антагонизм. В этом смысле западную модель можно свести к аналогии со сложной компьютерной программой, накопившей со временем непомерно большое количество критичных ошибок (багов), залатать которые простыми обновлениями (читай, латаниями дыр) уже не представляется возможным.

Даже если в отдельности каждая из ошибок в программе или в любой другой сложной системе не является критичной, их накопление приводит к «старению» и к необходимости замены на новую программу-систему, а в применении к нашей теме – на новую парадигму развития.

То есть, как и компьютерная программа может без сбоев работать лишь в неких идеальных условиях, исключающих непредусмотренные входные данные, инициирующие ошибки, так и западная общественная система, попав в реальные постоянно изменяющиеся условия, начала давать все более частые сбои.

Таким образом, можно констатировать: мировая система, основанная на превалировании чрезвычайно сложных правовых норм и процедур, закономерно породила гигантские паразитические надстройки, не приспособленные к простым решениям, опирающимся на базовые понятия о добре и зле, правде и справедливости. Тяжесть конструкции такова, что залатать все прорехи уже не представляется возможным, ибо система перестала генерировать внешние системные новации и начала работать сама на себя.

Несмотря на научно-технические достижения, регулярно попадающие «в народ» в виде новых ТНП, вся прибыль изымается на обслуживание самой системы, поглощая всю добавленную стоимость и вгоняя государства в непомерные долги.

В этой ситуации, при всей либерально-популистской упаковке об универсальных ценностях, несущих людям благо и прогресс, неизбежно естественное стремление подмять под себя весь остальной мир, предварительно разделив его на мелкие куски для снижения сопротивления и удобства переваривания. Это единственный способ продлить жизнь перегруженной системы.

Именно на этой почве родилось пока еще достаточно популярное мнение, что человечество все с большим ускорением движется к общему мировому правительству. Пожалуй, продолжать так думать – жить представлениями утопистов безвозвратно ушедших веков, купающихся в своих гуманистических иллюзиях.

Говоря по-современному, быть в тренде означает готовиться к новому миру, миру господства и соперничества новых и старых империй, не желающих быть разделенными и проглоченными Западом.

Жесткая вертикаль власти с минимумом промежуточных звеньев – вот будущее империй, всегда действующих в соответствии со своими представлениями, а отнюдь не по указке эфемерных международных организаций, плодящих тысячи тонн норм международного права, давно не имеющего никакого отношения к нормам морали, и уже не способных сдерживать самые уродливые и темные человеческие проявления.

Впереди предстоит непомерно много сложной и рискованной работы. Пожалуй, никогда еще человечество не стояло так близко к самоуничтожению, как в преддверии 70-летия Победы над чумой 20-го века. Победы, оплаченной в первую очередь жизнями советских граждан, большая часть которых никогда не брала в руки оружия.

По рассказам старшего поколения – это был ад, победить в котором могли только сверхлюди, обладавшие нечеловеческой волей. Затмить их подвиг может только равноценная победа, а до тех пор, пока этого не случилось, поклонимся нашим великим предкам и попросим поддержки в грядущих испытаниях.

В конце концов, если весь мир окончательно потеряет иммунитет к фашистскому вирусу, выбор у нас будет совсем не большой, ибо гены у нас такие…

Источник: Блог Александра Дубровского