Найти вероятность случайной ошибки на интервале

Вычисление вероятности попадания случайной погрешности в заданный интервал. Уровень значимости

• Ранее мы объяснили характеристики и характеристики нормального распределения (см. Стр.132). Мы обратили внимание на вероятность ошибки, превышающую b, ± o. Равно 0,6826. В этом случае + m и -c2 считаются границами интервала. * В приблизительных вычислениях, если вы используете o вместо 6 и используете x вместо этого, среднеквадратичное отклонение отображается как z вместо a. Среди них есть случайное значение ошибки b с вероятностью 0,6826 (см. Рисунок 22).

Вы можете указать любую границу для интервала. Следовательно, соответствующая вероятность должна быть определена. Обратная проблема также может быть решена. Определить границы интервалов для конкретных вероятностей. Вероятность случайной ошибки, попавшей в симметричный интервал (называемый доверительным интервалом) на границах нормального распределения + e и -e (для краткости ± e), выражается как: P -e 8 + e = P e 8 = ( ), (VII.19) Где ( ) = 1 e до r 0 (если I 0); (- ) = -Ф ( ); e = ; o = -. Функция (0 (таблица 13)) называется стохастическим интегралом (интегралом Лапласа).

Параллельно с развитием проверочной деятельности был организован новый научно-исследовательский институт главной палаты, который занимался созданием новых стандартов и созданием новых научно-технических стандартов во всех основных областях науки и техники.
Людмила Фирмаль

Таблица 13 Вероятность того, что случайная ошибка находится вне интервала ± e, равна P e b = 1 —F ( ) — величина Ф (1) = Ф ( 1, соответствующая этому доверительному интервалу Значение ± e называется доверительной вероятностью, а значение 1 — ( ) называется уровнем значимости. Значения функций ( ) и I — ( ) приведены в таблице. 14. Таблица 14 На самом деле, доверие выбрано Мост из конкретных условий. Например, при изготовлении любой детали значение 0,995 можно считать удовлетворительным для возможности того, что отклонение размера не превышает заданный интервал.

В технической практике вероятность часто выражается в процентах. То есть в этом случае он равен 99,5%. Вероятность того, что размеры или размеры деталей не соответствуют требуемым требованиям, составляет 0,5%. Это означает, что в среднем 1 из 200 отклоняется, и эта вероятность соответствует доверительному интервалу от +2,81 до -2,81 o. Во многих случаях используется доверительный интервал от +3 до -3 сг. В этом случае достоверность составляет 0,9993 или 99,73%.

• Если будет признано, что отклонение ± 3 ° от номинального размера допустимо при изготовлении детали, среднее количество дефектных деталей составит 370 изготовленных деталей. В большинстве случаев такие низкие вероятности брака являются экономически приемлемыми и вполне приемлемыми. На практике часто используются доверительные интервалы с границами ± 3 a. Увеличение требования к точности изготовления той же детали, то есть уменьшение границы доверительного интервала до ± 2 t, снижает вероятность доверия до 0,9544 или 95,44%.

В этом случае одна неисправная деталь составляет в среднем 22 изготовленных детали. В некоторых случаях ± 4 принимается в качестве доверительного интервала, когда появление ошибок за пределами доверительного интервала может привести к значительному повреждению. В этом случае уровень достоверности составляет 0,999936, а уровень значимости — 0,000064 или 0,0064%. Ошибки, которые превышают доверительный интервал ± 4, появляются один раз каждые 15600 средних измерений. Пример 3.

Главным требованием к механизму передачи и ареста является поддержание высокой точности измерения положения.
Людмила Фирмаль

Для этого метода измерения стандартное отклонение составляет 0,2% (o = 0,002). Определяет вероятность того, что случайная ошибка измерения находится в пределах доверительного интервала на следующей границе. а) ± 0,5%. б) ± 0,6%. а) Граница интервала е = ± 0,005 Согласно таблице найдите доверительную вероятность f ( ), соответствующую 13 = 2,5. Равно 0,9876. Уровень значимости составляет 0,0124 или 1,24;%. В результате средняя погрешность более 0,5% ожидается для каждого 81 измерения. б) е = ± 0,006; -3; 0,002 (O = 0,9973; 1 — f ( ) = 0,0027 или 0,27%. Пример 4.

В этом методе измерения, если o = 0,01 и известно, что ошибка превышает среднее значение bt в одном из 100 измерений, определите значение, которое может обеспечить случайную ошибку dt одного измерения Мне нужно На вероятностном языке эту проблему можно описать следующим образом: Когда уровень достоверности составляет 0,99 (уровень значимости 1%), 0 = 0,01 определяет границу доверительного интервала. Найдите из таблицы. 14 ( ) = 0,99, значение = 2,557; ± е— ± 2,5576-0,01 = ± 0,02576ya ± 0,026 или ± 2,6% от измеренного значения.

Смотрите также:

Решение задач по метрологии

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

 –
математическое ожидание,

 –
среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность того, что

 примет
значение, принадлежащее интервалу

:

где  

 – функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

:

В частности, при

 справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

,  где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

• Таблица значений функции Лапласа
• Непрерывная случайная величина
• Показательный закон распределения случайной величины
• Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

:

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

 – ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

 – ошибка не
превзошла 5 мм;

 – ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

---

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

---

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

---

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

---

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением  σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

---

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

---

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

---

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

---

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному 
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3; 
α=4; β=6

---

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10.  Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

---

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

---

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

---

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

---

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

---

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

---

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

---

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

---

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

---

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

---

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

---

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

---

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11; 
σ=0.2.

---

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

---

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

---

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

---

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
 меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

---

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.

Интегральная
предельная теорема Ляпунова устанавливает
условия, при которых возникает наиболее
важный и наиболее часто встречающийся
в природе нормальный закон распределения,
име­ющий плотность

(1.62)

где, как было
установлено нами в задаче 1.169, а
= М_х,
σ = √D_x.

Теорему Ляпунова
упрощенно можно сформулировать так:
если некоторая случайная величина есть
сумма достаточно большого числа других
случайных независимых величин,
отклоняющихся от своих математических
ожиданий на весьма малые величины по
сравнению с отклонениями суммарной
величины, то закон распределения этой
суммарной случайной величины будет
близок к нормальному.

На основании этой
теоремы можно полагать, что ошибки
измере­ний подчиняются нормальному
закону, так как они складываются из
суммы большого числа элементарных
ошибок. По этой же причине координаты
попадания в цель при стрельбе подчиняются
этому закону распределения. Таких
примеров можно привести много.

Для вычисления
вероятностей попадания в интервал при
нормаль­ном законе распределения
можно воспользоваться формулой

P{a<X<b} = F (b) —
F(a),

где интегральная
функция

(1.63)

Если ввести новую
переменную

Z = (x — M_x)/σ, (1.64)

обладающую
свойствами (см. 1.168) M_z
= 0, σ_z
= 0, то можно
на­писать для нее

Рисунок 18.

Тогда, очевидно,

P{a
< x
< b}
= P{t₁
< z
< t₂}
= F(t₂)
— F(t₁),

где
t₂
=
(b—M_x)/a;
t₁
=
(a
— M_x)/σ.

Для функции F(t)
имеются
таблицы, однако более удобно пользо­ваться
другой, связанной с ней аналитически
функцией

(1.65)

обладающей свойством
Ф(- t)
= — Ф(t)
(нечетная
функция).

Функция Ф(t)
численно равна заштрихованной площади
в осях х и
φ(x)
(рис. 18, а) и в осях t
и φ(t)
(рис. 18, б).

Как видно из рис.
18, б,
имеет место
связь

(1.66)

(F(t)
есть
площадь под кривой φ(t),
ограниченная
справа абсциссой t).
Подставив
формулу (1.66) в выражение

Р{а <
X
< b}
= Р{t₁
< X
< t₂}
= F(t₁)
– F(t₂).

Получим

Р{а < Х < b)
= 1/2{Ф(t₂)
-Ф (t₁)}.
(1.67)

Если
пределы t₂
и
t₁
изменения
случайной переменной z
таковы,
что t₂
= |t₁|
= t,
то можно
написать

,
(1.68)

откуда
следует, что функция Ф(t)
представляет
собой вероятность попадания
в интервал, симметричный относительно
математического ожидания.

Для функций Ф(t)
составлены таблицы (см. прил. IV).
В случае
их отсутствия применяют формулу

(1.69)

Функцию
Ф(t)
называют интегралом вероятностей, или
функцией Лапласа.
Последнее ее название связано с так
называемой интеграль­ной
теоремой Лапласа, который доказал, что
при большом числе ис­пытаний
п число
появлений интересующего нас события k
заключено
в
пределах

Р{а < k
< b}
= {Ф(t₂)-Ф(t₁)}.
(1.70)

Ярким
примером случайной величины, подчиненной
нормальному закону
распределения, является случайная
ошибка измерений, опре­деляемая
по формуле

В
теории ошибок измерений существует
важнейшее понятие — истинное
значение измеряемой величины X,
а величина

Δ_i=x_i
— X
, (1.71)

называется
истинной ошибкой измерения. Выражение
(1.71) можно переписать
в виде

Δ_i=x_i
— M_X
+
M_X
— X
= Q_i
+ c.

Величину
с
называют
систематической ошибкой измерения,
кото­рая
может быть как постоянной, так и переменной
величиной (подроб­нее
см. [2]).

В классической
теории ошибок принимают постулат 1

М_Х
= Х,

т. е. полагают, что
систематические ошибки в измерениях
отсутствуют,
(это свойство называют несмещенностью)
или их исключают пра­вильной
постановкой методики измерений. Тогда,
очевидно, будем иметь
свойства Δ_i
= Q_i
и

.

Постулат
2 предполагает, что ошибки Δ_i
подчинены нормальному закону
распределения с плотностью

(1.72)

или, если перейти
к нормированной величине
,

(1.73)

Причем

,
(1.74)

Выражение (1.72)
часто записывается в виде

(1.75)

где

— так называемая мера точности.

Свойства
случайных ошибок, вытекающие из указанных
двух по­стулатов
и проявляющиеся при массовых испытаниях,
могут быть оха­рактеризованы
следующим образом.

Свойство
1. Случайные
ошибки по абсолютной величине с заданной
вероятностью
Р
не
превосходят определенного предела,
равного tσ,
где
t
— коэффициент
такой, что Р
= Ф(t).
Так, например,
из 100 ошибок с
вероятностью Р
=
0,67 не превосходят предел, равный σ,
67
ошибок, 95
ошибок с вероятностью 0,95 не превосходят
2σ
и т. д.

Свойство
2. Положительные
и отрицательные случайные ошибки, равные
по абсолютной величине, равновозможны,
т. е.

Р{Δ > 0} = Р{Δ < 0}
= 1/2.

Свойство
3. Среднее
арифметическое из значений случайной
ошиб­ки
при неограниченном возрастании числа
наблюдений имеет свойство
компенсации,
т. е.

вер

.
(1.76)

Систематические
ошибки этим свойством обладают редко.

Свойство
4. Малые
по абсолютной величине случайные ошибки
встречаются
чаще, чем большие.

Плотность
нормального распределения ошибок Δ_i
(1.72) или (1.73) называют
кривой ошибок, или кривой Гаусса.

1.183. Вычислить ординаты кривой нормального
распределения для значе­ний Δ
= 0, σ, 2σ, Зσ, если σ = 0,47″. По полученным
данным построить кривую распределения.
Вычисления проконтролировать по таблице
(прил. II).

Решение. Прежде
всего, имеем

Вычисления располагаем в табл. 1.

Таблица
1

Δi	t	-h2Δ2 = -t2/2		y		y = y’ h
0 σ	0	0	1	0,851	0,564	0,850
1 σ	1	— 0,50	0,607	0,516	0,342	0,516
2 σ	2	-2,0	0,136	0,115	0,076	0,115
3 σ	3	— 4,5	0,010	0,008	0,0063	0,008

Примечания:

(Построение кривой
ошибок дано на рис. 19).

Рисунок 19.

При построении кривой ошибок масштабы
выбирают так, чтобы обеспечить
на­глядность,

Кривая Гаусса обладает следующими
свойствами:

1. функция φ(Δ) четная, т. е. φ(Δ) = φ(- Δ), и
   кривая симметрична относи­тельно
   оси ординат;

2. кривая Гаусса лежит выше оси абсцисс;

3. кривая Гаусса имеет максимум в точке
   Δ = 0;

4. поскольку кривая имеет максимум и в то
   же время асимптотически при­ближается
   к оси Δ, то она имеет две точки перегиба
   — одну справа, другую слева от оси φ(Δ),
   причем абсцисса точек перегиба Δ = σ;

5. касательные к кривой в точках перегиба
   пересекают ось абсцисс в точках Δ = ±2σ
   (см. рис. 19).

1.184. Выполнено 64 измерения. Найти
вероятность того, что:

1. число положительных ошибок будет
   заключено в пределах 24 ≤ k
   ≤ 40;.

2. в пределах 16 ≤ k ≤
   40.

Решение. 1) Так
как число испытаний достаточно велико,
то для реше­ния задачи применим формулу
(1.70). Находим

Поэтому, так как t₂
= | t | , то по
формуле (1.68)

Р {24 ≤ k ≤ 40} =
Ф (2) = 0,954.

2) Вычисляем t₂
= 2; t₁ = —
4.

На основании формулы (1.70) имеем

Р{16 ≤ k ≤ 40} = 1/2
{Ф(t₂)
— Ф(t₁)}
= 1/2 {Ф(2) — Ф(- 4)}.

По свойству (1.65) с помощью таблицы прил.
IV находим

Р {16 ≤ k ≤
40} = 1/2
{0,954 + 1,000} =0,977,

где

Учитывая теорему Ляпунова и вспомнив
выражение (1.56), показывающее, что число
k можно представить
в виде суммы достаточно большого числа
слагае­мых, можно прийти к выводу, что
случайная величина k
приближенно подчинена нормальному
закону распределения. Поэтому понятным
становится и выражение (1.21) как частный
случай (1.62).

Выражение (1.69) можно записать также в
виде

Но величина Q = n/k
есть частота появления события, а
величина pq/n
= σ_Q есть
с. к. о. частоты (см. 1.171). Поэтому вероятность
отклонения частоты от вероятности по
абсолютной величине на заданное число
ε = tσ_Q
определим по формуле

(1.77)

1.185. Монету
бросают 100 раз. Найти вероятность того,
что отклонение частоты появления герба
от вероятности по абсолютной величине
не превзойдет величину ε = 0,1.

Решение. На
основании формулы (1.77) имеем

Так как ε = tσ_Q
= 0,1, σ_Q
= √(pq/n)
= √(1/400) = 1/20, то t
= 2,0.

1.186. Бюффон
бросил монету 4040 раз, причем герб выпал
2048 раз. Можно ли считать полученное
отклонение числа появлений герба от
2020 случайным или же оно обусловлено
систематической причиной?

Решение.
Расхождение эмпирической частоты
Бюффона от теоретичес­кой можно
считать случайным, если вероятность
того, что при 4040 бросаниях монеты
отклонение числа выпадений герба от
2020 равно или больше по абсолют­ной
величине, чем у Бюффона, достаточно
большая. Пусть т — число выпаде­ний
герба при 4040 бросаниях монеты. Находим
вероятность

Р( | т — 2020 | < 28) = 0,622.

Поэтому вероятность противоположного
события, т. е. того, что | k
— 2020 | ≥ 28, равна 1 — 0,6217 = 0,3783. Так как
эта вероятность достаточно большая, то
результат Бюффона можно считать
обусловленным случайными причинами.

1.187. Проведено
700 независимых испытаний, в каждом из
которых веро­ятность наступлений
события А равна 0,7. Найти вероятность
того, что частота появлений события А
окажется заключенной между 460 и 600.

Ответ: 0,993.

1.188. Найти
вероятность того, что число мальчиков
среди 1000 новорожден­ных больше 480, но
меньше 540 (вероятность рождения мальчика
принять рав­ной 0,515).

Ответ: 0,929.

1.189. Вероятность
выпуска радиолампы с дефектом равна
0,03. Найти мак­симально возможное
отклонение ξ частости от 0,03 среди 2000
радиоламп, чтобы вероятность получить
отклонение, по абсолютной величине
меньшее ξ, была рав­на 0,999.

Ответ: 0,013.

1.190. Произведено
1000 независимых испытаний с вероятностью
наступле­ния интересующего нас события
А в отдельном испытании 0,01. Найти
границы, в которых с вероятностью 0,99
заключена частость наступлений события
А.

Ответ: 0,0019.

1.191. В каждой из
1000 колод по 36 карт. Из каждой колоды
вынимают на­ удачу две карты. Чему
равна вероятность, того, что число пар
хотя бы с одним тузом заключено между
100 и 200?

Ответ: 0,159.

1.192. Найти такое
число k, чтобы с
вероятностью, приблизительно равной
0,7, число выпадений герба при 4000 бросаний
монеты было заключено между 3000 и k.

Ответ: 925.

1.193. Найти
вероятность того, что в партии из 800
изделий отклонение числа изделий первого
сорта от наивероятнейшего числа не
превысит по абсолют­ной величине
50, если вероятность появления изделия
первого сорта равна 0,7. Ответ: 0,9999.

Таблица 2

Число ошибок, n	Заданное предельное значение |Δ|	t	Ф(t)	P(Δ > tσ) = 1 – Ф(t)	Число ошибок	Контроль
Превышающих заданное Δ k = n (1 – Ф(t))	Укладывающихся в предел от 0 до ± tσ
100	1,0	1	0,6827	0,3173	32	68	100
100	2,0	2	0,9545	0,455	5	95	100
100	2,5	2,5	0,9876	0,0124	1	99	100
1000	3,0	3,0	0,9973	0,0027	3	997	1000

1. Вычислить интеграл вероятностей для
   t == 0,30; 0,40; 0,50, 0,60 по формуле
   (1.69) и сравнить его с табличным.

2. Вычислить наиболее возможное число
   ошибок Δ из общего их числа п = 100,
   превышающих по абсолютной величине:

а) одинарное с. к. о. измере­ний, т. е.
σ;

б) удвоенное с. к. о., т. е. 2σ;

в) 2,5σ;

г) утроенное с. к. о., т. е. 3σ, при п =
1000.

Решение. По
условию задачи имеем при п = 100 а) | Δ
| > σ; б) | Δ | > 2σ; в) | Δ | > 2,5σ при п =
1000; г) | Δ | > 3σ. Необходимо определить:

а) Р{| Δ | > σ }; б) Р{| Δ | > 2σ }; в) Р{| Δ |
> 2,5σ }; г) Р{| Δ | > 3σ } Определив Ф(t)
по таблице (прил. IV),
сведем результаты вычислений в
табл. 2.

1.196. Вероятность
появления ошибки в пределах от — 10 до
10″ равна 0,95, т. е. Р{| Δ | < 10″} = 0,95.
Вычислить с. к. о. измерений, если М
| Δ | = 0.

Решение. Так как
Ф(t) = 0,95, то по
таблице функции Ф(t)
обратным интерполированием находим t
= 1,96. Но t = (Δ –
M | Δ |)/σ = 10″/σ = 1,96,
откуда σ = 5,1″.

1.197. Найти
вероятность того, что ошибка измерений
Д по абсолютной ве­личине не превзойдет
предел 4″ < | Δ | < 6″, если σ = 10″.

Решение. На
основании теоремы сложения имеем

Р {4 < | Δ | < 6} = Р {-
6 < Δ < — 4} + Р {4 < Δ
< 6}.

Можно написать

Р {4 < | Δ | < 6} = 2Р
{4 < Δ < 6} = Ф (6/10) – Ф
(4/10) = 0,452 — 0,311 =0,141.

1.198. Угол
измеряется с систематической ошибкой
в сторону завышения, равной 1,2″. Найти
вероятность того, что отклонение
измеренного значения уг­ла х от
истинного X (т. е. ошибка
измерения Δ_i
= x_i
— X) не превзойдет
по абсолютной величине 1,6″, если с. к.
о. измерения σ = 0,8″.

Решение. Так как
ошибки измерений подчиняются нормальному
зако­ну, то искомая вероятность

Р {- 1,6″ < Δ < 1,6″}
= 1/2 {Ф (t₁)
— Ф (t₂)},

где t₂ =
(1,6″ — 1,2″)/0,8″ = 0,5″, t₁
= (-1,6″ — 1,2″)/0,8″ = — 3,5 (систе­матическая
ошибка рассматривается как М [ Δ ] ).
Поэтому

Р {- 1,6 < Δ < 1,6} = — {Ф
(0,5) – Ф (-3,5)} = 1/2 {0,383 + 1,000} = 0,691.

1.199. Найти ту же
вероятность, но при условии отсутствия
систематичес­кой ошибки.

Ответ: 0,95.

Вероятным (средним) отклонением г
называется величина, больше и меньше
которой (по абсолютной величине) ошибки
в ряде наблюдений равновозможны, т. е.
Р{|Δ| < r} = 1/2.

Установить связь r
и σ при нормальном законе
распределения.

Ответ: r
= 0,67 σ.

1.200. Найти
вероятность того, что ошибка Д не
превзойдет предел, равный: а) 2;
б) 2r.

Ре ш е н и е.

a)

поэтому

б)

поэтому

1.201. Определить
вероятность того, что ошибка измерения
Δ не превзойдет по абсолютной величине
следующих пределов:

1) 1,25σ; 2) 1,50 σ; 3) 1,75 σ; 4) 2,00 σ; 5) 2,25 σ; 6) 2,50 σ;
7) 2,75 σ; 3,00 σ; 9) 3,25 σ; 10) 3,50 σ.

Вычислить, сколько ошибок не выйдет за
эти пределы, если всех ошибок 1000.

1. При некоторых условиях инструмент
   обеспечивает измерения с точностью
   σ = 10″. Найти вероятность того, что
   при измерениях этим инстру­ментом в
   тех же условиях ошибка по абсолютной
   величине не превзойдет 6,0″.

2. Известно вероятное отклонение на 1 км
   нивелирного хода r
   = 2,0 мм. Определить вероятность того,
   что среднее отклонение на 1 км хода при
   нивели­ровании в таких же условиях
   окажется не более 4,0 мм.

3. В каких пределах (- х; + х) можно
   с вероятностью 0,495 ожидать появление
   ошибки Δ, т. е. P (|
   Δ | ≤ х) = 0,495, если σ = 15?

4. С. к. о. σ = 15 мм. Установить вероятность
   того, что ошибка измере­ния по
   абсолютному значению превысит 30 мм.

5. Вероятность того, что ошибка по абсолютной
   величине превзойдет 4,0″, равна 0,823.
   Вычислить вероятное и среднее отклонения.

6. В каких пределах (- х; + x)
   можно с вероятностью 0,75 ожидать появления
   ошибки, если вероятное отклонение равно
   12 мм?

7. Вероятность появления ошибки в пределах
   (- 5,0; + 5,0″) равна 0,75, т. е. Р
   (| Δ | ≤ 5,0″) = 0,75.
   Вычислить среднее и вероятное отклонения.

8. Найти вероятность появления ошибки в
   пределах. (- 6,0; + 6,0 мм), если вероятное
   отклонение равно 2,0 мм.

9. В каких пределах (- х; + х) можно с
   вероятностью 0,683 ожидать появления
   ошибки, если σ = 5,0″.

1. Вероятность появления ошибки в пределах
   (- 10; + 10 мм) равна 0,89. Определить среднее
   и вероятное отклонения.

2. С. к. о. σ = 13″. Определить вероятность
   того, что ошибка измере­ния по
   абсолютной величине будет заключаться
   в пределах от 10 до 20″.

3. Вероятное отклонение равно r
   = 2,4 мм. Найти вероятность того, что
   ошибка измерения по абсолютной величине
   будет находиться в пределах от 1,0 до
   5,0 мм.