Найти среднюю квадратическую ошибку измерительного прибора

После
выполненных измерений всегда необходимо
оценить их точ­ность. Оценку точности
можно сделать только тогда, когда есть
пов­торные или избыточные измерения.
Существуют различные критерии точности.
Наиболее удобным и естественным критерием
является дисперсия D
, характеризующая меру рассеяния
результатов измерений. Поскольку на
практике число повторных измерений
всегда конечно, приходится ограничиваться
приближенным значением ее, носящим
наз­вание оценки дисперсии. Она
вычисляется по формуле

(13)

где ₁
, ₂ , … , _n
-случайные погрешности в результатах
измере­ний одной и той же величины. В
математической статистике доказыва­ется,
что оценка (13) является состоятельной,
эффективной и несме­щенной. Определенным
неудобством в использовании этой оценки
явля­ется её квадратическая размерность
по сравнению с результатами из­мерений.
Для избежания этого неудобства используют
критерий точ­ности

или
(14)

носящей название
средней квадратической погрешности.
Она обладает рядом достоинств.

I. При
числе измерений n 
9 величина т изменяется очень мало
и, следовательно, значение т близко
к её теоретическому аналогу — стандарту
. При числе
измерений n<9 критерий
точности т сле­дует считать
ненадёжным.

2. Из
опыта установлено, что в ряду, состоящем
из 1000 изме­рений, лишь три случайные
погрешности превосходят величину 3m.
Следовательно, её можно принять за
предельную погрешность Δ_пред
, т.е.

Δ_пред = 3m
.

Величина
3m и является тем
пределом, о котором речь шла в первом
свойстве случайных погрешностей.
Предельная погрешность играет важную
роль при установлении допусков в
различных нормативных до­кументах,
так как 3m принимают
за допустимую погрешность Δ_доп
, т.е.

Δ_доп = Δ_пред = 3m
.

При
увеличении числа измерений надёжность
найденной по форму­ле (14) погрешности
возрастает. В теории погрешностей
измерений до­казывается, что погрешность
т_m определения
самой погрешности приб­лижённо можно
найти по формуле

В
заключение подчеркнем, что погрешность
m служит критерием
точности одного измерения, характерного
для всей группы выполнен­ных измерений

3.3. Формула Бесселя

Критерий
точности m, введённый
по формуле (14), на прак­тике имеет
ограниченное применение, так как
случайные погрешности Δ_i
остаются неизвестными. Для той же самой
средней квадратической погрешности
m можно вывести
формулу с использованием арифметичес­кой
средины x₀

(15)

где v_i
= l_i
– x₀ ,
x₀ = (l₁
+ l₂ + …
+ l_n)/n
, l_i
– результаты измерений. Формула (15)
носит название формулы Бесселя и
применяется на практике для оценки
точности.

3.4. Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин

Выше
был рассмотрен вопрос об оценке точности
непосредственно измеренных величин.
На практике часто для получения
интересующей нас величины измеряют
другие величины, а нужную нам величину
затем вычисляют по известным аналитическим
формулам. При этом, естествен­но,
неизбежные случайные погрешности в
непосредственно измеренных величинах
повлияют на точность окончательного
результата. Возника­ет задача
нахождения средней квадратической
погрешности этого окончательного
результата как функции погрешностей
отдельных из­мерений. Например, для
определения площади фигуры, имеющей
форму прямоугольника, измеряют его
стороны а и b,
а затем вычисляют площадь S
= a·b
. Погрешности в измеренных сторонах т_a
и m_b
могут быть найдены по формуле (15). Они
внесут некоторую погреш­ность в
найденное значение площади S.
Определению погрешностей функций
измеренных величин и посвящается данный
раздел.

В самом
общем виде функция многих независимых
переменных име­ет вид f(х,
у, z,…, t).
Погрешности m_x
, m_y
, m_z
, … , m_t
известны заранее или вычислены из
многократных измерений по формуле
Бесселя. В теории погрешностей измерений
доказывается, что средняя квадратическая
погрешность m_f
функции f будет равна

(16)

где
суть частные
производные,

конечно, при условии
их существования. Применим общую формулу
(16) для вычисления погрешностей некоторых
частных видов функций.

1. f
= kx ( k
= Const);

тогда

или (17)

1. f
   = k₁x
   + k₂y
   + k₃z
   + … + k_nt
   ;

тогда
(18)

В
рассмотренном нами примере вычисления
площади

и

Применим
формулу (18) для вычисления средней
квадратической погрешности среднего
арифметического

и найдем

Поскольку
каждое измерение l_i
выполнено с одинаковой точностью m_l
, т.е.

(19)

Как
и следовало ожидать, точность среднего
арифметического ока­залась
выше точности одного измерения m_l
, причем выше в раз.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Ошибки измерения: Опыт убеждает, что измерения объектов не могут быть произведены абсолютно точно и каждое конкретное измерение дает лишь, как правило, приближенное значение величины явления, истинное значение которой (A) нам неизвестно. Ошибки измерения (

Рассмотрим такие измерения, которые производятся одним наблюдателем, одним и тем же инструментом, в одинаковых условиях, т. е. равноточные измерения.

Различают два вида ошибок измерения:

1. систематические ошибки, т. е. такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют вполне определенное значение (например, ошибка измерительного прибора);
2. случайные — такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача математической статистики — предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться их ликвидации или сведения к минимуму.

Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений крупные ошибки встречаются реже мелких и число положительных ошибок примерно равно числу отрицательных, вследствие чего сумма всех ошибок близка к нулю.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими просто пренебрегают или считаются с наибольшей возможной ошибкой, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются те ошибки, которые, являясь, с одной стороны, ошибками случайного характера, по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны, для них существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью ее появления. Закон случайных ошибок, полученный Гауссом, состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Средняя ошибка сводного результата измерения

Принимая за действительное значение измеряемой величины при равноточном измерении среднюю арифметическую из всех результатов n измерений, можно охарактеризовать точность одного измерения с помощью средней арифметической из абсолютных величин значений ошибок:

где n — число измерений, х — численное значение отдельных измерений, — средняя арифметическая из результатов измерений.

За меру точности соответствия принятой средней арифметической истинному значению измеряемой величины (A) принимают среднюю ошибку сводного результата измерения, вычисляемую по формуле:

Пример 1. Произведено 10-кратное измерение размера детали (в мм), давшее следующие, расположенные в возрастающем порядке результаты: 138; 139; 140; 141; 141; 142; 142; 143; 144; 145.

Охарактеризуем сначала точность одного измерения, т. е. вычислим среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок. Для этой цели вычислим среднюю арифметическую из результатов измерений:

Найдем ошибки измерения:

Следовательно:

Теперь можно вычислить среднюю ошибку сводного результата измерения:

Значит, мерой точности соответствия 141,5 мм истинной величине размера детали является средняя ошибка, равная 0,54 мм.

Средняя квадратическая ошибка

Если в качестве меры точности одного измерения принять не среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок (средняя ошибка), а среднюю квадратическую из ошибок измерений, т. е.

то средняя квадратическая ошибка найденной средней арифметической из ошибок измерения вычисляется по формуле:

Между средней -квадратической ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерения существует связь:  если случайные ошибки подчиняются Гауссову закону нормального распределения.

Пример 2. Используя данные предыдущего примера, находим меру точности одного измерения, т. е. среднюю квадратическую ошибку:

Затем исчисляем среднюю квадратическую ошибку найденной средней арифметической, равной 141,5 мм:

Сопоставляя среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения со средней ошибкой, получаем:

Вероятная ошибка

За меру точности одного измерения иногда принимают вероятную ошибку:

Тогда в качестве вероятной ошибки сводного результата измерения используют соотношение:

Пример 3. Используя данные предыдущих примеров, находим вероятную ошибку сводного результата измерения:

Наиболее вероятные границы сводных результатов измерения

Математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. В качестве значения измеряемой величины применяется средняя арифметическая всех измерений (если они равноточны). Использование отклонений результатов измерений (х) от средней из них называемых в теории ошибок «кажущимися ошибками» позволяет произвести оценку точности соответствия средней арифметической неизвестному истинному значению измеряемой величины (A).

Для этой цели используют удвоенную или утроенную среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения или его вероятную ошибку и получают:

Найденные границы неизвестной истинной величины в случае, если ошибки подчинены нормальному закону распределения Гаусса (чаще всего так и бывает), соблюдаются с большой вероятностью (0,997 и 0,954).

Пример 4. По данным предыдущих примеров находим границы истинного значения размера детали Значит, истинное значение размера детали находится в границах от 141,5—2,04 до 141,5+2,04.

4

ЗАДАЧА 2.7.

Вариант 1. Измерительный прибор не имеет систематической ошибки, а средняя квадратическая ошибка равна 75. Какова веро­ятность, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной вели­чине 45 (закон распределения — нормальный)?

Вариант 2. Точность изготовления деталей характеризуется си­стематической ошибкой 2 мм, а случайное отклонение распределено по нормальному закону со средней квадратической ошибкой 10 мм. Какова вероятность, что отклонение длины изделия от стандарта находится в пределах от 8 до 12 мм?

Вариант 3. Систематическая ошибка высотомера равна нулю, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднюю квадратическую ошибку должен иметь высотомер, что­бы с вероятностью 0,95 ошибка измерения высоты по абсолютной величине была меньше 50 м?

Вариант 4. Каким должен быть допуск отклонения размера детали от номинала, чтобы с вероятностью 0,9 отклонение было допустимым, если систематическая ошибка отклонения отсутству­ет, а средняя квадратическая равна 25 мм (закон распределения — нормальный)?

Вариант 5. Деталью высшего качества считается такая, у ко­торой отклонение размера от номинала не превосходит по абсолют­ной величине 4,3 мк. Случайное отклонение распределено по нормальному закону. Найти среднюю квадратическую ошибку, если си­стематическая ошибка равна нулю, а вероятность того, что деталь высшего качества равна 0,99.

Вариант 6. Систематическая ошибка измерительного прибора равна нулю. Случайные ошибки распределены по нормальному за­кону. Найти среднюю квадратическую ошибку, если ошибка измерения не превосходит по абсолютной величине 0,5 с вероятностью 0,95.

Вариант 7. Деталь, изготовленная автоматом, считается год­ной, если отклонение ξ контролируемого размера от номинала не превышает 8 мм. Точность изготовления деталей характеризует­ся среднеквадратическим отклонением, равным 4мм. Считая, что случайная величина ξ распределена нормально, выяснить, сколько процентов годных деталей изготавливает автомат.

Вариант 8. Стандартный вес производимых на заводе болванок составляет 1 т., а отклонение распределено по нормальному закону со средней квадратической ошибкой 0,05т. Систематическая ошиб­ка отсутствует. В каком интервале с вероятностью 0,99 находится вес болванки?

Вариант 9. Радиолокационная станция при измерении даль­ности дает систематическую ошибку 5 м., средняя квадратическая ошибка равна 10 м. Найти вероятность того, что случайная ошибка не превосходит по абсолютной величине 17 м. Закон распределения нормальный.

Вариант 10. Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с вероятностью 0,8 они не превосходят по абсолютной величине 12 мм. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Вариант 11. Автомат по нарезанию гвоздей длиной 80 мм в нормальном режиме имеет случайную ошибку, распределенную по нормальному закону. Систематическая ошибка отсутствует, сред­няя квадратическая ошибка равна 0,5 мм. В каком интервале с ве­роятностью 0,999 будет находиться длина гвоздя?

Вариант 12. Прибор, контролирующий напряжение, имеет слу­чайную ошибку в показаниях, распределенную по нормальному за­кону. Систематическая ошибка отсутствует. Случайная ошибка по абсолютной величине не превосходит 15В с вероятностью 0,8. Най­ти среднюю квадратическую ошибку.

Вариант 13. Деталь принимается ОТК, если ее диаметр откло­няется по абсолютной величине от стандартного не более чем на 2 мм. Отклонение — случайная величина, распределенная по нор­мальному ‘закону с систематической ошибкой 0,5 мм и среднеквад­ратическим отклонением 1 мм. Найти вероятность того, что деталь принимается.

Вариант 14. При испытании орудия отклонение снаряда по дальности распределено по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным 25 м. Найти вероятность того, что отклонение по дально­сти по абсолютной величине не превосходит 12 м.

Вариант 15. Максимальная скорость самолетов определенного типа распределена по нормальному закону с математическим ожи­данием 420м/с и среднеквадратическим отклонением 25 м/с. Найти вероятность того, что при испытаниях самолета этого типа его мак­симальная скорость будет изменяться от 390 м/с до 440 м/с.

Вариант 16. Глубина моря измеряется прибором, системати­ческая ошибка которого равна нулю, а случайная распределена по нормальному закону. Найти среднеквадратическое отклонение, ес­ли при определении глубины ошибка с вероятностью 0,95 составит не более 15 м.

Вариант 17. Среднее значение расстояния до ориентира равно 1250 м. Средняя квадратическая ошибка измерения прибора Е=40 м, систематическая ошибка отсутствует. С вероятностью 0,999 опре­делить максимальную ошибку измерения расстояния.

Вариант 18. Срок службы электрической лампы является слу­чайной величиной, распределенной по нормальному закону с сред­ним квадратическим отклонением 15 ч. Найти математическое ожи­дание, если с вероятностью 0,99 срок службы лампы более 300 ч.

Вариант 19. Время изготовления детали распределено по нор­мальному закону с математическим ожиданием 5,8с и среднеквад­ратическим отклонением 1,9с. Какова вероятность, что для изго­товления детали потребуется от 5 до 7с?

Вариант 20. Рассеивание скорости снаряда подчинено нормаль­ному распределению и с вероятностью 0,95 не превосходит по абсо­лютной величине 2 м/с. Найти отклонение рассеивания. Система­тическая ошибка отсутствует.

Вариант 21. При измерении заряда электрона ошибки распре­делены по нормальному закону, и измерения не имеют системати­ческой ошибки. Найти с вероятностью 0.99 максимальную по аб­солютной величине ошибку, если средняя квадратическая ошибка равна 0,05 абсолютных электростатических единиц.

Вариант 22. Измерения дальномера не имеют систематиче­ской ошибки, а случайные ошибки распределены нормально. Найти среднюю квадратическую ошибку, если при определении дально­сти цели абсолютная величина ошибки с вероятностью 0,9 не пре­восходит 15 м.

Вариант 23. При испытании регистрируется время выхода из строя прибора, которое является случайной величиной, распреде­ленной по нормальному закону с математическим ожиданием 400ч и среднеквадратическим отклонением 50ч. Найти вероятность того, что прибор проработает безотказно от 300 до 500ч.

Вариант 24. Отклонение размера детали от номинала подчине­но нормальному закону. Систематической ошибки нет. С вероятно­стью 0,95 отклонение по абсолютной величине не превышает 2мк. Найти среднеквадратическую ошибку.

Вариант 25. Отклонение диаметров валиков от заданных раз­меров подчинено нормальному закону без систематической ошибки и со средней квадратической ошибкой 5мк. Найти вероятность то­го, что отклонение по абсолютной величине не превысит 10мк.

Вариант 26. Отклонение размера изделия от номинала распре­делено по нормальному закону с нулевой систематической ошиб­кой. Найти среднюю квадратическую ошибку. если вероятность то­го, что абсолютная величина отклонения не превышает 5 мм. равна 0,95.

Вариант 27. Прибор для измерения высоты имеет систематиче­скую ошибку 15 м и среднюю квадратическую ошибку 10 м. Найти вероятность того, что ошибка по абсолютной величине не превзой­дет 20 м. Закон распределения ошибок нормальный.

Вариант 28. При стрельбе из орудия отклонение от цели по дальности подчиняется нормальному закону, систематической ошиб­ки нет. Найти среднеквадратическое отклонение, если с вероятно­стью 0,94 абсолютная величина отклонения дальности не превосхо­дит 5 метров.

Вариант 29. Средняя квадратическая ошибка измерения длины

детали раина 0,5мк. Систематическая ошибка отсутствует. Найти наибольшую по абсолютной величине ошибку, которую можно до­пустить с вероятностью 0,9. (Закон распределения нормальный).

Вариант 30. Скорость лодки — случайная величина, распреде­ленная нормально с математическим ожиданием 10 км/ч и средне­квадратическим отклонением 5 км/ч. Найти вероятность того, что скорость будет не менее 8 км/ч и не более 15 км/ч.