Найди ошибку в формуле площадей

Опасные ошибки в задачах на площади

21 июня 2013

• Скачать тест
• Ответы к тесту

Казалось бы, что может быть проще, чем площадь многоугольника? Строишь описанный многоугольник, разбиваешь образовавшееся пространство на треугольники и квадраты, считаешь их площадь — и все, задача решена! Но именно в этом алгоритме кроется засада. Точнее, проблемы возникают в самом последнем шаге — при подсчете площадей разбиения.

Какие бывают типичные ошибки и как их избежать — об этом наш сегодняшний урок. А сразу после урока — домашнее задание, состоящее из 5 «атипичных» задач, в которых очень велика вероятность допустить ошибку.

Смотрите также:

1. Задача B5: метод узлов
2. Задача B5: площадь фигуры без клеток
3. Сложение и вычитание дробей
4. Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
5. Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии
6. Задача B4 с таблицами: тарифы на интернет

4.1 Вычисление средней квадратической ошибки определения площади земельного участка в форме треугольника:

а) вычисленного
по основанию и высоте (рис. 4.1)

. (4.1)

, (4.2)

е

Рис. 4.1 Треугольник

слиm_a
= m_h,
то
.

б)
вычисленного по двум сторонам и углу
между ними (рис. 4.2)

. (4.3)

Рис. 4.2 Треугольник

, (4.4)

где значение
средней квадратической погрешности
определения угла m_β
следует выразить в радианной мере, т.е.
(ρ = 3438′=206280′′).

в)
вычисленного по трем сторонам (формула
Герона) (рис. 4.3)

, (4.5)

г

Рис. 4.3 Треугольник

де
—
полупериметр.

,(4.6)
где
А
=
(s
– a)(s
– b)(s
– c),
B
= s(s
– b)(s
– c),
C
= s(s
– a)(s
– c),
D
= s(s
– a)(s
– b).

4.2
Вычисление средней квадратической
ошибки определения площади земельного
участка в форме четырехугольника
(рис. 4.3)

. (4.7)

Рис. 4.3
Четырехугольник

(4.8)

4.3
Вычисление средней квадратической
ошибки определения площади земельного
участка в форме многоугольника
(рис. 4.4)

Рис. 4.4 Многоугольник

При определении
площади земельного участка в форме
многоугольника его разбивают на более
простые геометрические фигуры (обычно
треугольники). Определяют по одной из
формул площадь каждого треугольника
Р₁,
Р₂,
…, Р_n,
суммируют. Выполняют оценку точности
каждого треугольника m_P1,
m_P2,
…, m_Pn,
и находят среднюю квадратическую ошибку
вычисления площади многоугольника по
формуле:
. (4.9)

Задание 2:
1) Определить площади ранее отмеченных
земельных участков по линейным и угловым
измерениям. Длины линий следует измерять
с помощью линейки поперечного масштаба
и циркуля-измерителя. Выполнить оценку
точности вычисленных площадей (рассчитать
среднюю квадратическую и относительную
ошибки).

Средние квадратические
ошибки определения линейных элементов
следует принять равными 1м (графическая
точность М 1:10000), углов – 0,1°.

2) Представить,
что данные для вычисления площади того
или иного участка были получены в
результате измерений на местности.

Среднюю квадратическую
ошибку определения линейных составляющих
принять равной 0,05м, углов – 0,5′.

Рассчитать среднюю
квадратическую и относительную ошибки
определения площади участков.

3) Сравнить ошибки
определения площади, вычисленные по
результатам измерений на карте и на
местности. Сделать выводы.

5. Определение площади участка с криволинейными границами

5.1 Измерение площадей палетками

Площади небольших
участков с криволинейными граница­ми
можно измерять с помощью палеток. Палетка
для измере­ния площадей – лист
прозрачного материала (восковки,
лавса­на, пластика, кальки), на который
нанесена сетка квадратов размером 2×2
мм или система равноотстоящих параллельных
линий.

Наложив палетку
с сеткой квадратов на план, подсчиты­вают
число квадратов, уместившихся в измеряемой
площади, оценивая дробные части квадратов
на краях участка на глаз. Результат
подсчета умножают на площадь одного
квадрата.

Так, квадрату
размером 2×2 мм на плане масштаба 1:1000
соответствует на местности квадрат 2×2
м, то есть площадь равная 4 м².
Если подсчитанное число квадратиков
равно 122,4, то площадь участка равна 122,4
· 4 м²
= 490 м².

Д

Рис. 5.1 Палетка
с параллельными линиями

ля измерения площади палеткой с
параллельными линия­ми ее накладывают
на план так, чтобы противоположные края
участка расположились посредине между
линиями палетки (рис. 5.1).

Отрезки линий
палетки, ограниченные контуром участка,
можно рассматривать как средние линии
трапеций, заключенных на рисунке между
пунктирными линиями. Из­мерив длины
средних линий d₁,
d₂,
…, d_n,
площадь участка
вычисляют по формуле (5.1):

P
= h(d₁
+ d₂
+ … + d_n), (5.1)

где h
— расстояние
между линиями палетки (в масштабе).

Определение суммы
отрезков d₁
+ d₂
+ … + d_n
выполняют циркулем-измерителем. Взяв
в раствор измерителя отрезок d₁,
переносят
измеритель на следующую линию, на
продолжение отрезка d₂
и увеличивают
раствор так, что в растворе будет набрана
сумма d₁
+ d₂.
Продолжая,
накапливают всю сумму расстояний и
определяют ее значение по масштабной
линейке.

Прямоугольная
палетка построена в виде сетки квадратов.
Определение площади прямоугольной
палеткой выполняют по способу А.Н. Савича
(рис.5.2).

Способ А. Н. Савича
применяется при измерении на плане
больших площадей. Часть Р₀
площади участка (рис. 5.2), состоящая из
целых квадратов, образованных линиями
координатной сетки, не требует измерения
– она равна сумме известных площадей
квадратов. Измеряют площади Р₁,
Р₂,
Р₃,
Р₄,
расположенные на краях участка и
составленные нецелыми
частями квадратов. Вся измеряемая
площадь равна

Р

Рис. 5.2 Измерение
площади способом Савича

= Р₀
+ Р₁
+ Р₂
+ Р₃+
Р₄. (5.2)

Измерение площадей
Р₁,
Р₂,
Р₃,
Р₄
может быть
выполнено любым из описанных выше
методов (по координатам, по линейно-угловым
измерениям).

Д

Рис. 5.3 К способу
Савича

ля повышения точности измерения
площадейР₁,
Р₂,
Р₃
и Р₄
рекомендуется измерять
еще и дополнения этих площа­дей до
целых квадратов и окончательные их
значения вычис­лять. Пусть, например,
непосредственное измерение площади Р₁
дало результат R
(рис. 5.3). Измерением площади,
дополняющей R
до пяти целых квадратов,
получен результат Q.
Если бы не погрешности
измерений и деформации бумаги, то сумма
R
+ Q
равнялась бы точно P_Q
– площади прямоуголь­ника,
состоящего из пяти квадратов. Полагая
погрешности пропорциональными размерам
измеряемых площадей, напишем пропорцию
,
откуда следует . (5.3)

Аналогично вычисляют
и площади Р₂,
Р₃,
Р₄.

Достоинством
способа Савича является то, что
значитель­ная часть площади (а именно
– Р₀)
определяется
без измере­ний, аналитически. Уменьшение
измеряемой части площади и выполнение
измерений с контролем повышают точность
оп­ределения площади. Кроме того,
оказывается учтенной дефор­мация
бумаги.

Если значительная
часть площади составлена целыми
квад­ратами, а измерять приходится
лишь малую ее часть, точность способа
Савича близка к точности аналитических
способов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Заполните пропуски.
1) Равные фигуры имеют _ площади.
2) Площадь фигуры равна сумме _, из которых она состоит.
3) За единицу измерения площади выбирают _, сторона которого равна _
4) Измерить площадь фигуры − значит подсчитать, сколько _ в ней помещается.
5) 1

с

м

2

− это площадь квадрата со стороной _
6) 1

д

м

2

− это _
7) Площадь прямоугольника вычисляют по формуле S = _ * _, где S − его _, _ и _ − длины _, выраженные _ единицах.
8) Площадь квадрата вычисляют по формуле S = _, где S − _, _ − его _
9) 1

м

2

= ☐

с

м

2

10) 1

к

м

2

= ☐

м

2

11) 1 a = ☐

м

2

12) 1 га = ☐

м

2

= ☐ а

Площади каких двух фигур ни при каких размерах не могут быть в точности равны? Треугольника и ромба Трапеции и параллелограмма Прямоугольника и пятиугольника Круга и квадрата Площадь круга Sкр=пи*r*2 (эллипса S=пи*R*r), и т.к. пи — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа пи была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году Т.е. сколько не тяни резину (число пи) все равно будет растягиваться. В данном случае будет правильно и будет доказательство, что это будет связано с числом пи, это площадь круга (эллипса) и любая другая фигура: круг и параллелограмм, круг и квадрат, круг и треугольник, круг и многоугольник … автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Olga Best [58K] 6 лет назад  Увидев последний вариант ответа можно уверенно сказать, что площадь круга и квадрата никогда не будет равна. Их площади принципиально находятся абсолютно разными формулами. Выбираем ответ — КРУГ И КВАДРАТ Я в этом вопросе совсем запуталась, даже когда его задавала пропустила нужный вариант. Сидя за компьютером ошибаешься, что уж говорить о тех, кто находился в студии и участвовал в викторине. В ответе нужно указать площади- Круга и квадрата, только они не могут быть в точности равны. РУДЬК­О [257K] 6 лет назад  Если в формуле площади одной неометрической фигуры есть число «ПИ», а в формуле площади другой фигуры таковой величины нет, то, соответственно, и площади этих геометрических фигур равны быть не могут, потому как «ПИ»- бесконечная величина. Правильный ответ «Круг и Квадрат». Galin­a7v7 [121K] 6 лет назад  Правильнее на этот вопрос ответить:две фигуры никогда не сравняются по площади — это круг, и любая фигура,вписанная в окружность, будь то квадрат или треугольник, или же n-угольник.Причём , n-угольник, при стремлении n к бесконечности приближается по площади к площади круга, но никогда не сравнятся.А ответ на заданный вопрос:никогда не сравняются площадь круга,и площадь квадрата.И это так называемая задача квадратуры круга.Которая заключается в построении с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна данному кругу. Это одна из знаменитых нерешённых задач. Все первые три ответа имеют решение. А площади квадрата и круга никогда не будут равны. Ни один из вариантов не является правильным ответом. Да, задачу Квадратуры Круга не решить с помощью циркуля и линейки — это верно. Но её можно решить с помощью Квадратрисы(можно посмотреть что это такое в Википедии). То есть можно построить и отрезок длиной корень из Pi, и квадрат со стороной корень из Pi. Площадь этого квадрата будет — Pi. Что будет равно площади круга со стороной 1. Эта «задача» не имеет ни смысла, ни решения. Все равно, как если бы спросили: «На сколько сомножителей можно разложить число 1? Выберите правильный ответ: 1) на два, 2) на три, 3) на четыре, 4) на 0,5. Вместо «правильного ответа» на эту бессмысленную задачу лучше процитирую комментарий на нее профессора Павла Семёнова, доктора физико-математических. Он назвал эту задачу «квадратурой образования». Оказывается, как пишет Семёнов, этот вопрос был задан на 11-й минуте телепередачи на 1-м канале «Кто хочет стать миллионером?». За якобы «правильный ответ» можно было получить 100 тысяч рублей. И такой «правильный» ответ был дан — после многих обсуждений и даже взятия двух подсказок. Однако, как справедливо пишет Семёнов, «поставленный вопрос безумен изначально», еще до появления каких-либо вариантов ответа. И ссылается на курс геометрии основной школы, то есть на 7 — 9 классы. То сеть всегда может существовать квадрат, равный по площади данному кругу. И наоборот. Вот что он пишет. И дальше он поясняет, с какой проблемой перепутали составители, с позволения сказать, приведенной «задачи»: Елена Д [360K] 6 лет назад  Есть некоторое ощущение, что один из вариантов ответа в данном случае является пропущенным по небольшому недосмотру — полагаю, что именно этот недоупомянутый вариант и оказывается верным при ответе на этот вопрос викторины. Это вариант «Круга и квадрата» — площади круга и квадрата ни в каком случае не могут совпадать по причине наличия углов у одного и дуг у другого. Oleg7­4 [204K] 6 лет назад  Простому человеку без математических задатков будет трудно сразу ответить на представленный вопрос, но если немного подумать, то можно дойти и до правильного ответа, которого почему-то у автора вопроса в вариантах ответов нет. А должен быть еще один ответ, который выглядит так — круга и квадрата. Пашен­ька [189K] 6 лет назад  Очень сложный вопрос оказался для меня, как-то не совсем понятно, как можно сравнивать площади двух совершенно разных фигур. Однако ответ все равно нужно дать и, что интересно, он существует. КРУГ, а также КВАДРАТ должны быть в ответе. Просто строение у них разное и расчет поэтому другой. Alen4­uk [161K] 6 лет назад  не нужно знать геометрию, чтобы ответить на этот вопрос викторины. Из перечисленных вариантов ответов круг и квадрат ни при каких размерах ни смогут иметь одинаковую площадь. Это и будет правильный ответ — круг и квадрат. Tiuno­v [28.1K] 6 лет назад  Слаб в математике и поэтому буду угадывать. Нот так как четвертый вариант ответа появился вовремя, то считаю верным вариантом «Круг и квадрат». Многие пользователи со мной полностью согласны. Ответ — круг и квадрат. Конечно же это круг и квадрат. Хотя необходимо признать что этот вопрос очень трудный для моего гуманитарного и художественного склада ума. На этот раз пришлось правильный ответ найти в поиске, в интернете. timur­ovec [274K] 6 лет назад  На первый взгляд в тексте вопроса заложено ложное утверждение. Но вспомнив что существует магическое число пи, которое относится только к кругу и тот факт, что это число практически бесконечно, можно допустить логический вывод, что по площади с кругом не может совпадать площадь других фигур имеющих углы. Для нашего случая это сочетание круга и квадрата. Знаете ответ?