Коды исправляющие ошибки относятся к кодам с

В

1. В системе ТС на
пункте управления размещаются …

+ передатчик
системы ТС

2. В системе ТУ на
контролируемом пункте размещаются …

+ приемник системы
ТУ

3. В системе ТУ на
пункте управления размещаются …

+ передатчик
системы ТУ

4. В системе ТУ-ТС
на контролируемых пунктах (на КП)
размещаются …

+ передатчик
системы ТС

+ приемник системы
ТУ

5. В системе ТУ-ТС
на пункте управления (на ПУ) размещаются
…

+ передатчик
системы ТУ

+ приемник системы
ТС

6. Все объекты,
размещаемые на контролируемых
телемеханических пунктах, разделяются
на следующие группы:

+ управляемые
контролируемые

+ неуправляемые
контролируемые

7.
Вес вычисленного в декодере синдрома
равен нулю, это значит: 1) Ошибок в
принятом сообщении нет; 2) Ошибки в
принятом сообщении есть, но они не …

+ обнаружены
(ввести)

8. Вид вычисляемых
в декодере синдромов не зависит от
того, какое сообщение передавалось, а
зависит только от векторов …

+
ошибок
(ввести)

Д

9. Декодер кода
Хэмминга в системах телемеханики
предназначен для преобразования …
кода в обыкновенный код.

+ помехоустойчивого
(ввести)

10.
Декодер является …

+ цифровым
устройством

З

11. Значения
параметров объектов, контроль которых
обеспечивает система телеизмерения

+ текущие

12. Значения
параметров объектов, контроль которых
обеспечивает система телесигнализации
…

+ текущие состояния
контролируемых и управляемых дискретных
объектов

И

13.
Импульсные признаки кода:

+ частотные

+ фазовые

+ амплитудные

+ временные

15. Импульсные признаки кода:

+ полярные

+ фазовые

16.
Информационные показатели кода:

+ скорость кода

+ коэффициент
избыточности

17. Информационные показатели кода:

+ максимальная
кратность обнаруживаемых ошибок

+ максимальная
кратность исправляемых ошибок

18. Информационные
характеристики кода:

+ максимальная
кратность обнаруживаемых ошибок

+ максимальная
кратность исправляемых ошибок

19. Исходные данные
для синтеза помехоустойчивых кодов:

+ число передаваемых
сообщений

+ корректирующая
способность кода

К

20. Контролируемый
телемеханический пункт (КП) — место
размещения объектов, …

+ контролируемых
или управляемых средствами телемеханики

21. Коды, в которых
информационные и избыточные символы
постоянно занимают одни и те же номера
разрядов — …

+ разделимые
(ввести)

22. Коды, в которых
невозможно определить номера разрядов,
занимаемых информационными и избыточными
символами

+ неразделимые
(ввести)

23. Коды, в которых
связь между информационными и избыточными
символами отсутствует — …

+ несистематические
(ввести)

24. Коды, исправляющие
ошибки, относятся к кодам с … использованием
комбинаций…

+ частичным
(ввести)

25. Коды, обнаруживающие
и исправляющие ошибки определенных
кратностей — …

+ помехоустойчивые
(ввести)

26. Коды, обнаруживающие
ошибки, относятся к кодам с … использованием
комбинаций

+ частичным
(ввести)

27. Коды с максимальным
значением скорости кода — …

+ совершенные
(ввести)

28. Коды, у которых
все сообщения имеют одинаковое число
разрядов — …

+
блоковые
(ввести)

29. Кодер кода
Хэмминга в системах телемеханики
предназначен для преобразования
обыкновенного кода в … код.

+ помехоустойчивый
(ввести)

30.
Кодер является …

+ цифровым
устройством

31. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки определенных кратностей — …

+ помехоустойчивые
(ввести)

32. Коды с обнаружением
и исправлением ошибок:

+ Хэмминга

+ циклические,
получаемые способом умножения полиномов

+ циклические,
получаемые способом вычисления и
добавления разрядов остатков

33. Корректирующая
способность кода — это его способность
…

+ Обнаруживать и
исправлять ошибки определенных
кратностей

М

34. Многоточечная
структура телемеханической сети, в
которой каждый контролируемый пункт
соединен с пунктом управления отдельным
каналом связи — …

+ радиальная
(ввести)

35. Многоточечная
структура телемеханической сети, в
которой контролируемые пункты соединены
с пунктом управления общим каналом
связи — …

+
цепочечная
(ввести)

36. Минимальное
кодовое расстояние d помехоустойчивых
кодов, позволяющих и обнаруживать и
исправлять ошибки определенных
кратностей …

+

37.

+ исправлять все
ошибки кратностей 1, 2

+ обнаруживать
все ошибки кратностей 1, 2, 3, 4

38. Минимальное
кодовое расстояние d, при котором
помехоустойчивые коды позволяют
обнаруживать и исправлять ошибки
определенных кратностей — …

+ 3 (ввести)

39.

+ Возможность кода
обнаруживать все ошибки кратностей 1,
2, 3

40.

+ исправлять все
ошибки кратностей 1, 2

+ обнаруживать
все ошибки кратностей 1, 2, 3, 4

Н

41. Назначение
системы телемеханики …

+ передача и прием
информационных сигналов

42. Наука о способах
и методах формирования, передачи и
приема информационных сигналов —

+ телемеханика
(ввести)

43. Необнаружение
ошибок определенных кратностей в
декодере происходит в том случае, если
эти ошибки переводят передаваемое
разрешенное сообщение в другое …
сообщение.

+ разрешенное
(ввести)

44. Назначение
проверочной матрицы Н при синтезе кода
Хэмминга …

+ составление
систем линейных уравнений, определяющих
алгоритмы кодирования и декодирования
сообщений

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

7.1. Классификация корректирующих кодов

7.2. Принципы помехоустойчивого кодирования

7.3. Систематические коды

7.4. Код с четным числом единиц. Инверсионный код

7.5. Коды Хэмминга

7.6. Циклические коды

7.7. Коды с постоянным весом

7.8. Непрерывные коды

7.1. Классификация корректирующих кодов

В каналах с помехами эффективным средством повышения достоверности передачи сообщений является помехоустойчивое кодирование. Оно основано на применении специальных кодов, которые корректируют ошибки, вызванные действием помех. Код называется корректирующим, если он позволяет обнаруживать или обнаруживать и исправлять ошибки при приеме сообщений. Код, посредством которого только обнаруживаются ошибки, носит название обнаруживающего кода. Исправление ошибки при таком кодировании обычно производится путем повторения искаженных сообщений. Запрос о повторении передается по каналу обратной связи. Код, исправляющий обнаруженные ошибки, называется исправляющим, кодом. В этом случае фиксируется не только сам факт наличия ошибок, но и устанавливается, какие кодовые символы приняты ошибочно, что позволяет их исправить без повторной передачи. Известны также коды, в которых исправляется только часть обнаруженных ошибок, а остальные ошибочные комбинации передаются повторно.

Для того чтобы «од обладал корректирующими способностями, в кодовой последовательности должны содержаться дополнительные (избыточные) символы, предназначенные для корректирования ошибок. Чем больше избыточность кода, тем выше его корректирующая способность.

Помехоустойчивые коды могут быть построены с любым основанием. Ниже рассматриваются только двоичные коды, теория которых разработана наиболее полно.

В настоящее время известно большое количество корректирующих кодов, отличающихся как принципами построения, так и основными характеристиками. Рассмотрим их простейшую классификацию, дающую представление об основных группах, к которым принадлежит большая часть известных кодов [12]. На рис. 7.1 показана схема, поясняющая классификацию, проведенную по способам построения корректирующих кодов.

Все известные в настоящее время коды могут быть разделены

на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочные коды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символов разделена на блоки операции кодирования и декодирования в каждом блоке производятся отдельно. Отличительной особенностью непрерывных кодов является то, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. Здесь процессы кодирования и декодирования не требуют деления кодовых символов на блоки.

Рис. 7.1. Классификация корректирующих кодов

Разновидностями как блочных, так и непрерывных кодов являются разделимые и неразделимые коды. В разделимых кодах всегда можно выделить информационные символы, содержащие передаваемую информацию, и контрольные (проверочные) символы, которые являются избыточными и служат ‘исключительно для коррекции ошибок. В неразделимых кодах такое разделение символов провести невозможно.

Наиболее многочисленный класс разделимых кодов составляют линейные коды. Основная их особенность состоит в том, что контрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.

В свою очередь, линейные коды могут быть |разбиты на два подкласса: систематические и несистематические. Все двоичные систематические коды являются групповыми. Последние характеризуются принадлежностью кодовых комбинаций к группе, обладающей тем свойством, что сумма по модулю два любой пары комбинаций снова дает комбинацию, принадлежащую этой группе. Линейные коды, которые не могут быть отнесены к подклассу систематических, называются несистематическими. Вертикальными прямоугольниками на схеме рис. 7.1 представлены некоторые конкретные коды, описанные в последующих параграфах.

7.2. Принципы помехоустойчивого кодирования

В теории помехоустойчивого кодирования важным является  вопрос об использовании  избыточности для корректирования возникающих при  передаче ошибок. Здесь   удобно   рассмотреть блочные моды, в которых всегда имеется возможность выделить отдельные кодовые комбинации. Напомним, что для равномерных кодов, которые в дальнейшем только и будут изучаться, число возможных комбинаций равно M=2n, где п — значность кода. В обычном некорректирующем коде без избыточности, например в коде Бодо, число комбинаций М выбирается равным числу сообщений алфавита источника М0и все комбинации используются для передачи информации. Корректирующие коды строятся так, чтобы число комбинаций М превышало число сообщений источника М0. Однако в.этом случае лишь М0комбинаций из общего числа  используется для передачи  информации.  Эти  комбинации называются разрешенными, а остальные М—М0комбинаций носят название запрещенных. На приемном конце в декодирующем устройстве известно, какие комбинации являются разрешенными и какие запрещенными. Поэтому если переданная разрешенная комбинация в результате ошибки преобразуется в некоторую запрещенную комбинацию, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условиях исправлена. Естественно, что ошибки, приводящие к образованию другой разрешенной комбинации, не обнаруживаются.

Различие между комбинациями равномерного кода принято характеризовать расстоянием, равным числу символов, которыми отличаются комбинации одна от другой. Расстояние d между двумя комбинациями  и  определяется количеством единиц в сумме этих комбинаций по модулю два. Например,

Для любого кода d. Минимальное расстояние между разрешенными комбинациями ,в данном коде называется кодовым расстоянием d.

Расстояние между комбинациями  и  условно обозначено на рис. 7.2а, где показаны промежуточные комбинации, отличающиеся друг от друга одним символом. B общем случае некоторая пара разрешенных комбинаций  и , разделенных кодовым расстоянием d, изображается на прямой рис. 7.2б, где точками указаны запрещенные комбинации. Для того чтобы в результате ошибки комбинация  преобразовалась в другую разрешенную комбинацию , должно исказиться d символов.

Рис. 7.2.  Геометрическое представление разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций

При искажении меньшего числа символов комбинация  перейдет в запрещенную комбинацию и ошибка будет обнаружена. Отсюда следует, что ошибка всегда обнаруживается, если ее кратность, т. е. число искаженных символов в кодовой комбинации,

                                                                                                              (7.1)

Если g>d, то некоторые ошибки также обнаруживаются. Однако полной гарантии обнаружения ошибок здесь нет, так как ошибочная комбинация ib этом случае может совпасть с какой-либо разрешенной комбинацией. Минимальное кодовое расстояние, при котором обнаруживаются любые одиночные ошибки, d=2.

Процедура исправления ошибок в процессе декодирования сводится к определению переданной комбинации по известной принятой. Расстояние между переданной разрешенной комбинацией и принятой запрещенной комбинацией d0 равно кратности ошибок g. Если ошибки в символах комбинации происходят независимо относительно друг друга, то вероятность искажения некоторых g символов в n-значной комбинации будет равна:

                                                                                                         (7.2)

где — вероятность искажения одного символа. Так как обычно <<1, то вероятность многократных ошибок уменьшается с увеличением их кратности, при этом более вероятны меньшие расстояния d0. В этих условиях исправление ошибок может производиться по следующему правилу. Если принята запрещенная комбинация, то считается переданной ближайшая разрешенная комбинация. Например, пусть образовалась запрещенная комбинация  (см.рис.7.2б), тогда принимается решение, что была передана комбинация . Это .правило декодирования для указанного распределения ошибок является оптимальным, так как оно обеспечивает исправление максимального числа ошибок. Напомним, что аналогичное правило используется в теории потенциальной помехоустойчивости при оптимальном приеме дискретных сигналов, когда решение сводится к выбору того переданного сигнала, который ib наименьшей степени отличается от принятого. Нетрудно определить, что при таком правиле декодирования будут исправлены все ошибки кратности

                                                                                                             (7.3)

Минимальное значение d, при котором еще возможно исправление любых одиночных ошибок, равно 3.

Возможно также построение таких кодов, в которых часть ошибок исправляется, а часть только обнаруживается. Так, в соответствии с рис. 7.2в ошибки кратности  исправляются, а ошибки, кратность которых лежит в пределах только обнаруживаются. Что касается ошибок, кратность которых сосредоточена в пределах , то они обнаруживаются, однако при их исправлении принимается ошибочное решение — считается переданной комбинация А вместо Aили наоборот.

Существуют двоичные системы связи, в которых решающее устройство выдает, кроме обычных символов 0 и 1, еще так называемый символ стирания . Этот символ соответствует приему сомнительных сигналов, когда затруднительно принять определенное решение в отношении того, какой из символов 0 или 1 был передан. Принятый символ в этом случае стирается. Однако при использовании корректирующего кода возможно восстановление стертых символов. Если в кодовой комбинации число символов  оказалось равным gc, причем

                                                                                                            (7.4)

а остальные символы приняты без ошибок, то такая комбинация полностью восстанавливается. Действительно, для восстановления всех символов  необходимо перебрать всевозможные сочетания из gc символов типа 0 и 1. Естественно, что все эти сочетания, за исключением одного, будут неверными. Но так как в неправильных сочетаниях кратность ошибок , то согласно неравенству (7.1) такие ошибки обнаруживаются. Другими словами, в этом случае неправильно восстановленные сочетания из gc символов совместно с правильно принятыми символами образуют запрещенные комбинации и только одно- сочетание стертых символов даст разрешенную комбинацию, которую и следует считать как правильно восстановленную.

Если , то при восстановлении окажется несколько разрешенных комбинаций, что не позволит принять однозначное решение.

Таким образом, при фиксированном кодовом расстоянии максимально возможная кратность корректируемых ошибок достигается в кодах, которые обнаруживают ошибки или .восстанавливают стертые символы. Исправление ошибок представляет собой более трудную задачу, практическое решение которой сопряжено с усложнением кодирующих и декодирующих устройств. Поэтому исправляющие «оды обычно используются для корректирования ошибок малой кратности.

Корректирующая способность кода возрастает с увеличением d. При фиксированном числе разрешенных комбинаций Мувеличение d возможно лишь за счет роста количества запрещенных комбинаций:

                                                                                                  (7.5)

что, в свою очередь, требует избыточного числа символов r=n—k, где k — количество символов в комбинации кода без избыточности. Можно ввести понятие избыточности кода и количественно определить ее по аналогии с (6.12) как

                                                                                          (7.6)

При независимых ошибках вероятность определенного сочетания g ошибочных символов в n-значной кодовой комбинации выражается ф-лой ((7.2), а количество всевозможных сочетаний g ошибочных символов в комбинации зависит от ее длины и определяется известной формулой числа сочетаний

Отсюда полная вероятность ошибки кратности g, учитывающая все сочетания ошибочных символов, равняется:

                                                                                              (7.7)

Используя (7.7), можно записать формулы, определяющие вероятность отсутствия ошибок в кодовой комбинации, т. е. вероятность правильного приема

и вероятность правильного корректирования ошибок

Здесь суммирование ‘Производится по всем значениям кратности ошибок g, которые обнаруживаются и исправляются. Таким образом, вероятность некорректируемых ошибок равна:

                                                  (7.8)

Анализ ф-лы (7.8) показывает, что при малой величине Р0и сравнительно небольших значениях п наиболее вероятны ошибки малой кратности, которые и необходимо корректировать в первую очередь.

Вероятность Р, избыточность  и число символов n являются основными характеристиками корректирующего кода, определяющими, насколько удается повысить помехоустойчивость передачи дискретных сообщений и какой ценой это достигается.

Общая задача, которая ставится при создании кода, заключается, в достижении наименьших значений Р и . Целесообразность применения того или иного кода зависит также от сложности кодирующих и декодирующих устройств, которая, в свою очередь, зависит от п. Во многих практических случаях эта сторона вопроса является решающей. Часто, например, используются коды с большой избыточностью, но обладающие простыми правилами кодирования и декодирования.

В соответствии с общим принципом корректирования ошибок, основанным на использовании разрешенных и запрещенных комбинаций, необходимо сравнивать принятую комбинацию со всеми комбинациями данного кода. В результате М сопоставлений и принимается решение о переданной комбинации. Этот способ декодирования логически является наиболее простым, однако он требует сложных устройств, так как в них должны запоминаться все М комбинаций кода. Поэтому на практике чаще всего используются коды, которые позволяют с помощью ограниченного числа преобразований принятых кодовых символов извлечь из них всю информацию о корректируемых ошибках. Изучению таких кодов и посвящены последующие разделы.

7.3. Систематические коды

Изучение конкретных способов помехоустойчивого кодирования начнем с систематических кодов, которые в соответствии с классификацией (рис. 7.1) относятся к блочным разделимым кодам, т. е. к кодам, где операции кодирования осуществляются независимо в пределах каждой комбинации, состоящей из информационных и контрольных символов.

Остановимся кратко на общих принципах построения систематических кодов. Если обозначить информационные символы буквами с, а контрольные — буквами е, то любую кодовую комбинацию, содержащую k информационных и r контрольных символов, можно представить последовательностью:, где с и е в двоичном коде принимают значения 0 или 1.

Процесс кодирования на передающем конце сводится к образованию контрольных символов, которые выражаются в виде линейной функции информационных символов:

*                                                                       (7.9)

Здесь  — коэффициенты, равные 0 или 1, а  и  — знаки суммирования по модулю два. Значения * выбираются по определенным правилам, установленным для данного вида кода. Иными словами, символы е представляют собой суммы по модулю два информационных символов в различных сочетаниях. Процедура декодирования принятых комбинаций может осуществляться различными» методами. Один из них, так называемый метод контрольных чисел, состоит в следующем. Из информационных символов принятой кодовой комбинации * образуется по правилу (7.9) вторая группа контрольных символов *

Затем производится сравнение обеих групп контрольных символов путем их суммирования по модулю два:

*                                                                                                (7.10)

Полученное число X называется контрольным числом или синдромом. С его помощью можно обнаружить или исправить часть ошибок. Если ошибки в принятой комбинации отсутствуют, то все суммы*, а следовательно, и контрольное число X будут равны .нулю. При появлении ошибок некоторые значения х могут оказаться равным 1. В этом случае , что и позволяет обнаружить ошибки. Таким образом, контрольное число Х определяется путем r проверок на четность.

Для исправления ошибок знание одного факта их возникновения является недостаточным. Необходимо указать номер ошибочно принятых символов. С этой целью каждому сочетанию исправляемых ошибок в комбинации присваивается одно из контрольных чисел, что позволяет по известному контрольному числу определить место положения ошибок и исправить их.

Контрольное число X записывается в двоичной системе, поэтому общее количество различных контрольных чисел, отличающихся от нуля, равно*. Очевидно, это количество должно быть не меньше числа различных сочетаний ошибочных символов, подлежащих исправлению. Например, если код предназначен для исправления одиночных ошибок, то число различных вариантов таких ошибок равно . В этом случае должно выполняться условие

                                                                                                        (7.11)

Формула (7.11) позволяет при заданном количестве информационных символов k определить необходимое число контрольных символов r, с помощью которых исправляются все одиночные ошибки.

7.4. Код с чётным числом единиц. Инверсионный код

Рассмотрим некоторые простейшие систематические коды, применяемые только для обнаружения ошибок. Одним из кодов подобного типа является код с четным числом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит, помимо информационных символов, один контрольный символ, выбираемый равным 0 или 1 так, чтобы сумма единиц в комбинации всегда была четной. Примером могут служить пятизначные комбинации кода Бодо, к которым добавляется шестой контрольный символ: 10101,1 и 01100,0. Правило вычисления контрольного символа можно выразить на

основании (7.9) в следующей форме: . Отсюда вытекает, что для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю (— суммирование по модулю):

                                                                                                       (7.12)

Это позволяет в декодирующем устройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки на четность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных, трехкратных и в общем, случае ошибок нечетной кратности, что и дает возможность их обнаружить. Появление четных ошибок не изменяет четности суммы (7.12), поэтому такие ошибки не обнаруживаются. На основании ,(7.8) вероятность необнаруженной ошибки равна:

К достоинствам кода следует отнести простоту кодирующих и декодирующих устройств, а также малую .избыточность , однако последнее определяет и его основной недостаток — сравнительно низкую корректирующую способность.

Значительно лучшими корректирующими способностями обладает инверсный код, который также применяется только для обнаружения ошибок. С принципом построения такого кода удобно ознакомиться на примере двух комбинаций: 11000, 11000 и 01101, 10010. В каждой комбинации символы до запятой являются информационными, а последующие — контрольными.   Если   количество единиц в информационных символах четное, т. е. сумма этих

символов

                                                                                                                 (7.13)

равна нулю, то контрольные символы представляют собой простое повторение информационных. В противном случае, когда число единиц нечетное и сумма (7.13) равна 1, контрольные символы получаются из информационных посредством инвертирования, т. е. путем замены всех 0 на 1, а 1 на 0. Математическая форма записи образования контрольных символов имеет вид . При декодировании происходит сравнение принятых информационных и контрольных символов. Если сумма единиц в принятых информационных символах четная, т. е. , то соответствующие друг другу информационные и контрольные символы суммируются по модулю два. В противном случае, когда c‘=1, происходит такое же суммирование, но с инвертированными контрольными символами. Другими словами, в соответствии с (7.10) производится r проверок на четность: . Ошибка обнаруживается, если хотя бы одна проверка на четность дает 1.

Анализ показывает, что при  наименьшая кратность необнаруживаемой ошибки g=4. Причем не обнаруживаются только те ошибки четвертой кратности, которые искажают одинаковые номера информационных и контрольных символов. Например, если передана комбинация 10100, 10100, а принята 10111, 10111, то такая четырехкратная ошибка обнаружена не будет, так как здесь все значения  равны 0. Вероятность необнаружения ошибок четвертой кратности определяется выражением

Для g>4 вероятность необнаруженных ошибок еще меньше. Поэтому при достаточно малых вероятностях ошибочных символов ро можно полагать, что полная вероятность необнаруженных ошибок

Инверсный код обладает высокой обнаруживающей способностью, однако она достигается ценой сравнительно большой избыточности, которая, как нетрудно определить, составляет величину =0,5.

7.5. Коды Хэмминга

К этому типу кодов обычно относят систематические коды с расстоянием d=3, которые позволяют исправить все одиночные ошибки (7.3).

Рассмотрим построение семизначного кода Хэмминга, каждая комбинация которого содержит четыре  информационных и триконтрольных символа. Такой код, условно обозначаемый (7.4), удовлетворяет неравенству (7.11)    и   имеет   избыточность

Если информационные символы с занимают в комбинация первые четыре места, то последующие три контрольных символа образуются по общему правилу (7.9) как суммы:

                                                                              (7.14)

Декодирование осуществляется путем трех проверок на четность (7.10):

                                                                                  (7.15)

Так как х равно 0 или 1, то всего может быть восемь контрольных чисел Х=х1х2х3: 000, 100, 010, 001, 011, 101, 110 и 111. Первое из них имеет место в случае правильного приема, а остальные семь появляются при наличии искажений и должны использоваться для определения местоположения одиночной ошибки в семизначной комбинации. Выясним, каким образом устанавливается взаимосвязь между контрольными числами я искаженными символами. Если искажен один из контрольных символов:  или , то, как следует из (7.15), контрольное число примет соответственно одно из трех значений: 100, 010 или 001. Остальные четыре контрольных числа используются для выявления ошибок в информационных символах.

Таблица 7.1

Порядок присвоения контрольных чисел ошибочным информационным символам может устанавливаться любой, например, как показано в табл. 7.1. Нетрудно показать, что этому распределению контрольных чисел соответствуют коэффициенты , приведенные в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Если подставить коэффициенты  в выражение (7.15), то получим:

                                                                                  (7.16)

При искажении одного из информационных символов становятся равными единице те суммы х, в которые входит этот символ. Легко проверить, что получающееся в этом случае контрольное число согласуется с табл. 7.1.Нетрудно заметить, что первые четыре контрольные числа табл. 7.1 совпадают со столбцами табл. 7.2. Это свойство дает возможность при выбранном распределении контрольных чисел составить таблицу коэффициентов . Таким образом, при одиночной ошибке можно вычислить контрольное число, позволяющее по табл. 7.1 определить тот символ кодовой комбинации, который претерпел искажения. Исправление искаженного символа двоичной системы состоит в простой замене 0 на 1 или 1 на 0. B качестве примера рассмотрим передачу комбинации, в которой информационными символами являются , Используя ф-лу (7.14) и табл. 7.2, вычислим контрольные символы:

Передаваемая комбинация при этом будет . Предположим, что принята комбинация — 1001, 010 (искажен символ ). Подставляя соответствующие значения в (7.16), получим:

Вычисленное таким образом контрольное число  110 позволяет согласно табл. 7.1 исправить ошибку в символе.

Здесь был рассмотрен простейший способ построения и декодирования кодовых комбинаций, в которых первые места отводились информационным символам, а соответствие между контрольными числами и ошибками определялось таблице. Вместе с тем существует более изящный метод отыскания одиночных ошибок, предложенный впервые самим Хэммингом. При этом методе код строится так, что контрольное число в двоичной системе счисления сразу указывает номер искаженного символа. Правда, в этом случае контрольные символы необходимо располагать среди информационных, что усложняет процесс кодирования. Для кода (7.4) символы в комбинации должны размещаться в следующем порядке: , а контрольное число вычисляться по формулам:

                                                                                         (7.17)

Так, если произошла ошибка в информационном символе с’5 то контрольное  число , что соответствует  числу 5 в двоичной системе.

В заключение отметим, что в коде (7.4) при появлении многократных ошибок контрольное число также может отличаться от нуля. Однако декодирование в этом случае будет проведено неправильно, так как оно рассчитано на исправление лишь одиночных ошибок.

7.6. Циклические коды

Важное место среди систематических кодов занимают циклические коды. Свойство цикличности состоит в том, что циклическая перестановка всех символов кодовой комбинации  дает другую комбинацию  также принадлежащую этому коду. При такой перестановке символы кодовой комбинации перемещаются слева направо на одну позицию, причем крайний правый символ переносится на место крайнего левого символа. Например, .

Комбинации циклического кода, выражаемые двоичными числами, для удобства преобразований обычно определяют в виде полиномов, коэффициенты которых равны 0 или 1. Примером этому может служить следующая запись:

Помимо цикличности, кодовые комбинации обладают другим важным свойством. Если их представить в виде полиномов, то все они делятся без остатка на так называемый порождающий полином G(z) степени , где k—значность первичного кода без избыточности, а п-значность циклического кода

Построение комбинаций циклических кодов возможно путем умножения комбинации первичного кода A*(z) ,на порождающий полином G(z):

A(z)=A*(z)G(z).

Умножение производится по модулю zn и в данном случае сводится к умножению по обычным правилам с приведением подобных членов по модулю два.

В полученной таким способом комбинации A(z) в явном виде не содержатся информационные символы, однако они всегда могут быть выделены в результате обратной операции: деления A(z) на G(z).

Другой способ кодирования, позволяющий представить кодовую комбинацию в виде информационных и контрольных символов, заключается в следующем. К комбинации первичного кода дописывается справа г нулей, что эквивалентно повышению полинома A*(z) на ,г разрядов, т. е. умножению его на гг. Затем произведение zrA*(z) делится на порождающий полином. B общем случае результат деления состоит из целого числа Q(z) и остатка R(z). Отсюда

Вычисленный остаток К(г) я используется для образования комбинации циклического кода в виде суммы

A(z)=zrA*(z)@R(z).

Так как сложение и вычитание по модулю два дают один и тот же результат, то нетрудно заметить, что A(z) = Q(z)G(z), т. е. полученная комбинация удовлетворяет требованию делимости на порождающий полином. Степень полинома R{z) не превышает r—1, поэтому он замещает нули в комбинации zA*(z).

Для примера рассмотрим циклический код c n = 7, k=4, r=3 и G(z)=z3-z+1=1011. Необходимо закодировать комбинацию A*(z)=z*+1 = 1001. Тогда zA*(z)=z+z= 1001000. Для определения остатка делим z3A*(z) на G(z):

Окончательно получаем

В А(z) высшие четыре разряда занимают информационные символы, а остальные при — контрольные.

Контрольные символы в циклическом коде могут быть вычислены по общим ф-лам (7.9), однако здесь определение коэффициентов  затрудняется необходимостью выполнять требования делимости А(z) на порождающий полином G(z).

Процедура декодирования принятых комбинаций также основана на использовании полиномов G(z). Если ошибок в процессе передачи не было, то деление принятой комбинации A(z) на G(z) дает целое число. При наличии корректируемых ошибок в результате деления образуется остаток, который и позволяет обнаружить или исправить ошибки.

Кодирующие и декодирующие устройства циклических кодов в большинстве случаев обладают сравнительной простотой, что следует считать одним из основных их преимуществ. Другим важным достоинством этих кодов является их способность корректировать пачки ошибок, возникающие в реальных каналах, где действуют импульсные и сосредоточенные помехи или наблюдаются замирания сигнала.

В теории кодирования весом кодовых комбинаций принято называть .количество единиц, которое они содержат. Если все комбинации кода имеют одинаковый вес, то такой код называется кодом с постоянным весом. Коды с постоянным весом относятся к классу блочных неразделимых кодов, так как здесь не представляется возможным выделить информационные и контрольные символы. Из кодов этого типа наибольшее распространение получил обнаруживающий семизначный код 3/4, каждая разрешенная комбинация которого имеет три единицы и четыре нуля. Известен также код 2/5. Примером комбинаций кода 3/4 могут служить следующие семизначные последовательности: 1011000, 0101010, 0001110 и т. д.

Декодирование принятых комбинаций сводится к определению их веса. Если он отличается от заданного, то комбинация принята с ошибкой. Этот код обнаруживает все ошибки нечетной краткости и часть ошибок четной кратности. Не обнаруживаются только так называемые ошибки смещения, сохраняющие неизменным вес комбинации. Ошибки смещения характеризуются тем, что число искаженных единиц всегда равно числу искаженных нулей. Можно показать, что вероятность необнаруженной ошибки для кода 3/4 равна:

 при                                                                                (7.18)

В этом коде из общего числа комбинаций М = 27=128 разрешенными являются лишь , поэтому в соответствии с (7.6) коэффициент избыточности

Код 3/4 находит применение при частотной манипуляции в каналах с селективными замираниями, где вероятность ошибок смещения невелика.

7.8. Непрерывные коды

Из непрерывных кодов, исправляющих ошибки, наиболее известны коды Финка—Хагельбаргера, в которых контрольные символы образуются путем линейной операции над двумя или более информационными символами. Принцип построения этих кодов рассмотрим на примере простейшего цепного кода. Контрольные символы в цепном коде формируются путем суммирования двух информационных символов, расположенных один относительно другого на определенном расстоянии:

;                                                                             (7.19)

Расстояние между информационными символами l=k—i определяет основные свойства кода и называется шагом сложения. Число контрольных символов при таком способе кодирования равно числу информационных символов, поэтому избыточность кода =0,5. Процесс образования последовательности контрольных символов показан на рис.7. символы разметаются  между информационными символами с задержкой на два шага сложения.

Рис. 7.3. Образование и размещение контрольных символов в цепном коде Финка—Хагельбаргера

При декодировании из принятых информационных символов по тому же правилу (7.19) формируется вспомогательная последовательность контрольных символов е», которая сравнивается с принятой последовательностью контрольных символов е’ (рис. 7.36). Если произошла ошибка в информационном символе, например, c‘k, то это вызовет искажения сразу двух символов e«k и e«km, что и обнаружится в результате их сравнения с  и e‘km. Отсюда по общему индексу k легко определить и исправить ошибочно принятый информационный символ с’Ошибка в принятом контрольном символе, например, e‘k приводит к несовпадению контрольных последовательностей лишь в одном месте. Исправление  такой ошибки не требуется.

Важное преимущество непрерывных кодов состоит в их способности исправлять не только одиночные ошибки, но я группы (пакеты) ошибок. Если задержка контрольных символов выбрана равной 2l, то можно показать, что максимальная длина исправляемого пакета ошибок также равна 2l при интервале между пакетами не менее 6l+1. Таким образом, возможность исправления длинных пакетов связана с увеличением шага сложения, а следовательно, и с усложнением кодирующих и декодирующих устройств.

Вопросы для повторения

1. Как могут быть  классифицированы  корректирующие коды?

2. Каким образом исправляются ошибки в кодах, которые только их обнаруживают?

3. В чем состоят основные принципы корректирования ошибок?

4. Дайте определение кодового расстояния.

5. При каких условиях код может обнаруживать или исправлять ошибки?

6. Как используется корректирующий код в системах со стиранием?

7. Какие характеристики определяют корректирующие способности кода?

8. Как осуществляется построение кодовых комбинаций в систематических кодах?

9. На чем  основан  принцип  корректирования  ошибок  с использованием  контрольного числа?

10. Объясните метод построения кода с четным числом единиц.

11. Как осуществляется процедура кодирования в семизначном коде Хэмминга?

12. Почему семизначный код 3/4 не обнаруживает ошибки смещения?

13. Каким образом производится непрерывное кодирование?

14. От чего зависит длина пакета исправляемых ошибок в коде Финка—Хагельбаргера?

Источник

Корректирующие коды «на пальцах»

Время на прочтение
11 мин

Количество просмотров 63K

Корректирующие (или помехоустойчивые) коды — это коды, которые могут обнаружить и, если повезёт, исправить ошибки, возникшие при передаче данных. Даже если вы ничего не слышали о них, то наверняка встречали аббревиатуру CRC в списке файлов в ZIP-архиве или даже надпись ECC на планке памяти. А кто-то, может быть, задумывался, как так получается, что если поцарапать DVD-диск, то данные всё равно считываются без ошибок. Конечно, если царапина не в сантиметр толщиной и не разрезала диск пополам.

Как нетрудно догадаться, ко всему этому причастны корректирующие коды. Собственно, ECC так и расшифровывается — «error-correcting code», то есть «код, исправляющий ошибки». А CRC — это один из алгоритмов, обнаруживающих ошибки в данных. Исправить он их не может, но часто это и не требуется.

Давайте же разберёмся, что это такое.

Для понимания статьи не нужны никакие специальные знания. Достаточно лишь понимать, что такое вектор и матрица, как они перемножаются и как с их помощью записать систему линейных уравнений.

Внимание! Много текста и мало картинок. Я постарался всё объяснить, но без карандаша и бумаги текст может показаться немного запутанным.

Каналы с ошибкой

Разберёмся сперва, откуда вообще берутся ошибки, которые мы собираемся исправлять. Перед нами стоит следующая задача. Нужно передать несколько блоков данных, каждый из которых кодируется цепочкой двоичных цифр. Получившаяся последовательность нулей и единиц передаётся через канал связи. Но так сложилось, что реальные каналы связи часто подвержены ошибкам. Вообще говоря, ошибки могут быть разных видов — может появиться лишняя цифра или какая-то пропасть. Но мы будем рассматривать только ситуации, когда в канале возможны лишь замены нуля на единицу и наоборот. Причём опять же для простоты будем считать такие замены равновероятными.

Ошибка — это маловероятное событие (а иначе зачем нам такой канал вообще, где одни ошибки?), а значит, вероятность двух ошибок меньше, а трёх уже совсем мала. Мы можем выбрать для себя некоторую приемлемую величину вероятности, очертив границу «это уж точно невозможно». Это позволит нам сказать, что в канале возможно не более, чем $k$ ошибок. Это будет характеристикой канала связи.

Для простоты введём следующие обозначения. Пусть данные, которые мы хотим передавать, — это двоичные последовательности фиксированной длины. Чтобы не запутаться в нулях и единицах, будем иногда обозначать их заглавными латинскими буквами ($A$, $B$, $C$, …). Что именно передавать, в общем-то неважно, просто с буквами в первое время будет проще работать.

Кодирование и декодирование будем обозначать прямой стрелкой ($rightarrow$), а передачу по каналу связи — волнистой стрелкой ($rightsquigarrow$). Ошибки при передаче будем подчёркивать.

Например, пусть мы хотим передавать только сообщения $A=0$ и $B=1$. В простейшем случае их можно закодировать нулём и единицей (сюрприз!):

$ begin{aligned} A &to 0,\ B &to 1. end{aligned} $

Передача по каналу, в котором возникла ошибка будет записана так:

$ A to 0 rightsquigarrow underline{1} to B. $

Цепочки нулей и единиц, которыми мы кодируем буквы, будем называть кодовыми словами. В данном простом случае кодовые слова — это $0$ и $1$.

Код с утроением

Давайте попробуем построить какой-то корректирующий код. Что мы обычно делаем, когда кто-то нас не расслышал? Повторяем дважды:

$ begin{aligned} A &to 00,\ B &to 11. end{aligned} $

Правда, это нам не очень поможет. В самом деле, рассмотрим канал с одной возможной ошибкой:

$ A to 00 rightsquigarrow 0underline{1} to ?. $

Какие выводы мы можем сделать, когда получили $01$? Понятно, что раз у нас не две одинаковые цифры, то была ошибка, но вот в каком разряде? Может, в первом, и была передана буква $B$. А может, во втором, и была передана $A$.

То есть, получившийся код обнаруживает, но не исправляет ошибки. Ну, тоже неплохо, в общем-то. Но мы пойдём дальше и будем теперь утраивать цифры.

$ begin{aligned} A &to 000,\ B &to 111. end{aligned} $

Проверим в деле:

$ A to 000 rightsquigarrow 0underline{1}0 to A?. $

Получили $010$. Тут у нас есть две возможности: либо это $B$ и было две ошибки (в крайних цифрах), либо это $A$ и была одна ошибка. Вообще, вероятность одной ошибки выше вероятности двух ошибок, так что самым правдоподобным будет предположение о том, что передавалась именно буква $A$. Хотя правдоподобное — не значит истинное, поэтому рядом и стоит вопросительный знак.

Если в канале связи возможна максимум одна ошибка, то первое предположение о двух ошибках становится невозможным и остаётся только один вариант — передавалась буква $A$.

Про такой код говорят, что он исправляет одну ошибку. Две он тоже обнаружит, но исправит уже неверно.

Это, конечно, самый простой код. Кодировать легко, да и декодировать тоже. Ноликов больше — значит передавался ноль, единичек — значит единица.

Если немного подумать, то можно предложить код исправляющий две ошибки. Это будет код, в котором мы повторяем одиночный бит 5 раз.

Расстояния между кодами

Рассмотрим поподробнее код с утроением. Итак, мы получили работающий код, который исправляет одиночную ошибку. Но за всё хорошее надо платить: он кодирует один бит тремя. Не очень-то и эффективно.

И вообще, почему этот код работает? Почему нужно именно утраивать для устранения одной ошибки? Наверняка это всё неспроста.

Давайте подумаем, как этот код работает. Интуитивно всё понятно. Нолики и единички — это две непохожие последовательности. Так как они достаточно длинные, то одиночная ошибка не сильно портит их вид.

Пусть мы передавали $000$, а получили $001$. Видно, что эта цепочка больше похожа на исходные $000$, чем на $111$. А так как других кодовых слов у нас нет, то и выбор очевиден.

Но что значит «больше похоже»? А всё просто! Чем больше символов у двух цепочек совпадает, тем больше их схожесть. Если почти все символы отличаются, то цепочки «далеки» друг от друга.

Можно ввести некоторую величину $d(alpha, beta)$, равную количеству различающихся цифр в соответствующих разрядах цепочек $alpha$ и $beta$. Эту величину называют расстоянием Хэмминга. Чем больше это расстояние, тем меньше похожи две цепочки.

Например, $d(010, 010) = 0$, так как все цифры в соответствующих позициях равны, а вот $d(010101, 011011) = 3$.

Расстояние Хэмминга называют расстоянием неспроста. Ведь в самом деле, что такое расстояние? Это какая-то характеристика, указывающая на близость двух точек, и для которой верны утверждения:

  1. Расстояние между точками неотрицательно и равно нулю только, если точки совпадают.
  2. Расстояние в обе стороны одинаково.
  3. Путь через третью точку не короче, чем прямой путь.

Достаточно разумные требования.

Математически это можно записать так (нам это не пригодится, просто ради интереса посмотрим):

  1. $d(x, y) geqslant 0,quad d(x, y) = 0 Leftrightarrow x = y;$
  2. $d(x, y) = d(y, x);$
  3. $d(x, z) + d(z, y) geqslant d(x, y)$.

Предлагаю читателю самому убедиться, что для расстояния Хэмминга эти свойства выполняются.

Окрестности

Таким образом, разные цепочки мы считаем точками в каком-то воображаемом пространстве, и теперь мы умеем находить расстояния между ними. Правда, если попытаться сколько нибудь длинные цепочки расставить на листе бумаги так, чтобы расстояния Хэмминга совпадали с расстояниями на плоскости, мы можем потерпеть неудачу. Но не нужно переживать. Всё же это особое пространство со своими законами. А слова вроде «расстояния» лишь помогают нам рассуждать.

Пойдём дальше. Раз мы заговорили о расстоянии, то можно ввести такое понятие как окрестность. Как известно, окрестность какой-то точки — это шар определённого радиуса с центром в ней. Шар? Какие ещё шары! Мы же о кодах говорим.

Но всё просто. Ведь что такое шар? Это множество всех точек, которые находятся от данной не дальше, чем некоторое расстояние, называемое радиусом. Точки у нас есть, расстояние у нас есть, теперь есть и шары.

Так, скажем, окрестность кодового слова $000$ радиуса 1 — это все коды, находящиеся на расстоянии не больше, чем 1 от него, то есть отличающиеся не больше, чем в одном разряде. То есть это коды:

$ {000, 100, 010, 001}. $

Да, вот так странно выглядят шары в пространстве кодов.

А теперь посмотрите. Это же все возможные коды, которые мы получим в канале в одной ошибкой, если отправим $000$! Это следует прямо из определения окрестности. Ведь каждая ошибка заставляет цепочку измениться только в одном разряде, а значит удаляет её на расстояние 1 от исходного сообщения.

Аналогично, если в канале возможны две ошибки, то отправив некоторое сообщение $x$, мы получим один из кодов, который принадлежит окрестности $x$ радиусом 2.

Тогда всю нашу систему декодирования можно построить так. Мы получаем какую-то цепочку нулей и единиц (точку в нашей новой терминологии) и смотрим, в окрестность какого кодового слова она попадает.

Сколько ошибок может исправить код?

Чтобы код мог исправлять больше ошибок, окрестности должны быть как можно шире. С другой стороны, они не должны пересекаться. Иначе если точка попадёт в область пересечения, непонятно будет, к какой окрестности её отнести.

В коде с удвоением между кодовыми словами $00$ и $11$ расстояние равно 2 (оба разряда различаются). А значит, если мы построим вокруг них шары радиуса 1, то они будут касаться. Это значит, точка касания будет принадлежать обоим шарам и непонятно будет, к какому из них её отнести.

Именно это мы и получали. Мы видели, что есть ошибка, но не могли её исправить.

Что интересно, точек касания в нашем странном пространстве у шаров две — это коды $01$ и $10$. Расстояния от них до центров равны единице. Конечно же, в обычно геометрии такое невозможно, поэтому рисунки — это просто условность для более удобного рассуждения.

В случае кода с утроением, между шарами будет зазор.

Минимальный зазор между шарами равен 1, так как у нас расстояния всегда целые (ну не могут же две цепочки отличаться в полутора разрядах).

В общем случае получаем следующее.

Этот очевидный результат на самом деле очень важен. Он означает, что код с минимальным кодовым расстоянием $d_{min}$ будет успешно работать в канале с $k$ ошибками, если выполняется соотношение

$ d_{min} geqslant 2k+1. $

Полученное равенство позволяет легко определить, сколько ошибок будет исправлять тот или иной код. А сколько код ошибок может обнаружить? Рассуждения такие же. Код обнаруживает $k$ ошибок, если в результате не получится другое кодовое слово. То есть, кодовые слова не должны находиться в окрестностях радиуса $k$ других кодовых слов. Математически это записывается так:

$d_{min}geqslant k + 1.$

Рассмотрим пример. Пусть мы кодируем 4 буквы следующим образом.

$ begin{aligned} A to 10100,\ B to 01000,\ C to 00111,\ D to 11011.\ end{aligned} $

Чтобы найти минимальное расстояние между различными кодовыми словами, построим таблицу попарных расстояний.

A B C D
A — 3 3 4
B 3 — 4 3
C 3 4 — 3
D 4 3 3 —

Минимальное расстояние $d_{min}=3$, а значит $3geqslant2k+1$, откуда получаем, что такой код может исправить до $k=1$ ошибок. Обнаруживает же он две ошибки.

Рассмотрим пример:

$ A to 10100 rightsquigarrow 101underline{1}0. $

Чтобы декодировать полученное сообщение, посмотрим, к какому символу оно ближе всего.

$ begin{aligned} A:, d(10110, 10100) &= 1,\ B:, d(10110, 01000) &= 4,\ C:, d(10110, 00111) &= 2,\ D:, d(10110, 11011) &= 3. end{aligned} $

Минимальное расстояние получилось для символа $A$, значит вероятнее всего передавался именно он:

$ A to 10100 rightsquigarrow 101underline{1}0 to A?. $

Итак, этот код исправляет одну ошибку, как и код с утроением. Но он более эффективен, так как в отличие от кода с утроением здесь кодируется уже 4 символа.

Таким образом, основная проблема при построении такого рода кодов — так расположить кодовые слова, чтобы они были как можно дальше друг от друга, и их было побольше.

Для декодирования можно было бы использовать таблицу, в которой указывались бы все возможные принимаемые сообщения, и кодовые слова, которым они соответствуют. Но такая таблица получилась бы очень большой. Даже для нашего маленького кода, который выдаёт 5 двоичных цифр, получилось бы $2^5 = 32$ варианта возможных принимаемых сообщений. Для более сложных кодов таблица будет значительно больше.

Попробуем придумать способ коррекции сообщения без таблиц. Мы всегда сможем найти полезное применение освободившейся памяти.

Интерлюдия: поле GF(2)

Для изложения дальнейшего материала нам потребуются матрицы. А при умножении матриц, как известно мы складываем и перемножаем числа. И тут есть проблема. Если с умножением всё более-менее хорошо, то как быть со сложением? Из-за того, что мы работаем только с одиночными двоичными цифрами, непонятно, как сложить 1 и 1, чтобы снова получилась одна двоичная цифра. Значит вместо классического сложения нужно использовать какое-то другое.

Введём операцию сложения как сложение по модулю 2 (хорошо известный программистам XOR):

$ begin{aligned} 0 + 0 &= 0,\ 0 + 1 &= 1,\ 1 + 0 &= 1,\ 1 + 1 &= 0. end{aligned} $

Умножение будем выполнять как обычно. Эти операции на самом деле введены не абы как, а чтобы получилась система, которая в математике называется полем. Поле — это просто множество (в нашем случае из 0 и 1), на котором так определены сложение и умножение, чтобы основные алгебраические законы сохранялись. Например, чтобы основные идеи, касающиеся матриц и систем уравнений по-прежнему были верны. А вычитание и деление мы можем ввести как обратные операции.

Множество из двух элементов ${0, 1}$ с операциями, введёнными так, как мы это сделали, называется полем Галуа GF(2). GF — это Galois field, а 2 — количество элементов.

У сложения есть несколько очень полезных свойств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

$ x + x = 0. $

Это свойство прямо следует из определения.

$ x + y = x - y. $

А в этом можно убедиться, прибавив $y$ к обеим частям равенства. Это свойство, в частности означает, что мы можем переносить в уравнении слагаемые в другую сторону без смены знака.

Проверяем корректность

Вернёмся к коду с утроением.

$ begin{aligned} A &to 000,\ B &to 111. end{aligned} $

Для начала просто решим задачу проверки, были ли вообще ошибки при передаче. Как видно, из самого кода, принятое сообщение будет кодовым словом только тогда, когда все три цифры равны между собой.

Пусть мы приняли вектор-строку $x$ из трёх цифр. (Стрелочки над векторами рисовать не будем, так как у нас почти всё — это вектора или матрицы.)

$dots rightsquigarrow x = (x_1, x_2, x_3). $

Математически равенство всех трёх цифр можно записать как систему:

$ left{ begin{aligned} x_1 &= x_2,\ x_2 &= x_3. end{aligned} right. $

Или, если воспользоваться свойствами сложения в GF(2), получаем

$ left{ begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0,\ x_2 + x_3 &= 0. end{aligned} right. $

Или

$ left{ begin{aligned} 1cdot x_1 + 1cdot x_2 + 0cdot x_3 &= 0,\ 0cdot x_1 + 1cdot x_2 + 1cdot x_3 &= 0. end{aligned} right. $

В матричном виде эта система будет иметь вид

$ Hx^T = 0, $

где

$ H = begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 end{pmatrix}. $

Транспонирование здесь нужно потому, что $x$ — это вектор-строка, а не вектор-столбец. Иначе мы не могли бы умножать его справа на матрицу.

Будем называть матрицу $H$ проверочной матрицей. Если полученное сообщение — это корректное кодовое слово (то есть, ошибки при передаче не было), то произведение проверочной матрицы на это сообщение будет равно нулевому вектору.

Умножение на матрицу — это гораздо более эффективно, чем поиск в таблице, но у нас на самом деле есть ещё одна таблица — это таблица кодирования. Попробуем от неё избавиться.

Кодирование

Итак, у нас есть система для проверки

$ left{ begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0,\ x_2 + x_3 &= 0. end{aligned} right. $

Её решения — это кодовые слова. Собственно, мы систему и строили на основе кодовых слов. Попробуем теперь решить обратную задачу. По системе (или, что то же самое, по матрице $H$) найдём кодовые слова.

Правда, для нашей системы мы уже знаем ответ, поэтому, чтобы было интересно, возьмём другую матрицу:

$ H = begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 end{pmatrix}. $

Соответствующая система имеет вид:

$ left{ begin{aligned} x_1 + x_3 &= 0,\ x_2 + x_3 + x_5 &= 0,\ x_4 + x_5 &= 0. end{aligned} right. $

Чтобы найти кодовые слова соответствующего кода нужно её решить.

В силу линейности сумма двух решений системы тоже будет решением системы. Это легко доказать. Если $a$ и $b$ — решения системы, то для их суммы верно

$H(a+b)^T=Ha^T+Hb^T=0+0=0,$

что означает, что она тоже — решение.

Поэтому если мы найдём все линейно независимые решения, то с их помощью можно получить вообще все решения системы. Для этого просто нужно найти их всевозможные суммы.

Выразим сперва все зависимые слагаемые. Их столько же, сколько и уравнений. Выражать надо так, чтобы справа были только независимые. Проще всего выразить $x_1, x_2, x_4$.

Если бы нам не так повезло с системой, то нужно было бы складывая уравнения между собой получить такую систему, чтобы какие-то три переменные встречались по одному разу. Ну, или воспользоваться методом Гаусса. Для GF(2) он тоже работает.

Итак, получаем:

$ left{ begin{aligned} x_1 &= x_3,\ x_2 &= x_3 + x_5,\ x_4 &= x_5. end{aligned} right. $

Чтобы получить все линейно независимые решения, приравниваем каждую из зависимых переменных к единице по очереди.

$ begin{aligned} x_3=1, x_5=0:quad x_1=1, x_2=1, x_4=0 Rightarrow x^{(1)} = (1, 1, 1, 0, 0),\ x_3=0, x_5=1:quad x_1=0, x_2=1, x_4=1 Rightarrow x^{(2)} = (0, 1, 0, 1, 1). end{aligned} $

Всевозможные суммы этих независимых решений (а именно они и будут кодовыми векторами) можно получить так:

$ a_1 x^{(1)}+a_2 x^{(2)}, $

где $a_1, a_2$ равны либо нулю или единице. Так как таких коэффициентов два, то всего возможно $2^2=4$ сочетания.

Но посмотрите! Формула, которую мы только что получили — это же снова умножение матрицы на вектор.

$ (a_1, a_2)cdot begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 end{pmatrix} = aG. $

Строчки здесь — линейно независимые решения, которые мы получили. Матрица $G$ называется порождающей. Теперь вместо того, чтобы сами составлять таблицу кодирования, мы можем получать кодовые слова простым умножением на матрицу:

$ a to aG. $

Найдём кодовые слова для этого кода. (Не забываем, что длина исходных сообщений должна быть равна 2 — это количество найденных решений.)

$ begin{aligned} 00 &to 00000,\ 01 &to 01011,\ 10 &to 11100,\ 11 &to 10111. end{aligned} $

Итак, у нас есть готовый код, обнаруживающий ошибки. Проверим его в деле. Пусть мы хотим отправить 01 и у нас произошла ошибка при передаче. Обнаружит ли её код?

$ a=01 to aG=01011 rightsquigarrow x=01underline{1}11 to Hx^T = (110)^T neq 0. $

А раз в результате не нулевой вектор, значит код заподозрил неладное. Провести его не удалось. Ура, код работает!

Для кода с утроением, кстати, порождающая матрица выглядит очень просто:

$G=begin{pmatrix}1&1&1end{pmatrix}.$

Подобные коды, которые можно порождать и проверять матрицей называются линейными (бывают и нелинейные), и они очень широко применяются на практике. Реализовать их довольно легко, так как тут требуется только умножение на константную матрицу.

Ошибка по синдрому

Ну хорошо, мы построили код обнаруживающий ошибки. Но мы же хотим их исправлять!

Для начала введём такое понятие, как вектор ошибки. Это вектор, на который отличается принятое сообщение от кодового слова. Пусть мы получили сообщение $x$, а было отправлено кодовое слово $v$. Тогда вектор ошибки по определению

$ e = x - v. $

Но в странном мире GF(2), где сложение и вычитание одинаковы, будут верны и соотношения:

$ begin{aligned} v &= x + e,\ x &= v + e. end{aligned} $

В силу особенностей сложения, как читатель сам может легко убедиться, в векторе ошибки на позициях, где произошла ошибка будет единица, а на остальных ноль.

Как мы уже говорили раньше, если мы получили сообщение $x$ с ошибкой, то $Hx^Tneq 0$. Но ведь векторов, не равных нулю много! Быть может то, какой именно ненулевой вектор мы получили, подскажет нам характер ошибки?

Назовём результат умножения на проверочную матрицу синдромом:

$ s(x)=Hx^T.$

И заметим следующее

$ s(x) = Hx^T = H(v+e)^T = He^T = s(e). $

Это означает, что для ошибки синдром будет таким же, как и для полученного сообщения.

Разложим все возможные сообщения, которые мы можем получить из канала связи, по кучкам в зависимости от синдрома. Тогда из последнего соотношения следует, что в каждой кучке будут вектора с одной и той же ошибкой. Причём вектор этой ошибки тоже будет в кучке. Вот только как его узнать?

А очень просто! Помните, мы говорили, что у нескольких ошибок вероятность ниже, чем у одной ошибки? Руководствуясь этим соображением, наиболее правдоподобным будет считать вектором ошибки тот вектор, у которого меньше всего единиц. Будем называть его лидером.

Давайте посмотрим, какие синдромы дают всевозможные 5-элементные векторы. Сразу сгруппируем их и подчеркнём лидеров — векторы с наименьшим числом единиц.

$s(x)$ $x$
$000$ $underline{00000}, 11100, 01011, 10111$
$001$ $underline{00010}, 11110, 01001, 10101$
$010$ $underline{01000}, 10100, 00011, 11111$
$011$ $01010, 10110, underline{00001}, 11101$
$100$ $underline{10000}, 01100, 11011, 00111$
$101$ $underline{10010}, 01110, 11001, underline{00101}$
$110$ $11000, underline{00100}, 10011, 01111$
$111$ $11010, underline{00110}, underline{10001}, 01101$

В принципе, для корректирования ошибки достаточно было бы хранить таблицу соответствия синдрома лидеру.

Обратите внимание, что в некоторых строчках два лидера. Это значит для для данного синдрома два паттерна ошибки равновероятны. Иными словами, код обнаружил две ошибки, но исправить их не может.

Лидеры для всех возможных одиночных ошибок находятся в отдельных строках, а значит код может исправить любую одиночную ошибку. Ну, что же… Попробуем в этом убедиться.

$ a=01 to aG=01011 rightsquigarrow x=01underline{1}11 to s(x)=Hx^T = (110)^T to e=(00100). $

Вектор ошибки равен $(00100)$, а значит ошибка в третьем разряде. Как мы и загадали.

Ура, всё работает!

Что же дальше?

Чтобы попрактиковаться, попробуйте повторить рассуждения для разных проверочных матриц. Например, для кода с утроением.

Логическим продолжением изложенного был бы рассказ о циклических кодах — чрезвычайно интересном подклассе линейных кодов, обладающим замечательными свойствами. Но тогда, боюсь, статья уж очень бы разрослась.

Если вас заинтересовали подробности, то можете почитать замечательную книжку Аршинова и Садовского «Коды и математика». Там изложено гораздо больше, чем представлено в этой статье. Если интересует математика кодирования — то поищите «Теория и практика кодов, контролирующих ошибки» Блейхута. А вообще, материалов по этой теме довольно много.

Надеюсь, когда снова будет свободное время, напишу продолжение, в котором расскажу про циклические коды и покажу пример программы для кодирования и декодирования. Если, конечно, почтенной публике это интересно.

Источник

«Перемежитель» перенаправляется сюда. Для оптоволоконного устройства см. Оптический перемежитель .

В вычислительной , телекоммуникационной , теории информации и теории кодирования , в код коррекции ошибок , иногда кода коррекции ошибок ( ECC ) используется для контроля ошибок в данных по ненадежным или зашумленных каналов связи . Основная идея заключается в том, что отправитель кодирует сообщение с избыточной информацией в форме ECC. Избыточность позволяет получателю обнаруживать ограниченное количество ошибок, которые могут возникнуть в любом месте сообщения, и часто исправлять эти ошибки без повторной передачи. Американский математик Ричард Хэмминг был пионером в этой области в 1940-х годах и изобрел первый исправляющий ошибки код в 1950 году: код Хэмминга (7,4) .

ECC отличается от обнаружения ошибок тем, что обнаруженные ошибки можно исправлять, а не просто обнаруживать. Преимущество состоит в том, что системе, использующей ECC, не требуется обратный канал для запроса повторной передачи данных при возникновении ошибки. Обратной стороной является то, что к сообщению добавляются фиксированные накладные расходы, что требует большей полосы пропускания прямого канала. Таким образом, ECC применяется в ситуациях, когда повторные передачи являются дорогостоящими или невозможными, например, при односторонних каналах связи и при многоадресной передаче на несколько приемников . Соединения с большой задержкой также выигрывают; в случае спутника, вращающегося вокруг Урана , повторная передача из-за ошибок может вызвать задержку в пять часов. Информация ECC обычно добавляется к запоминающим устройствам для восстановления поврежденных данных, широко используется в модемах и используется в системах, где первичной памятью является память ECC .

Обработка ECC в приемнике может применяться к цифровому потоку битов или при демодуляции несущей с цифровой модуляцией. Для последнего ECC является неотъемлемой частью начального аналого-цифрового преобразования в приемнике. Декодер Витерби реализует алгоритм мягкого решения для демодуляции цифровых данных из аналогового сигнала на фоне шума. Многие кодеры / декодеры ECC могут также генерировать сигнал частоты ошибок по битам (BER), который можно использовать в качестве обратной связи для точной настройки аналоговой принимающей электроники.

Максимальная доля ошибок или пропущенных битов, которые могут быть исправлены, определяется конструкцией кода ECC, поэтому разные коды исправления ошибок подходят для разных условий. Как правило, более сильный код вызывает большую избыточность, которую необходимо передавать с использованием доступной полосы пропускания, что снижает эффективную скорость передачи данных при одновременном улучшении принимаемого эффективного отношения сигнал / шум. Кодирования шумным канала теорема о Клода Шеннона может быть использована для вычисления максимальной достижимой пропускной способности канала связи для заданной максимальной допустимой вероятности ошибки. Это устанавливает границы теоретической максимальной скорости передачи информации канала с некоторым заданным базовым уровнем шума. Однако это доказательство неконструктивно и, следовательно, не дает представления о том, как создать код, обеспечивающий производительность. После многих лет исследований некоторые передовые системы ECC по состоянию на 2016 год очень близко подошли к теоретическому максимуму.

Прямое исправление ошибок

В связи , теории информации и теории кодирования , с прямым исправлением ошибок ( FEC ) или канального кодирования является метод , используемый для контроля ошибок в передаче данных по ненадежным или зашумленных каналов связи . Основная идея состоит в том, что отправитель кодирует сообщение избыточным способом, чаще всего с помощью ECC.

Избыточность позволяет получателю обнаруживать ограниченное количество ошибок, которые могут возникнуть в любом месте сообщения, и часто исправлять эти ошибки без повторной передачи. FEC дает приемнику возможность исправлять ошибки без необходимости использования обратного канала для запроса повторной передачи данных, но за счет фиксированной более высокой полосы пропускания прямого канала. Поэтому FEC применяется в ситуациях, когда повторная передача является дорогостоящей или невозможной, например, при односторонних каналах связи и при передаче на несколько приемников в многоадресной передаче . Информация FEC обычно добавляется в устройства массовой памяти (магнитные, оптические и твердотельные / флеш-накопители), чтобы обеспечить восстановление поврежденных данных, широко используется в модемах , используется в системах, где первичной памятью является память ECC, и в ситуациях вещания, где приемник не имеет возможности запрашивать повторную передачу, иначе это может вызвать значительную задержку. Например, в случае спутника, вращающегося вокруг Урана , повторная передача из-за ошибок декодирования может вызвать задержку не менее 5 часов.

Обработка FEC в приемнике может применяться к цифровому битовому потоку или при демодуляции несущей с цифровой модуляцией. Для последнего FEC является неотъемлемой частью начального аналого-цифрового преобразования в приемнике. Декодер Витерби реализует алгоритм мягкого решения для демодуляции цифровых данных из аналогового сигнала на фоне шума. Многие кодеры FEC могут также генерировать сигнал частоты ошибок по битам (BER), который можно использовать в качестве обратной связи для точной настройки аналоговой приемной электроники.

Максимальная доля ошибок или недостающих битов, которые могут быть исправлены, определяется конструкцией ECC, поэтому разные коды прямого исправления ошибок подходят для разных условий. Как правило, более сильный код вызывает большую избыточность, которую необходимо передавать с использованием доступной полосы пропускания, что снижает эффективную скорость передачи данных при одновременном улучшении принимаемого эффективного отношения сигнал / шум. Шумная-канальное кодирование теоремы Клод Шеннон отвечает на вопрос о том, сколько трафика остался для передачи данных при использовании наиболее эффективного кода , который превращает вероятность ошибки декодирования к нулю. Это устанавливает границы теоретической максимальной скорости передачи информации канала с некоторым заданным базовым уровнем шума. Его доказательство неконструктивно и, следовательно, не дает представления о том, как создать код, обеспечивающий производительность. Однако после многих лет исследований некоторые продвинутые системы FEC, такие как полярный код, достигают пропускной способности канала Шеннона в рамках гипотезы кадра бесконечной длины.

Как это работает

ECC достигается путем добавления избыточности к передаваемой информации с использованием алгоритма. Избыточный бит может быть сложной функцией многих исходных информационных битов. Исходная информация может появляться или не появляться буквально в закодированном выводе; коды, которые включают немодифицированный ввод в вывод, являются систематическими , тогда как те, которые не включают, являются несистематичными .

Упрощенный пример ECC — это передача каждого бита данных 3 раза, что известно как код повторения (3,1) . Через шумный канал приемник может видеть 8 версий вывода, см. Таблицу ниже.

Триплет получил Интерпретируется как
000 0 (без ошибок)
001 0
010 0
100 0
111 1 (без ошибок)
110 1
101 1
011 1

Это позволяет исправить ошибку в любой из трех выборок «большинством голосов» или «демократическим голосованием». Корректирующая способность этого ECC:

  • Ошибка до 1 бита триплета, или
  • пропущено до 2 битов триплета (случаи не указаны в таблице).

Хотя эта тройная модульная избыточность проста в реализации и широко используется, она является относительно неэффективной ECC. Более совершенные коды ECC обычно проверяют последние несколько десятков или даже несколько последних сотен ранее принятых битов, чтобы определить, как декодировать текущую небольшую группу битов (обычно в группах от 2 до 8 бит).

Усреднение шума для уменьшения ошибок

Можно сказать, что ECC работает путем «усреднения шума»; поскольку каждый бит данных влияет на многие передаваемые символы, искажение одних символов шумом обычно позволяет извлекать исходные пользовательские данные из других, неповрежденных принятых символов, которые также зависят от тех же пользовательских данных.

  • Из-за этого эффекта «объединения рисков» цифровые системы связи, использующие ECC, как правило, работают значительно выше определенного минимального отношения сигнал / шум, а вовсе не ниже него.
  • Эта тенденция «все или ничего» — эффект обрыва — становится более выраженным по мере использования более сильных кодов, которые ближе подходят к теоретическому пределу Шеннона .
  • Перемежение данных, закодированных с помощью ЕСС, может уменьшить свойства «все или ничего» передаваемых кодов ЕСС, когда ошибки канала имеют тенденцию возникать в пакетах. Однако у этого метода есть ограничения; его лучше всего использовать для узкополосных данных.

Большинство систем электросвязи используют код фиксированного канала, рассчитанный на то, чтобы выдерживать ожидаемую частоту ошибок по битам в наихудшем случае , а затем вообще не работают, если частота ошибок по битам становится еще хуже. Однако некоторые системы адаптируются к заданным условиям ошибки канала: некоторые экземпляры гибридного автоматического запроса на повторение используют фиксированный метод ECC, пока ECC может обрабатывать частоту ошибок, а затем переключаются на ARQ, когда частота ошибок становится слишком высокой;
адаптивная модуляция и кодирование используют различные скорости ECC, добавляя больше битов исправления ошибок на пакет, когда в канале более высокие частоты ошибок, или удаляя их, когда они не нужны.

Типы ECC

Краткая классификация кодов исправления ошибок

Двумя основными категориями кодов ECC являются блочные коды и сверточные коды .

  • Блочные коды работают с блоками (пакетами) фиксированного размера, состоящими из битов или символов заранее определенного размера. Практические блочные коды обычно могут быть жестко декодированы за полиномиальное время до их длины блока.
  • Сверточные коды работают с битовыми или символьными потоками произвольной длины. Чаще всего они декодируются с помощью алгоритма Витерби , хотя иногда используются и другие алгоритмы. Декодирование Витерби обеспечивает асимптотически оптимальную эффективность декодирования с увеличением длины ограничения сверточного кода, но за счет экспоненциально возрастающей сложности. Завершенный сверточный код также является «блочным кодом» в том смысле, что он кодирует блок входных данных, но размер блока сверточного кода, как правило, произвольный, в то время как блочные коды имеют фиксированный размер, определяемый их алгебраическими характеристиками. Типы завершения для сверточных кодов включают «концевую передачу» и «сброс битов».

Есть много типов блочных кодов; Кодирование Рида-Соломона примечательно тем, что оно широко используется на компакт-дисках , DVD и жестких дисках . К другим примерам классических блочных кодов относятся коды Голея , BCH , многомерная четность и коды Хэмминга .

ECC Хэмминга обычно используется для исправления ошибок флэш- памяти NAND . Это обеспечивает исправление однобитовых ошибок и обнаружение двухбитовых ошибок. Коды Хэмминга подходят только для более надежной одноуровневой ячейки (SLC) NAND. Более плотная многоуровневая ячейка (MLC) NAND может использовать многобитовый корректирующий ECC, такой как BCH или Reed-Solomon. NOR Flash обычно не использует никаких исправлений ошибок.

Классические блочные коды обычно декодируются с использованием алгоритмов жесткого решения , что означает, что для каждого входного и выходного сигнала принимается жесткое решение, соответствует ли он единице или нулю. Напротив, сверточные коды обычно декодируются с использованием алгоритмов мягкого решения , таких как алгоритмы Витерби, MAP или BCJR , которые обрабатывают (дискретизированные) аналоговые сигналы и которые обеспечивают гораздо более высокую производительность исправления ошибок, чем декодирование с жестким решением.

Почти все классические блочные коды применяют алгебраические свойства конечных полей . Поэтому классические блочные коды часто называют алгебраическими кодами.

В отличие от классических блочных кодов, которые часто определяют способность обнаружения или исправления ошибок, многие современные блочные коды, такие как коды LDPC, не имеют таких гарантий. Вместо этого современные коды оцениваются с точки зрения их частоты ошибок по битам.

Большинство кодов прямого исправления ошибок исправляют только перевороты битов, но не вставки или удаления битов. В этом случае расстояние Хэмминга является подходящим способом измерения частоты ошибок по битам . Несколько кодов прямого исправления ошибок предназначены для исправления вставки и удаления битов, например, коды маркеров и коды водяных знаков. Расстояние Левенштейна — более подходящий способ измерения частоты ошибок по битам при использовании таких кодов.

Кодовая скорость и компромисс между надежностью и скоростью передачи данных

Основным принципом ECC является добавление избыточных битов, чтобы помочь декодеру узнать истинное сообщение, закодированное передатчиком. Кодовая скорость данной системы ЕСС определяется как отношение между количеством информационных битов и общим количеством битов (т. Е. Информация плюс биты избыточности) в данном коммуникационном пакете. Кодовая скорость, следовательно, является действительным числом. Низкая кодовая скорость, близкая к нулю, подразумевает сильный код, который использует много избыточных битов для достижения хорошей производительности, в то время как большая кодовая скорость, близкая к 1, подразумевает слабый код.

Избыточные биты, защищающие информацию, должны передаваться с использованием тех же коммуникационных ресурсов, которые они пытаются защитить. Это вызывает принципиальный компромисс между надежностью и скоростью передачи данных. В одном крайнем случае сильный код (с низкой кодовой скоростью) может вызвать значительное увеличение SNR приемника (отношение сигнал / шум), уменьшая частоту ошибок по битам, за счет снижения эффективной скорости передачи данных. С другой стороны, без использования какого-либо ECC (т. Е. Кодовая скорость, равная 1), используется полный канал для целей передачи информации за счет того, что биты остаются без какой-либо дополнительной защиты.

Один интересный вопрос заключается в следующем: насколько эффективным с точки зрения передачи информации может быть ECC, имеющий незначительную частоту ошибок декодирования? На этот вопрос ответил Клод Шеннон с его второй теоремой, в которой говорится, что пропускная способность канала — это максимальная скорость передачи данных, достижимая для любого ECC, частота ошибок которого стремится к нулю: его доказательство опирается на гауссовское случайное кодирование, которое не подходит для реального мира. Приложения. Верхняя граница, заданная работой Шеннона, вдохновила на долгий путь к разработке ECC, которые могут приблизиться к конечной границе производительности. Различные коды сегодня могут достигать почти предела Шеннона. Однако ECC, обеспечивающие пропускную способность, обычно чрезвычайно сложно реализовать.

Самые популярные ECC имеют компромисс между производительностью и вычислительной сложностью. Обычно их параметры дают диапазон возможных кодовых скоростей, которые можно оптимизировать в зависимости от сценария. Обычно эта оптимизация выполняется для достижения низкой вероятности ошибки декодирования при минимальном влиянии на скорость передачи данных. Другим критерием оптимизации кодовой скорости является уравновешивание низкой частоты ошибок и количества повторных передач с учетом затрат энергии на связь.

Составные коды ECC для повышения производительности

Классические (алгебраические) блочные коды и сверточные коды часто комбинируются в схемах конкатенированного кодирования, в которых сверточный код, декодированный по Витерби с короткой ограниченной длиной, выполняет большую часть работы, а блочный код (обычно Рида-Соломона) с большим размером символа и длиной блока «стирает» любые ошибки, сделанные сверточным декодером. Однопроходное декодирование с помощью этого семейства кодов с исправлением ошибок может дать очень низкий уровень ошибок, но для условий передачи на большие расстояния (например, в глубоком космосе) рекомендуется итеративное декодирование.

Составные коды стали стандартной практикой в ​​спутниковой связи и связи в дальнем космосе с тех пор, как « Вояджер-2» впервые применил эту технику во время своей встречи с Ураном в 1986 году . Аппарат Galileo использовал итеративные сцепленные коды для компенсации условий очень высокой частоты ошибок, вызванных неисправной антенной.

Проверка четности с низкой плотностью (LDPC)

Коды с низкой плотностью проверки на четность (LDPC) представляют собой класс высокоэффективных линейных блочных кодов, состоящих из множества кодов одиночной проверки на четность (SPC). Они могут обеспечить производительность, очень близкую к пропускной способности канала (теоретический максимум), используя подход итеративного декодирования с мягким решением, при линейной временной сложности с точки зрения длины их блока. Практические реализации в значительной степени полагаются на параллельное декодирование составляющих кодов SPC.

Коды LDPC были впервые представлены Робертом Г. Галлагером в его докторской диссертации в 1960 году, но из-за вычислительных усилий при реализации кодировщика и декодера и введения кодов Рида-Соломона они в основном игнорировались до 1990-х годов.

Коды LDPC теперь используются во многих последних стандартах высокоскоростной связи, таких как DVB-S2 (цифровое видеовещание — спутниковое — второе поколение), WiMAX ( стандарт IEEE 802.16e для микроволновой связи), высокоскоростная беспроводная локальная сеть ( IEEE 802.11n). ), 10GBase-T Ethernet (802.3an) и G.hn/G.9960 (стандарт ITU-T для сетей по линиям электропередач, телефонным линиям и коаксиальному кабелю). Другие коды LDPC стандартизированы для стандартов беспроводной связи в рамках 3GPP MBMS (см. Исходные коды ).

Турбо коды

Турбокодирование — это итеративная схема мягкого декодирования, которая объединяет два или более относительно простых сверточных кода и перемежитель для создания блочного кода, который может работать с точностью до доли децибела от предела Шеннона . Предваряя коды LDPC с точки зрения практического применения, теперь они обеспечивают аналогичную производительность.

Одним из первых коммерческих приложений турбо-кодирования была технология цифровой сотовой связи CDMA2000 1x (TIA IS-2000), разработанная Qualcomm и продаваемая Verizon Wireless , Sprint и другими операторами связи. Он также используется для развития CDMA2000 1x специально для доступа в Интернет, 1xEV-DO (TIA IS-856). Как и 1x, EV-DO был разработан Qualcomm и продается Verizon Wireless , Sprint и другими операторами (маркетинговое название Verizon для 1xEV-DO — широкополосный доступ , потребительские и бизнес-маркетинговые названия Sprint для 1xEV-DO — Power Vision и Mobile. Широкополосный соответственно).

Локальное декодирование и тестирование кодов

Иногда необходимо декодировать только отдельные биты сообщения или проверить, является ли данный сигнал кодовым словом, и сделать это, не глядя на весь сигнал. Это может иметь смысл в настройке потоковой передачи, где кодовые слова слишком велики, чтобы их можно было классически декодировать достаточно быстро, и где на данный момент интересны только несколько битов сообщения. Также такие коды стали важным инструментом в теории сложности вычислений , например, для разработки вероятностно проверяемых доказательств .

Локально декодируемые коды — это коды с исправлением ошибок, для которых отдельные биты сообщения могут быть вероятностно восстановлены, если смотреть только на небольшое (скажем, постоянное) количество позиций кодового слова, даже после того, как кодовое слово было искажено в некоторой постоянной доле позиций. Локально тестируемые коды — это коды с исправлением ошибок, для которых можно вероятностно проверить, близок ли сигнал к кодовому слову, только посмотрев на небольшое количество позиций сигнала.

Чередование

«Перемежитель» перенаправляется сюда. Для оптоволоконного устройства см. Оптический перемежитель .

Краткая иллюстрация идеи чередования

Перемежение часто используется в системах цифровой связи и хранения для повышения производительности кодов прямого исправления ошибок. Многие каналы связи не лишены памяти: ошибки обычно возникают пакетами, а не независимо друг от друга. Если количество ошибок в кодовом слове превышает возможности кода исправления ошибок, ему не удается восстановить исходное кодовое слово. Чередование облегчает эту проблему, перетасовывая исходные символы по нескольким кодовым словам, тем самым создавая более равномерное распределение ошибок. Поэтому перемежение широко используется для исправления пакетных ошибок .

Анализ современных итеративных кодов, как турбо — коды и LDPC — коды , как правило , предполагает независимое распределение ошибок. Поэтому системы, использующие коды LDPC, обычно используют дополнительное перемежение символов в кодовом слове.

Для турбокодов перемежитель является неотъемлемым компонентом, и его правильная конструкция имеет решающее значение для хорошей производительности. Алгоритм итеративного декодирования работает лучше всего, когда в графе факторов , представляющем декодер , нет коротких циклов ; перемежитель выбран, чтобы избежать коротких циклов.

Конструкции перемежителя включают:

  • прямоугольные (или однородные) перемежители (аналогично методу с использованием коэффициентов пропуска, описанному выше)
  • сверточные перемежители
  • случайные перемежители (где перемежитель — известная случайная перестановка)
  • S-случайный перемежитель (где перемежитель — это известная случайная перестановка с ограничением, что никакие входные символы на расстоянии S не появляются на расстоянии S на выходе).
  • бесконкурентный квадратичный многочлен с перестановками (QPP). Пример использования — стандарт мобильной связи 3GPP Long Term Evolution .

В системах связи с множеством несущих перемежение по несущим может использоваться для обеспечения частотного разнесения , например, для уменьшения частотно-избирательного замирания или узкополосных помех.

Пример

Передача без чередования : 

Error-free message:                                 aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Transmission with a burst error:                    aaaabbbbccc____deeeeffffgggg

Здесь каждая группа одинаковых букв представляет собой 4-битное однобитовое кодовое слово с исправлением ошибок. Кодовое слово cccc изменяется в один бит и может быть исправлено, но кодовое слово dddd изменяется в трех битах, поэтому либо оно не может быть декодировано вообще, либо может быть декодировано неправильно .

С чередованием : 

Error-free code words:                              aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg
Interleaved:                                        abcdefgabcdefgabcdefgabcdefg
Transmission with a burst error:                    abcdefgabcd____bcdefgabcdefg
Received code words after deinterleaving:           aa_abbbbccccdddde_eef_ffg_gg

В каждом из кодовых слов «aaaa», «eeee», «ffff» и «gggg» изменяется только один бит, поэтому однобитовый код с исправлением ошибок все декодирует правильно.

Передача без чередования : 

Original transmitted sentence:                      ThisIsAnExampleOfInterleaving
Received sentence with a burst error:               ThisIs______pleOfInterleaving

Термин «пример» в большинстве случаев оказывается непонятным и трудным для исправления.

С чередованием : 

Transmitted sentence:                               ThisIsAnExampleOfInterleaving...
Error-free transmission:                            TIEpfeaghsxlIrv.iAaenli.snmOten.
Received sentence with a burst error:               TIEpfe______Irv.iAaenli.snmOten.
Received sentence after deinterleaving:             T_isI_AnE_amp_eOfInterle_vin_...

Ни одно слово не потеряно полностью, а недостающие буквы можно восстановить с минимальными догадками.

Недостатки чередования

Использование методов чередования увеличивает общую задержку. Это связано с тем, что перед декодированием пакетов должен быть принят весь чередующийся блок. Также перемежители скрывают структуру ошибок; без перемежителя более совершенные алгоритмы декодирования могут использовать структуру ошибок и обеспечивать более надежную связь, чем более простой декодер, объединенный с перемежителем. Пример такого алгоритма основан на структурах нейронной сети .

Программное обеспечение для кодов исправления ошибок

Моделирование поведения кодов исправления ошибок (ECC) в программном обеспечении — обычная практика для разработки, проверки и улучшения ECC. Предстоящий стандарт беспроводной связи 5G поднимает новый диапазон приложений для программных ECC: облачные сети радиодоступа (C-RAN) в контексте программно-определяемого радио (SDR) . Идея состоит в том, чтобы напрямую использовать программные ECC в коммуникациях. Например, в 5G программные ECC могут быть расположены в облаке, а антенны подключены к этим вычислительным ресурсам: таким образом повышается гибкость сети связи и, в конечном итоге, повышается энергоэффективность системы.

В этом контексте существует различное доступное программное обеспечение с открытым исходным кодом, перечисленное ниже (не является исчерпывающим).

  • AFF3CT (A Fast Forward Error Correction Toolbox): полная коммуникационная цепочка на C ++ (многие поддерживаемые коды, такие как Turbo, LDPC, полярные коды и т. Д.), Очень быстрая и специализированная на канальном кодировании (может использоваться как программа для моделирования или как библиотека для SDR).
  • IT ++ : библиотека классов и функций C ++ для линейной алгебры, численной оптимизации, обработки сигналов, связи и статистики.
  • OpenAir : реализация (на языке C) спецификаций 3GPP, касающихся Evolved Packet Core Networks.

Список кодов исправления ошибок

Расстояние Код
2 (обнаружение одиночной ошибки) Паритет
3 (исправление одиночных ошибок) Тройное модульное резервирование
3 (исправление одиночных ошибок) идеальный Хэмминга, такой как Хэмминга (7,4)
4 ( ВТОРОЕ ) Расширенный Хэмминга
5 (исправление двойной ошибки)
6 (исправление двойной ошибки / обнаружение тройной ошибки)
7 (исправление трех ошибок) совершенный двоичный код Голея
8 (ТЕКФЕД) расширенный двоичный код Голея
  • Коды AN
  • Код BCH , который может быть разработан для исправления произвольного количества ошибок в каждом блоке кода.
  • Код Бергера
  • Код постоянного веса
  • Сверточный код
  • Коды расширителей
  • Групповые коды
  • Коды Голея , из которых двоичный код Голея представляет практический интерес.
  • Код Гоппа , используемый в криптосистеме Мак-Элиса
  • Код Адамара
  • Код Хагельбаргера
  • Код Хэмминга
  • Код на основе латинского квадрата для небелого шума (преобладающий, например, в широкополосной связи по линиям электропередач)
  • Лексикографический код
  • Линейное сетевое кодирование , тип кода с исправлением стирания в сетях вместо двухточечных ссылок
  • Длинный код
  • Код проверки на четность с низкой плотностью , также известный как код Галлагера , как архетип для кодов разреженных графов
  • Код LT , который является почти оптимальным кодом бесскоростной коррекции стирания (код Фонтана)
  • m из n кодов
  • Онлайн-код , почти оптимальный код бесскоростной коррекции стирания
  • Полярный код (теория кодирования)
  • Код Raptor , почти оптимальный код бесскоростной коррекции стирания
  • Исправление ошибок Рида – Соломона
  • Код Рида – Мюллера
  • Повторно-накопительный код
  • Коды повторения , такие как тройное модульное резервирование
  • Спинальный код, бесскоростной нелинейный код, основанный на псевдослучайных хэш-функциях
  • Код Торнадо , почти оптимальный код коррекции стирания и предшественник кодов Фонтана
  • Турбо код
  • Код Уолша-Адамара
  • Циклические проверки избыточности (CRC) могут исправлять 1-битные ошибки для сообщений длиной не более бит для оптимальных порождающих полиномов степени , см. Математика циклических проверок избыточности # Битовые фильтры2 ^ {n-1} -1п

Смотрите также

  • Скорость кода
  • Коды стирания
  • Декодер мягкого решения
  • Пакетный код исправления ошибок
  • Обнаружение и исправление ошибок
  • Коды исправления ошибок с обратной связью

использованная литература

дальнейшее чтение

  • МакВильямс, Флоренс Джессим ; Слоан, Нил Джеймс Александр (2007) [1977]. Написано в AT&T Shannon Labs, Флорхэм-Парк, Нью-Джерси, США. Теория кодов, исправляющих ошибки . Математическая библиотека Северной Голландии. 16 (цифровой отпечаток 12-го оттиска, 1-е изд.). Амстердам / Лондон / Нью-Йорк / Токио: Северная Голландия / Elsevier BV . ISBN 978-0-444-85193-2. LCCN  76-41296 . (xxii + 762 + 6 страниц)
  • Кларк младший, Джордж К.; Каин, Дж. Бибб (1981). Кодирование с коррекцией ошибок для цифровой связи . Нью-Йорк, США: Plenum Press . ISBN 0-306-40615-2.
  • Арази, Бенджамин (1987). Swetman, Herb (ред.). Здравый подход к теории кодов, исправляющих ошибки . Серия MIT Press в компьютерных системах. 10 (1-е изд.). Кембридж, Массачусетс, США / Лондон, Великобритания: Массачусетский технологический институт . ISBN 0-262-01098-4. LCCN  87-21889 . (x + 2 + 208 + 4 страницы)
  • Плетеный, Стивен Б. (1995). Системы контроля ошибок для цифровой связи и хранения . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис-Холл . ISBN 0-13-200809-2.
  • Уилсон, Стивен Г. (1996). Цифровая модуляция и кодирование . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис-Холл . ISBN 0-13-210071-1.
  • «Код коррекции ошибок в флеш-памяти NAND с одноуровневой ячейкой» 2007-02-16
  • «Код исправления ошибок во флеш-памяти NAND» 2004-11-29
  • Наблюдения за ошибками, исправлениями и доверием зависимых систем , Джеймс Гамильтон, 26 февраля 2012 г.
  • Сферические упаковки, решетки и группы, Дж. Х. Конвей, Нил Джеймс Александр Слоан, Springer Science & Business Media , 2013-03-09 — Математика — 682 страницы.

внешние ссылки

  • Морелос-Сарагоса, Роберт (2004). «Страница корректирующих кодов (ECC)» . Проверено 5 марта 2006 года .
  • lpdec: библиотека для декодирования LP и связанных вещей (Python)
Источник

Обнаружение ошибок в технике связи — действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) — процедура восстановления информации после чтения её из устройства хранения или канала связи.

Для обнаружения ошибок используют коды обнаружения ошибок, для исправления — корректирующие коды (коды, исправляющие ошибки, коды с коррекцией ошибок, помехоустойчивые коды).

Содержание

  • 1 Способы борьбы с ошибками
  • 2 Коды обнаружения и исправления ошибок
    • 2.1 Блоковые коды
      • 2.1.1 Линейные коды общего вида
        • 2.1.1.1 Минимальное расстояние и корректирующая способность
        • 2.1.1.2 Коды Хемминга
        • 2.1.1.3 Общий метод декодирования линейных кодов
      • 2.1.2 Линейные циклические коды
        • 2.1.2.1 Порождающий (генераторный) полином
        • 2.1.2.2 Коды CRC
        • 2.1.2.3 Коды БЧХ
        • 2.1.2.4 Коды коррекции ошибок Рида — Соломона
      • 2.1.3 Преимущества и недостатки блоковых кодов
    • 2.2 Свёрточные коды
      • 2.2.1 Преимущества и недостатки свёрточных кодов
    • 2.3 Каскадное кодирование. Итеративное декодирование
    • 2.4 Оценка эффективности кодов
      • 2.4.1 Граница Хемминга и совершенные коды
      • 2.4.2 Энергетический выигрыш
    • 2.5 Применение кодов, исправляющих ошибки
  • 3 Автоматический запрос повторной передачи
    • 3.1 Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)
    • 3.2 Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)
    • 3.3 Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)
  • 4 См. также
  • 5 Литература
  • 6 Ссылки

Способы борьбы с ошибками

В процессе хранения данных и передачи информации по сетям связи неизбежно возникают ошибки. Контроль целостности данных и исправление ошибок — важные задачи на многих уровнях работы с информацией (в частности, физическом, канальном, транспортном уровнях модели OSI).

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

  • обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
  • обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
  • исправление ошибок (forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок

Корректирующие коды — коды, служащие для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче информации под влиянием помех, а также при её хранении.

Для этого при записи (передаче) в полезные данные добавляют специальным образом структурированную избыточную информацию (контрольное число), а при чтении (приёме) её используют для того, чтобы обнаружить или исправить ошибки. Естественно, что число ошибок, которое можно исправить, ограничено и зависит от конкретного применяемого кода.

С кодами, исправляющими ошибки, тесно связаны коды обнаружения ошибок. В отличие от первых, последние могут только установить факт наличия ошибки в переданных данных, но не исправить её.

В действительности, используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически, любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки делятся на блоковые, делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и свёрточные, работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной k бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной n бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают (n,;k). При этом число R=frac{k}{n} называется скоростью кода.

Если исходные k бит код оставляет неизменными, и добавляет n − k проверочных, такой код называется систематическим, иначе несистематическим.

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из k информационных бит сопоставляется n бит кодового слова. Однако, хороший код должен удовлетворять, как минимум, следующим критериям:

  • способность исправлять как можно большее число ошибок,
  • как можно меньшая избыточность,
  • простота кодирования и декодирования.

Нетрудно видеть, что приведённые требования противоречат друг другу. Именно поэтому существует большое количество кодов, каждый из которых пригоден для своего круга задач.

Практически все используемые коды являются линейными. Это связано с тем, что нелинейные коды значительно сложнее исследовать, и для них трудно обеспечить приемлемую лёгкость кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида

Линейный блоковый код — такой код, что множество его кодовых слов образует k-мерное линейное подпространство (назовём его C) в n-мерном линейном пространстве, изоморфное пространству k-битных векторов.

Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного k-битного вектора на невырожденную матрицу G, называемую порождающей матрицей.

Пусть C^{perp} — ортогональное подпространство по отношению к C, а H — матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора overrightarrow{v}in C справедливо:

overrightarrow{v}H^T=overrightarrow{0}.
Минимальное расстояние и корректирующая способность

Расстоянием Хемминга (метрикой Хемминга) между двумя кодовыми словами overrightarrow{u} и overrightarrow{v} называется количество отличных бит на соответствующих позициях, d_H(overrightarrow{u},;overrightarrow{v})=sum_s{|u^{(s)}-v^{(s)}|}, что равно числу «единиц» в векторе overrightarrow{u}oplusoverrightarrow{v}.

Минимальное расстояние Хемминга d_min=min_{une v}d_H(overrightarrow{u},;overrightarrow{v}) является важной характеристикой линейного блокового кода. Она показывает насколько «далеко» расположены коды друг от друга. Она определяет другую, не менее важную характеристику — корректирующую способность:

t=leftlfloorfrac{d_min-1}{2}rightrfloor, округляем «вниз», так чтобы 2t < dmin.

Корректирующая способность определяет, сколько ошибок передачи кода (типа 1leftrightarrow 0) можно гарантированно исправить. То есть вокруг каждого кода A имеем t-окрестность At, которая состоит из всех возможных вариантов передачи кода A с числом ошибок (1leftrightarrow 0) не более t. Никакие две окрестности двух любых кодов не пересекаются друг с другом, так как расстояние между кодами (то есть центрами этих окрестностей) всегда больше двух их радиусов d_H(A,;B)geqslant d_min&amp;gt;2t.

Таким образом получив искажённый код из At декодер принимает решение, что был исходный код A, исправляя тем самым не более t ошибок.

Поясним на примере. Предположим, что есть два кодовых слова A и B, расстояние Хемминга между ними равно 3. Если было передано слово A, и канал внёс ошибку в одном бите, она может быть исправлена, так как даже в этом случае принятое слово ближе к кодовому слову A, чем к любому другому, и в частности к B. Но если каналом были внесены ошибки в двух битах (в которых A отличалось от B) то результат ошибочной передачи A окажется ближе к B, чем A, и декодер примет решение что передавалось слово B.

Коды Хемминга

Коды Хемминга — простейшие линейные коды с минимальным расстоянием 3, то есть способные исправить одну ошибку. Код Хемминга может быть представлен в таком виде, что синдром

overrightarrow{s}=overrightarrow{r}H^T, где overrightarrow{r} — принятый вектор, будет равен номеру позиции, в которой произошла ошибка. Это свойство позволяет сделать декодирование очень простым.
Общий метод декодирования линейных кодов

Любой код (в том числе нелинейный) можно декодировать с помощью обычной таблицы, где каждому значению принятого слова overrightarrow{r}_i соответствует наиболее вероятное переданное слово overrightarrow{u}_i. Однако, данный метод требует применения огромных таблиц уже для кодовых слов сравнительно небольшой длины.

Для линейных кодов этот метод можно существенно упростить. При этом для каждого принятого вектора overrightarrow{r}_i вычисляется синдром overrightarrow{s}_i=overrightarrow{r}_i H^T. Поскольку overrightarrow{r}_i=overrightarrow{v}_i+overrightarrow{e}_i, где overrightarrow{v}_i — кодовое слово, а overrightarrow{e}_i — вектор ошибки, то overrightarrow{s}_i=overrightarrow{e}_i H^T. Затем с помощью таблицы по синдрому определяется вектор ошибки, с помощью которого определяется переданное кодовое слово. При этом таблица получается гораздо меньше, чем при использовании предыдущего метода.

Линейные циклические коды

Несмотря на то, что декодирование линейных кодов уже значительно проще декодирования большинства нелинейных, для большинства кодов этот процесс всё ещё достаточно сложен. Циклические коды, кроме более простого декодирования, обладают и другими важными свойствами.

Циклическим кодом является линейный код, обладающий следующим свойством: если overrightarrow{v} является кодовым словом, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Слова циклического кода удобно представлять в виде многочленов. Например, кодовое слово overrightarrow{v}=(v_0,;v_1,;ldots,;v_{n-1}) представляется в виде полинома v(x)=v_0+v_1 x+ldots+v_{n-1}x^{n-1}. При этом циклический сдвиг кодового слова эквивалентен умножению многочлена на x по модулю xn − 1.

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем считать, что циклический код является двоичным, то есть v_0,;v_1,;ldots могут принимать значения 0 или 1.

Порождающий (генераторный) полином

Можно показать, что все кодовые слова конкретного циклического кода кратны определённому порождающему полиному g(x). Порождающий полином является делителем xn − 1.

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

  • несистематическое кодирование осуществляется путём умножения кодируемого вектора на g(x): v(x) = u(x)g(x);
  • систематическое кодирование осуществляется путём «дописывания» к кодируемому слову остатка от деления xn − ku(x) на g(x), то есть v(x)=x^{n-k}u(x)+[x^{n-k}u(x),bmod,g(x)].
Коды CRC

Коды CRC (cyclic redundancy check — циклическая избыточная проверка) являются систематическими кодами, предназначенными не для исправления ошибок, а для их обнаружения. Они используют способ систематического кодирования, изложенный выше: «контрольная сумма» вычисляется путем деления xn − ku(x) на g(x). Ввиду того, что исправление ошибок не требуется, проверка правильности передачи может производиться точно так же.

Таким образом, вид полинома g(x) задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

название кода степень полином
CRC-12 12 x12 + x11 + x3 + x2 + x + 1
CRC-16 16 x16 + x15 + x2 + 1
CRC-x16 + x12 + x5 + 1
CRC-32 32 x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11 + x10 + x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1
Коды БЧХ

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) являются подклассом циклических кодов. Их отличительное свойство — возможность построения кода БЧХ с минимальным расстоянием не меньше заданного. Это важно, потому что, вообще говоря, определение минимального расстояния кода есть очень сложная задача.

Математически полинома g(x) на множители в поле Галуа.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида-Соломона, работающие с байтами (октетами).

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов

Хотя блоковые коды, как правило, хорошо справляются с редкими, но большими пачками ошибок, их эффективность при частых, но небольших ошибках (например, в канале с АБГШ), менее высока.

Свёрточные коды

Свёрточный кодер (k=7,;R=1/2)

Свёрточные коды, в отличие от блоковых, не делят информацию на фрагменты и работают с ней как со сплошным потоком данных.

Свёрточные коды, как правило, порождаются дискретной линейной инвариантной во времени системой. Поэтому, в отличие от большинства блоковых кодов, свёрточное кодирование — очень простая операция, чего нельзя сказать о декодировании.

Кодирование свёрточным кодом производится с помощью регистра сдвига, отводы от которого суммируются по модулю два. Таких сумм может быть две (чаще всего) или больше.

Декодирование свёрточных кодов, как правило, производится по алгоритму Витерби, который пытается восстановить переданную последовательность согласно критерию максимального правдоподобия.

Преимущества и недостатки свёрточных кодов

Свёрточные коды эффективно работают в канале с белым шумом, но плохо справляются с пакетами ошибок. Более того, если декодер ошибается, на его выходе всегда возникает пакет ошибок.

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование

Преимущества разных способов кодирования можно объединить, применив каскадное кодирование. При этом информация сначала кодируется одним кодом, а затем другим, в результате получается код-произведение.

Например, популярной является следующая конструкция: данные кодируются кодом Рида-Соломона, затем перемежаются (при этом символы, расположенные близко, помещаются далеко друг от друга) и кодируются свёрточным кодом. На приёмнике сначала декодируется свёрточный код, затем осуществляется обратное перемежение (при этом пачки ошибок на выходе свёрточного декодера попадают в разные кодовые слова кода Рида — Соломона), и затем осуществляется декодирование кода Рида — Соломона.

Некоторые коды-произведения специально сконструированы для итеративного декодирования, при котором декодирование осуществляется в несколько проходов, каждый из которых использует информацию от предыдущего. Это позволяет добиться большой эффективности, однако, декодирование требует больших ресурсов. К таким кодам относят турбо-коды и LDPC-коды (коды Галлагера).

Оценка эффективности кодов

Эффективность кодов определяется количеством ошибок, которые тот может исправить, количеством избыточной информации, добавление которой требуется, а также сложностью реализации кодирования и декодирования (как аппаратной, так и в виде программы для ЭВМ).

Граница Хемминга и совершенные коды

Пусть имеется двоичный блоковый (n,k) код с корректирующей способностью t. Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга):

sum_{i=0}^t {nchoose i}leqslant 2^{n-k}.

Коды, удовлетворяющие этой границе с равенством, называются совершенными. К совершенным кодам относятся, например, коды Хемминга. Часто применяемые на практике коды с большой корректирующей способностью (такие, как коды Рида — Соломона) не являются совершенными.

Энергетический выигрыш

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определённых системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Поскольку помехоустойчивое кодирование позволяет исправлять ошибки, при его применении мощность передатчика можно снизить, оставляя скорость передачи информации неизменной. Энергетический выигрыш определяется как разница отношений с/ш при наличии и отсутствии кодирования.

Применение кодов, исправляющих ошибки

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

  • в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
  • в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи

Системы с автоматическим запросом повторной передачи (ARQ — Automatic Repeat reQuest) основаны на технологии обнаружения ошибок. Распространены следующие методы автоматического запроса:

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)

Идея этого метода заключается в том, что передатчик ожидает от приемника подтверждения успешного приема предыдущего блока данных перед тем как начать передачу следующего. В случае, если блок данных был принят с ошибкой, приемник передает отрицательное подтверждение (negative acknowledgement, NAK), и передатчик повторяет передачу блока. Данный метод подходит для полудуплексного канала связи. Его недостатком является низкая скорость из-за высоких накладных расходов на ожидание.

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)

Для этого метода необходим полнодуплексный канал. Передача данных от передатчика к приемнику производится одновременно. В случае ошибки передача возобновляется, начиная с ошибочного блока (то есть, передается ошибочный блок и все последующие).

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также

  • Цифровая связь
  • Линейный код
  • Циклический код
  • Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
  • Код Рида — Соломона
  • LDPC
  • Свёрточный код
  • Турбо-код

Литература

  • Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
  • Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986.
  • Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2005. — ISBN 5-94836-035-0

Ссылки

  • Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006.

Wikimedia Foundation.
2010.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Коды ошибок 14тс 10 е4с
  • Коды ошибок 14тс 10 24в предпусковой подогреватель двигателя
  • Коды ошибок 14ст 10 24в
  • Коды ошибок 14 1 ориджин крым
  • Коды ошибок 053006 на опель астра