Как посчитать ошибку прогноза в excel

• 

Из данной статьи вы узнаете:

• Для чего нужна средняя процентная ошибка;
• Как она рассчитывается.

+ сможете скачать пример расчета в Excel.

MPE (mean percentage error) — средняя процентная ошибка прогноза.

MPE – средняя процентная ошибка прогноза используется в случаях, когда надо определить модель прогноза дает последовательно завышенные прогнозы или последовательно заниженные прогнозы.

Если значение больше нуля, то прогнозы последовательно занижены, т.е. в среднем меньше факта.

Если ошибка меньше нуля, то прогнозы последовательно завышены, т.е. модель делает прогноз в среднем выше факта.

Как рассчитать среднюю процентную ошибку?

1. Рассчитываем ошибку для каждого значения модели;
2. Делим на фактические данные ошибку в каждый момент времени.

Рассчитываем среднее по пункту 2, и получает среднюю процентную ошибку — MPE:

Рассчитаем на примере прогноза объема продаж:

Скачайте файл с примером расчета ошибки MPE в Excel.

1. Ошибка = фактические продаж минус значения прогнозной модели для каждого момента времени:

2. Делим ошибку на фактические продажи для каждого периода времени:

3. Рассчитываем среднее значение % ошибки — MPE:

Мы видим, что средняя процентная ошибка у нас получилась -0,65% — это говорит о том, что модель прогноза в среднем дает завышенные прогноза на 0,65%:

Скачайте файл с примером расчета ошибки MPE в Excel.

Из данной статьи вы узнали, для чего использовать среднюю процентную ошибку прогноза — MPE и как ее рассчитать в Excel.

Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте в комментариях, буду рад помочь!

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

Прогнозирование продаж является важным видом деятельности практически для любого бизнеса, поскольку это влияет на все: на вашу компанию, ваших клиентов и ваших деловых партнеров. Без прогнозирования продаж вы движетесь вслепую, а ваш бизнес не будет стабильным.

Независимо от того, существует ли у вас процесс прогнозирования продаж или вы начинаете с нуля создавать новый, эта статья научит вас пошаговому систематическому процессу создания и управления эффективным прогнозом продаж. Вы узнаете, как создавать правильные процессы, выбирать правильные методы и использовать соответствующие количественные и качественные данные для создания максимально точного прогноза продаж.

Прогнозирование продаж – это навык, который вы можете использовать практически в любой области вашего бизнеса. Наличие такого навыка сделает вас более ценным, независимо от того, на какой должности вы находитесь сегодня.

Данный материал предназначен для профессионалов в области управления продажами, управления маркетингом или для тех, кто хочет знать, что может произойти в будущем. Возможность составлять точные прогнозы продаж делает вас ценным членом команды, включая практически любую команду, в которой вы находитесь.

Перед началом изучения данного материала у вас должно быть базовое понимание маркетинга и того, как ваша компания генерирует продажи. Мы будем использовать Microsoft Excel для количественной части этого курса. Вам не нужно быть опытным пользователем Excel, но вы должны понимать основные операции, такие как ввод формул и как копировать и вставлять эти формулы в другие ячейки. Суть в том, что вам не нужно быть специалистом по количественным показателям или мастером Excel, чтобы получить пользу от этой статьи.

Понимание прогноза продаж

Прогноз продаж – это прогноз того, какими будут ваши результаты в качестве организации сбыта продукции в конце определенного периода времени. Он используется для многих целей, но прогнозирование продаж – это гораздо больше, чем просто разработка определенного набора цифр.

Прогнозирование заключается в управлении данными, насколько неправильным является ваш прогноз, а не насколько он верный. Расстояние между фактическими результатами и ожидаемыми результатами является риском для вашего бизнеса, и этот риск может быть значительным, даже разрушительным.

Если вы ожидаете высоких результатов, но не дотягиваете до них, вы застрянете с дополнительными запасами на руках, и это будет стоить вашей компании больших денег, которые могли бы быть использованы для лучших проектов. С другой стороны, представьте, что ваши реальные результаты намного выше, чем ваш прогноз. Теперь у вас может возникнуть ситуация, когда у вас закончится продукция. У вас возникают задержки, и вы начинаете терять клиентов.

Вот почему процесс прогнозирования продаж должен информировать организацию о том, что вы ожидаете, но, главное, какие непредвиденные обстоятельства могут произойти в случае неизбежных ошибок. Конечно, время от времени вы можете получить идеальный прогноз, но не рассчитывайте на него.

У вас должен быть план для устранения ошибок. Этот план может включать безопасный резерв продукции, на случай, если клиент захочет сделать непредвиденный заказ. Или, возможно, вам понадобится команда дистрибьюторов, которая со скидкой сможет выкупить ваш резерв.

Другими словами, посмотрите на каждое последствие того, что ваш прогноз может быть слишком оптимистичным или пессимистичным, и разработайте способ смягчения этого последствия. Таким образом, ваш процесс прогнозирования помогает компании работать лучше, а также защищает компанию от неопределенности.

Прогнозирование продаж является одним из наиболее важных процессов в компании, потому что с ним связано множество отделов бизнеса. Давайте посмотрим, почему прогнозирование продаж так важно:

1. Во-первых, влияние прогноза продаж на финансовое планирование бизнеса. Например, прогнозы влияют на цены акций и возможность привлечения новых инвестиций.
2. Во-вторых, прогнозирование продаж влияет на то, как компания создает и управляет своим отделом продаж. Прогнозы продаж будут использоваться для определения территории продаж, установления квот для каждого торгового представителя и для измерения производительности.
3. В-третьих, другие отделы компании полагаются на точные прогнозы продаж. Например, операционный отдел будет принимать важные решения на основе прогнозов продаж. Если вы производитель, вы решаете, сколько продукции производить каждый день, основываясь на тех же прогнозах.
4. В-четвертых, сфера услуг, такие как розничная торговля, банковское обслуживание и общественное питание, решают, сколько сотрудников им нужно каждый день для обслуживания прогнозируемого объема клиентов.
5. В-пятых, прогнозы продаж могут повлиять даже на управление людьми. Они влияют на то, как и когда вы нанимаете новых людей, и на любое увеличение или уменьшение заработной платы.
6. В-шестых, если компания хочет развиваться за счет приобретения другой компании, ей потребуется точный прогноз продаж целевой компании, чтобы решить, сколько за нее заплатить.

Теперь вам должно быть очевидно, что руководители уделяют так много внимания прогнозированию продаж из-за его далекоидущих последствий. Прогнозирование продаж – это систематический процесс, включающий различные бизнес-функции. Вот почему первым шагом в этом процессе является создание правильной команды. 

Так кто же должен участвовать в процессе прогнозирования продаж? Конечно, большинство компаний будут полагаться на команду управления продажами. Они ежедневно управляют торговыми представителями, у них есть много информации о ваших клиентах и конкурентах, которые могут быть использованы в прогнозировании.

Но, хотите верьте, хотите нет, но ваша команда по продажам может не подходить для прогнозирования. Дело в том, что вы можете оказаться в отрасли, где другие отделы, например, отдел маркетинга, лучше разбираются в разработке прогнозов.

Как правило, ваша межфункциональная группа по прогнозированию продаж должна включать финансовый отдел. У них есть много данных о прошлых результатах продаж и расходах в различных областях бизнеса для достижения этих результатов.

Маркетинг предоставляет важную информацию о тенденциях рынка, маркетинговой стратегии, поведении покупателей и позиционировании. Эта информация необходима вам для оценки вероятности конвертации потенциальных клиентов. Операционный отдел производит продукт или услугу и имеет в наличаи свои полезные данные и знания для более подробного прогноза.

После того как вы определили ключевых игроков в своей команде, убедитесь, что они знают о вашем графике планирования, знают свою роль, понимают ожидания, которые вы возлагаете на каждого из них при разработке хорошего прогноза продаж.

Теперь рассмотрим основные шаги прогнозирования:

1. Сначала проанализируйте рынок. В какой вы категории? Насколько велик рынок, какие тенденции, а также как динамика рынка влияют на будущие результаты?
2. Соберите данные. Вам нужно собирать только те данные, которые имеют отношение к прогнозу. Вы также должны учитывать данные, которые хотели бы иметь, но у вас их нет. В таком случае вы делаете предположения.
3. Определитесь с техникой, которую вы будете использовать. Качественная, количественная или комбинация двух?
4. Проверьте ваш прогноз. Проведите свою модель прогнозирования через прошлые циклы продаж и посмотрите, как она выполняется. Есть ли какие-то корректировки, которые необходимо внести для точной настройки прогноза?

---

Хорошие прогнозы не являются просто предположением. Они являются результатом дисциплинированного и многофункционального подхода.

---

Подготовка к прогнозированию продаж

Ваш подход к прогнозированию продаж должен соответствовать маркетинговому плану вашей компании. Сначала вам нужно определить свою рыночную нишу, т.е. пространство в котором вы конкурируете. Вы можете определить это пространство более глобально или, наоборот, более узко, но более сфокусировано.

Например, предположим, вы производите линию продуктов для чистки зубов. Вы можете определить свою нишу на очень глобальном уровне здоровья полости рта. Это говорит о том, что вы предлагаете все виды продуктов, такие как зубные щетки, зубная паста, зубная нить, отбеливание зубов и все остальное. Когда вы определяете рыночную нишу таким образом, происходят две вещи:

• Во-первых, вы предоставляете себе очень широкие возможности для рынка, решая множество специфических задач с помощью широкого спектра продуктов. Но это также означает, что вы сталкиваетесь с широким кругом конкурентов, борющихся за одних и тех же клиентов.
• Во-вторых, вы можете определить свою нишу более узко. Возможно, до определенного уровня, скажем, отбеливание зубов. Этот узкий охват означает, что вы стремитесь к меньшим возможностям на рынке, но с гораздо большей концентрацией внимания и меньшей конкуренцией.

Так что это баланс между возможностью продаж и жесткостью конкуренции, с которой вы сталкиваетесь. Вот почему для прогнозирования продаж мы рекомендуем собраться с вашим маркетинговым отделом, чтобы понять, как они определяют различные рыночные ниши, в которых вы конкурируете.

Далее, для каждой рыночной ниши вы должны понимать тенденции, которые происходят внутри нее. Есть только три направления: продажи растут, продажи снижаются или продажи не меняются. Кажется, все просто, но недостаточно знать направление тренда. Вы должны также попытаться понять причины, т.е. почему сейчас именно такой тренд. Это поможет вам составить более точный прогноз продаж.

Например, представьте, что продажи на вашем рынке растут. В таком случае лучше понять причины, чтобы не быть слишком самоуверенным. Продажи могут быть вызваны определенным трендом, который со временем прекратится. Или, возможно, клиенты или дистрибьюторы запасаются продуктами, вызывая временное увеличение продаж. Более точное прогнозирование продаж составляется тогда, когда прогнозист знает рыночную нишу и реальные причины изменений на этом рынке.

Вы можете подумать, что создали точный прогноз продаж, основанный на достоверных данных и методах прогнозирования, но на рынке, а также внутри вашей компании может многое произойти, что может повлиять на ваш прогноз.

• Во-первых, вы можете быть удивлены тем, что делает ваш конкурент. Что если они запустят отличный новый продукт, который лучше, чем ваш? Или, возможно, они снижают цену или проводят специальную акцию на свою линейку продукции? Может произойти и обратное. Что если у вашего конкурента негативный отзыв на продукт или другое неблагоприятное событие, которое выводит их продукцию с рынка? Сейчас это может показаться хорошей новостью, но вы и ваши коллеги должны скорректировать прогноз и быстро отреагировать. Если вы этого не сделаете, вы можете исчерпать запасы из-за внезапного увеличения спроса, и это может негативно повлиять на ваших постоянных клиентов.
• Во-вторых, на продажи вашей компании также могут повлиять правовые, нормативные или политические изменения. Представьте, что вы работаете в пищевой промышленности, и регулирующий орган объявляет о новом положении, которое ограничивает то, что вы можете продавать? Или представьте себе результат политических выборов, который сделает ваши товары более продаваемыми.
• Теперь, пожалуй, самая сложная вещь в прогнозировании – это изменение структуры покупательской активности. Следующее поколение потребителей может не захотеть покупать ваши товары в том виде, который пользуется спросом у нынешних постоянных клиентов, или, они будут покупать их в меньшем объеме. Здесь нужно снова корректировать ваш прогноз.
• Изменения в технологии могут также повлиять на ваш прогноз продаж. Когда такая компания, как Apple, объявляет о том, что она отказывается от 3,5-миллиметровых гнезд для наушников или использует USB-порт последнего поколения, все компании, поддерживающие эти устаревшие функции, должны пересмотреть свои прогнозы продаж.
• В вашей компании также могут происходить вещи, которые могут повлиять на ваш прогноз продаж. Ваша компания может изменить свою общую коммерческую стратегию, что может помешать или помочь продажам продуктов, которые она производит. Например, отдел маркетинга может решить провести крупную рекламную кампанию или продвигать продукцию на новые рынки.

Как только вы определите свою рыночную нишу и поймете динамику рынка, настало время сконцентрироваться на составлении прогноза продаж. Существует множество методик и пакетов программного обеспечения, поэтому вы должны определить тот, который подходит именно вам.

Методы прогнозирования продаж делятся на две большие категории. Качественный метод, основанный на данных от людей, и количественный метод, основанный на показателях числовых данных, но, честно говоря, лучшие прогнозисты полагаются на комбинацию обоих.

Вот несколько вопросов, которые вы можете задать себе при выборе метода прогнозирования:

• Насколько хорошо вы понимаете свой рынок?
• Он растет или уменьшается и почему?
• Есть ли новые потребительские, конкурентные или технологические тренды?
• Это сезонный бизнес?

Если вы не очень много знаете о своем рынке и происходящих важных изменениях, вы можете использовать качественный метод, который опирается на советы экспертов.

Количественный метод часто использует исторические данные, такие как предыдущие данные о продажах и доходах, производственные и финансовые отчеты, а также статистику посещаемости сайта. Например, анализ данных о сезонных продажах может помочь компании спланировать на следующий год производственные потребности и человеческие ресурсы на основе прошлогодних месячных или квартальных показателей.

Количественный метод также использует прогнозы, основанные на статистическом моделировании, анализе тенденций или другой информации из экспертных источников, таких как правительственные учреждения, торговые ассоциации и даже академические учреждения.

Качественное прогнозирование включает в себя сочетание количественных и качественных методов. Главное для вас – это справиться с последствиями ошибки, поэтому минимизируйте риск, выбирая лучшую технику для вашей ситуации.

Использование количественного метода прогнозирования

Прогнозирование продаж с использованием количественных методов означает, что вам необходимо иметь исторические данные о продажах. То, что вам удалось продать в прошлом, может быть очень хорошим показателем того, что вы сможете продавать в будущем. Каждый период времени, когда ваша компания продавала свои продукты и услуги, происходило множество событий, с точки зрения конкурентных действий, потребительских тенденций и даже изменений в экономике в целом.

Исторические данные, которые вы используете для прогнозирования продаж, должны быть чистыми. То есть ваши данные должны быть точны, они не искажены событиями, которые были вне вашего контроля, т.к. это маскирует истинные и фактические результаты продаж за определенный период.

Для тех методов, которыми мы собираемся поделиться, вам нужно как можно больше данных о прошлых продажах. Обратитесь в финансовый или IT-отдел, чтобы они вам помогли собрать самые точные и полные данные, которые доступны. После этого вам следует очистить эти данные от множества переменных, которые ведут к неточностям прогноза.

Для начала убедитесь, что вы понимаете периоды времени, которые ваша компания использует для регистрации продаж. Эти данные могут быть ежедневными, еженедельными, ежемесячными, ежеквартальными или даже ежегодными. Если у вас имеется такая возможность, тогда используйте ежеквартальные данные. Исследования показали, что этот период времени дает более точные результаты прогноза.

Затем нанесите данные на график о продажах и посмотрите на них визуально. Спросите себя: «Что здесь происходит?». Если вы видите дикие колебания в данных, т.е. слишком высокие продажи или слишком низкие, попробуйте выяснить, что произошло.

В ваших данных могут быть и другие искажения. Например, ваша компания может регистрировать продажи по полной прейскурантной цене, тогда как фактические денежные поступления намного меньше из-за скидок. Скидки, которые вы предлагаете от месяца к месяцу, могут существенно отличаться. Методы, о которых вы узнаете далее, могут решить проблему такого типа.

Далее, избавьтесь от данных, которые представляют период, который не отражает ваш текущий бизнес. Если вы приобретаете бизнес в результате которого заявленные продажи растут, вы можете либо проигнорировать результаты продаж до приобретения, либо использовать два отдельных набора данных для прогнозирования продаж и сложить их вместе.

Теперь перейдем непосредственно к самим методам количественного прогнозирования. Простой, но эффективный метод прогнозирования продаж – это метод, который мы называем ролловер (roll-over). Его легко использовать, потому что техника делает всю работу за вас. Нет расчетов, нет догадок.

Вот как работает прогноз ролловер. Прогноз на следующий период времени – это просто фактические результаты продаж за последний период. Другим словами, для прогнозирования продаж вы берете фактические результаты продаж за один период, например, в прошлом месяце, и делаете это же число своим прогнозом на следующий месяц.

Но как такой подход может быть точным? Как и в случае с любой другой техникой прогнозирования, эта методика будет иметь определенный уровень ошибки, но вы будете удивлены, насколько этот подход может быть очень эффективным для многих бизнес-моделей.

Если вы работаете в довольно стабильном бизнесе с небольшой сезонностью или, вообще без нее, эта техника может вам подойти. И что самое важное в данном методе – независимо от того, насколько он точен, его результаты могут служить ориентиром для сравнения с другими методами прогнозирования.

Давайте посмотрим, как рассчитать погрешность между фактическими и прогнозируемыми продажами. В столбце C вы найдете фактические результаты за 24 месяца. В столбце D вы увидите прогнозируемые результаты ролловера, которые являются фактическими результатами предыдущего месяца. Например, вы можете видеть, что прогноз ролловер на февраль такой же, как и в январе – 4398 единиц.

Теперь, чтобы определить среднюю погрешность, мы собираемся вычесть прогноз ролловер из фактических результатов. Мы будем использовать функцию абсолютного значения (=ABS), потому что нам все равно, положительная или отрицательная разница. Здесь у нас есть разница между фактическим результатом и прогнозируемым результатом за период. Мы можем перетащить эту ячейку вниз, чтобы быстро рассчитать оставшиеся погрешности по всем месяцам.

Наконец, мы хотим найти среднюю погрешность для прогноза ролловер. Мы будем использовать функцию (=СРЗНАЧ) и выделим все погрешности по всем месяцам. Получается, что округленная среднемесячная погрешность составляет 1420 единиц продукции. Это довольно хорошо, в зависимости от того, что может выдержать ваша бизнес-модель. Давайте помнить об этом числе, когда будем оценивать другие методы прогнозирования, чтобы понять, сможем ли мы его улучшить.

С помощью метода ролловер вы используете только фактические результаты продаж текущего месяца, чтобы спрогнозировать следующий. По сути, вы предполагаете, что все, что вы знаете о будущем месяце, основано только на том, что вы узнали в этом. Но это не совсем так. Если у вас есть результаты прошлых продаж в течение нескольких месяцев, у вас есть возможность учиться у каждого месяца. Это может улучшить точность вашего прогноза.

Например, что если вы взяли последние четыре месяца фактических продаж, рассчитали среднее значение и использовали это среднее в качестве прогноза на следующий месяц? Другими словами, если вы прогнозируете продажи на май, вы должны рассчитать средние фактические продажи за январь, февраль, март и апрель. Для прогноза на июнь вы снова будете использовать средние фактические продажи за предыдущие четыре месяца: февраль, март, апрель и май.

Этот метод называется прогнозом скользящего среднего. Среднее число движется от месяца к месяцу. Посмотрим, работает ли он лучше, чем наш предыдущий метод.

Мы начнем с расчета скользящей средней за май. Для этого мы сначала подведем итоги за четыре месяца, то есть с января по апрель, а затем, разделим на четыре. Скользящая средняя составляет 5 534.

Далее, мы вычисляем среднюю погрешность, вычитая скользящее среднее из фактических результатов с помощью функции абсолютного значения (=ABS). Похоже, что наша средняя погрешность составила 988 единиц.

Теперь рассчитаем среднюю погрешность за все месяцы. Мы снова перетаскиваем ячейку скользящего среднего на последний месяц и сделаем то же самое со средней погрешностью. Мы так же используем функцию =СРЗНАЧ и найдем среднюю погрешность за весь период. Она составила 1312 единиц, что уже лучше, чем 1420, которые мы получили с помощью метода ролловер.

Но что, если характер вашего бизнеса таков, что в последние месяцы квартала вы имеете наибольший объем продаж? Другими словами, в эти месяцы прослеживается наибольшая динамика на вашем рынке. Здесь вам необходимо делать упор на последние месяцы. Этот метод называется взвешенным скользящим средним.

Вот как рассчитать взвешенное скользящее среднее за май месяц:

1. Во-первых, мы используем фактические продажи за январь-апрель, как и раньше, но теперь мы хотим решить, какой вес должен иметь каждый месяц. Мы думаем, что в апреле получим 40% веса, март – 30%, февраль – 20%, а январь – 10%. Мы выбрали эти проценты произвольно, но вы можете поэкспериментировать, опираясь на вашу статистику продаж, чтобы найти то, что лучше для вас.

2. Во-вторых, вычислим взвешенное скользящее среднее в Excel. Сначала мы умножаем фактические результаты за январь на 0,1, затем добавляем фактические результаты за февраль и умножаем на 0,2, еще добавляем фактические результаты за март, умноженные на 0,3, и, наконец, добавляем фактические результаты за апрель, умноженные на 0,4. Нажимаем Enter и получаем 5 754 единиц.

3. В-третьих, когда у нас уже есть прогноз взвешенной скользящей средней, давайте посмотрим, в чем сейчас заключается погрешность, через вычитание полученного результата 5754 с фактического результата мая месяца.

4. В-четвертых, просчитаем среднюю погрешность за два года. Для этого потянем обе формулы до последнего месяца. Мы получили результат 1257, что еще лучше предыдущих результатов. Это говорит о том, что последние месяцы действительно отражают то, что происходит в нашем бизнесе.

Мы возьмем последнюю модель. В конце концов, более точный прогноз позволяет нам и нашей команде лучше управлять планами действий на случай непредвиденных обстоятельств, а именно этим и занимается прогнозирование продаж – управление рисками и возможностями нашего бизнеса.

Мы хотим показать вам еще одну методику количественного прогнозирования, потому что она популярна у опытных прогнозистов и дает очень хорошие результаты в большинстве ситуаций. Данный метод называется экспоненциальным сглаживанием (ЭС).

Вот основная идея. Используя метод взвешенного скользящего среднего, мы использовали лишь несколько предыдущих точек данных, чтобы вычислить среднее значение в качестве нашего прогноза на следующий период. Мысль здесь заключается в том, что последние месяцы обладают большим весом, с точки зрения рыночных факторов.

Что если бы был способ собрать все данные о продажах за предыдущие месяцы, но сделать это таким образом, чтобы сгладить большие максимумы и минимумы в наших данных? По сути, это устраняет то, что мы называем «шумом» наших данных.

Это легко рассчитать. Нам нужно только три показателя. Продажи за текущий период, прогноз на текущий период и весовой коэффициент для текущего периода, точно такой же, как мы использовали для взвешенной скользящей средней. Только теперь это число будет называться сглаживающим фактором.

Вот как это рассчитать. Возьмем фактические продажи за последний период, умноженные на коэффициент сглаживания. Добавьте к этому прогноз самого последнего периода, умноженный на один минус коэффициент сглаживания.

ЭС=(ФП×КС) + (ПП×(1−КС))

ФП – соответствует фактическим продажам за последний период;

КС – равно коэффициенту сглаживания, представленному в десятичной форме. Давайте использовать тот же вес из последнего примера 0,4;

ПП – соответствует прогнозу самого последнего периода. Другими словами – это результат вычисления сглаживания из предыдущего периода, т.е. ЭС предыдущего месяца.

Используя скользящую среднюю и метод ролловер, мы предполагаем, что каждый результат продаж содержит некоторое предвидение относительно будущих результатов. Теперь мы также учитываем не только прошлые фактические результаты, но и все прошлые прогнозы. Другими словами, мы предполагаем, что прошлые прогнозы тоже могут поделиться с нами о будущем прогнозе.

Рассчитаем среднее экспоненциального сглаживания в Excel. В электронной таблице Excel мы начнем со столбца J. Поскольку январь – наш первый месяц в наборе данных, мы возьмем фактические результаты за январь и предположим, что это прогноз. Итак, мы возьмем 4398 с января месяца и перенесем это же число в ячейку J3. Чтобы рассчитать прогноз на февраль, мы умножим фактические результаты предыдущего месяца на 0,4, а затем добавим прогноз предыдущего месяца, умноженный на 0,6. Опять же, эти числа выбираются произвольно, и вы можете выбрать показатели, которые больше подходят вам под бизнес-модель.

Далее, мы вычислим абсолютную погрешность, вычитая фактические результаты по прогнозу экспоненциального сглаживания.

Мы еще раз перетащим обе эти формулы до последнего месяца. Наконец, мы рассчитаем среднее значение ошибки для сравнения с другими методами прогнозирования. У нас получилась средняя погрешность равна 1229 единиц, что еще немного лучше предыдущих результатов.

Экспоненциальное сглаживание не только легко, но и отлично реагирует на новые тенденции или сезонность в вашем бизнесе. Этот метод быстро реагирует на изменения на рынке, сохраняя при этом лучший результат предвидения из всех перечисленных методик.

Использование качественного метода прогнозирования продаж

Прогнозирование продаж опирается на поведение клиентов, а именно, что клиенты будут делать или не будут делать в течение определенного периода времени, поэтому имеет смысл применить ориентированный на клиента подход к прогнозированию. Это значит смотреть на два вида данных: что вы знаете о своих клиентах и что ваши клиенты знают о себе.

Начнем с первого. Анализируя любой рынок, вы хотите сгруппировать клиентов по четырем типам:

1. Клиенты, которые уже покупают у вас. На самом деле, они не только покупают у вас, они покупают исключительно у вас, и никогда у конкурентов.
2. Вторая группа похожа на первую в том, что они в настоящее время покупают ваши товары и услуги. Разница в том, что эти клиенты также покупают товары у ваших конкурентов. Почему? Потому, что для некоторых категорий продуктов клиенты хотят выбора. Например, рынок одежды. Вы почти наверняка носите одежду от разных производителей. Рынок продуктов питания является еще одним примером.
3. Третья группа клиентов – это те, кто покупает исключительно у ваших конкурентов, а не у вас. По крайней мере, пока.
4. Четвертая группа клиентов – это те, кто не покупает ваш тип продукта у кого-либо. Они называются потребителями без категории. Эти потенциальные клиенты очень важны, потому что их приобретение дает вам новый источник дохода. Вместо того чтобы просто брать долю рынка у конкурента, получение таких клиентов помогает вам увеличить свой рынок.

Теперь вам нужно оценить потенциальное количество клиентов, которых вы могли бы привлечь для каждого из этих четырех типов.

• Сначала вы оцениваете общее количество клиентов для каждого типа.
• Затем вы делаете предположения о том, какой процент вы можете переманить на свою сторону. В прогнозировании продаж мы называем это подходом к прогнозу сверху вниз. Вы сначала оцениваете клиентов из первых групп, а затем думаете, чем вы можете привлечь остальных из последних двух категорий.

Второй ориентированный на клиента подход к прогнозированию прост: спросите своих клиентов, что они ожидают у вас заказать в ближайший период. Конечно, это зависит от вашей отрасли, но вы будете удивлены, насколько клиенты смогут и захотят рассказать вам об ожидаемых расходах на предстоящий год.

Вы можете подумать, что потенциальные клиенты не захотят тратить на это время. Тогда дайте им оптовую скидку или другой стимул, чтобы сообщить вам о своих намерениях. Даже если это не на 100% точно, это все же хорошая информация. Прогнозирование – это управление погрешностями и клиенты могут сделать многое, чтобы помочь вам.

Торговые представители и ваши дистрибьюторы обладают уникальными, близкими к рынку взглядами, что может принести дополнительную пользу в прогнозировании продаж. Вот как это можно использовать.

Во-первых, попросите своих представителей и дистрибьюторов дать вам оценку общего годового объема продаж на их территории. Затем попросите их разбить эту сумму по месяцам или кварталам. Этот шаг хорош тем, что он заставляет их распределять общее количество по меньшим периодам времени. Это заставляет их действительно задуматься об оценках, которые они вам дают.

---

Теперь совет. Самый большой риск, связанный с тем, чтобы спрашивать представителей и дистрибьюторов об оценках продаж заключается в том, что вряд ли они будут проводить различие между прогнозом и квотой продаж. Торговые представители предпочли бы торговую квоту ниже, чем то, что может продаться на рынке. В этом есть смысл. Кому нужна квота продаж, которая не может быть достигнута?

---

Это одна из основных причин, по которой вы хотите использовать комбинацию качественных и количественных методов прогнозирования. Использование нескольких методов поможет вам обнаружить эту проблему.

Когда вам дают оценки от торговых представителей и дистрибьюторов, самое важное, что вы понимаете, какие предположения они использовали для оценки. Например, каковы их предположения о новых или утерянных клиентах, новых конкурентах, ценовых изменениях, новых маркетинговых инициативах, новых продуктах и т. д.

Наконец, вы можете рассмотреть возможность использования простого математического метода, называемого анализом ожидаемых значений. Ожидаемое значение – это ожидаемый прогноз для данной территории. ОЗ рассчитывается путем умножения каждого из возможных результатов на вероятность каждого результата, а затем суммирования всех этих значений.

Как это сделать. Попросите вашего представителя или дистрибьютора предоставить вам приблизительные продажи по каждому клиенту, и вероятность их достижения. Вероятность означает, что прогноз будет достигнут от 1% до 100%.

Давайте предположим, что у представителя пять клиентов, и он предоставляет вам всю информацию. Ожидаемое значение является прогнозом, основанным приведенном выше уравнении. Таким образом, в этом уравнении вы умножаете вероятность прогноза на каждого клиента, а затем складываете все вместе.

Использование анализа ожидаемых значений, скорее всего, даст прогноз с меньшей ошибкой, чем просто запрос представителей дать общий годовой прогноз. Подход ОЗ использует их скрытые знания о том, что происходит на их территории и эти знания могут помочь вам сделать лучшие прогнозы продаж.

Для некоторых отраслей лучший способ прогнозировать продажи – использовать группу экспертов. Это люди, которые имеют широкий спектр знаний в вашей отрасли. Вы можете работать на рынке, который является сезонным или непредсказуемым из-за факторов, связанных с экономикой или политическим климатом. Именно здесь экспертная оценка может помочь уменьшить ваши ошибки в прогнозировании.

Например, давайте представим, что вы занимаетесь строительными материалами. Ваша компания производит товары для строительства новых домов, а вы продаете товары новым подрядчикам. Это прекрасный пример отрасли, на которую влияют такие экономические факторы, как доверие потребителей, процентные ставки и демографические тенденции.

Прогнозирование продаж может быть сложным и дорогостоящим, если вы ошибаетесь. Чтобы создать группу экспертов, ищите людей, которые имеют разнообразное и уникальное представление об этой отрасли. Например, вы можете включить людей, которые работают в сфере ипотеки. Вы также можете включить экспертов по недвижимости, которые отслеживают движение рынка покупки жилья. Они дают важную информацию о покупателях и строительных компаниях, которые могут помочь вам с вашим прогнозом.

Когда вы создали группу экспертов, вы должны решить, какую информацию вы хотите от них получать. Хотите ли вы, чтобы оценка строительства нового дома базировалась на национальном, региональном или вашем рынке? Хотите ли вы получать ежегодные, ежеквартальные или ежемесячные данные?

Старайтесь определить, к какой группе экспертов лучше всего обращаться. Любая группа будет иметь разные уровни знаний и опыта, что помогает нейтрализовать искажения в данных. Когда вы получите их индивидуальные прогнозы строительства новых домов в следующем году, вы обнаружите, что все они разные, иногда совсем другие.

Вот совет: главное, не индивидуальный прогноз от каждого члена группы, а то, какие предположения они сделали, чтобы сделать этот прогноз. Вам больше всего нужны их предположения, потому что именно здесь вы найдете самые важные идеи о том, как разработать свой прогноз. На основании их предположений вы сможете решить, какие из них наиболее важны, а какие следует свести к минимуму или, возможно, даже игнорировать. Возьмите важные предположения и найдите способ проверить их.

Как и все методы прогнозирования, речь идет о точности по сравнению с нашей контрольной отметкой – прогнозом по методу ролловер. Вам необходимо отслеживать, как работают эксперты, по сравнению с простым ежемесячным подходом прогнозирования и решить, смогут ли эксперты дать более надежный результат.

Заключение

Правильное прогнозирование продаж – это несложный процесс, просто он требует немного времени для получения правильных данных и применения нескольких простых методов. Чем лучше вы становитесь в этом процессе, тем больше вы помогаете своей компании расти и оставаться конкурентоспособной.

Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.

Расчет ошибки средней арифметической

Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.

В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.

Способ 1: расчет с помощью комбинации функций

Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.

Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.

1. Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».



2. Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».



3. Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

   =СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

   «Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.

   Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».



4. В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».



5. Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».



6. Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:

   =КОРЕНЬ(число)

   Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.

   Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».



7. В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».



8. Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:

   =СЧЁТ(значение1;значение2;…)

   В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».



9. После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:

   =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))

   Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.

Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:

=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)

Урок: Статистические функции в Экселе

Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»

Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.

Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.

1. После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».



2. Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».



3. Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».



4. В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.



5. Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.



6. После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».



7. После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.



8. Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.



9. Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».

   В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.

   В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.

   Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.

   Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:

   • На новый лист;
   • В новую книгу (другой файл);
   • В указанный диапазон текущего листа.

   Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.

   Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:

   • Итоговая статистика;
   • К-ый наибольший;
   • К-ый наименьший;
   • Уровень надежности.

   Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.

   После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.



10. После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.

Урок: Описательная статистика в Экселе

Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.

Вариант 1

Задание 1. Модель парной линейной регрессии.

Имеются данные о размере среднемесячных доходов в разных группах семей

Номер группы	Среднедушевой денежный доход в месяц, руб., X	Доля оплаты труда в структуре доходов семьи, %, Y
1	79,8	64,2
2	152,1	66,1
3	199,3	69,0
4	240,8	70,6
5	282,4	72,4
6	301,8	74,3
7	385,3	76,0
8	457,8	77,1
9	577,4	78,4

Задания:

1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости a =0,05. Сделать выводы

2. Построить линейное уравнение парной регрессии Y на X и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.

3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F-критерия Фишера.

4. Выполнить прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи Y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода X, составляющем 111% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.

Решение: Построим поле корреляции зависимости доли оплаты труда в структуре доходов семьи от среднедушевого денежного дохода в месяц.

Точки на построенном графике размещаются вблизи кривой, напоминающей по форме Прямую, поэтому можно предположить, что между указанными величинами существует Линейная зависимость вида .

Для расчета линейного коэффициента парной корреляции и параметров линейной регрессии составим вспомогательную таблицу.

№ п/п	X	Y	X×Y	X2	Y2
1	79,8	64,2	5123,16	6368,04	4121,64
2	152,1	66,1	10053,81	23134,41	4369,21
3	199,3	69,0	13751,70	39720,49	4761,00
4	240,8	70,6	17000,48	57984,64	4984,36
5	282,4	72,4	20445,76	79749,76	5241,76
6	301,8	74,3	22423,74	91083,24	5520,49
7	385,3	76,0	29282,80	148456,09	5776,00
8	457,8	77,1	35296,38	209580,84	5944,41
9	577,4	78,4	45268,16	333390,76	6146,56
S	2676,7	648,1	198645,99	989468,27	46865,43
Среднее	297,41	72,01	22071,78	109940,92	5207,27

Вычислим коэффициент корреляции. Используем следующую формулу:

= 0,9568.

Можно сказать, что между рассматриваемыми признаками существует Прямая тесная Корреляционная связь.

Среднюю ошибку коэффициента корреляции определим по формуле:

= 0,032.

Найдем табличное значение TТабл по таблице распределения Стьюдента для
a = 0,05 и числе степеней свободы K = N – M – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.

TТабл(0,05; 7) = 2,36.

Запишем доверительный интервал для коэффициента корреляции.

Доверительный интервал не включает число 0, поэтому при заданном уровне значимости коэффициент корреляции является статистически значимым.

Вычислим параметры уравнения регрессии.

= 0,03.

= 72,01 – 0,03×297,41 = 63,09.

Получим следующее уравнение: .

Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем T-критерий Стьюдента по формуле:

= 23,04.

Фактическое значение по абсолютной величине больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между рассматриваемыми признаками.

Проверим значимость оценок теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.

Для определения статистической значимости коэффициентов A и B найдем T-статистики Стьюдента:

Рассчитаем по полученному уравнению теоретические значения. Составим вспомогательную таблицу.

№ п/п	X	Y
1	79,8	64,2	65,48	1,6384	47354,1
2	152,1	66,1	67,65	2,4025	21115,0
3	199,3	69,0	69,07	0,0049	9625,6
4	240,8	70,6	70,31	0,0841	3204,7
5	282,4	72,4	71,56	0,7056	225,3
6	301,8	74,3	72,14	4,6656	19,3
7	385,3	76,0	74,65	1,8225	7724,7
8	457,8	77,1	76,82	0,0784	25725,0
9	577,4	78,4	80,41	4,0401	78394,4
S	2676,7	648,1	648,09	15,4421	193388,1

Вычислим стандартные ошибки коэффициентов уравнения.

= 1,2.

= 0,003.

Вычислим T-статистики.

Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что и , т. е. оценки A и B теоретических коэффициентов регрессии статистически значимы.

Сделаем рисунок.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,95682= 0,915 = 91,5%.

Таким образом, вариация результата Y на 91,5% объясняется вариацией фактора X.

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

= 75,81.

Найдем табличное значение Fтабл по таблице критических точек Фишера для
a = 0,05; K1 = M = 1 (число факторов), K2 = N – M – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.

Fтабл(0,05; 1; 7) = 5,59.

Поскольку F > FТабл, уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом Является статистически значимым.

Выполним прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода x, составляющем 111% от среднего уровня.

XP = 297,41 × 1,11 = 330,1.

Вычислим прогнозное значение Yp с помощью уравнения регрессии.

» 73%.

Доверительный интервал прогноза имеет вид

(УP – Tкр×My, УP + Tкр×My),

Где , M = 2 – число параметров уравнения.

= 1,695 » 1,7.

Запишем доверительный интервал прогноза:

Þ

Данный прогноз является надежным, поскольку доверительный интервал не включает число 0, точность прогноза составляет 4.

Задание 2. Модель парной нелинейной регрессии.

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.

Район	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., X	Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., Y
Брянская обл.	178	240
Владимирская обл.	202	226
Ивановская обл.	197	221
Калужская обл.	201	226
Костромская обл.	189	220
Орловская обл.	166	232
Рязанская обл.	199	215
Смоленская обл.	180	220
Тверская обл.	181	222
Тульская обл.	186	231
Ярославская обл.	250	229

Задания:

1. Построить поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитать параметры уравнений полулогарифмической () и степенной () парной регрессии. Сделать рисунки.

2. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Сделать выводы. Оценить качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации. Сделать выводы.

3. По значениям рассчитанных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии. Дать экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии

4. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.

Решение: Решение: Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим поле корреляции. Для этого построим в системе координат точки, у которых первая координата X, а вторая – Y.

Получим следующий рисунок.

По внешнему виду диаграммы рассеяния трудно предположить, какая зависимость существует между указанными показателями.

Построение полулогарифмической модели регрессии.

Уравнение логарифмической кривой: .

Обозначим:

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B×X.

Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

№ п/п	X	Y	X = ln(X)	Xy	X2	Y2				Ai
1	178	240	5,1818	1243,63	26,85	57600	226,40	206,314	184,904	6,006
2	202	226	5,3083	1199,67	28,18	51076	225,17	0,132	0,694	0,370
3	197	221	5,2832	1167,59	27,91	48841	225,41	21,496	19,464	1,957
4	201	226	5,3033	1198,55	28,13	51076	225,22	0,132	0,615	0,348
5	189	220	5,2417	1153,18	27,48	48400	225,82	31,769	33,833	2,576
6	166	232	5,1120	1185,98	26,13	53824	227,08	40,496	24,172	2,165
7	199	215	5,2933	1138,06	28,02	46225	225,31	113,132	106,362	4,577
8	180	220	5,1930	1142,45	26,97	48400	226,29	31,769	39,601	2,781
9	181	222	5,1985	1154,07	27,02	49284	226,24	13,223	17,968	1,874
10	186	231	5,2257	1207,15	27,31	53361	225,97	28,769	25,273	2,225
11	250	229	5,5215	1264,41	30,49	52441	223,09	11,314	34,980	2,651
Итого	2129	2482	57,862	13054,74	304,48	560528	2482,00	498,545	487,867	27,530
Среднее	193,5	225,6	5,260	1186,79	27,68	50957,091	225,636	45,322	44,352	2,503

= -9,76.

= 225,6 – (-9,76)×5,26 = 276,99.

Уравнение модели имеет вид:

Определим индекс корреляции

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,14642= 0,021 = 2,1%.

Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.

Сделаем рисунок.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

= -0,04%.

Коэффициент эластичности показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,04%.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:

= 2,5%.

Построение степенной модели парной регрессии.

Уравнение степенной модели имеет вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

.

Произведем линеаризацию модели путем замены и . В результате получим линейное уравнение .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

№ п/п	X	Y	X = ln(X)	Y = ln(Y)	XY	X2	Y2					Ai
1	178	240	5,1818	5,4806	28,3995	26,851	30,037	226,3	206,3	188,391	241,661	6,07
2	202	226	5,3083	5,4205	28,7737	28,178	29,382	225,1	0,132	0,835	71,479	0,406
3	197	221	5,2832	5,3982	28,5196	27,912	29,140	225,3	21,496	18,671	11,934	1,918
4	201	226	5,3033	5,4205	28,7467	28,125	29,382	225,1	0,132	0,753	55,570	0,385
5	189	220	5,2417	5,3936	28,2720	27,476	29,091	225,7	31,769	32,607	20,661	2,530
6	166	232	5,1120	5,4467	27,8437	26,132	29,667	226,9	40,496	25,675	758,752	2,233
7	199	215	5,2933	5,3706	28,4284	28,019	28,844	225,2	113,132	104,576	29,752	4,540
8	180	220	5,1930	5,3936	28,0089	26,967	29,091	226,2	31,769	38,059	183,479	2,728
9	181	222	5,1985	5,4027	28,0858	27,024	29,189	226,1	13,223	16,950	157,388	1,821
10	186	231	5,2257	5,4424	28,4407	27,308	29,620	225,9	28,769	26,413	56,934	2,275
11	250	229	5,5215	5,4337	30,0021	30,487	29,525	223,1	11,314	34,846	3187,116	2,646
Итого	2129	2482	57,862	59,603	313,521	304,479	322,969	2480,927	498,545	487,777	4774,727	27,548
Среднее	193,5	225,6	5,260	5,418	28,502	27,680	29,361	225,539	45,322	44,343	434,066	2,504

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + BX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.

= -0,042.

= 5,418 – 0,959×5,26 = 5,637.

Перейдем к исходным переменным X и Y, выполнив потенцирование данного уравнения.

A = eA = e5,637 = 280,76

Получим уравнение степенной модели регрессии: .

Определим индекс корреляции

Используя данные таблицы, получим:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,1472= 0,021 = 2,1%.

Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.

Сделаем рисунок.

Для степенной модели средний коэффициент эластичности равен коэффициенту B.

= -0,042%.

Коэффициент эластичности показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,042%.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:

= 2,5%.

Сводная таблица вычислений

Параметры	Модель
Полулогарифмическая	Степенная
Уравнение связи
Индекс корреляции	0,1464	0,147
Коэффициент детерминации	0,021	0,021
Средняя ошибка аппроксимации, %	2,5	2,5

Для выявления формы связи между указанными признаками были построены полулогарифмическая и степенная модели регрессии. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволил предположить, что из перечисленных моделей более адекватной является степенная модель, поскольку для нее индекс корреляции принимает наибольшее значение R = 0,147, свидетельствующий о том, что между рассматриваемыми признаками наблюдается Слабая корреляционная связь.

Рассчитаем прогнозное значение результата по степенной модели регрессии, если прогнозируется увеличение значения фактора на 10% от среднего уровня.

Прогнозное значение составит:

= 193,5 × 1,1 = 212,9 тыс. р., тогда прогнозное значение Y составит:

= 224,6 тыс. р.

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости a = 0,05.

Вычислим Среднюю стандартную ошибку прогноза По следующей формуле:

, где

Получаем: = 7,55.

Найдем предельную ошибку прогноза , где для доверительной вероятности 0,95 значение T составляет 1,96.

= 14,8.

Запишем доверительный интервал прогноза.

= 224,6 – 14,8 = 209,8 тыс. р.

= 224,6 + 14,8 = 239,4 тыс. р.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение среднего размера назначенных ежемесячных пенсий будет находиться в пределах от 209,8 тыс. р. до 239,4 тыс. р.

Задание 3. Моделирование временных рядов

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995-1999 гг.

Номер квартала	Товарооборот % к предыдущему периоду	Номер квартала	Товарооборот % к предыдущему периоду
1	100	11	98,8
2	93,9	12	101,9
3	96,5	13	113,1
4	101,8	14	98,4
5	107,8	15	97,3
6	96,3	16	112,1
7	95,7	17	97,6
8	98,2	18	93,7
9	104	19	114,3
10	99	20	108,4

Задания:

1. Построить график данного временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.

2. Рассчитать сезонную компоненты временного ряда и построить его Мультипликативную Модель.

3. Рассчитать трендовую компоненту временного ряда и построить его график

4. Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

Решение: Пронумеруем указанные месяцы от 1 до 24 и построим график временного ряда.

Полученный график показывает, что а данном временном ряду присутствуют сезонные колебания.

Построим мультипликативную модель временного ряда.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Построение мультипликативной моделей сведем к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1)  Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2)  Расчет значений сезонной компоненты S.

3)  Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных T×E.

4)  Аналитическое выравнивание уровней T×E и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5)  Расчет полученных по модели значений T×E.

6)  Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре месяца со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые уровни объема продаж (гр. 3 табл. 2.1).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 2.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 2.1).

Таблица 2.1

№ месяца, T	Товарооборот, Yi	Итого за четыре месяца	Скользящая средняя за четыре месяца	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	100,0	–	–	–	–
2	93,9	392	98	–	–
3	96,5	400	100	99	0,975
4	101,8	402	100,5	100,25	1,015
5	107,8	402	100,5	100,5	1,073
6	96,3	398	99,5	100	0,963
7	95,7	394	98,5	99	0,967
8	98,2	397	99,25	98,875	0,993
9	104,0	400	100	99,625	1,044
10	99,0	404	101	100,5	0,985
11	98,8	413	103,25	102,125	0,967
12	101,9	412	103	103,125	0,988
13	113,1	411	102,75	102,875	1,099
14	98,4	309	77,25	90	1,093
15	97,3	196	49	63,125	1,541
16	112,1	303	75,75	62,375	1,797
17	97,6	418	104,5	90,125	1,083
18	93,7	414	103,5	104	0,901
19	114,3	–	–	–	–
20	108,4	–	–	–	–

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 2.1). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 2.2). Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты Si. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 2.2

Показатели	Год	№ квартала, I
I	II	III	IV
	1	–	–	0,975	1,015
	2	1,073	0,963	0,967	0,993
	3	1,044	0,985	0,967	0,988
	4	1,099	1,093	1,541	1,797
	5	1,083	0,901	–	–
Всего за I-й квартал		4,299	3,942	4,45	4,793
Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала,		0,860	0,788	0,890	0,959
Скорректированная сезонная компонента,		0,984	0,901	1,018	1,097

Имеем: 0,860 + 0,788 + 0,890 + 0,959 = 3,497.

Определяем корректирующий коэффициент: K = 4 : 3,497 = 1,144.

Скорректированные значения сезонной компоненты получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент K.

Проверяем условие: равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:

0,984 + 0,901 + 1,018 + 1,097 = 4.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины (гр. 4 табл. 2.3), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 2.3

T	Yt	St		T	T×S
1	2	3	4	5	6	7
1	100,0	0,984	101,6	100,02	98,42	1,016
2	93,9	0,901	104,2	100,19	90,27	1,040
3	96,5	1,018	94,8	100,36	102,17	0,945
4	101,8	1,097	92,8	100,53	110,28	0,923
5	107,8	0,984	109,6	100,7	99,09	1,088
6	96,3	0,901	106,9	100,87	90,88	1,060
7	95,7	1,018	94,0	101,04	102,86	0,930
8	98,2	1,097	89,5	101,21	111,03	0,884
9	104,0	0,984	105,7	101,38	99,76	1,043
10	99,0	0,901	109,9	101,55	91,50	1,082
11	98,8	1,018	97,1	101,72	103,55	0,954
12	101,9	1,097	92,9	101,89	111,77	0,912
13	113,1	0,984	114,9	102,06	100,43	1,126
14	98,4	0,901	109,2	102,23	92,11	1,068
15	97,3	1,018	95,6	102,4	104,24	0,933
16	112,1	1,097	102,2	102,57	112,52	0,996
17	97,6	0,984	99,2	102,74	101,10	0,965
18	93,7	0,901	104,0	102,91	92,72	1,011
19	114,3	1,018	112,3	103,08	104,94	1,089
20	108,4	1,097	98,8	103,25	113,27	0,957
Среднее	101,4					1,0011

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T×E. Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 2.4

	T		T2
	1	2	3	4	5	6	7
	1	101,6	1	101,6	2,5	1,58	2,0
	2	104,2	4	208,4	13,2	3,87	56,3
	3	94,8	9	284,4	32,1	5,88	24,0
	4	92,8	16	371,2	71,9	8,33	0,2
	5	109,6	25	548	75,9	8,08	41,0
	6	106,9	36	641,4	29,4	5,63	26,0
	7	94,0	49	658	51,3	7,48	32,5
	8	89,5	64	716	164,6	13,07	10,2
	9	105,7	81	951,3	18,0	4,08	6,8
	10	109,9	100	1099	56,3	7,58	5,8
	11	97,1	121	1068,1	22,6	4,81	6,8
	12	92,9	144	1114,8	97,4	9,69	0,3
	13	114,9	169	1493,7	160,5	11,20	136,9
	14	109,2	196	1528,8	39,6	6,39	9,0
	15	95,6	225	1434	48,2	7,13	16,8
	20	102,2	400	2044	0,2	0,37	114,5
	21	99,2	441	2083,2	12,3	3,59	14,4
	22	104,0	484	2288	1,0	1,05	59,3
	23	112,3	529	2582,9	87,6	8,19	166,4
	24	98,8	576	2371,2	23,7	4,49	49,0
Сумма	230	2035,2	3670	23588	1008,3	122,49	778,2
Среднее	11,5	101,8	183,5	1179,4	50,4	6,12	38,91

Вычислим параметры уравнения тренда.

= 0,17.

= 99,85.

В результате получим уравнение тренда:

T = 99,85 + 0,17×T.

Подставляя в это уравнение значения T = 1,2,…,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.3).

Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 2.3). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.

Расчет ошибки в мультипликативной модели произведем по формуле:

Средняя абсолютная ошибка составила 1,0011 (см. гр. 7 табл. 2.3).

Рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок .

Используя 5-й столбец таблицы 2.4, получим:

= 7,099.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку: .

Используя 6-й столбец таблицы 2.4, получим, что средняя относительная ошибка составила 6,12%, т. е. построенная модель достаточно точно описывает динамику данного явления.

< Предыдущая		Следующая >