Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.[1]
Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.[2]
Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.
-
1
Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула:
, где – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), – измеренное значение, – фактическое значение.[3]
-
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м:
-
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо
.
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м:
-
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[4]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- В нашем примере: , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама
- В нашем примере:
-
1
Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула:
, где – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), – измеренное значение, – фактическое значение.[5]
-
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо
.
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так:
-
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так:
-
4
Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
-
5
Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете
, то есть измеренное значение.
-
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[6]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так:
-
1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
-
2
-
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.[9]
Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[10]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренная длина поля равна м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама
- Например, если измеренная длина поля равна
Советы
- Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 25 760 раз.
Была ли эта статья полезной?
Относительная и абсолютная погрешность – формула определения, как рассчитать погрешность измерения
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Абсолютная погрешность треугольник a
Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)*.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 — 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 — 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 — 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 или, округленно, 3/197 = 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈ 1,4%.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4 %.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или oотносительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то
δ = Δ/a.
Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?
Здесь а = 17,9 см; можно принять Δ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, a значительно уменьшить, предельную погрешность ни удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша ребра могут разниться на бoльшую величину). Относительная погрешность равна 0,1/17,9. Округляя, находим δ = 0,1/18 ≈ 0,6%.
Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?
Решение. По условию, предельная абсолютная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна 36*(0,05/100) = 0,0175 (мм) или, усиливая, 0,02 (мм). Можно воспользоваться формулой δ = Δ/a. Подставляя в неё а = 35, δ = 0,0005, имеем 0,0005 = Δ/35. Значит, Δ = 35 • 0,0005 = 0,0175 (мм).
* Иначе говоря, если a есть приближенное число, а х – его точное значение, то абсолютная погрешность есть абсолютное значение разности a – х. В некоторых руководствах абсолютной погрешностью называется сама разность a – х (или разность х — a). Эта величина может быть положительной или отрицательной.
Приближённые вычисления в математике
Содержание:
Приближённые вычисления
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
Абсолютная и относительная погрешности
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины 
и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа 
числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность 
невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h
. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра 
называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе 
две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку 
а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде 
, число 
в виде 
Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если 
, то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе 
верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись 
означает, что 
, то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись 
3. Если 
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*10 3 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, 
будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью 
(омега) приближённости х величины 
называется отношением абсолютной погрешности 
этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число 
называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа 
Решение: Имеем 
Следовательно 
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что 
.
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числами
Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — 
исходные данные; 
пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; 
пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50. 
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ: 
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и 
, имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата: 
Ответ: 
Выполнение действий без точного учёта погрешности
Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
http://www.maths.yfa1.ru/arifmetica.php?id=35
http://natalibrilenova.ru/priblizhyonnyie-vyichisleniya-v-matematike/
Абсолютная и относительная погрешности
Пусть А-точное
значение некоторой величины,
—
известное приближение к нему, т.е.
приближенное значение величины А.
Обозначим
или
.
В зависимости от
типа величины принято называть А
точным числом,
а его
приближение а
— приближенным
числом.
Например, в соотношениях
число
—
является точным; числа 3,14; 3,142 –
приближенные.
Разность
или (
)
между точным и приближенным значениями
величины называется погрешностью
значения
(но не А).
Так как степень точности приближений
удобно характеризовать с помощью
неотрицательных чисел, вводится понятие
абсолютной
погрешности:
(1)
Знак (
)
свидетельствует о том, что погрешность
между А
и а
не больше
(но может быть и меньше). Действительно,
совершенно неважно
или
.
Главное — насколько они отличаются.
Абсолютная
погрешность дает ценную информацию о
неизвестном (часто) точном значении А:
оно находится от известного приближения
(
)
на расстоянии, не большем, чем
.
Запись (1) можно представить иначе
.
Следовательно,
найдя приближенное значение
и его абсолютную погрешность
,
узнаем, что точное значение А
располагается на отрезке
,
но где точно — ответить на этот вопрос
нельзя. Например, для измерения длины
l
болта
использованы метровая линейка с делениями
0,5 см и линейка с делениями 1 мм (0,1 см). В
обоих случаях получен результат
см. Ясно, что в первом случае отклонение
найденной длины 3,5 см от истинной не
должно по модулю превышать 0,5 см, во
втором случае – 0,1 см. Иначе, в первом
случае
см,
во втором случае
см.
Очевидно, во втором случае измерение
выполнено более точно. Отклонение
;
называется
относительной
погрешностью. Она
позволяет оценить точность несопоставимых
чисел. Часто используют соотношения:
.
Если известна
абсолютная погрешность
приближенного значения а,
то а
называется приближением
к А с точностью до
.
Когда говорят,
что надо получить результат с заданной
точностью ε,
это означает, что его абсолютная
погрешность
не должна
быть больше ε.
Разрядность чисел, значащие и верные цифры
С помощью абсолютных
погрешностей определяют так называемые
верные
и значащие
цифры приближенных чисел.
Пусть приближенные
число записано в виде десятичной дроби:
, т.е.
;
.
Степени (i
j)
называются «порядок числа», а число,
равное 10i,
называется разрядом числа. Очевидно,
все целые числа от 0 до 9 – числа нулевого
порядка (имеют разряд единиц, т.к. 100=1),
от 10 до 99 – числа первого порядка (имеют
разряд десятков, т.к. 101=10),
от 100 до 999 – числа второго порядка (имеют
разряд сотен, т.к. 102=100)
и т.д. Если говорят, что данное число
является (или должно быть) четвертого
порядка, то это любое число от 10000 до
99999.
Все цифры дробной
части (десятичной) записи числа, начиная
с первой ненулевой цифры слева, называются
значащими
цифрами этого
числа. Нули в конце числа всегда считаются
значащими, в противном случае их не
пишут. Например, числа 0,5020 и 0,05020 имеют
одинаковые значащие цифры: 5; 0; 2; 0.
Абсолютную погрешность не следует
записывать с большим количеством
значащих цифр. Основной информацией,
содержащейся в ней, является значение
первой ненулевой цифры и десятичный
разряд, в котором эта цифра расположена
(например, ± 0,004, ±0,0001).
Все значащие
цифры подразделяются на верные
и сомнительные.
Их идентификация базируется на величине
заданной погрешности числа.
Правило 1.
Значащая цифра приближенного числа а
называется
верной,
если она находится в разряде, половина
которого больше абсолютной погрешности
.
Остальные цифры, для которых это правило
не выполняется, считаются сомнительными.
Задача 1.
Для приближенного числа x=72,356
известна абсолютная погрешность
.
Требуется определить его верные значащие
цифры.
Решение.
Выполним
проверку на «верность» для каждой цифры
числа.
1) Проверим цифру
7. Половина единицы ее разряда
.
Значит, она верная.
2) Проверим – цифру
2. Половина единицы ее разряда
.
Она тоже верная.
3) Цифра 3. Половина
ее разряда
.
Значит и она верная.
4) Цифра 5. Половина
ее разряда
.
Значит цифра 5 сомнительная, а соответственно
сомнительна и цифра 6.
Итак, верными
являются цифры 7; 2; 3. Остальные цифры –
сомнительные.
Задача 2.
Даны числа
а,в,с
и их абсолютные погрешности. Определить
верные цифры.
а=2,645
в=0,81726
с=3968
.
Решение. В
числе а
верными
будут числа 2, 6, 4, сомнительная одна
цифра 5.
В числе
в верной
будет цифра 8, остальные сомнительные.
В числе с
верными будут только цифры 3, 9, остальные
сомнительные.
Таким образом,
верные цифры в равноправной степени
— могут состоять
только из нулей (например, если число
78,00 имеет все верные цифры, значит оно
записано с точностью до 0,005) и тогда нули
пишут обязательно;
— могут содержать
и значащие цифры (например, число 78,0051
с точностью до 0,0005 имеет верные цифры
после запятой 0; 0; 5, а число 1 сомнительное).
Нередко бывает
так, что исходные числовые данные
приводятся без оценки их погрешностей,
но с известными верными цифрами. Возникает
обратная задача: найти
абсолютные погрешности этих чисел,
необходимые для последующего учета
погрешностей. Решение следует из
определения верной цифры. Если дробная
часть числа а=4,06
содержит только верные цифры, то это
означает, что
.
Правило 2:
за абсолютную погрешность (если она не
задана отдельно) приближенного числа
с известными верными цифрами принимается
половина
единицы того разряда, где
находится последняя верная цифра.
Обратим внимание
на информационную значимость нулей,
записанных в конце числа. Так, если
известно, что все цифры чисел 3,2 и 3,20
верные, то эти записи неравноценны. За
абсолютную погрешность первого числа
можно взять
.
Для второго
.
Правило 3:
когда в конце числа получаются верные
нули округления, их следует сохранять.
Пусть число а=
-17,298 с
абсолютной погрешностью
требуется округлить до верных цифр.
Очевидно, что последней верной цифрой
должна быть вторая после запятой, т.е.
а= -17,30, но
не а= — 17,3
(заметим, что в числе а=17,30
нет сомнительных цифр). Но если для того
же числа
,
округленное число будет а=17,3.
Очень часто, для
облегчения понимания требований,
предъявляемых к приближенному числу,
применяют термин «точность». В числе,
определяемом как точность, последняя
правая цифра указывает на разряд
последней верной цифры, например, в
дробной части приближенного числа. Если
приближенное число должно быть вычислено
с точностью, например, до 0,001, это означает,
что в результате третья после запятой
цифра должна быть верной, если точность
оценивается числом 0, 01, то в дробной
части вторая цифра после запятой должна
быть верной. Заметим, что для выполнения
первого требования число должно иметь
абсолютную погрешность не более ±0,0005,
во втором случае – не более ±0,005
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
ВИДЕО УРОК
Абсолютная погрешность.
Разность между истинным значением измеряемой величины
и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью.
Для подсчёта
абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.
Существует формула
абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а –
приближение к точному числу. Приближённое число – это число, которое
незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда
формула будет выглядеть следующим образом:
∆а = А – а.
ПРИМЕР:
В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400,
то абсолютная погрешность измерения равна:
400 – 374 = 26.
ПРИМЕР:
На предприятии 1284 рабочих и
служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная
погрешность составляет
1300 – 1284 = 16.
При округлении до 1280 абсолютная
погрешность составляет
1284 – 1280 = 4.
Редко когда можно
точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную
погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе
границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого
числа она не превосходит.
ПРИМЕР:
Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не
превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.
Записывают
абсолютную погрешность числа, используя знак
±.
ПРИМЕР:
Длина рулона обоев составляет.
30 м ± 3
см.
Границу абсолютной
погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Но абсолютная
погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том,
насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно
разобраться в таком примере.
ПРИМЕР:
Допустим, что при измерении коридора длиной в 20
м мы допустили абсолютную погрешность
всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги,
имеющий 18
см длины, мы тоже допустили абсолютную
погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать
превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что
на 20
м ошибка в 1
см вполне допустима и неизбежна, но
на 18
см такая ошибка является очень грубой.
Отсюда ясно, что для оценки качества измерения
существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от
измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см
составляет
долю
измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в 1 см составляет
долю
измеряемой величины.
Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18
см длины и допустив погрешность в 1
см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1
см была допущена при измерении коридора
длиной в 20
м, то это измерение можно считать максимально точным.
Если ошибка,
возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным
инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве
абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на
линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.
Тогда
значение измеряемой длины предмета будет значение ближайшей метки линейки.
Поэтому, если измерение выполнено аккуратно, то истинная длина предмета может
отличаться от измеренной длины не более чем на половину деления шкалы, то есть 0,5 мм.
ПРИМЕР:
Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями 0,5 см и линейка с
делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5
см от истинной, не
должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае
0,1 см.
Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то
p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.
Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае ∆l = 0,5 и, следовательно,
3
≤ l ≤ 4,
в другом – ∆l = 0,1 и
3,4
≤ l ≤ 3,6.
ПРИМЕР:
Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.
РЕШЕНИЕ:
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной погрешности не
превышает 1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет
0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%
измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает
1 км
на 650 км, что в процентном соотношении составляет
1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%
измеряемой величины.
Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата А4.
Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.
Относительная погрешность.
Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.
Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.
Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.
ПРИМЕР:
Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:
14,7 ≈ 15,
Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.
ПРИМЕР:
При измерении в (сантиметрах) толщины
b
стекла и длины l книжной полки
получили следующие результаты:
b ≈ 0,4 с
точностью до 0,1,
l ≈ 100 с
точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит 0,1. Однако 0,1 составляет
существенную часть числа 0,4 и
ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.
В результате измерения нашли,
что b ≈ 0,4 с точностью до 0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит 0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно
то есть относительная погрешность приближения не превосходит 25%.
Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит
Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до 25%,
а во втором – с относительной точностью до 0,1%.
ПРИМЕР:
Если взять абсолютную погрешность в 1
см, при измерении длины отрезков 10
см и 10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для
отрезка длиной в 10 см погрешность
в 1
см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.
Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.
Различают
систематические и случайные погрешности.
Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.
Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.
В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
ПРИМЕР:
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50
г. Относительная погрешность не превосходит
50/3600 ≈
1,4%.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.
В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность 1,4%.
Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность
100 г, 150 г и вообще всякое
число, большее чем 50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.
Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой а,
Правила округления.
На практике
относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление
с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
ПРИМЕР:
Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна:
ПРИМЕР:
Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровым
делением. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого
измерения ?
РЕШЕНИЕ:
Здесь а =
17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью
до 1 мм
измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную
погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но
у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину). Относительная погрешность равна
Округляя, находим
ПРИМЕР:
Цилиндрический поршень имеет около 35
мм в диаметре. С какой точностью нужно
его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05% ?
РЕШЕНИЕ:
По условию, предельная относительная
погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная
погрешность равна
или, усиливая, 0,02
мм.
Можно воспользоваться
формулой
Подставляя в формулу
а = 35,
𝛿 = 0,0005,
имеем
Значит,
∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.
Действия над приближёнными числами.
Сложение и вычитание приближённых чисел.
Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
ПРИМЕР:
Складываются приближённые числа
265 и 32.
РЕШЕНИЕ:
Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна
5
+ 1 = 6.
Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма
265
+ 32 = 297
на 6 меньше истинной
270
+ 33 = 303.
ПРИМЕР:
Найти сумму приближённых чисел:
0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РЕШЕНИЕ:
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Предельная погрешность каждого слагаемого
0,00005.
Предельная погрешность суммы:
0,00005
∙ 9 = 0,00045.
Значит, в последнем (четвёртом) знаке суммы возможна ошибка до 5
единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, то есть до тысячных.
Получаем 0,619,
здесь все знаки верные.
При значительном
числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому
истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной
погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего
примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может
отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.
Например, первое
слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше
истинного на одну единицу и так далее.
Расчёт показывает,
что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около
одного миллиарда. Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может
достигнуть предельной погрешности 0,00045,
это произойдёт:
– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;
– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.
Значит, случаи,
когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.
Дальнейший расчёт
показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может
превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют
лишь 0,07%
из числа всех
возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить 2% всех возможных случаев, а одну единицу –
примерно в 25%.
В остальных 75% случаев погрешность девяти слагаемых не
превышает одной единицы последнего знака.
ПРИМЕР:
Найти сумму точных чисел:
0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РЕШЕНИЕ:
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Округлим их до тысячных и сложим:
0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Предельная погрешность суммы:
0,0005
∙ 9 = 0,0045.
Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003,
то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака
приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо
неверной.
Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:
0,005
∙ 9 = 0,045.
Между тем получим:
0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013.
Предельная абсолютная погрешность разности двух величин
равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
ПРИМЕР:
Пусть предельная погрешность приближённого
уменьшаемого 85 равна 2,
а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.
Предельная погрешность разности
85
– 32 = 53
есть
2
+ 3 = 5.
В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться
85
+ 2 = 87 и
32
– 3 = 29.
Тогда истинная разность есть
87
– 29 = 58.
Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.
Относительная погрешность суммы и разности.
Предельную
относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала
предельную абсолютную погрешность.
Предельная
относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и
наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют
одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность,
то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную
погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном
выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых
сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.
ПРИМЕР:
Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:
24,4
+ 25,2 + 24,7.
РЕШЕНИЕ:
В каждом слагаемом суммы
24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3
предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:
0,05
: 25 = 0,2%.
Такова же она и для суммы.
Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная
0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.
В противоположность
сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и
вычитаемое. <<Потеря точности>> особенно велика в том случае, когда
уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.
Умножение и деление приближённых чисел.
При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.
ПРИМЕР:
Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20, и пусть предельная относительная погрешность первого
сомножителя есть 0,4%, а второго
0,5%.
Тогда предельная относительная погрешность произведения
50
× 20 = 1000
приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть
50
× 0,004 = 0,2,
а второго
20
× 0,005 = 0,1.
Поэтому истинная величина произведения не больше чем
(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,
и не меньше, чем
(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.
Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна
1009,2
– 1000 = 9,02,
а если 991,02, то погрешность произведения равна
1000
– 991,02 = 8,98.
Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит,
предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02.
Предельная относительная погрешность равна
9,02
: 1000 = 0,902%,
то есть приближённо 0,9%.
Задания к уроку 16
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
- Урок 1. Числовые неравенства
- Урок 2. Свойства числовых неравенств
- Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
- Урок 4. Числовые промежутки
- Урок 5. Линейные неравенства
- Урок 6. Системы линейных неравенств
- Урок 7. Нелинейные неравенства
- Урок 8. Системы нелинейных неравенств
- Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
- Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
- Урок 11. Неравенства с модулем
- Урок 12. Иррациональные неравенства
- Урок 13. Неравенства с двумя переменными
- Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
- Урок 15. Приближённые вычисления