Как обозначается ошибка средней в статистике - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

Представление результатов исследования

В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.

Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.

Ошибка среднего арифметического

Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.

Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.

Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.

Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.

Правила записи результатов исследования

В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52

В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).

Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)

	Эффективный модуль упругости (Е), кПа	Эффективный модуль вязкости (V), Па с
Этап эксперимента	Рассл.	Напряж.	Рассл.	Напряж.
До ФН	7,0±0,3	17,1±1,4	29,7±1,7	46±4
После ФН	7,7±0,3	18,7±1,4	30,9±2,0	53±6

Литература

Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

Источник

Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через .
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.

Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.

1.
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).

2.
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.

3.
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.

4.
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).

5.
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.

6.
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.

7.
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.

В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:

где
S — знак суммирования;

V
— полученные в исследовании значения
(варианты);

п
— число вариант.

По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.

При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).

Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.

После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«V_c»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:

Классы	Серединные варианты V_C	Число набл, р	V_CP	V_C-M=d	d²	d²P
0 – 1.9	1	28	28	-4.6	21.16	592.48
2 – 3.9	3	29	87	-2.6	6.76	196.04
4 – 5.9	5	22	110	-0.6	0.36	7.92
6 – 7.9	7	13	91	1.4	1.96	25.48
8 – 9.9	9	11	99	3.4	11.56	127.16
10 – 11.9	11	13	143	5.4	29.16	379.08
12 – 13.9	13	4	52	7.4	54.76	219.04
14 – 15.9	15	2	30	9.4	88.36	176.72
16 – 17.9	17	1	17	11.4	130.00	130.00
18 – 19.9	19	1	19	13.4	179.60	179.60
20 – 21.9	21	1	21	15.4	237.20	237.20
		125	697			2270.72

Очередность
числовых операций:

1)
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);

2)
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);

3)
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);

4)
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:

Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.

Вычисление
средней ошибки среднего арифметического.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:

Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:

Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

Соседние файлы в предмете Ветеринарная генетика

Источник

Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).

Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.

Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).

Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.

Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:

где x_i – значения переменной,
n – количество значений.

Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение x_i обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:

Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:

где σ² – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.

На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:

Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.

Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии

Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии

Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:

Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.

Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).

Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.

Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.

Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).

Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.

Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.

Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.

Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.

Поделиться в социальных сетях:

Представление результатов исследования

Ошибка среднего арифметического

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

Правила записи результатов исследования

В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

	Эффективный модуль упругости (Е), кПа	Эффективный модуль вязкости (V), Па с
Этап эксперимента	Рассл.	Напряж.	Рассл.	Напряж.
До ФН	7,0±0,3	17,1±1,4	29,7±1,7	46±4
После ФН	7,7±0,3	18,7±1,4	30,9±2,0	53±6

Литература

Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

Чтобы
судить о том, насколько точно проведенные
измерения отражают состав генеральной
совокупности, необходимо вычислить
стандартную ошибку средней арифметической
выборочной совокупности.

Стандартная
ошибка средней арифметической
характеризует степень отклонения
выборочной средней арифметической от
средней арифметической генеральной
совокупности.

Стандартная
ошибка средней арифметической вычисляется
по формуле:

где 
– стандартное отклонение результатов
измерений, n
– объем выборки.

Зачастую
мы имеем дело с одной случайной выборкой
и с одной полученной при ее обработке
выборочной средней. Задача заключается
в суждении о величине неизвестной
генеральной средней по полученной
неточной величине случайной выборочной
средней.

Вычислим
среднюю ошибку найденного выборочного
среднего значения роста:

195
см; σ = 8,8 см;
см.

2,8 см
составляют не максимальную, а среднюю
возможную ошибку среднего. Отдельные
выборочные средние могут отклоняться
от генеральной как больше, так и меньше,
чем на 2,8 см.

Каковы
же пределы возможных ошибок случайной
выборки, какова ее максимальная ошибка?
Величина максимальной ошибки зависит
от величины средней ошибки и вычисляется
по формуле

При
объеме выборки n
= 10:

Все
случайные выборочные средние, которые
могут быть получены в подобных опытах
(в том числе и фактически полученная
выборочная средняя
= 195 см), при своем варьировании около
неизвестного генерального среднего в
подавляющем количестве группируются
около него так, что лишь ничтожный
процент их отклоняется от генеральной
средней более, чем на величину максимальной
ошибки.

Другими
словами, генеральная средняя определяется
как

Эти пределы
колебаний значительно сужаются, если
средняя ошибка уменьшается благодаря
увеличению численности выборки.

Искомая
генеральная средняя лежит между
и.
Таким образом, при высокой точности
выполнения эксперимента и достаточно
большом числе измерений можно определить
среднюю арифметическую бесконечно
большого числа экспериментов.

До сих
пор мы определяли максимальную ошибку
выборочной средней, исходя из того, что
все остальные показатели известны. Если
же мы хотим достичь определенной
точности, определенного приближения к
генеральной средней, в этом случае
встает вопрос о численности выборки (о
том, сколько измерений, опытов необходимо
провести).

Допустим, что
максимальная ошибка должна быть равна
5 см. Сколько человек надо обследовать
(измерить) в нашем случае?

Следовательно,
мы должны провести измерения роста у
36 баскетболистов высокого класса.

10. Достоверность различий

Следующим
важным вопросом практически для каждого
экспериментатора является умение
доказать достоверность различий между
двумя рядами признаков.

Проверку
достоверности различия двух рядов
измерений производят путем вычисления
критерия достоверности различия – t:

где
– средняя одной выборки;– средняя другой выборки;– средняя ошибка первой выборки;– второй выборки. Если t < 2, то различие
между двумя выборками считается
недостоверным, если t
2, то различие между двумя выборками
достоверно на 95%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Содержание

Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вопросы и ответы

Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.

Расчет ошибки средней арифметической

Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.

В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.

Способ 1: расчет с помощью комбинации функций

Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.

Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.

Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».

Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».

Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.

Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».

В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».

Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)

Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.

Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».

В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».

Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)

В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».

После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))

Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.

Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:

=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)

Урок: Статистические функции в Экселе

Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»

Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.

Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.

После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».

Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».

Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».

В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.

Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.

После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».

После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.

Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.

Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.

В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.

Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.

Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.

Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.

После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.

После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.

Урок: Описательная статистика в Экселе

Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .

Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.

Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.

Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.

Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:

Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.

Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:

Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:

Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:

Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.

Формула для фактического расчета стандартной ошибки:

Стандартная ошибка = s/ √n

куда:

s: стандартное отклонение выборки
n: размер выборки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.

Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.

Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:

Стандартная ошибка = s/ √n

Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .

Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .

В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.

2.1. Стандартное отклонение среднего выборочного значения (ошибка среднего) и доверительный интервал

Результаты измерений обычно показывают с так называемой «средней статистической ошибкой средней величины» и для нашего случая (см. табл. 1.1) это будет запись: «высота сеянцев в опыте составила 5,0 ± 0,28 см». Словосочетание «средняя статистическая ошибка» обычно сокращают до названия «ошибка среднего» или просто «ошибка», обозначают буквой m и определяют по очень простой формуле. Для итогов упомянутой таблицы, где расчеты по 25 высотам дали значение δ = 1,42 см, эта ошибка составит:

11.wmf (2.1)

где δ –	стандартное отклонение;
N –	число наблюдений или объем выборки, шт.

Если объем выборки взять 100 шт., то ошибка снизится в 2 раза: 12.wmf а если увеличить до 10000 шт., то в 10 раз, до 0,014 см.

Рассмотрим эту «среднюю статистическую ошибку» (далее просто ошибка) подробно, так как именно в ней скрыто понимание того, что называют статистическим мышлением. Интуитивно мы понимаем, что малая выборка дает большую ошибку, т.е. неточное определение среднего значения. Последний термин настолько привычен, что мы даже не задумываемся о том, что его правильное и полное название «среднее выборочное значение», т.е. среднее, определяемое в некоторой выборке. И выборки могут быть очень разные по численности. Начнем с самых малых. Например, что произойдет с ошибкой, если объем выборки сократить до 2 измерений? Такие выборки бывают, например, в почвенных исследованиях, когда каждое измерение достается дорогой ценой. Для этого вернемся к рис. 1.1. На нем стандартное отклонение ±δ, которое отражает разброс значений вокруг среднего в левую и правую сторону в виде холма, наблюдается при объеме выборки 1 шт. В этом случае ошибка среднего выборочного значения будет равна стандартному отклонению: m = δ = 1,42. С увеличением N ошибка уменьшается:

при объеме выборки N = 2 ошибка будет

13.wmf

при объеме выборки N = 4 ошибка будет

14.wmf

при объеме выборки N = 16 ошибка будет

15.wmf

Важно понять, что ряд распределения частот этих выборочных средних будет постепенно как бы съеживаться и приближаться к центру, где находится так называемое «генеральное» среднее. Поясним, что в математике генеральное среднее значение называется математическим ожиданием и его обозначают буквой «М». Например, это может быть средняя высота, рассчитанная по всем измеренным в теплице сеянцам, или среднее число семян в 1 шишке у дерева после подсчета семян во всех собранных с дерева шишках (50, 100, 500 и т.д., т.е. весьма небольшая генеральная совокупность). Распределение частот значений выборочных средних, которых может быть множество, будет иметь форму такого же холма, как и распределение единичных значений на рис. 1.1. При этом, если выборка будет из 1 шт., то холм будет в точности таким же, но при выборках из 2 шт. его форма съежится в 16.wmf = в 1,41 раза; при выборках из 4 шт. –
в 17.wmf = в 2 раза; при выборках из 9 шт. – в 18.wmf = в 3 раза и т.д.

Для этих сокращающихся рядов распределения выборочных средних можно рассчитать свое, особое стандартное отклонение. Вероятно, чтобы не путать его со СТАНДОТКЛ, его стали называть по-другому, т.е. «средней статистической ошибкой средней величины». Чем больше по объему выборки, тем короче ряд распределения средних значений этих выборок с его «хвостами» в левую и правую сторону, и тем меньше величина этого особого стандартного отклонения. Закон распределения частот выборочных средних точно такой же, и имеет те же свойства: в пределах ±2m находится 95 % всех значений выборочных средних, в пределах ±3m – 99,5 %, а в пределах ±4m находится 100 % всех значений xср. Форма этого распределения меняется от пологой при малых выборках до очень крутой, вплоть до «схлопывания» в центре при выборках большого объема, когда ошибка среднего стремится к нулю.

Здесь следует пояснить, что, на наш взгляд, словосочетание «средняя статистическая ошибка средней величины», сокращаемое до «ошибки среднего значения» или просто до «ошибки», вводит нас в некоторое заблуждение, так как мы привыкли со школы, что ошибки надобно исправлять. Более правильным, вместо слов «ошибка среднего значения», будет использование слов «стандартное отклонение выборочных средних значений от генерального среднего». Не случайно математики выбрали для обозначения величины этого отклонения букву «m», а для обозначения генерального среднего (математического ожидания) – букву «М». Слова для объяснения этих сложных явлений могут быть разными, но и у математиков, и у биологов есть единодушие в понимании статистического смысла, лежащего за этими буквенными символами. Вообще, лучше было бы ввести некий иной термин вместо слов «ошибка» или «отклонение», так как они изначально имеют в нашем сознании иной смысл; на наш взгляд, более всего подходит слово «скачок» (чем сильнее отскакивает выборочное среднее от генерального среднего, тем реже оно встречается). Но так уж получилось, что не нашлось нейтрального (иностранного) слова, и слово «ошибка» традиционно используют, и мы также будем его использовать; важно понимать его иной, чем в обыденном употреблении, математический и статистический смысл.

Для самого точного определения средней высоты сеянцев нужно измерять все растения в питомнике, и тогда мы получим «генеральное среднее значение». Но так не делают, а измеряют несколько сотен растений в разных местах и этого бывает достаточно для определения среднего выборочного значения с приемлемой точностью. В нашем примере при 100 растениях ошибка его определения составит 19.wmf а ее отнесение к средней высоте сеянцев 5,0 см, выражаемое в %, дает нам так называемую точность опыта: 0,14/5,0×100 = 2,8 %. В биологии точность опыта ±2–3 % считается высокой, ±5 % – достаточной, а ±6–7 % – пониженной, но это весьма упрощенное представление о планировании эксперимента.

Вообще, точность опыта не самоцель; гораздо важнее сократить численность (объем) выборки до минимума. Представим себе, что средняя высота сеянцев xср = 5,0 см, а ее ±δ = 1,42 см, рассмотренные выше, получены при измерении 1000 растений потомства сосны, например, из Кунгура. Поделив ±δ на корень из 1000 получаем ошибку опыта m = ±0,045 см. Далее получаем точность опыта

Р = m/xср×100 = 0,045/5,0×100 = 0,9 %.

Точность получилась очень высокой. Но в питомнике есть потомства и из других мест и такой уровень точности совершенно не нужен, так как нужно узнать еще высоты сеянцев, например, из Очера, Осы, Добрянки и других районов. Если выборку из 1 тыс. растений снижать, то будет увеличиваться ошибка в определении средней высоты. И нужно найти приемлемую величину такой ошибки, которая позволит нам, тем не менее, уверенно утверждать, что это потомство растет быстрее, либо медленнее других. Причем происхождений может быть несколько сотен и минимизация выборок крайне важна, так как масштабы работ ограничены физическими возможностями бригады селекционеров. Следовательно, надо сокращать объем выборки. Как это сделать правильно?

Рассмотрим два потомства. Первое – это упомянутые сеянцы происхождением из Кунгура (хср1), второе – сеянцы из Кизела с хср2 = 6,0 см и δ2 = ± 1,0 см (превышение высоты на 20 %). Надо это превышение доказать. При выборках из 100 растений ранее определенная ошибка m1 была равна 0,14 см, вторая ошибка m2 после расчетов по формуле (2.1) составит 0,1 см. По закону нормального распределения 99,5 % всех возможных значений этих средних хср1 и хср2 будут в пределах «плюс-минус три ошибки», что можно показать графически (рис. 2.1) или в виде формул:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,14 = 5,0 ± 0,4 см

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,1 = 6,0 ± 0,3 см.

Возможные теоретические значения средних в генеральной совокупности не перекрывают друг друга, значит, различие достоверно. А если сократить выборки до 50 сеянцев? Тогда 20.wmf и 21.wmf и пределы колебаний возможных значений средних будут:

хср1 ± 3m1 = 5,0 ± 3×0,20 = 5,0 ± 0,6 см;

хср2 ± 3m2 = 6,0 ± 3×0,14 = 6,0 ± 0,3 см.

2_1.tif

Рис. 2.1. Средние значения по выборкам из 100 растений и их тройные ошибки (пределы возможных значений выборочных средних в 99,5 % случаев)

Снова вынесем эти пределы на график (рис. 2.2).

2_2.tif

Рис. 2.2. Средние значения при N = 50 растений и их тройные ошибки

Как видим, пределы сблизились и если еще сократить выборки, то они перекроются. Можно ли далее снижать объем выборки?

Можно, но здесь вступает в силу так называемое условие безошибочного прогноза. Мы это условие задали на уровне 99,5 % и для этого взяли ±3m для распределения ошибок. Но можно взять уровень пониже, с пределами ±2δ (уровень 95 %) и даже с пределами ±1,7δ (уровень 90 %).

При выборках из 25 штук сеянцев, получаем две ошибки: 22.wmf 23.wmf Тогда пределы значений для этих двух выборочных средних для уровня прогноза в 95 % будут:

хср1 ± 2m1 = 5,0 ± 2×0,28 = 5,0 ± 0,56 см;

хср2 ± 2m2 = 6,0 ± 2×0,20 = 6,0 ± 0,40 см.

Выносим эти пределы опять на график (рис. 2.3).

2_3.tif

Рис. 2.3. Средние значения при N = 25 растений и их двойные ошибки (пределы возможных значений средних в 95 % случаев)

Как видим, просвет все еще есть, и поэтому между возможными значениями средних высот сеянцев в других выборках из происхождений Кунгур и Кизел различия будут опять доказаны. Но уровень доказательства понизился до 95 %, и для 5 % оставшихся случаев нет гарантии, что различия будут иметь место при выборке из 25 растений. Их может и не быть, но эту вероятность в 5 % мы допускаем.

Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

1

Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
2

Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
3

Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
4

Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
5

Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
6

Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

Реклама

1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
  Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
  Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
  Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама

1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
  Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 48 054 раза.

Была ли эта статья полезной?

Стандартная ошибка

Стандартная ошибка — это стандартное отклонение выборочного распределения статистики. Этот термин также может использоваться для оценки (хорошего предположения) этого стандартного отклонения, взятого из выборки всей группы.

Среднее значение некоторой части группы (называемой выборкой) является обычным способом оценки среднего значения для всей группы. Часто бывает слишком сложно или стоит слишком много денег, чтобы измерить всю группу. Но если измерить другую выборку, то ее среднее значение будет немного отличаться от первой выборки. Стандартная ошибка среднего — это способ узнать, насколько близка средняя по выборке к средней по всей группе. Это способ узнать, насколько вы можете быть уверены в среднем значении по выборке.

В реальных измерениях истинное значение стандартного отклонения среднего для всей группы обычно неизвестно. Поэтому термин стандартная ошибка часто используется для обозначения близкого к истинному значению для всей группы. Чем больше измерений в выборке, тем ближе к истинному значению для всей группы.

Для значения, отобранного с несмещенной нормально распределенной ошибкой, выше показана доля выборок, которые будут находиться в пределах 0, 1, 2 и 3 стандартных отклонений выше и ниже фактического значения.

Как найти стандартную ошибку среднего значения

Один из способов найти стандартную ошибку среднего — это множество выборок. Сначала находят среднее значение для каждой выборки. Затем находят среднее и стандартное отклонение этих средних по выборкам. Стандартное отклонение для всех средних по выборке и есть стандартная ошибка среднего. Это может быть большой объем работы. Иногда иметь большое количество образцов слишком сложно или стоит слишком много денег.

Другой способ найти стандартную ошибку среднего — использовать уравнение, для которого нужна только одна выборка. Стандартная ошибка среднего обычно оценивается по стандартному отклонению для выборки из всей группы (стандартное отклонение выборки), деленному на квадратный корень из размера выборки.

S E x ¯ = s n {displaystyle SE_{bar {x}} ={frac {s}{sqrt {n}}}} ${displaystyle SE_{bar {x}} ={frac {s}{sqrt {n}}}}$

где

s — стандартное отклонение выборки (т.е. выборочная оценка стандартного отклонения популяции), и

n — количество измерений в выборке.

Насколько большой должна быть выборка, чтобы оценка стандартной ошибки среднего была близка к фактической стандартной ошибке среднего для всей группы? В выборке должно быть не менее шести измерений. Тогда стандартная ошибка среднего для выборки будет находиться в пределах 5% от стандартной ошибки среднего, если бы измерялась вся группа.

Исправления для некоторых случаев

Существует еще одно уравнение, которое можно использовать, если количество измерений составляет 5% или более от всей группы:

Существуют специальные уравнения, которые необходимо использовать, если образец имеет менее 20 измерений.

Иногда выборка поступает из одного места, хотя вся группа может быть рассредоточена. Кроме того, иногда выборка может быть сделана за короткий промежуток времени, когда вся группа охватывает более длительный период. В этом случае числа в выборке не являются независимыми. Тогда используются специальные уравнения, чтобы попытаться исправить это.

Полезность

Практический результат: Можно быть более уверенным в среднем значении, если провести больше измерений в выборке. Тогда стандартная ошибка среднего значения будет меньше, поскольку стандартное отклонение делится на большее число. Однако, чтобы сделать неопределенность (стандартную ошибку среднего) среднего значения в два раза меньше, размер выборки (n) должен быть в четыре раза больше. Это происходит потому, что стандартное отклонение делится на квадратный корень из размера выборки. Чтобы сделать неопределенность на одну десятую больше, размер выборки (n) должен быть в сто раз больше!

Стандартные ошибки легко вычисляются и часто используются, потому что:

Если известна стандартная ошибка нескольких отдельных величин, то во многих случаях можно легко рассчитать стандартную ошибку некоторой функции этих величин;
Если вероятностное распределение значения известно, его можно использовать для расчета хорошего приближения к точному доверительному интервалу; и
Если распределение вероятности неизвестно, для оценки доверительного интервала можно использовать другие уравнения
Когда размер выборки становится очень большим, принцип центральной предельной теоремы показывает, что числа в выборке очень похожи на числа во всей группе (они имеют нормальное распределение).

Относительная стандартная ошибка

Относительная стандартная ошибка (RSE) — это стандартная ошибка, деленная на среднее значение. Это число меньше единицы. Умножение его на 100% дает его в процентах от среднего значения. Это помогает показать, является ли неопределенность важной или нет. Например, рассмотрим два исследования доходов домохозяйств, в результате которых среднее значение по выборке составляет $50 000. Если стандартная ошибка одного опроса составляет $10 000, а другого — $5 000, то относительные стандартные ошибки равны 20% и 10% соответственно. Опрос с меньшей относительной стандартной ошибкой лучше, потому что он имеет более точное измерение (неопределенность меньше).

На самом деле, люди, которым необходимо знать средние значения, часто решают, насколько мала должна быть неопределенность, прежде чем они решат использовать информацию. Например, Национальный центр статистики здравоохранения США не сообщает среднее значение, если относительная стандартная ошибка превышает 30%. NCHS также требует не менее 30 наблюдений для того, чтобы оценка была представлена в отчете. ^[]

Пример

Например, в воде Мексиканского залива водится много красной рыбы. Чтобы узнать, сколько в среднем весит красноперка длиной 42 см, невозможно измерить всех красноперок длиной 42 см. Вместо этого можно измерить некоторых из них. Рыба, которую измеряют, называется образцом. В таблице показан вес двух образцов красноперки длиной 42 см. Средний (средний) вес первого образца составляет 0,741 кг. Средний (средний) вес второго образца — 0,735 кг, что немного отличается от первого образца. Каждое из этих средних значений немного отличается от среднего значения, которое было бы получено при измерении каждой красной рыбы длиной 42 см (что в любом случае невозможно).

Неопределенность среднего значения можно использовать для того, чтобы узнать, насколько близки средние значения выборок к среднему значению, которое было бы получено в результате измерения всей группы. Неопределенность среднего оценивается как стандартное отклонение для выборки, деленное на квадратный корень из числа выборок минус один. Из таблицы видно, что неопределенности в средних для двух выборок очень близки друг к другу. Кроме того, относительная неопределенность — это неопределенность среднего значения, деленная на среднее значение, умноженное на 100%. Относительная неопределенность в данном примере составляет 2,38% и 2,50% для двух образцов.

Зная неопределенность среднего, можно узнать, насколько близко выборочное среднее к среднему, которое было бы получено в результате измерения всей группы. Среднее по всей группе находится между а) средним по выборке плюс неопределенность в среднем и б) средним по выборке минус неопределенность в среднем. В данном примере средний вес всей красноперки длиной 42 см в Мексиканском заливе, как ожидается, составит 0,723-0,759 кг по первой выборке и 0,717-0,753 по второй выборке.

Пример красной рыбы (также известной как красный барабан, Sciaenops ocellatus), используемой в примере.

Источник

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

где x_i – значения переменной,
n – количество значений.

Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:

где σ² – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.

Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии

Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Поделиться в социальных сетях:

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

For a value that is sampled with an unbiased normally distributed error, the above depicts the proportion of samples that would fall between 0, 1, 2, and 3 standard deviations above and below the actual value.

The standard error (SE)^[1] of a statistic (usually an estimate of a parameter) is the standard deviation of its sampling distribution^[2] or an estimate of that standard deviation. If the statistic is the sample mean, it is called the standard error of the mean (SEM).^[1]

The sampling distribution of a mean is generated by repeated sampling from the same population and recording of the sample means obtained. This forms a distribution of different means, and this distribution has its own mean and variance. Mathematically, the variance of the sampling mean distribution obtained is equal to the variance of the population divided by the sample size. This is because as the sample size increases, sample means cluster more closely around the population mean.

Therefore, the relationship between the standard error of the mean and the standard deviation is such that, for a given sample size, the standard error of the mean equals the standard deviation divided by the square root of the sample size.^[1] In other words, the standard error of the mean is a measure of the dispersion of sample means around the population mean.

In regression analysis, the term «standard error» refers either to the square root of the reduced chi-squared statistic or the standard error for a particular regression coefficient (as used in, say, confidence intervals).

Standard error of the sample mean[edit]

Exact value[edit]

Suppose a statistically independent sample of observations ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ is taken from a statistical population with a standard deviation of sigma . The mean value calculated from the sample, , will have an associated standard error on the mean, ${displaystyle {sigma }_{bar {x}}}$ , given by:^[1]

${displaystyle {sigma }_{bar {x}} ={frac {sigma }{sqrt {n}}}}$ .

Practically this tells us that when trying to estimate the value of a population mean, due to the factor , reducing the error on the estimate by a factor of two requires acquiring four times as many observations in the sample; reducing it by a factor of ten requires a hundred times as many observations.

Estimate[edit]

The standard deviation sigma of the population being sampled is seldom known. Therefore, the standard error of the mean is usually estimated by replacing sigma with the sample standard deviation $sigma _{x}$ instead:

${displaystyle {sigma }_{bar {x}} approx {frac {sigma _{x}}{sqrt {n}}}}$

As this is only an estimator for the true «standard error», it is common to see other notations here such as:

${displaystyle {widehat {sigma }}_{bar {x}}approx {frac {sigma _{x}}{sqrt {n}}}}$

or alternately ${displaystyle {s}_{bar {x}} approx {frac {s}{sqrt {n}}}}$ .

A common source of confusion occurs when failing to distinguish clearly between:

Accuracy of the estimator[edit]

When the sample size is small, using the standard deviation of the sample instead of the true standard deviation of the population will tend to systematically underestimate the population standard deviation, and therefore also the standard error. With n = 2, the underestimate is about 25%, but for n = 6, the underestimate is only 5%. Gurland and Tripathi (1971) provide a correction and equation for this effect.^[3] Sokal and Rohlf (1981) give an equation of the correction factor for small samples of n < 20.^[4] See unbiased estimation of standard deviation for further discussion.

Derivation[edit]

The standard error on the mean may be derived from the variance of a sum of independent random variables,^[5] given the definition of variance and some simple properties thereof. If ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}}$ is a sample of independent observations from a population with mean and standard deviation sigma , then we can define the total

${displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n})}$

which due to the Bienaymé formula, will have variance

${displaystyle operatorname {Var} (T)approx {big (}operatorname {Var} (x_{1})+operatorname {Var} (x_{2})+cdots +operatorname {Var} (x_{n}){big )}=nsigma ^{2}.}$

where we’ve approximated the standard deviations, i.e., the uncertainties, of the measurements themselves with the best value for the standard deviation of the population. The mean of these measurements is simply given by

The variance of the mean is then

${displaystyle operatorname {Var} ({bar {x}})=operatorname {Var} left({frac {T}{n}}right)={frac {1}{n^{2}}}operatorname {Var} (T)={frac {1}{n^{2}}}nsigma ^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}.}$

The standard error is, by definition, the standard deviation of which is simply the square root of the variance:

${displaystyle sigma _{bar {x}}={sqrt {frac {sigma ^{2}}{n}}}={frac {sigma }{sqrt {n}}}}$

For correlated random variables the sample variance needs to be computed according to the Markov chain central limit theorem.

Independent and identically distributed random variables with random sample size[edit]

There are cases when a sample is taken without knowing, in advance, how many observations will be acceptable according to some criterion. In such cases, the sample size is a random variable whose variation adds to the variation of such that,

${displaystyle operatorname {Var} (T)=operatorname {E} (N)operatorname {Var} (X)+operatorname {Var} (N){big (}operatorname {E} (X){big )}^{2}}$

^[6]

If has a Poisson distribution, then with estimator . Hence the estimator of becomes ${displaystyle nS_{X}^{2}+n{bar {X}}^{2}}$ , leading the following formula for standard error:

${displaystyle operatorname {Standard~Error} ({bar {X}})={sqrt {frac {S_{X}^{2}+{bar {X}}^{2}}{n}}}}$

(since the standard deviation is the square root of the variance)

Student approximation when σ value is unknown[edit]

In many practical applications, the true value of σ is unknown. As a result, we need to use a distribution that takes into account that spread of possible σ’s.
When the true underlying distribution is known to be Gaussian, although with unknown σ, then the resulting estimated distribution follows the Student t-distribution. The standard error is the standard deviation of the Student t-distribution. T-distributions are slightly different from Gaussian, and vary depending on the size of the sample. Small samples are somewhat more likely to underestimate the population standard deviation and have a mean that differs from the true population mean, and the Student t-distribution accounts for the probability of these events with somewhat heavier tails compared to a Gaussian. To estimate the standard error of a Student t-distribution it is sufficient to use the sample standard deviation «s» instead of σ, and we could use this value to calculate confidence intervals.

Note: The Student’s probability distribution is approximated well by the Gaussian distribution when the sample size is over 100. For such samples one can use the latter distribution, which is much simpler.

Assumptions and usage[edit]

An example of how is used is to make confidence intervals of the unknown population mean. If the sampling distribution is normally distributed, the sample mean, the standard error, and the quantiles of the normal distribution can be used to calculate confidence intervals for the true population mean. The following expressions can be used to calculate the upper and lower 95% confidence limits, where is equal to the sample mean, is equal to the standard error for the sample mean, and 1.96 is the approximate value of the 97.5 percentile point of the normal distribution:

Upper 95% limit

{displaystyle ={bar {x}}+(operatorname {SE} times 1.96),}

and

Lower 95% limit

In particular, the standard error of a sample statistic (such as sample mean) is the actual or estimated standard deviation of the sample mean in the process by which it was generated. In other words, it is the actual or estimated standard deviation of the sampling distribution of the sample statistic. The notation for standard error can be any one of SE, SEM (for standard error of measurement or mean), or S_E.

Standard errors provide simple measures of uncertainty in a value and are often used because:

in many cases, if the standard error of several individual quantities is known then the standard error of some function of the quantities can be easily calculated;
when the probability distribution of the value is known, it can be used to calculate an exact confidence interval;
when the probability distribution is unknown, Chebyshev’s or the Vysochanskiï–Petunin inequalities can be used to calculate a conservative confidence interval; and
as the sample size tends to infinity the central limit theorem guarantees that the sampling distribution of the mean is asymptotically normal.

Standard error of mean versus standard deviation[edit]

In scientific and technical literature, experimental data are often summarized either using the mean and standard deviation of the sample data or the mean with the standard error. This often leads to confusion about their interchangeability. However, the mean and standard deviation are descriptive statistics, whereas the standard error of the mean is descriptive of the random sampling process. The standard deviation of the sample data is a description of the variation in measurements, while the standard error of the mean is a probabilistic statement about how the sample size will provide a better bound on estimates of the population mean, in light of the central limit theorem.^[7]

Put simply, the standard error of the sample mean is an estimate of how far the sample mean is likely to be from the population mean, whereas the standard deviation of the sample is the degree to which individuals within the sample differ from the sample mean.^[8] If the population standard deviation is finite, the standard error of the mean of the sample will tend to zero with increasing sample size, because the estimate of the population mean will improve, while the standard deviation of the sample will tend to approximate the population standard deviation as the sample size increases.

Extensions[edit]

Finite population correction (FPC)[edit]

The formula given above for the standard error assumes that the population is infinite. Nonetheless, it is often used for finite populations when people are interested in measuring the process that created the existing finite population (this is called an analytic study). Though the above formula is not exactly correct when the population is finite, the difference between the finite- and infinite-population versions will be small when sampling fraction is small (e.g. a small proportion of a finite population is studied). In this case people often do not correct for the finite population, essentially treating it as an «approximately infinite» population.

If one is interested in measuring an existing finite population that will not change over time, then it is necessary to adjust for the population size (called an enumerative study). When the sampling fraction (often termed f) is large (approximately at 5% or more) in an enumerative study, the estimate of the standard error must be corrected by multiplying by a »finite population correction» (a.k.a.: FPC):^[9]
^[10]

${displaystyle operatorname {FPC} ={sqrt {frac {N-n}{N-1}}}}$

which, for large N:

${displaystyle operatorname {FPC} approx {sqrt {1-{frac {n}{N}}}}={sqrt {1-f}}}$

to account for the added precision gained by sampling close to a larger percentage of the population. The effect of the FPC is that the error becomes zero when the sample size n is equal to the population size N.

This happens in survey methodology when sampling without replacement. If sampling with replacement, then FPC does not come into play.

Correction for correlation in the sample[edit]

Expected error in the mean of A for a sample of n data points with sample bias coefficient ρ. The unbiased standard error plots as the ρ = 0 diagonal line with log-log slope −½.

If values of the measured quantity A are not statistically independent but have been obtained from known locations in parameter space x, an unbiased estimate of the true standard error of the mean (actually a correction on the standard deviation part) may be obtained by multiplying the calculated standard error of the sample by the factor f:

$f={sqrt {frac {1+rho }{1-rho }}},$

where the sample bias coefficient ρ is the widely used Prais–Winsten estimate of the autocorrelation-coefficient (a quantity between −1 and +1) for all sample point pairs. This approximate formula is for moderate to large sample sizes; the reference gives the exact formulas for any sample size, and can be applied to heavily autocorrelated time series like Wall Street stock quotes. Moreover, this formula works for positive and negative ρ alike.^[11] See also unbiased estimation of standard deviation for more discussion.

References[edit]

^ ^a ^b ^c ^d Altman, Douglas G; Bland, J Martin (2005-10-15). «Standard deviations and standard errors». BMJ: British Medical Journal. 331 (7521): 903. doi:10.1136/bmj.331.7521.903. ISSN 0959-8138. PMC 1255808. PMID 16223828.
^ Everitt, B. S. (2003). The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 978-0-521-81099-9.
^ Gurland, J; Tripathi RC (1971). «A simple approximation for unbiased estimation of the standard deviation». American Statistician. 25 (4): 30–32. doi:10.2307/2682923. JSTOR 2682923.
^ Sokal; Rohlf (1981). Biometry: Principles and Practice of Statistics in Biological Research (2nd ed.). p. 53. ISBN 978-0-7167-1254-1.
^ Hutchinson, T. P. (1993). Essentials of Statistical Methods, in 41 pages. Adelaide: Rumsby. ISBN 978-0-646-12621-0.
^ Cornell, J R, and Benjamin, C A, Probability, Statistics, and Decisions for Civil Engineers, McGraw-Hill, NY, 1970, ISBN 0486796094, pp. 178–9.
^ Barde, M. (2012). «What to use to express the variability of data: Standard deviation or standard error of mean?». Perspect. Clin. Res. 3 (3): 113–116. doi:10.4103/2229-3485.100662. PMC 3487226. PMID 23125963.
^ Wassertheil-Smoller, Sylvia (1995). Biostatistics and Epidemiology : A Primer for Health Professionals (Second ed.). New York: Springer. pp. 40–43. ISBN 0-387-94388-9.
^ Isserlis, L. (1918). «On the value of a mean as calculated from a sample». Journal of the Royal Statistical Society. 81 (1): 75–81. doi:10.2307/2340569. JSTOR 2340569. (Equation 1)
^ Bondy, Warren; Zlot, William (1976). «The Standard Error of the Mean and the Difference Between Means for Finite Populations». The American Statistician. 30 (2): 96–97. doi:10.1080/00031305.1976.10479149. JSTOR 2683803. (Equation 2)
^ Bence, James R. (1995). «Analysis of Short Time Series: Correcting for Autocorrelation». Ecology. 76 (2): 628–639. doi:10.2307/1941218. JSTOR 1941218.

Источник

Представление результатов исследования

Ошибка среднего арифметического

Правила записи результатов исследования

Представление результатов научных исследований

Литература

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Представление результатов исследования

Ошибка среднего арифметического

Правила записи результатов исследования

Представление результатов научных исследований

Литература

10. Достоверность различий

Расчет ошибки средней арифметической

Способ 1: расчет с помощью комбинации функций

Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

2.1. Стандартное отклонение среднего выборочного значения (ошибка среднего) и доверительный интервал

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Стандартная ошибка

Как найти стандартную ошибку среднего значения

Исправления для некоторых случаев

Полезность

Относительная стандартная ошибка

Пример

Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической

Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической

Standard error of the sample mean[edit]

Exact value[edit]

Estimate[edit]

Accuracy of the estimator[edit]

Derivation[edit]

Independent and identically distributed random variables with random sample size[edit]

Student approximation when σ value is unknown[edit]

Assumptions and usage[edit]

Standard error of mean versus standard deviation[edit]

Extensions[edit]

Finite population correction (FPC)[edit]

Correction for correlation in the sample[edit]

See also[edit]

References[edit]