Как не совершать ошибок в математике

Эта статья написана с использованием примеров из второй части ЕГЭ по математике, потому что я специализируюсь на подготовке ко второй части, но советы из неё так же подойдут и для 7-10 класса, и для других предметах.

---

Начнем, казалось бы, издалека – с вопроса: «зачем человеку нужны эмоции и чувства?». Они ведь есть у человека не просто так. Любовь нужна, чтоб продолжить свой род и не прибить наследника, когда он вторую ночь подряд не спит и вам не дает. Злость придает сил и энергии справится с ситуацией, которая нас не устраивает. Боль помогает запомнить и не повторять ошибки, которые к ней привели, а страх – предупреждает об опасности и напоминает о возможной боли.

Вспомните как вы обожглись. Вам же не надо после этого 100 раз напоминать «горячее трогать нельзя», боль и страх сделали своё дело, зафиксировав эту мысль в вас в голове без заучивания. Почему же когда дело касается математики, то одна и та же ошибка может повторятся десятки раз? Ответ прост – потому что нет эмоций и нет переживаний. При ошибке не происходит ничего страшного.

Пока дело не коснется непосредственно самого ЕГЭ. Там один знак может изменить ВСЁ! Одна ошибка, один символ – и поезд с конечной станцией «Вуз вашей мечты» уходит без вас.

Думаете, я приукрашиваю? Да ни капельки! Вот недавний пример — у меня был ученик Андрей. В задаче с параметром он перенес число через равно, не поменяв знак и… всё. 78 баллов вместо 86. И именно этих 8 баллов ему не хватило для поступления туда куда хотелось. Поверьте, эту боль он запомнил крепко… правда уже поздно.

Что же делать? Сделайте так, чтоб ошибки вас эмоционально цепляли! Злитесь и расстраивайтесь, когда делаете ошибки по невнимательности. Особенно сильно — если делаете одну и ту же ошибку несколько раз. Вы же могли её избежать, правильно?

Но важно не ругать себя в новой теме! Если вы не знали какого-то нюанса и ошиблись, то за это ругать себя нельзя. Например, если вы только начали изучать тригонометрические уравнения и вам попалось такое:

(cos^2 x-sin x+6=0)

Вы вспомнили, что есть основное тригонометрическое тождество и решили выразить синус…

(cos^2 x+sin^2 x=1)

(sin^2 x=1-cos^2 x)

(sin⁡x=±sqrt{1-cos^2 x})

И заменить его в уравнении:

(cos^2 x-sqrt{1-cos^2 x}+6=0)

Получилось сложно и не понятно. Вы уяснили, что так лучше не делать и стали искать другой способ решить уравнение.

Такая ошибка хороша. Вы экспериментировали и поняли, что так делать не стоит. Но если вы всё равно повторили такие действия в других уравнениях, да еще и не раз — вот тут впору злится! Можете даже представить как поезд с желанными вузами начинает мееееееедленно уезжать от вас. Вы пока что можете его догнать, это в ваших силах, но каждая такая ошибка ускоряет поезд.

Как усилить эмоции? Что если их нет?

Найдите смысл для себя. Например, представьте то, что вы хотите очень-очень сильно, но без поступления в вуз не сможете добиться. Это может быть желание любого уровня, главное, чтоб оно вызывало у вас эмоции. Вот некоторые варианты:

• Путешествовать по миру
• Доказать маме/папе/одноклассникам, что вы можете
• Купить квартиру
• Улучшить своё окружение
• Стать ученым
• Получать 200 тыс+
• Сделать мир лучше
• Быть самой крутой в своей области

Представьте Алину, которая рассуждает так: «Ну ошибусь, ну потеряю баллы в этой задаче. Будет у меня не 80, а 76 и чё??? Может быть, наберу в других»

А теперь представьте Полину, которая рассуждает так: «Если я ошибусь в паре задач, то могу вместо 80, набрать 70. Наберу 70 — на бюджет не поступлю. Не поступлю на бюджет — придётся платить 330 тыс. руб. в год * 6 лет = 1,9 млн, а это равноценно потере mazda 6 или квартиры-студии в дальнем Подмосковье.»

Кто больше будет трястись над каждым символом: Алина или Полина? Кто приучится быть аккуратным и имеет больше шансов не сделать ошибок по невнимательности?

Только важно, чтоб эта машина или квартира были для Полины желанными, если они не вызывают в Полине никаких чувств, то и стараться ей будет не для чего.

Эмоции появились, а что дальше?

Отлично теперь у вас есть желание что-то изменить. Теперь воспользуйтесь советами, которые я написала ниже.

1. Тренируйтесь максимально погружаться в процесс решения задачи
   Следите за каждым своим действием. Не включайте автопилот. Ваши мысли в момент решения должны быть только о задаче, ничего постороннего. Никаких мыслей о не сделанных делах, отвлечений на Вконтактик или телефон и т.д. Когда вы решаете задачу – вы ТОЛЬКО решаете задачу. 

   Я заметила, что чаще всего ученики 11-го класса ошибаются при решении… чего бы вы думали? Квадратных уравнений! Это сильные ученики, которые готовятся на 80+ баллов. Почему? Потому что не переживают за то, что могут там ошибиться и включают автопилот.

2. Сомневайтесь во всем
   Это ключевой пункт!!! Вы должны сомневаться постоянно! Я правильно переписал условие? А правильно ли я применил формулу? А скобки раскрыл как надо, я в этом часто ошибаюсь? А может ли быть скорость такой?

   Самый большой прирост по баллам в моей практике показала ученица, которая сомневалась буквально в каждом своем шаге. В итоге правильные ответы во всех задачах, что решала и 80 баллов на ЕГЭ (это, на секундочку, топ 9% среди всех учеников страны!), а начинали мы с задач на простые проценты. И это меньше чем за год работы. Вот вам еще один пример из ЕГЭ 2021 года, 16 задача:

   

   

   Правильным вопросом здесь было бы: «а точно (MHNC) – прямоугольник? А два прямых угла – обязательно образуют прямоугольник? Может ли (MHNC) быть четырехугольником?»

3. Перепроверяйте то, что делаете – следствие из пункта 2
   Сразу после того, как написали каждую строчку. Написали-проверили. Написали-проверили.

   Написали-проверили.

   Например, нужно решить такое логарифмическое неравенство:

   (log_7⁡(2+frac{2}{x})-log_7⁡(x+3)≤log_7⁡frac{6+x}{x^2} )

   После переписывания условия подумайте: «все ли я правильно переписал? Все ли знаки я правильно поставил? Действительно ли там (frac{6+x}{x^2})?». Прошились по каждому символу, сверились. Ок. Едем дальше.

   Ограничения: (begin{cases}2+frac{2}{x}>0\x+3>0\frac{6+x}{x^2}>0 end{cases})

   Опять: «Все ли ограничения я написал? Правильно ли я их написал? Стоит ли писать ограничение для знаменателя?» Ок.

   (log_7⁡((2+frac{2}{x}):(x+3))≤log_7⁡ frac{6+x}{x^2})

   «Какое свойство логарифмов я применил? Правильно ли я использовал его?»

   И так далее.

   Не забудьте еще перепроверить несколько самых опасных моментов в конце решения.

   Например, в этом неравенстве…

   

   Я бы обратила внимание на следующие моменты:

   1. Два квадрата у логарифма в степени. Ошибиться даже при переписывании очень легко.

   2. В таком объемном неравенстве с логарифмами, надо внимательно относится к ОДЗ. Все ли условия записаны?

   3. ((x-2)^2>0) – простое, но опасное с точки зрения ошибок неравенство.

   4. Дискриминант, который не берется, да еще до обратной замены. Это повод прям очень хорошо все перепроверить.

   Да, времени уходит много, но на перевешивание уйдет еще больше! А уж потерянные баллы и вовсе невосстановимы.

4. Не делайте 2 действия в одной строчке!

   Во-первых, вы повышаете шанс ошибиться. Во-вторых, при проверки такую ошибку сложнее заметить.

   Угадайте, что «помогло» Андрею, потерявшему 8 баллов в параметрах, сделать эту ошибку? Правильно — 2 действия в одной строчке. Он одновременно перенес через равно и вычислил (2-1). Внимание на выделенные строчки:

   

   Смогли бы вы заметить такую ошибку, если бы не знали, что она там есть? 2 элементарных действия «убили» решение самой сложной задачи ЕГЭ.

5. Анализируйте свои ошибки и запоминайте их

   Если уже совершили ошибку, не проскакивайте этот момент! Остановитесь и подумайте: в каком действии произошла ошибка? Она от непонимания или от невнимательности? Если одна и та же ошибка повторяется, возможно, вам стоит повторить какую-то тему. Отработать эту тему до автоматизма. Например, если замечаете, что в квадратных неравенствах самое большое количество ошибок, откройте учебник 9 класса, найдите тему квадратные неравенства и порешайте всё оттуда. Пока 10 задач подряд не получатся с правильным ответом.

   Прорабатывайте совершенные ошибки. Хорошо проработанные ошибки делают вас сильнее.

6. Добивайтесь, чтоб вы решали задачи без ошибок

   Перерешивайте всю задачу, если совершили ошибку. Ошибся — проанализировал, где и как возникла ошибка, а потом зачеркнул всё решение целиком – и с нового листа заново. Да, это жестко, но зато резко снижает пофигизм к ошибкам. Злость появляется сама собой. Но делайте так, когда уверены в том, что такой тип задач вы можете решить с первого раза (т.е. только в уже хорошо пройденной и разобранной теме) и конечно, это не надо делать на уроках/контрольных/ЕГЭ.

Да, выполнять рекомендации может быть довольно сложно. Ваш мозг при решении очередного примера будет уверять вас, что «ну вот тут-то всё очевидно», что эти рекомендации сейчас не к месту и вообще их можно отложить до экзамена и еще 100500 причин, почему вот прямо сейчас их выполнять не обязательно. Не слушайтесь подобных мыслей! Запомните: навык решать задачи внимательно, это именно НАВЫК, который тренируется, ровно так же, как и навык решения линейных уравнений. Только для тренировки этого навыка нужен не один урок, а месяцы.

Если вы вдруг думаете что-то вроде «ну я прочитал рекомендации, запомнил, а уж на экзамене применю», то я вас разочарую: многократно доказано, что в стрессовой ситуации любой человек не поднимается до уровня своих знаний, а падает до уровня своих навыков, привычек и автоматизмов. Поэтому вот как вы привыкли решать – по два-три действия в строке, половины вычислений в уме, не проверяя ответ и прочее – так вы и будете действовать на ЕГЭ.

Даже если вы вдруг вспомните рекомендации, это всё равно плохой вариант, потому что чтобы решать не так как вы привыкли вам придется тратить ресурсы мозга, чтоб вспоминать советы и держать их в памяти. Вы будете похоже на футболиста, который отрабатывает основные техники на тренировке: прием мяча, пас, удар в ворота, но всё шагом. Оправдывая это мыслями: «ну во время игры я точно буду бегать!».

Так что, начиная с этого момента берите мои советы и выполняйте их на каждой задаче, пока такой способ решения не станет частью вашей личности и решать по-другому станет внутренне некомфортно. Даже не думайте ходить по полю! Только бег – всё как «в бою».

Техника безопасности:

1. Не стоит начинать применять мои рекомендации на школьных уроках, там держится высокий темп решения задач и часто рассказываются важные вещи. Скорее всего у вас просто не будет хватать времени применять мои советы. Но когда вы уже закрепите эти навыки на ДЗ, контрольных и самостоятельной подготовке к ЕГЭ, то можно применять их и на уроках.

2. Не изнуряйте себя переживаниями. Вам должно быть не всё равно ошибки, но вы и не должны их боятся. Ошибки — это нормальная часть обучения. Если благодаря ошибке вы узнали что-то новое, то хорошо, что эта ошибка случилась (если она не на самом ЕГЭ).

   Например, вам впервые попался синус с квадратом: (sin^2 (-x)) и вы решили, что он равен (-sin^2⁡x), т.е. применили (sin⁡(-x)=-sin ⁡x). Но посмотрев правильное решение или после исправления репетитора, вы поняли, что (sin^2⁡(-x)=sin^2⁡x). Прекрасно, что эта ситуация случилась. Благодаря ошибке вам легче будет запомнить этот факт. Теперь приложите усилия, чтоб этого не забыть, и как только вы это сделаете – вы станете сильнее. Еще раз: хорошо проработанные ошибки делают вас сильнее!

Как не ошибаться

How Not to Be Wrong

Сила математического мышления

The Power of Mathematical Thinking

добавить в вишлист

удалить из вишлиста

Как не ошибаться

How Not to Be Wrong

добавить в вишлист

удалить из вишлиста

Самая интересная книга о математике в жизни


Как математика помогает жить и не ошибаться


Бестселлер New York Times

Бумажная книга скоро появится

Комплект скоро появится

Рекомендованная цена

Мы напишем вам, когда книга выйдет в продажу, и дадим на нее скидку.

Мы напишем на {{ email }}, когда книга выйдет в продажу, и дадим на нее скидку.

Бумажная книга отсутствует на складе

Комплект отсутствует на складе

Добавить в вишлист
В вишлисте

{{ wishListProductCount || «» }}

Добавить в вишлист
В вишлисте

{{ wishListProductCount || «» }}

{{ profile.loyalty.points }}

фишек
накоплено
фишек дарим за регистрацию

Потратьте их на первую
покупку

Начислим до {{ bookData.types.paperbook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

В наличии только {{ bookData.types.paperbook.stock }} шт.

{{ cart.total.count || » }}

{{ actionCart.shoppingList.total.count || » }}

в подарке
в подарке

на {{ actionCart.shoppingList.total.sale }} 

Оплата прошла

{{ profile.loyalty.points }}

фишек дарим за регистрацию
фишек
накоплено

Потратьте их на первую
покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Начислим до {{ bookData.types.ebook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Ваши фишки

Получить до

{{ points.forAccrual }}

Не списывать

Списать

{{ points.maxToUse }}

из {{ profile.loyalty.points }}

Фишки — это ваши бонусы. Ими можно оплачивать книги, мерч и доставку
в магазине МИФа. Вы зарабатываете фишки, когда делаете заказы.

О программе лояльности

?

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

Книгу нельзя подарить, если вы применили промокод со скидкой 100%. Используйте другой промокод )

В корзину

{{ ecart.total.count || 0 }}

В корзину

{{ ecart.total.count || 0 }}

В корзине

{{ ecart.total.count || 0 }}

Стоимость книги не может быть меньше 1 .

Книга доступна в

{{ format.caption }}

О форматах

с электронной книгой
оплачена

Доставим утром 14 февраля на почту

Подарить новую валентинку
или купить книгу себе

Подарок

с электронной книгой
оплачен и доставлен на почту

Подарить новый подарок
или купить книгу себе

Оплата прошла

{{ profile.loyalty.points }}

фишек
накоплено

Потратьте их на следующую покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

{{ profile.loyalty.points }}

фишек дарим за регистрацию
фишек
накоплено

Потратьте их на первую
покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Начислим до {{ bookData.types.audiobook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Ваши фишки

Получить до

{{ points.forAccrual }}

Не списывать

Списать

{{ points.maxToUse }}

из {{ profile.loyalty.points }}

Фишки — это ваши бонусы. Ими можно оплачивать книги, мерч и доставку
в магазине МИФа. Вы зарабатываете фишки, когда делаете заказы.

О программе лояльности

?

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

Стоимость книги не может быть меньше 1 .

Книга доступна в

{{ format.caption }}

О форматах

Книжная рассылка МИФа. За подписку — подарок: саммари «Не мешай себе жить» и саммари «Ящик Пандоры»

О книге

Суперзвезда от науки (профессор математики и автор статей в New York Times, the Washington Post и Wired) раскрывает внутреннюю красоту и логику, стоящие за нашим миром.

В школе мы узнаем, что математика — скучный набор правил, который не поддается обсуждению.

В своей книге Джордан Элленберг показывает, как узок подобный взгляд: математика — это не абстрактные идеи, далекие от реальной жизни. Математика пронизывает все, что нас окружает, и позволяет взглянуть за беспорядочную и хаотичную поверхность нашего мира, увидеть скрытые за ней структуры.

Это наука о том, как не ошибаться, формировавшаяся веками. Вооружившись математикой, мы можем видеть истинное значение информации, которую считали верной по умолчанию, и критически осмыслять все.

Как рано нужно приезжать в аэропорт?

Что именно отражает «общественное мнение»?

Почему у высоких родителей невысокие дети?

Кто в действительности выиграл во Флориде в 2000 году во время президентских выборов?

Какова вероятность развития рака?

В этой книге представлен математический метод анализа жизни и подобных вопросов, с трудом выработанный научным сообществом — и изложенный в доступной для каждого форме.

Элленберг рассказывает о самых разных явлениях и идеях — от рейганомики, лотерейных схем и искусственных языков до развития неевклидовой геометрии, живописи итальянского Ренессанса и того, что Фейсбук может (и что не может) узнать о вас.

Математика, как говорит Элленберг, это надстройка к вашему здравому смыслу, которая значительно преумножает его возможности и силу. Вы можете более глубоко понимать мир — и эта книга покажет как.

Для кого эта книга

Для тех, кто интересуется математикой.

Развернуть описание
Свернуть описание

Об авторе

Джордан Элленберг — профессор математики в Университете Висконсин-Мэдисон, научный сотрудник Американского математического общества.
Выпускник Гарварда и Принстона.

Более 15 лет рассказывает о математике широкой публике. Автор колонки Do the Math в издании Slate и писатель. Его книга «Как не ошибаться» стала бестселлером New York Times и Sunday Times и вошла в пятерку лучших книг по мнению Билла Гейтса.

Исследования Джордана сосредоточены на областях теории чисел и алгебраической геометрии.

Развернуть описание
Свернуть описание

Эксперты рекомендуют

Вслед за Льюисом Кэрроллом и Георгием Гамовым Элленберг показывает красоту математики. Но он также рассказывает, как математика может стать мощным инструментом для любого человека, желающего избегать заблуждений, суеверий и ошибок.

Развернуть описание
Свернуть описание

Фанаты «Фрикономики» будут в восторге от живого стиля и удивительных историй Элленберга. Остроумная и интересная книга.

Развернуть описание
Свернуть описание

Эта книга — веселый манифест о полезности математического мышления.

Развернуть описание
Свернуть описание

Вслед за Льюисом Кэрроллом и Георгием Гамовым Элленберг показывает красоту математики. Но он также рассказывает, как математика может стать мощным инструментом для любого человека, желающего избегать заблуждений, суеверий и ошибок.

Фанаты «Фрикономики» будут в восторге от живого стиля и удивительных историй Элленберга. Остроумная и интересная книга.

Эта книга — веселый манифест о полезности математического мышления.

Цитаты из книги

Лучшая наука

Самое лучшее в математике не просто заслуживает изучения в качестве одной из задач, а должно стать неотъемлемой частью повседневного мышления, к которой разум обращается всякий раз со все большим воодушевлением.

Бонусы математики

Знание математики — своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью. Математика — это наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы выковывались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий.

Обратная сторона войны

Как правило, победителем становится тот, у кого сбивают на 5% меньше самолетов, или кто использует на 5% меньше топлива, или кто обеспечивает пехоте на 5% более качественное питание при 95% затрат. О таких вещах не принято говорить в военных фильмах, но именно к ним сводятся сами войны.

Уровень «шведскости»

Суть вот в чем: согласно этому графику, чем выше у вас мера «шведскости», тем в худшей ситуации находится ваша страна. Шведы, люди далеко не глупые, поняли это и начали двигаться по графику в северо-западном направлении, к благосостоянию, которое обеспечивает свободный рынок.

Кривая Лаффера

Кривая Лаффера с ее компактным графическим представлением и притягательной парадоксальностью быстро нашла своих сторонников среди политиков, и раньше выступавших за снижение налогов. Экономист Хэл Вариан сказал об этом: «Вы можете объяснить что-то члену Конгресса за шесть минут, а он будет говорить об этом шесть месяцев».

Снижение налогов

Сторонники экономики предложения утверждают, что снижение налогов может усилить мотивацию людей работать больше и открывать новые компании, что в итоге приведет к укреплению экономики, даже если прямой эффект снижения налогов — это сокращение правительственных доходов и увеличение бюджетного дефицита.

Книги, которые могут вас заинтересовать

Как не ошибаться

Бумажная книга скоро появится

Комплект скоро появится

Рекомендованная цена

Мы напишем вам, когда книга выйдет в продажу, и дадим на нее скидку.

Мы напишем на {{ email }}, когда книга выйдет в продажу, и дадим на нее скидку.

Бумажная книга отсутствует на складе

Комплект отсутствует на складе

Добавить в вишлист
В вишлисте

{{ wishListProductCount || «» }}

Добавить в вишлист
В вишлисте

{{ wishListProductCount || «» }}

{{ profile.loyalty.points }}

фишек
накоплено
фишек дарим за регистрацию

Потратьте их на первую
покупку

Начислим до {{ bookData.types.paperbook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

В наличии только {{ bookData.types.paperbook.stock }} шт.

{{ cart.total.count || » }}

{{ actionCart.shoppingList.total.count || » }}

в подарке
в подарке

на {{ actionCart.shoppingList.total.sale }} 

Оплата прошла

{{ profile.loyalty.points }}

фишек дарим за регистрацию
фишек
накоплено

Потратьте их на первую
покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Начислим до {{ bookData.types.ebook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Ваши фишки

Получить до

{{ points.forAccrual }}

Не списывать

Списать

{{ points.maxToUse }}

из {{ profile.loyalty.points }}

Фишки — это ваши бонусы. Ими можно оплачивать книги, мерч и доставку
в магазине МИФа. Вы зарабатываете фишки, когда делаете заказы.

О программе лояльности

?

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

Книгу нельзя подарить, если вы применили промокод со скидкой 100%. Используйте другой промокод )

В корзину

{{ ecart.total.count || 0 }}

В корзину

{{ ecart.total.count || 0 }}

В корзине

{{ ecart.total.count || 0 }}

Стоимость книги не может быть меньше 1 .

Книга доступна в

{{ format.caption }}

О форматах

с электронной книгой
оплачена

Доставим утром 14 февраля на почту

Подарить новую валентинку
или купить книгу себе

Подарок

с электронной книгой
оплачен и доставлен на почту

Подарить новый подарок
или купить книгу себе

Оплата прошла

{{ profile.loyalty.points }}

фишек
накоплено

Потратьте их на следующую покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

{{ profile.loyalty.points }}

фишек дарим за регистрацию
фишек
накоплено

Потратьте их на первую
покупку

Для кешбэка купите книги от {{ CONST.LOYALTY.AMOUNT_TO_JOIN }} 

Начислим до {{ bookData.types.audiobook.price.pointsPerPurchase }} фишек за покупку

Ваши фишки

Получить до

{{ points.forAccrual }}

Не списывать

Списать

{{ points.maxToUse }}

из {{ profile.loyalty.points }}

Фишки — это ваши бонусы. Ими можно оплачивать книги, мерч и доставку
в магазине МИФа. Вы зарабатываете фишки, когда делаете заказы.

О программе лояльности

?

Скидка %


по акции

ещё {{ action.days }}
.

закончится завтра.
закончится сегодня.

Стоимость книги не может быть меньше 1 .

Книга доступна в

{{ format.caption }}

О форматах

Над книгой работали

Главный редактор

Артем Степанов

Ответственный редактор

Наталья Шульпина

Литературный редактор

Наталья Волочаева

Научный редактор

Михаил Гельфанд

Арт-директор

Алексей Богомолов

Дизайнер

Сергей Хозин

Верстка

Вадим Мартыновский

Корректоры

Наталья Витько, Наталья Сидоренко

Перевод с английского

Наталья Яцюк

Математика — наука непростая, и учащиеся часто допускают ошибки при ее изучении.

В статье мы проведем анализ типичных ошибок при изучении математики и дадим советы, как их избежать.

Кстати, мы уже писали о самых распространенных ошибках в ЕГЭ по математике. Подписывайтесь на наш Telegram-канал, чтобы не пропустить новые публикации. Еще там вы найдете интересные предложения для вашей учебы.

Какие бывают ошибки в математике

Ошибки в математике допускают все: и учащиеся, и даже сами преподаватели. Однако, эти ошибки носят разный характер.

Есть два вида ошибок:

• типичные (устойчивые);
• случайные.

Типичные ошибки — это системные ошибки, которые появляются у многих учащихся одновременно. К таким ошибкам можно отнести неправильно понятые формулы или условия их применения, правила решения уравнений и т.д. Например, если на контрольной половина класса допустила одинаковую ошибку, значит эта ошибка типичная. В этом случае преподаватель понимает, что ученики неправильно поняли материал. Такие ошибки опасны — если преподаватель вовремя не заметит, а ученики запомнят неправильный вариант, то будут допускать в этом месте ошибку и приходить к неверному результату. 

Случайные ошибки — это ошибки, которые появляются однократно, у одного-двух учащихся. Случайных ошибок в работе может быть много и, как правило, их допускают из-за невнимательности или спешки. К таким ошибкам можно отнести просчеты в вычислениях, упущения в формулах и т.д.

Типичные ошибки в математике

Чтобы одолеть математику, нужно много времени. Неудивительно, что при ее изучении и школьники, и студенты часто допускают ошибки. 

Мы не будем разбирать конкретные ошибки в вычислениях, ведь для каждого уровня математики они свои. Мы разберемся в характерных общих ошибках при изучении этого предмета.

Допускать пробелы в знаниях

С каждым классом математика становится сложнее. Но есть базовые знания, без которых не обойтись. И, если неправильно понять какой-то материал, скорее всего это отрицательно скажется на учебе в целом: если один раз неправильно выучите, потом будете делать ошибку везде, где сталкиваетесь с этим материалом. Такая недопонятая информация, как снежный ком, будет нарастать все больше и мешать продвигаться дальше.

Зазубривать теорию

В математике важно знать формулы и теоремы. Но просто зазубрить теоретическую информацию недостаточно, надо уметь применять ее на практике. К тому же, если просто заучить материал и не понимать, что заучили, вы быстро забудете зазубренное. Так что всю теорию в математике обязательно надо закреплять на практике.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Перескакивать от простого к сложному

Очень часто учащиеся, после того как почувствуют силы и уверенность в математике, начинают хвататься за более сложный уровень, пропуская, на их взгляд, легкую информацию. В математике такой подход не работает, ведь чтобы был результат, этот предмет надо изучать систематично, не опуская даже на первый взгляд простые и очевидные вещи.

Списывать домашнее задание

Все знают, что списывать не совсем хорошо. Однако, одно дело, когда ученик списал домашнее задание из решебника из-за нехватки времени, и совсем другое, если он списал из-за незнания или непонимания материала. В математике в непонятных темах надо разбираться сразу, потому что, как мы писали выше, с каждым годом все сложнее будет наверстать упущенное.

Заниматься нерегулярно

Для математики нужна постоянная практика. Если вы всерьез хотите изучать математику, или этот предмет вам важен при поступлении, то изучайте его регулярно. Наш мозг устроен так, что информация, которая не совсем понятна или малоизученна, быстро забывается. Лучше, чтобы в изучении математики была систематичность. Это касается не только самостоятельного изучения, но и занятий с репетиторами.

Делать упор только на алгебру или геометрию

В математике нет менее или более важных дисциплин, большинство информации в ней тесно переплетается. Например, без алгебраических знаний нельзя понять некоторые геометрические задачи и наоборот. 

Теперь вы знаете главные ошибки при изучении математики. Старайтесь их избегать, и у вас все обязательно получится. А если появятся вопросы и трудности, обращайтесь в студенческий сервис. Наши специалисты помогут в решении любых учебных задач.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте«. Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики эти ошибки называют «дурацкими» и часто не могут объяснить, чем они вызваны. В своей практике репетитор по математике частенько сталкивался с такими проблемами. Как же их решать? Отчего возникают «дурацкие» ошибки?

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления. Снижает, но не исключает.

Может ли на не вынужденные ошибки повлиять репетитор по математике? Вопрос очень сложный. Но отвечать на него приходится, ведь перед репетитором математики родители ставят задачу улучшения оценки, а она напрямую зависит от случайно пропущенного знака, исчезнувшего икса в уравнениях или в выражения. Как правило, репетитор ограничивается только тем, что просто предупреждает ученика. «Не допускай ляпов, пиши внимательнее, не отвлекайся», — стандартный набор просьб, не более того. В реальности они не спасают. Ученик и сам знает, что нужно решать внимательно, но ничего не может с собой поделать и мажет. Пропускает числа, скобки и т.д. Потеря знак – настоящий бич.

К сожалению, репетитору по математике недостаточно просто сказать: «не допускай глупых ошибок» Нужно учить ребенка, как минимум, их выявлять. Для этого как нельзя лучше подходят готовые решения задач, в которые сам репетитор по математике эти ошибки и закладывает. Практика показывает, что систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своим и несколько улучшает ситуацию.

Для большего эффекта репетитор математике маскирует ошибку объемными записями. Важно предоставить для поиска достаточно времени и дождаться результатов самостоятельного поиска. Подсказывать не нужно. Как правило, систематические задания такого рода приносит репетитору по математике некоторое улучшение процента брака ученика, ибо привычка во всем искать ляпы прекрасно его организует.

Профилактика ошибок возможна только в тех ситуациях, в которых есть объективные предпосылки для их возникновения. Обычно репетитор по математике наблюдает их у целой группы учеников в одних и тех же ситуациях. Например, при сложении сложных обыкновенных дробей с разными знаками дети часто пропускают знак «-». Причина этого кроется обычно в плотном потоке обрабатываемой информации, в оформлении записей и высокой (для 5-классника) степени нагрузки на правила. Ребенку приходится выполнять сразу несколько задач: вспоминать алгоритм для сравнения дробей, для вычитания дробей с разными знаменателями, а затем с равными знаменателями, вспоминать правило, по которому занимают единицу у целой части. Сами дроби каждый раз переписываются, а ответ еще и сокращается. Естественно, что можно минус пропустить. Что должен предпринять репетитор по математике для борьбы с потерей знака? Нужно объяснить ученику, в каком порядке выводить записи. Во всех сложных преобразованиях сначала переписывается то, что при выполняемом преобразовании не поменяется. В нашем случае это поставленный знак. Думать над выполнением основной операции нужно в последнюю очередь. То есть сначала пишем знак «минус», затем открываем скобку и только тогда начинаем думать, что делать дальше. Если ребенок сразу возьмется за дроби, он может забыть про знак.

Прежде чем пытаться влиять на ошибки, нужно изучить наиболее популярные из них, а также понять причины тех или иных промахов у конкретного ученика.

Какие причины ошибок выделяет репетитор по математике?

1) Неряшливый, неаккуратный подчерк ученика.
Дети не всегда сами понимают, что именно они написали. Точка на проверку оказывается знаком «минус». Вот он и появляется. За подчерком надо следить. Чем младше ученик у репетитора математики, тем больше возможностей повлиять на аккуратность оформления.

2) Усталость.
Вряд ли стоит объяснять, что чрезмерная нагрузка приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам. Причем не только к «дурацким».

3) Ребенок не выспался.
Дети должны спать не менее 8-10 часов. Следите за этим временем. С сонным учеником невозможно работать.

4) Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную).
Если ребенок выполняет одновременно несколько операций, то вероятность промаха будет довольно значительной. Для снижения этого эффекта репетитору по математике можно посоветовать готовить задания, не предполагающие длинного оформления решения.

5) Скорость работы
Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций. Поэтому для снижения вероятности возникновения «дурацкой» ошибки важно знать, проводится ли репетитором по математике развивающая работа с учеником.

Еще одна причина – низкая мотивация. Ее следствием будет потеря внимания и ошибка. Сложно советовать репетитору по математике что-то конкретное, так как каждый ученик приносит свой математический интерес к математике.

Все «дурацкие» ошибки можно условно делить на две группы:
1) Типичные ошибки, возникающие у разных школьников.
2) Уникальные ошибки.

Важно выявить постоянство. Если ошибка повторяется — можно говорить о ее системности и пробовать изменить эту систему. С повторениями репетитору по математике легче бороться, ибо они возникают по вполне определенным и понятным причинам. Например, если ученик переписывает буквенное выражение и при этом систематически пропускает какие-то его части, списывает с разных точек тетрадного листа, то репетитор по математике должен рекомендовать ему пропускать одну – две строки между записями и не разрывать преобразуемое буквенное выражение переносом с одной строки на другую… В прошлом году к одному моему знакомому репетитору математики пришел чрезмерно разговорчивый ученик, у которого дурацкие ошибки сыпались одна за другой. Я посоветовал репетитору запретить своему воспитаннику комментировать производимые им преобразования. Как только это вошло в правило занятий – проблема снялась.

Большая часть ошибок рождается в процессе переписывания математических записей. Как правило, одновременно с этими занятием ребенок совершает какую-либо мыслительную операцию. Его внимание сосредотачивается на формулах или ходе решения, поэтому он просто забывает переписать.

Некоторые из ошибок связаны с особенностями физиологии школьника, с его моторикой письма, речи и мышления. Как правило, физиологические проблемы снижают скорость обработки информации и мешают удержанию ее в голове в полном виде. Рассеянность – распространенная причина разных необъяснимых ляпов. Репетитором по математике эти ошибки чаще всего никак не предупреждаются. Можно только надеяться на возрастные изменения в его организме в будущем.

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва — Строгино.

Метки:
Ошибки

Ошибки учащихся при изучении математики,

их предупреждение и объяснение

Автор работы:

Дука Наталья Ивановна

учитель математики МОУ «СОШ №4 г. Ртищево Саратовской обл.» ____________________________

Аннотация

В данной работе рассматриваются типичные ошибки, которые допускают учащиеся при выполнении математических заданий. Здесь разобраны причины, способы исправления и предупреждения ошибок, разобраны конкретные ошибки из курса алгебры и начал анализа и способы их объяснения и устранения, указаны ошибки в работах государственной итоговой аттестации учащихся 9 и 11 классов. Рассмотрены ошибки по математике в учебниках и методической литературе. Материал, представленный в работе, может заинтересовать учителей математики.

Тезисы

В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная.

Цель исследования: рассмотреть методику предупреждения типичных ошибок учащихся в процессе обучения математике.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной общеобразовательной школе.

Предмет исследования: процесс возникновения типичных ошибок и средства их предупреждения.

Гипотеза исследования заключается в следующем: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

          Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

          Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение  sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Некоторые учащиеся считают, что arcsin(sink)= k при любом k и дают такой ответ: arcsin(sin) =. Это очень грубая ошибка. Аналогичное задание «вычислить arctg(tg130о)» вызывает у учащихся неверный ответ 130о.  

Иногда ученики используют неверную формулу, не задумываясь  над ней.

Например, определяя, является ли число  рациональным,  ученик пишет:  =   и получает неверный ответ,

При работе с «многоэтажными дробями» ученики делают много ошибок. Например: . Должна появиться верная запись .

При выполнении преобразований со степенями учащиеся не только допускают  ошибки,  но просто  забывают  формулы,  например  формулу

an am = an+m.

Пример ошибки на свойство степени:  . Если при этом объяснить ученику, что дробь только в показателе степени, он это объяснение забудет и следующий раз опять ошибется. Необходимо в результате записать формулу .

Встречаются  ошибки от непонимания. Большинство учащихся, решая  впервые  неравенство х24, приводят неверное решение х2.

Выполняя тригонометрические задания, ученик часто «изобретает формулы», например: «sin 2 х = 2 sin x».

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого  подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Учебный  год в 9-х и 11-х классах должен заканчиваться повторением и систематизацией учебного материала. повторение нужно нацелить на закрепление опорных знаний.

В учебнике Л. С. Атанасяна и других «Геометрия 7-9» была  приведена некорректно составленная задача № 536: «Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС,  если АВ = 30,  АD = 20,  ВD = 16  и  ∠ВDС = ∠С». Треугольник, описанный в  условии задачи, не существует.

Объяснение деления с остатком круглых чисел в теме «Деление круглых чисел» ( урок 66) учебника математики для 4 –ого класса (Т. Е. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких) дается с ошибкой.

В газете «Математика» предлагается уравнение   и к нему ответ:1. Приведенное решение неверное, так как приводит к потере  корней.

Вступление

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики  не могут объяснить, чем  вызваны эти ошибки.

Причины ошибок, допускаемых учащимися при изучении математики

Проблема исследования состоит в теоретическом обосновании и разработке такой методики обучения математике, которая создавала бы условия для развития рефлексивной деятельности учащихся, способствующей предупреждению типичных ошибок.

Цель исследования: рассмотреть методику предупреждения типичных ошибок учащихся в процессе обучения математике.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной общеобразовательной школе.

Предмет исследования: процесс возникновения типичных ошибок и средства их предупреждения.

Гипотеза исследования заключается в следующем: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления. Снижает, но не исключает. Можно ли избавиться от таких ошибок?  Ученик знает, что нужно решать внимательно, но ничего не может с собой поделать.

Известно, что осознание правила или определяет действия, или, по крайней мере, их контролирует. Знание правила необходимо и для того, чтобы осуществить проверку решения и дать его обоснование. Но большинство учащихся воспринимают курс алгебры как набор несвязанных между собой правил, которые заучиваются (иногда формально) для применения их к решению задач. Поэтому необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Выполняя математические задания, учащиеся допускают типичные ошибки:

• Незнание правил, определений, формул.
• Непонимание правил, определений, формул.
• Неумение применять правила, определения, формулы.
• Неверное применение формул.
• Невнимательное чтение условия и вопроса задания.
• Вычислительные ошибки.
• Не использование свойств фигур при решении геометрических задач.
• Логические ошибки при решении текстовых задач.
• Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие причины ошибок по математике?

• Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.
• Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.
• Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .
• Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам. Учащиеся  не всегда сами понимают, что именно они написали.
• Усталость. Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.
• Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.
• Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.
• Мотивация. Следствие низкой мотивации  – потеря внимания и ошибка.

Работа над ошибками

В приемах работы над ошибками отсутствует диагностика причин ошибок. Не уделяется должного внимания работе по формированию рефлексивной деятельности учащихся и ее использованию в работе по предупреждению и исправлению математических ошибок. При отсутствии должной доли самостоятельности при работе над ошибками, совершаемые учеником действия никак не контролируются, допущенные ошибки не замечаются, причины их появления остаются невыясненными, что приводит к их повторению. Напротив, самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления. При этом у школьников постепенно развиваются стремление и умение разобраться в задаче, планировать ее решение, продумывать возможные варианты действий и прогнозировать их результаты. Например, ученик многократно применяет к преобразованию алгебраических выражений формулы квадрата суммы и разности двух чисел, но получив задание представить в виде многочлена

(–х–5)2, теряется. Следует предложить учащемуся ответить на вопрос что вызывает затруднение? И как преобразовать выражение, чтобы можно было применить одну из формул в том виде, в каком  они предложены в учебнике. Другой  пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение

sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x. Полезно предложить ученику представить наглядное решение на тригонометрическом круге.

Самоконтроль

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей: а) умения обнаружить ошибку; б) умения её объяснить и исправить. В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

• проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;
• проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;
• оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;
• проверка аналитического решения графическим способом.

Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочёты типа описок, пропуска цифр.

Например, рассмотрим задачу: “За неделю завод выпустил 130 холодильников, выполнив месячный план на 25%. Сколько холодильников должен выпустить завод за месяц по плану”.

Ученик написал  = 52,  ошибка становится очевидной, если перед решением ученик прикинет в уме: “За неделю завод выпустил 130 холодильников. Следовательно, за месяц он выпустит больше. Значит, ответ должен быть больше, чем 130” .

Объяснение и предупреждение ошибок

Свести ошибки  к минимуму способствуют следующие профилактические меры.

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.

Например, перед изучением темы «Теоремы сложения» следует повторить следующие теоретические вопросы:

1. Четные и нечетные функции.
2. Изменение тригонометрических функций при возрастании и убывании аргумента.
3. Знаки тригонометрических функций.
4. Таблицы значений тригонометрических функций.

А также выполнить задания:

1.  Определите четность и нечетность тригонометрической функции:

а)  y  =  – cos x + x2;    б)  y = sin2 x;    в) y = .
2.  Найдите область определения функции   y  =  x2 – 6x + 10.

3. При каких значениях x функции   y = sin x и  y = cos x принимают одинаковые значения?

Перед прохождением темы «Первообразная и интеграл» повторяем все формулы дифференцирования. Затем предлагается самостоятельная работа (на 10–15 мин), на которой ученики получают карточки-задания, в которых «опущены» один–два компонента из формулы дифференцирования и приведены две функции, производные которых необходимо найти. После проверки самостоятельной работы анализируем допущенные ошибки, определяем пробелы в знаниях и проводим работу по их устранению.

Рассмотрим ошибки, допускаемые в курсе алгебры и начал анализа. Задание. Найти точное значение  arcsin (sin).

Некоторые учащиеся считают, что arcsin(sink)= k при любом k и дают такой ответ: arcsin(sin) =. Это очень грубая ошибка. По определению . Следовательно, число arcsin(sin) должно принадлежать промежутку , число   этому промежутку не принадлежит. Имеем: arcsin (sin) =  arcsin (sin)) = arcsin (sin ) = arcsin =

Аналогичное задание «вычислить arctg(tg130о)» вызывает у учащихся неверный ответ 130о.  Можно исправить ошибку следующим образом: учитывая, что  90о 90о  для  любого   и    arctg (tgх) = х при

х   arctg (tg130о) = arctg (tg180о  50о) = arctg (tg( 50о)) =  50о. Существует второй способ решения.  Пусть  arctg (tg130о) = х, получаем tg х = tg (arctg (tg130о)), откуда tg х = tg 130о.  По условию равенства тангенсов  имеем х = 130о + k,  где kZ. Учитывая область определения функции у = arctg х, где х(90О; 90О),  при  k = 1  х = 130о 180о =  50о.

Рассмотрим еще один пример правильного решения аналогичного задания вычислить arcsin(sin2) при неверном ответе учащихся «2». Решение: arcsin (sink) = k, если , arcsin (sin2) = arcsin (sin() = 2, т. к.  2.

Иногда ученики используют неверную формулу, не задумываясь над ней. Например, определяя, является ли число  рациональным,  ученик пишет:  =   и получает неверный ответ, выполняя преобразование иррационального выражения, учащийся получил  = х+2. Во-первых, учащиеся забывают, что , во-вторых, опять ошибочная аналогия с формулой = , где  Применение «формулы =» в классе обязательно происходит независимо от того, повторяются свойства радикалов на уроках или нет. Ученик проводит аналогию с формулой =  ,  где и не понимает, почему он неправ. Если заставить ученика написать правильно по свойству, то долговременного эффекта не получится. Необходимо, чтобы ученик понял и осознал свою ошибку. Для этой цели пригоден  совет: вычислите по тому алгоритму, который только что применили, имеем =  и по действиям  2 = 1 и определите, какое решение верное. Ученик задумывается и находит ошибку.

Можно предложить учащимся проверить себя, взяв, например,  значение   х = 2   но   ;

при  х = –2   но .

Делаем вывод: преобразование выполнено неверно, формула «=» не существует и  

При работе с «многоэтажными дробями» ученики делают много ошибок. Например: . Нужно посоветовать ученику проверить написанное при конкретных значениях переменных. Так, при a = b = 1, c = 2,  получим  , с другой стороны  , тогда  2= В результате ученик должен сделать вывод, что при работе с «трехэтажными дробями» лучше ставить скобки, чем сравнивать длины дробных «черточек»: . И, разумеется, должна появиться верная запись .

При выполнении преобразований со степенями учащиеся не только допускают  ошибки,  но просто  забывают  формулы,  например  формулу

an am = an+m. Полезно учащимся показать, как они могут вспомнить формулу, пользуясь определением степени, например a3a4=aaa=a 7=a 3+4. Применяя определение степени в подобных ситуациях, учащиеся могут вывести любую формулу действий со степенями. Аналогично можно показать ошибки в действиях со степенями.

Ещё пример ошибки:  . Если при этом объяснить ученику, что дробь только в показателе степени, он это объяснение забудет и следующий раз опять ошибется. Следует привести конкретный пример с удобным вычислением

=. Здесь же можно предложить другой способ

 

Необходимо в результате записать формулу .

Встречаются  ошибки от непонимания. Большинство учащихся, решая  впервые  неравенство х24, приводят неверное решение х2. Полезно в этом случае предложить учащимся проверить число, например. -3, при этом учащиеся убеждаются в неверности ответа. Можно показать три способа решения этого неравенства. 1 способ тот, которым и пользовались учащиеся «», но допустили следующую ошибку «=х». Верное решение Этот способ решения содержит опасный момент – необходимо обратить внимание на возрастание функции у =  при х0, иначе в дальнейшем будут еще ошибки при решении неравенств. Второй способ основан на методе интервалов х24,  х2,

(х-2)(х+2)0, .  Третий  способ графический.

х24 при  .

Выполняя тригонометрические задания, ученик часто «изобретает формулы», например: «sin 2 х = 2 sin x». В этом случае можно поступить двумя способами: подставить х =/6 и получить неверное равенство sin 2sin , /2 = 21/2 или вспомнить определение sin х на тригонометрическом круге.  Наглядно хорошо видно, что sin 2х 2sinх. Обращение к тригонометрическому кругу всегда полезно повторением определения тригонометрических функций и наглядностью определений.

у

Не нужно специально исправлять каждое ошибочное утверждение ученика и предупреждать его об ошибках. Лучше поставить это утверждение на обсуждение всего класса и добиться осознанного исправления ошибки.  Практика показывает, что систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого  подходят задания типа «найди ошибку в решении»:

1. 

Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся, в результате чего изучение и анализ ошибок становится эффективным средством в развитии познавательного интереса к изучению математики.

Анализ работ ГИА и ЕГЭ

Анализ работ государственной итоговой аттестации учащихся 11-х классов показал, что типичные ошибки допущены при:

• преобразовании дробно-рациональных выражений,  содержащих  корень

n-ой степени

• исследовании функций на наибольшее и наименьшее значения;
• решении показательных и логарифмических неравенств (отсутствует ссылка на соответствующие свойства функций);
• вычислении площади криволинейной трапеции;
• построении графика функции с модулем;
• изображении тел вращения в геометрической задаче;
• теоретическом обосновании используемых формул и фактов при решении задачи по стереометрии;
• построении множества точек плоскости, удовлетворяющего заданному условию;
• решении задач с параметром.

          Для повышения уровня учебных достижений учащихся на ГИА за курс старшей школы рекомендуется обратить внимание на следующие темы и разделы курса алгебры и начал анализа и геометрии:

• комбинация тел;
• углы в пространстве;
• производная и её применение к исследованию функции на отрезке;
• построение ГМТ, удовлетворяющего заданным условиям;
• логарифмические и показательные неравенства;
• тригонометрические функции и их свойства;
• тождественные преобразования дробно-рациональных выражений, содержащих корень n-ой степени.

           Учебный  год в 9-х и 11-х классах должен заканчиваться повторением и систематизацией учебного материала. повторение нужно нацелить на закрепление опорных знаний, построение и развитие межпредметных связей и осознание взаимосвязи с ранее выученными темами, на подготовку к итоговому оцениванию знаний, установлению формально-логических подходов к построению курса школьной математики, закрепление необходимости обосновывать и доказывать математические факты.

Ошибки в учебниках и методической литературе

В учебнике Л. С. Атанасяна и других «Геометрия 7-9» была  приведена задача № 536: «Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС,  если АВ = 30,  АD = 20,  ВD = 16  и  ∠ВDС = ∠С».

Решение.

ВD – биссектриса АВС   =  

∠ВDС = ∠С  ВDС равнобедренный  ВD = DС   =

Отсюда СD  =  

Ответ:  

Решим задачу вторым способом.

ВЕ – высота АВС.  Пусть DЕ = х. Из прямоугольных треугольников АВЕ и DВЕ получаем:  

АВ2  –  АЕ2  =  ВD2 – DЕ2,

302  –  (20 + х)2  = 162 – х2,  

900 – 400 – 40х – х2  = 256 – х2,

40х  = 244,  

х  =  6,1.

  ВЕ высота и медиана DЕ = СЕ  СD = 2х = 12,2. Получили несоответствие с ответом первого способа решения.

Проверим, существует ли треугольник, у которого выполнены условия: ∠ВDС = ∠С  и  ∠АВD = ∠DВС.  Найдем величины  ∠DВС, ∠ВDС, ∠С.

АD2  =  АВ2 + ВD2 – 2  cos ∠AВD   

cos ∠AВD =

Тогда   ∠АВD 38,5о.    ∠DВС = ∠АВD 38,5о.

Аналогично   cos ∠ADВ =

Тогда    ∠АDВ = 180о  – 67,59о  ∠ВDС  67,59о.     Из  ВDС

∠С = 180о – 38,05о – 67,59о  = 74,36о,

Отсюда следует, что   ∠ВDС  ∠С  и  треугольник   DВС неравнобедренный.

Значит, задача составлена некорректно: треугольник, описанный в  условии задачи, не существует.

Возможны два корректных варианта задачи:

1. Дан треугольник АВС, точка D лежит на стороне ВС. Найдите DС, если АВ = 30,  АD = 20,  ВD = 16  и  ∠ВDС = ∠С.

В этом случае ВD не является медианой. По второму способу получаем СD = 12,2.

1. Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите DС, если АВ = 30.  АD = 20,  ВD = 16.

∠ВDС  ∠С, в этом случае из треугольника DВС по теореме синусов получаем

 

В действующем учебнике задача № 536 имеет вид:

Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. а)  Найдите АВ, если ВС = 9 см,  АD = 7,5 см,  DС = 4,5 см.   б)  Найдите  DС,  если  АВ = 30. АD = 20,  ВD = 16.

        Посмотрим объяснение деления с остатком круглых чисел в теме «Деление круглых чисел» ( урок 66) учебника математики для 4 –ого класса (Т. Е. Демидова, С. А. Козлова, А. П. Тонких).

        Цитируем: «Прочитай, объясни и проверь записи.

190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 9 ( 1 остаток)

190 : 20 = 19 д. : 2 д. = 9 ( 1 остаток)

4700 : 500 = 4700 : 100 : 5 = 9 ( 2 остаток)

4700 : 500 = 47 с. : 5 с. = 9 ( 2 остаток)»

        Проверяем    20 ∙ 9 + 1 = 190 – равенство неверное, делаем вывод: ошибка при выполнении деления с остатком. В чем ошибка? Анализируем 1-ое равенство 190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 19 : 2, получаем деление числа 19 на число 2 и соответственно остаток от деления 19 на 2, но не от деления 190 на 20, действительно 19 : 2 = 9 ( 1 остаток). В этом случае 19 показывает, сколько десятков содержится  в числе 190, поэтому остаток так же получаем в десятках, но не в единицах.

        Анализируем 2-ое равенство 190 : 20 = 19 д. : 2 д. здесь мы делим десятки, поэтому остаток также будет в десятках 9 о чем сказано ранее),  т, е. получаем 19 д. : 2 д. = 9 (1 д. остаток), проверкой убеждаемся в истинности деления 9 ∙ 2 д. + 1 д. = 19 д. = 190.

        Предлагаем верные записи:

 190 : 20 = 190 : 10 : 2 = 9 ( 1 д.  остаток)

190 : 20 = 19 д. : 2 д. = 9 ( 1 д. остаток)

4700 : 500 = 4700 : 100 : 5 = 9 ( 2 с. остаток)

4700 : 500 = 47 с. : 5 с. = 9 ( 2 с. остаток).

В газете «Математика» предлагается уравнение   и к нему ответ:1. Предложено решение  уравнения  по следующей  схеме:

af(x)bg(x) = apbp

Приведенное решение неверное, так как приводит к потере  корней. данное уравнение следует решать по схеме:

a f(x) b g(x) = a p b p    a  f(x)– р b q – g(x) 

Вернемся к данном уравнению.

 = 40    2 3   

Заключение

Хотя проблемы формирования и развития рефлексивной деятельности в процессе обучения и поиск новых форм работы над математическими ошибками школьников и не являются абсолютно новыми, изучение такого аспекта, как использование рефлексивной деятельности учащихся при работе над типичными ошибками всегда актуальны. В данной работе рассмотрены некоторые типичные ошибки, допускаемые учащимися при  изучении математики, их объяснение, меры их предупреждения. Хорошо организованная учителем работа учащихся над типичными ошибками посредством исследовательского приема  приводит к улучшению результата обучению математики и развитию рядя показателей логического мышления. К тому же предмет «математика» настолько сложен, что даже методисты допускают ошибки.

Литература

1. Далингер В. А. «Анализ типичных ошибок, допускаемых в курсе алгебры и начала анализа» «Математика в школе» 6-98
2.  2-98 Ярский А. С, «Что делать с ошибками»
3.  Хэкало С. П. «Корни терять нельзя» 5-98
4.  Игнатенко В. З. «Сюрпризы биссектрисы» 5-98

Интернет-ресурсы

1. http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200900304
2. http://www.distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/1998/no38.htm
3. http://www.ankolpakov.ru/2011/10/03/repetitor-po-matematike-o-durackix-oshibkax/
4. http://www.referun.com/n/preduprezhdenie-tipichnyh-oshibok-uchaschihsya-v-protsesse-obucheniya-algebre-posredstvom-formirovaniya-i-ispolzovaniya-r#ixzz2PJHLl9cJ
5. http://www.referun.com/n/preduprezhdenie-tipichnyh-oshibok-uchaschihsya-v-protsesse-obucheniya-algebre-posredstvom-formirovaniya-i-ispolzovaniya-r