Как найти статическую ошибку системы

Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы

В системах
автоматического управления часто
приходится решать задачу стабилизации
управляемой величины. Точность поддержания
требуемого значения управляемой величины
в такой системе можно оценить как разницу
между заданным значением управляемой
величины и её установившимся значением
в системе после окончания переходного
процесса:

.

Эта величина
получила название статической ошибки
системы. При вычислении статической
ошибки предполагается, что система
находится в статике и все сигналы в ней
имеют постоянные величины. Статическая
ошибка используется для оценки точности
установления в системе заданной
постоянной выходной величины после
окончания переходного процесса.

Используя
передаточную функцию замкнутой системы
по ошибке, для изображения ошибки в
системе можно записать

,
гдепередаточная
функция замкнутой системы по ошибке,изображение
задающего воздействия.

Для статики,
когда все сигналы в системе неизменны,
выражение для ошибки можно перенести
в область оригиналов

.

Поскольку

,
гдеW(p)
– передаточная функция разомкнутой
системы, то статическую ошибку системы
можно вычислить, зная передаточную
функцию разомкнутой системы:

,
где.

Вместо
абсолютного значения статической ошибки
часто используют относительную
статическую ошибку

.

Если система
статическая (т.е. не содержит интегрирующих
звеньев), то передаточную функцию
разомкнутой системы можно представить
в следующем нормированном виде:

,
гдеK– коэффициент
усиления системы,A^*(p),B^*(p)
– нормированные полиномыA(p)
иB(p).
При этоми.
Тогдаи статическая ошибка в статической
системе

.
Статическая
ошибка в статической системе уменьшается
с увеличением коэффициента усиления
системы. Статическая система всегда
будет иметь некоторую ошибку. Физический
смысл такой ошибки заключается в
необходимости некоторого рассогласования
между задающей и выходной величинами
системы для получения сигнала управления.

Если в системе
управления имеются интегрирующие
звенья, то система будет астатической.
Для астатической системы первого порядка
(содержащей одно интегрирующее звено)
передаточная функция разомкнутой
системы

и передаточная функция замкнутой системы
по ошибке

.

В этом случае всегда
и, следовательно, статическая ошибка
астатической системы будет равна нулю.
Таким образом, статическая ошибка в
астатической системе в принципе
отсутствует, что обуславливает более
высокую точность астатических систем,
по сравнению со статическими системами.
В астатической системе автоматического
управления установившееся значение
управляемой величины равно заданному
значению этой величины.

Вынужденная ошибка системы

Процесс в
системе складывается из свободного
процесса и вынужденного процесса:

.
Для
устойчивой системы свободный процесс
по истечении времениt_пзатухает и в системе устанавливается
вынужденный процесс

Точность
поддержания заданного значения
управляемой величины в вынужденном
режиме характеризуется вынужденной
ошибкой системы

.

Вынужденная
ошибка хорошо характеризует работу
системы автоматического управления в
том случае, когда изменения управляющего
воздействия происходят существенно
медленнее собственных переходных
процессов в системе и последними можно
пренебречь.

Рассмотрим
вычисление вынужденной ошибки системы
автоматического управления. Изображение
для вынужденной ошибки

.

В общем случае
является дробно-рациональной функцией
отpи ее можно разложить
в ряд Тейлора по степенямрвблизи, тогда

и
выражение для вынужденной ошибки системы
примет вид

гдепостоянные
коэффициенты.

Для полученного
изображения вынужденной ошибки на
основе свойств преобразования Лапласа
легко находится выражение для оригинала
ошибки

где
,,…коэффициенты
ошибок, полученные выше (C₀– коэффициент статической ошибки,C₁
– коэффициент скоростной ошибки и
т. д.).

Коэффициенты
ошибки могут быть также получены делением
числителя передаточной функции на ее
знаменатель. Полученное выражение для
вынужденной ошибки позволяет оценить
точность системы автоматического
управления в установившемся режиме.
Вынужденная ошибка, например, хорошо
характеризует точность работы следящих
систем автоматического управления.

Соседние файлы в папке ТАУ

• #
• #
• #

В автоматической системе с симметричной нелинейностью могут иметь место несимметричные автоколебания с некоторой постоянной составляющей при приложении постоянного внешнего воздействия. При этом величина амплитуды и частота автоколебаний, существовавших до приложения внешнего воздействия, во многом определяют величину постоянной составляющей. Но, наличие постоянного внешнего воздействия изменяет величину амплитуды и частоты автоколебаний.

Величина в случае статической системы определяет собой статическую ошибку, в астатической системе — установившуюся ошибку при постоянной скорости, а в дважды астатической — установившуюся ошибку при постоянном ускорении. Основная задача, таким образом, сводится к определению зависимости между величинами постоянного внешнего воздействия (или постоянной скорости его изменения) и установившейся ошибки, или же к такому выбору параметров системы, например, коэффициента усиления при котором величина статической ошибки не превышает заданного значения.

Практический интерес представляет также определение зависимости амплитуды и частоты автоколебаний от величины постоянного внешнего воздействия.

Уравнение нелинейной автоматической системы

где — приложенное в любой точке ее внешнее воздействие в данном случае может быть записано в виде

В статической системе будет , где , а в астатической, когда имеем , где (постоянная скорость изменения внешнего воздействия). В дважды астатической системе и при будет

Решение уравнения вследствие несимметричности автоколебаний необходимо искать в виде [16], [13]

где — постоянная составляющая автоколебаний, х — периодическая (колебательная) составляющая.

Вследствие наличия смещения при разложении нелинейной функции в ряд Фурье добавится член, характеризующий

постоянную составляющую; при этом выражение для гармонической линеаризации нелинейности приобретает вид

здесь — соответственно постоянная составляющая и коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые по формулам

где

В частном случае, когда нелинейность является однозначной (не петлевой) то формула (Х.59) принимает вид

Определив по формулам коэффициенты гармонической линеаризации и подставив в уравнение вместо выражение получим гармонически линеаризованное уравнение системы

Это уравнение можно представить в виде системы двух уравнений соответственно для постоянной и колебательной составляющих решения:

Уравнение описывает смещение центра колебаний системы в зависимости от величины постоянного внешнего воздействия М. Уравнение (Х.64) описывает периодическое движение системы по координате х относительно центра колебаний, определяемого величиной смещения Однако оба уравнения линейно взаимосвязаны, так как коэффициенты уравнения зависят от величины смещения а величина в уравнении зависит от амплитуды автоколебаний А.

Из уравнения можно определить величину статической ошибки в функции от амплитуды автоколебаний А, внешнего воздействия М и параметров системы, например, k:

Подставляя найденное выражение в уравнение полагая и выделяя вещественную и мнимую части, получим два уравнения

Решить аналитически уравнения относительно А и обычно затруднительно. Целесообразно в данном случае применение какого-либо из графических приемов. Часто бывает удобно из уравнений найти выражение для . Приравнивая полученные значения , получим новое уравнение с тремя неизвестными :

Из уравнения как правило, можно определить какую-либо из величин как функцию двух остальных. Например,

Полученное уравнение дает возможность построить семейство кривых при разных значениях М. Затем по одной из формул легко определить при

Если какая-либо из искомых величин входит только в одно из уравнений то описанное решение значительно упрощается.

Поскольку после построения графиков станет известной зависимость амплитуды автоколебаний от значения параметра и величины внешнего воздействия М, то из формулы определяются искомые зависимости при или при

Таким образом определяется величина статической ошибки в зависимости от величины внешнего воздействия М и значения определяемого параметра системы Если полученные значений статической ошибки и амплитуды автоколебаний на входе нелинейного звена не являются непосредственно интересующими проектировщика величинами, то пересчет в любую точку системы производится через передаточные функции соответствующих звеньев системы.

Решение уравнений возможно и другим способом: подставив в уравнение и выделив вещественную и мнимую части, получим два алгебраических уравнения с тремя неизвестными

Эти уравнения дают возможность определить амплитуду А и частоту автоколебаний как функцию постоянной составляющей Подставив значения амплитуды и частоты автоколебаний в выражение для [первая формула (Х.60)], получим функцию смещения

которая является характеристикой данного нелинейного звена по отношению к постоянной составляющей при наличии автоколебаний. Важно отметить, что функция смещения не зависит ни от числа внешних воздействий на систему, ни от характера их изменения (он может быть не постоянной, а медленно меняющейся, что рассматривается ниже в § 5).

После определения функции смещения из уравнения с подстановкой сразу определяется искомая зависимость статической ошибки от величины постоянного внешнего воздействия М.

Возможен случай, когда к нелинейной системе приложено несколько внешних воздействий:

Методика расчетов при этом сохраняется. В отличие от линейных систем в данном случае складывать статические ошибки от отдельных воздействий нельзя. Это обусловлено нелинейной зависимостью от величины внешнего воздействия, как это следует из уравнения которое в данном случае принимает вид

Для облегчения практических расчетов в табл. 1 и 2 приложения IV приведены значения коэффициентов гармонической линеаризации для некоторых типоб нелинейных звеньев. Более полные сведения по гармонической линеаризации при наличии внешнего воздействия приведены в работе [13].

Несимметричные колебания в нелинейных автоматических системах могут возникать не только при наличии внешнего воздействия, но и при несимметричных характеристиках самого нелинейного элемента без внешнего воздействия.

В этом случае правая часть уравнения равна нулю:

При несимметричных характеристиках нелинейного звена возникает постоянная составляющая

Поэтому решение уравнения как и прежде, надо искать в виде суммы постоянной и периодической составляющих:

Уравнения в данном случае имеют вид

Решение уравнений выполняется таким же образом, как это делалось для симметричной характеристики нелинейного звена, при наличии постоянного внешнего воздействия.

Для облегчения использования описанной выше методики в табл. 3 приложения II приведены готовые выражения для некоторых типов несимметричных нелинейностей [13].

Пример 4. Для иллюстрации описанной выше методики определения установившихся ошибок в автоколебательных нелинейных системах рассмотрим систему, блок-схема которой приведена на рис. Х.20.

Рис. Х.20. Блок-схема релейной системы автоматического регулирования

Уравнения этой системы имеют вид:

Нелинейность представляет собой характеристику идеального симметричного реле

Уравнение системы будет

Предположим, что функция является управляющим воздействием, изменяющимся с постоянной скоростью

которое должна воспроизвести система на выходе. Второе внешнее воздействие является возмущающим и имеет постоянную величину (например, постоянная нагрузка на выходном валу системы), т. е.

Необходимо определить установившуюся ошибку на выходе системы. Правая часть характеристического уравнения будет при этом постоянной и установившееся решение для X с учетом автоколебаний следует искать в виде выражений

Тогда уравнения для постоянных и периодических составляющих будут иметь вид:

В соответствии с изложенной выше методикой из уравнений определим

Откуда

или

Для определения амплитуды А периодической составляющей используется уравнение для которого запишем характеристическое уравнение

Подставив и выделив вещественную и мнимую части, получим

Из уравнений найдем

Исключая из уравнений величину определим частоту автоколебаний

Подставив полученные значения в уравнение определим амплитуду автоколебаний

Здесь величина

является амплитудой симметричных автоколебаний при отсутствии внешних воздействий

Подставив полученное значение амплитуды А в формулу определим искомую величину смещения

Из формулы (Х.82) видно, что автоколебания в системе существуют только до тех пор, пока внешние воздействия удовлетворяют условию

причем амплитуда автоколебаний уменьшается с увеличением внешних воздействий.

Так, в результате расчета определена величина смещения на входе реле. Однако практически больший интерес представляет установившаяся ошибка на выходе системы. Поскольку на выходе системы должно воспроизводиться внешнее воздействие то, согласно рис. Х.20, ошибка данной системы выражается величиной Запишем переменную через х, которая уже известна.

Из заданных уравнений системы имеем

Учитывая, что уравнение запишем в виде

В соответствии с характером правой части нужно искать установившееся решение этого линейного уравнения в виде

где — постоянные величины;

— периодическая составляющая.

Подставляя выражение получим три уравнения

Из уравнения (X.87) определим

Затем из уравнения найдем

Наконец, из уравнения получим

где определяются соответственно из формул

Итак, в системе содержатся все три составляющие ошибки зависящие от величины внешних воздействий и от параметров системы. Наиболее нежелательной составляющей ошибки является составляющая возрастающая с течением времени. Для исключения этой ошибки необходимо в системе жесткую обратную связь заменить гибкой