Как найти ошибку в примере

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Учебно-методическое
пособие по математике

«Найдите
ошибку»

для
учителей и учащихся средней школы

Автор:
Кара Светлана Ивановна,      

   
учитель математики.

Туендат
2019

Пояснительная
записка.

Многолетний опыт
работы учителем математики показывает, что поговорка «на ошибках учатся» на
практике не «работает». При выполнении математических заданий и упражнений
учащиеся, допуская ошибки, их не замечают и вовремя не исправляют.

Анализируя
учебники математики, обращаем внимание на то, что в них достаточно много
образцов решения различных заданий, но совсем нет рекомендаций о том, какие
ошибки мы можем допустить при выполнении математических упражнений. Поэтому
вопрос о том, как учиться без ошибок, как научиться находить собственные ошибки
в решениях, является актуальным и требует исследования.

Для пробного
исследования были выбраны математические понятия – уравнения, приводящиеся к
линейным (далее уравнения) и системы линейных уравнений (далее системы
уравнений). Считаем, что эти понятия являются основными в алгебре. Предметом
исследования будут ошибки, которые допускают учащиеся, когда решают уравнения и
системы уравнений.

На основании
детального анализа теоретического материала по проблеме исследования, можно
предположить, что при решении уравнений и систем уравнений можно допустить
ошибки в тех преобразованиях, которые мы выполняем, решая их.

Для подтверждения
данного предположения были составлены анкеты с целью опроса учащихся: анкета –
опрос, анкета – уравнение, анкета – система уравнений. В опросе приняли
участие 20 учащихся  (7, 8, 9 классы) МАОУ Туендатская ООШ.

Проанализировав
результаты анкетирования, мы получили следующий результат.

В основном все
старшеклассники считают, что они умеют решать уравнения и системы уравнений
(70%). Но при этом отмечают, что без ошибок могут решать уравнения только 25%
опрошенных учащихся и системы уравнений — 15%. Находить, же ошибки в
собственных решениях могут, по мнению ребят 40% опрошенных, и 45% учащихся с помощью
учителя или его подсказки. И абсолютно все ребята хотят решать без ошибок.

Во второй анкете
учащимся было предложено решить уравнение  369575

2) 2465313 = 6546371

Можно сразу сказать, что в вычислении допущена ошибка. Почему? Потому что если перемножить последние цифры 5 и 3, то получается 15, число должно оканчиваться на 5, а у нас оканчивается на 1.

2465 313  6546371

3). 347 + 234  235 = 47806

Опять без подсчетов в столбик можно сказать, что здесь допущена ошибка. Как видите, этот пример содержит два действия. Попробуем сделать все действия с последними цифрами. Как вы помните, порядок действия у нас таков: сначала делаем умножение, потом сложение. Мы умножаем 4 на 5 – и получается 20, на конце числа должен стоять 0, к 0 прибавляем 7, должно получиться 7, а у нас на конце числа 6, значит, в примере допущена ошибка. Где именно, мы не знаем, может, была допущена ошибка в умножении или в сложении, но то, что ошибка есть, мы уже поняли.

347 + 234  235  47806

4) (345 4567 – 9873)  237 – 366 = 12948371

Первым действием мы 5 умножаем на 7 и получаем 35, на конце 5. Вторым действием вычитаем: 5 минус число, оканчивающееся на 3, и получаем 2 на конце. Умножаем это на 237, дважды семь – получаем 14, после третьего действия получаем на конце 4. Наконец, вычитаем из 14 число 6, получаем 8, которое должно стоять на конце. Значит, ответ 12948371 неправильный.

(345  4567 – 9873)  237 – 366  12948371

Нужно быть очень аккуратными, если в вашем выражении присутствует знак деления.

1) 28 : 4 = 7

Если разделить это выражение просто, то получится 7. С другой стороны, если мы попробуем проверить это равенство по методу последней цифры, 8 разделить на 4 равно 2, что не подходит к уравнению. Метод последней цифры к делению не применяется. Если по последней цифре все совпало, это еще ничего не значит. Это значит, что мы не нашли противоречия в данном случае, но ошибка все же может быть.

Например:

2) 2 2 = 14

Понятно, что это уравнение изначально неправильное, но, если проверить по последней цифре, два умножить на два будет 4, и у нас в конце уравнения стоит 4. Поэтому, если по последней цифре не сошлось, значит, в уравнении есть ошибка. Если же сошлось, это ничего не значит, может, ошибка есть, а может, и нет.

2 2  14

Итак, давайте подведем краткий итог первого метода. Если у вас решен пример на вычисление, который не содержит деления, а содержит только натуральные числа, то вы можете проверить себя, проделав все вычисления устно только с последними цифрами. Если результат сошелся, значит, с большой вероятностью, ошибки нет. Если же результат не сошелся, то ищем ошибку.

Метод округления

Давайте рассмотрим следующий пример: 143 147 = 221.

По проверке последней цифры, 3 умножить на 7, получаем 21, в конце числа 1, все в порядке, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, давайте сделаем простой предварительный подсчет. Если 100 умножить на 100, уже получится 10000, но у нас числа больше, чем 100, и мы получили в произведении только 221. Конечно, где-то закралась ошибка.

100  100 = 10000

143  147  221

Такая очень грубая прикидка, такое округление, позволяет нам понять, что пример решен неверно.

2) 2342 + 23426 = 234648

Опять же мы можем прикинуть по последней цифре и выяснить, что 2 плюс 6 – это 8, казалось бы, ошибки нет. С другой стороны, сделаем грубую прикидку: каждое число округлим до тысяч: 2 тысячи плюс 23 тысячи получается 25 тысяч, а в уравнении 234 тысячи. Значит, в примере где-то есть ошибка.

2000 + 23000 = 25000

3) 73462 – 2346 = 5362

Этот пример показателен тем, что вы можете найти ошибку, пользуясь и первым методом, и вторым. Действительно, если вычесть из 12 число 6, получаем 6, а в ответе последняя цифра 2. Уже неправильно. С другой стороны, давайте опять округлим до тысяч: 73 тысячи минус 2 тысячи получается 71 тысяча, а у нас примере 5 тысяч.

73000 – 2000 = 71000

4) 27  27 = 729

С последней цифрой все в порядке, семью семь – сорок девять, оканчивается на 9. Давайте сделаем округление: 30  30 = 900.

То есть ответ вроде правильный. Метод округления ошибку не выявляет. И этот пример действительно решен верно.

5) 342 + 253  175 = 306777

Обратите внимание, что с последней цифрой все в порядке: 3 умножить на 5 будет 15, то есть оканчивается на 5 плюс еще 2 – и будет 7. Но давайте снова округлим до сотен.

300 + 300  200 = 60300

Сами видите, что в левой части 60300, а в правой – 306 тысяч, равенство неверное. Значит, где-то допущена ошибка, при этом мы не знаем, где именно.

Таким образом, если мы хотим сделать проверку нашего примера с помощью прикидки или округления, мы должны сделать следующее: берем каждое число нашего примера и округляем его, то есть приравниваем его к ближайшему круглому числу. Проводим все вычисления с округленными числами и сравниваем тот ответ, который мы получаем с тем, который получился у нас в исходном примере. Естественно, ответы не должны полностью совпасть. Если они получились неравными, не паникуйте. Но они должны получиться близкими друг к другу. Если в примере ответ получился 102, а после округления ответ получился 1000000, значит, вы где-то ошиблись. Если же ответ у вас получился 102, а после округления 100, скорее всего, все правильно. Посмотрим еще на один пример: 33 ⋅ 33 = 1089.

Давайте округлим: 30  30 = 900. О чем же говорит такой ответ? Формально, как вы видите, у нас в ответе 4 цифры, а при округлении получилось 3 цифры. То есть вроде бы мы ошиблись на целый порядок, наверное, ошибка есть. Но, если вы присмотритесь к этим числам, вы увидите, что эти числа близки: 900 и 1000. Если вы видите, что разница в количестве цифр есть, но реально она не велика, возможно, никакого противоречия нет. В данном случае пример верный.

Еще один маленький совет. Если задача имеет какой-то практический смысл, старайтесь проверять, подходит ответ под этот смысл или нет. Например, если в задаче требуется найти скорость велосипедиста, а у вас после вычисления получилось 500 км/ч, скорее всего, вы ошиблись. Или предположим, вам нужно посчитать, сколько молока в литрах привезли на завод в сумме двух цистернах, а у вас получилось 3 литра. Наверное, это все-таки маловато для двух цистерн, так что тоже, скорее всего, у вас ошибка.

Итоги

Давайте подведем краткие итоги сегодняшнего урока. Сегодня мы познакомились с некоторыми методами, которые позволяют проверить, правильным ли получился ваш ответ. Эти методы не дают стопроцентной гарантии того, что вы отыщете ошибку. Даже если с помощью каждого из методов все получается в порядке, возможно, в примере есть ошибка. С другой стороны, проверка каждого из этих методов занимает не очень много времени, и поэтому, если даже в трех случаях из десяти какой-то из этих методов даст вам возможность найти ошибку, это уже будет хорошо.

Список рекомендованной литературы

1. Гельфман Э. Г., Холодная О. В. Математика: учебник для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. – 2012.
2. Шварцбурд С. И. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. – М.: Просвещение. – 2012.
3. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 5 класс, 31-е изд., стер. – М.: 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «lifehacker.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «kp.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «5klass.net» (Источник)

Домашнее задание

1. Каким методом вы обычно пользуетесь, что найти вычислительную ошибку в примере?
2. В чем заключается метод последней цифры? Приведите пример.
3. В чем заключается метод округления (прикидки)? Приведите пример.

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b² . Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х² — 2ху + у² = у² — 2ху + х². Имеем: ( х – у )² = ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а² – 2аb + b² = ca – cb. После преобразования получаем а² – аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

В

M

L

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

Е

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

С

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

O

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х² )³ ( х – 3 )² ≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )² ≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 ) ³ ( х – 3 ) ² ≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

х

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

х

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴ – 2х² — 7 = 0.

Введем замену х² =z, решаем квадратное уравнение:

9z² — 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k² — ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2 = =

z₁₌ -1, z₂= ,

х² = — 1, х² = ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х² = — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin ²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t² -2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿ arcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹ arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВCD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВCD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

Математика 4 класс Моро. Часть 2. Страница 20. Номер №28

Найди ошибки в решении уравнений.
376 − x = 7 * 9
x = 376 + 63

y : 3 = 720 : 9
y = 8 * 3

90 : x = 15 * 6
x = 90 * 90

Решение

376 − x = 7 * 9
376 − x = 63
x = 376 + 63 − ошибка, должно быть вычитание.
Правильно так:
x = 376 − 63
x = 313

y : 3 = 720 : 9
y : 3 = 80
y = 8 * 3 − ошибка, должно быть 80 * 3 .
Правильно так:
y = 80 * 3
y = 240

90 : x = 15 * 6
90 : x = 90
x = 90 * 90 − ошибка, должно быть деление.
Правильно так:
x = 90 : 90
x = 1

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

2 класс. Рабочая тетрадь №2. Ответы к стр. 21

Фев 18

2 класс. Рабочая тетрадь №2. Ответы к стр. 21

Числа от 1 до 100
Сложение и вычитание (письменные приёмы)

53. Реши уравнения:

8 + х = 14 13 — х = 7 у — 5 = 9
х = 14 — 8 х = 13 — 7 у = 9 + 5
х = 6 х = 6 у = 14

54. Найди ошибки в вычислениях и реши правильно.
₊23 _—79 ₊36 ₊29 _—93
45 54 28 51 47
68 25 54 88 56

55. Определи, какое действие выполнено в каждом случае, и заполни окошки нужными числами.

Как избежать типичных ошибок, возникающих при выполнении заданий ЕГЭ по математике

Дземяшкевич Е.В., преподаватель математики
(Факультет довузовской подготовки ТулГУ)

Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике, необходимо уже сегодня перестать комплексовать и паниковать перед предстоящим единым экзаменом. Уже сейчас можно сказать, что на ЕГЭ можно получить вполне приличное количество баллов: время для форсированной подготовки еще не потеряно. Конечно, ЕГЭ — это не легко и просто, но и не безнадежно. Важно, чтобы школьник сам честно сформулировал для себя планируемый результат обучения. Это вовсе не означает, что выпускник, наметивший себе «3», может получить только «3» и не более, напротив, ориентируясь на намеченный результат, может и должен получить на один балл выше. Ученики, ориентированные на получение «4», должны помнить, что если постараться, то можно получить и «5».

Но не всегда так получается. Возможны ошибки при решении заданий, недостатки при подготовке, которые приводят к низким результатам ЕГЭ.

Для устранения недостатков в подготовке учеников к ЕГЭ по математике, необходимо совершенствовать процесс преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения; использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения), учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.).

Поговорим подробнее об ошибках, которые возможны при выполнении заданий ЕГЭ. Рассмотрим важные темы, встречающиеся на экзамене по математике.

Тема	Ошибки	Рекомендации
преобразование иррациональных выражений	При кажущейся простоте этого задания, решаемость его далека от 100%. Сложно заставить себя при выполнении этих заданий сделать проверку. Казалось бы, все свойства действий с корнями просты. Вроде всё просто. Только не все выпускники могут вычислить или, не обращая внимания на степень корня, извлекают корень квадратный.	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
преобразование показательных выражений	Выполнить проверку показательного выражения сложно	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения); можно составить аналогичное задание и попытаться найти закономерность.
преобразование логарифмических выражений	Особенность темы заключается в том, что большинство одиннадцатиклассников узнают о логарифмах только в ноябре-декабре. Времени на «присвоение знаний» нет. Многие выпускники бояться решать задания с логарифмами, несмотря на то, что все свойства логарифмов они знают. Самое сложное при выполнении этих заданий – выполнить проверку.	Не торопясь, выполнить все действия на черновике (обязательно записать все этапы решения).
линейные уравнения	Решают все, правда, если a 0. Как только уравнение решается автоматически, возможны ошибки. Например, . Что это? Невнимательность? Досадная ошибка?	При решении линейных уравнений никто не застрахован от ошибок. Обязательно выполняем проверку.
квадратные уравнения	Очень большой процент ошибок приходится на квадратные уравнения. Ошибки начинаются с вычисления дискриминанта. В формулах для вычисления корней есть ошибки для –b и 2a. Не стоит упоминать про формулу «четного коэффициента» — много ошибок, особенно у сильных учеников. Важно повторить теорему Виета.	Не стоит пренебрегать проверкой корней с помощью теоремы Виета или подстановкой: она занимает меньше времени, чем полная проверка всего решения сложного задания.
дробно-рациональные уравнения	Школьники решают очень тяжело. Серьезные проблемы возникают при решении такого уравнения: даже записывая такое формальное условие- знаменатель не равен нулю – они о нем тут же забывают.	Чтобы избежать многих ошибок, проверка нужна обязательно: подстановка и удовлетворение условию «знаменатель не равен нулю». Обязательно включать в каждую домашнюю работу хотя бы одно задание на решение дробно рационального уравнения
рациональные неравенства	Линейные: чаще всего при делении на отрицательное число, неравенство вида:

&#169 Факультет довузовской подготовки Тульского государственного университета

300012, город Тула, проспект Ленина, 84, кор. 8, 3-й учебный корпус ТулГУ

(4872) 25-46-83, 25-46-84, 717-535

Тульский государственный университет

300012, город Тула, проспект Ленина, 92

(4872) 33-24-10, 35-34-44

Приемная комиссия ТулГУ: (4872) 332-332

Для того, чтобы мы могли качественно предоставить Вам услуги, мы используем cookies, которые сохраняются на Вашем компьютере (сведения о местоположении; ip-адрес; источник, откуда пришел на сайт пользователь, эта же информация используется для обработки статистических данных использования сайта посредством интернет-сервисов Google Analytics и Яндекс.Метрика). Продолжая использовать сайт, Вы соглашаетесь на использовании cookies. Отключить cookies Вы можете в настройках своего браузера.

math4school.ru

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x	–	5 + 3х	= 0 .
x – 1	x 2 – 1

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2	+ х 2 –	2	– 4х = 0 .
3х 2	3х 2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

tg ( x + y ) =	tg x + tg y
1 – tg x · tg y

sin 2 x =	2 tg x
1 + tg 2 x

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений <1>∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^<1/4>-6=left(x-3 right)^<1/2>.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^<1/2>=t), считают, что ( left(x-3 right)^<1/4>=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^<1/4>=t), тогда ( left(x-3 right)^<1/2>=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt<2x^2-8x+12>=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt<(x+3)^2>=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ <4>= [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _<5>>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _<5>xright)log _<5>x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_<4x>sqrt+ 7log_<16x>x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Статья. Проблемы, типичные ошибки учащихся, допускаемые при решении уравнений и неравенств.

Задание «Проблемы, типичные ошибки учащихся»

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики порой не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

Решая уравнения и неравенства учащиеся допускают типичные ошибки:

· Незнание правил, определений, формул.

· Непонимание правил, определений, формул.

· Неумение применять правила, определения, формулы.

· Неверное применение формул.

· Невнимательное чтение условия и вопроса задания.

· Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие же проблемы, трудности общего характера возникают у учащихся при изучении математики ( их несомненно можно отнести и к трудностям, которые возникают у уч-ся при изучении темы «Уравнения и неравенства»):

· Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.

· Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.

· Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .

· Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам . Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.

· Усталость . Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.

· Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.

· Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.

· Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Ошибки, допускаемые обучающимися при решении уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера.

1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних корней.

Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть ошибки подобного рода и определить способы их предупреждения и исправления, но прежде всего хочу обратить внимание на следующую мысль: не надо бояться приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки ,надо бояться потерять корни.

а) Решить уравнение:

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).

Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.

б) Решить уравнение

Область определения исходного уравнения задается системой

Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.

2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению.

3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Хочу подтвердить сказанное следующим примером.

Ученик предлагает следующее ошибочное решение этого уравнения:

х = –2.

Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.

Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.

Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.

Предлагаю проанализировать, почему произошла потеря корня.

В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.

Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейти в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.

4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Предлагаю рассмотреть это на следующем примере.

Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.

Найдем область определения неравенства:

Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).

Для всех x из промежутка (9;10] выражение ( x – 9) имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение

– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.

Окончательно имеем x ∈ (9;10]. Хочу заметить, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].

5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.

Некоторые учащиеся, решая это уравнение графически (хочу отметить, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций

и −

это графики взаимно обратных функций.

На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.

Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции «разномонотонны» (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Остановлюсь на типичных ошибки такого рода.

а) Решить уравнение x х = x.

Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:

или

Откуда имеем x = 1.

Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее произошла потеря двух корней уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.

7. При решении неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.

Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше.Этого делать не следует.

8.Хочу привести пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.

.

Привожу ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:

,

откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.

Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем

, , .

Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.

Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.

Привожу правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой

или

откуда .

Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.

Рассмотрим два случая.

а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.

б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.

Ответ: .

9. Типичная ошибка при решении уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются выражения.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x .

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей:

а) умения обнаружить ошибку;

б) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

· проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;

· проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;

· оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;

· проверка аналитического решения графическим способом.

Способы исправления и предупреждения ошибок

Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры:

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.

Задания на поиск ошибки, как инструмент формирования
регулятивных УУД

Проверь работу ученика 5 Екласса Иванова Вани.		I	II
1) 185х+272х=457х	1
2) 230у-175у=55у	2
3) 156а+79а+21а+44а=300а	3
4) 35х+17х+65+33х=150х	4
5) 55а+а=56а	5
6) 1307у-500у+93=807у+93	6
7) 14+17с-8с=14+9с	7
Отметка

Задание на поиск ошибки по теме: «Упрощение выражений» (5 класс)
Критерии оценивания
менее 4 верных заданий — отметка «2»
4-5 верных заданий – отметка «3»
6 верных заданий — отметка «4»
7 верных заданий — отметка «5»

— Мне было все понятно — Я испытывал небольшие затруднения, которые сумел преодолеть — Мне нужно еще поработать над этой темой — Мне не понятно, без помощи учителя я не справлюсь

Проверь работу ученика 5 Екласса Иванова Вани.		I	II
1) 2	1
2) 72	2
3) 9 =90+972=1062	3
4) 321+266+134=321+300=621	4
5)	5
6) 3 =621-27=594	6
7)	7
Отметка

Критерии оценивания
менее 4 верных заданий — отметка «2»
4-5 верных заданий – отметка «3»
6 верных заданий — отметка «4»
7 верных заданий — отметка «5»

— Мне было все понятно — Я испытывал небольшие затруднения, которые сумел преодолеть — Мне нужно еще поработать над этой темой — Мне не понятно, без помощи учителя я не справлюсь

Проверь работу ученика 7 Д класса Иванова Вани.		I	II
1) 15ас – 7с — ас = с ( 15а -7-а )	1
2) 2х 2у + ху = 2ху( х )	2
3) 16а3с2х — 2ас2 =2 ас2 ( 8ас – 1 )	3
4) 6х2у( х –у) + ( у – х )= (х-у)(6х2у -1)	4
5) 35ас – 14 ас2 + 4 = а ( 35с – 14с2 + 4 )	5
6) 49 – а2= ( 7 – а )( 7 + а )	6
7) 16х4у2 – 64 =( 4х2у – 8 )( 4х2у + 8 )	7
Отметка

Критерии оценивания
менее 4 верных заданий — отметка «2»
4-5 верных заданий – отметка «3»
6 верных заданий — отметка «4»
7 верных заданий — отметка «5»

— Мне было все понятно — Я испытывал небольшие затруднения, которые сумел преодолеть — Мне нужно еще поработать над этой темой — Мне не понятно, без помощи учителя я не справлюсь

Проверь работу ученика 7 Д класса Иванова Вани.		I	II
1)Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам	1
2) Если треугольник равносторонний, то все его углы равны	2
3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними	3
4) Медиана в равнобедренном треугольнике всегда является биссектрисой и высотой.	4
5) Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам	5
6) Треугольники равны по трем сторонам	6
7) Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный.	7
Отметка

— Мне было все понятно — Я испытывал небольшие затруднения, которые сумел преодолеть — Мне нужно еще поработать над этой темой — Мне не понятно, без помощи учителя я не справлюсь

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/245757-zadanija-na-poisk-oshibki-kak-instrument-form

«Алгоритм
нахождения и исправления ошибок

 в проверочных работах  по математике»

Ковалёва Г.И. 

МБОУ «СШ №15»

Найди ошибку в выражении:        15+6=22                56-20=46

1. 
Выпиши выражение, в
котором была допущена ошибка, с правильным ответом:

                                                             
 15+6=21                 56-20=36

2. 
Придумай и запиши два
подобных выражения:

                      14+7=21     13+8=21                                      
    47-30=17     93-40=53

Найди ошибку в неравенстве:      45-15>45+15

1. 
Выпиши неравенство, в
котором была допущена ошибка, с правильным решением:

                                                  
45-15 <45+15

2. 
Придумай и запиши подобное
неравенство:

                                                       
34-20 <34+20

Найди ошибку в сравнении величин:     1м = 20см                

1.  Выпиши сравнение, в котором была допущена ошибка, с
правильным решением и объяснением данного решения:

         1м
>20см                         1м = 100см             100см >20см

Найди ошибку в решении задачи:

1. 
Читай задачу, останавливаясь на каждой смысловой точке,
делая при этом пометки в черновике.

2.     
Выполни решение с помощью рисунка,
чертежа, краткой записи, пояснения, вопросов.

3.     
Сравни свое решение задачи
с правильным решением

4.     
Придумай и реши подобную
задачу.

Найди ошибку в геометрическом задании:

Ø Если
ошибка в нахождении периметра или площади многоугольника:

1.      Начерти
фигуру на черновике

2.     
Обозначь каждую сторону
многоугольника

3.     
Вспомни, что ты знаешь о
сторонах данной фигуры

4.     
Вспомни формулу нахождения
периметра или площади  данной фигуры

5.     
Найди периметр или площадь
данной фигуры

6.     
Сравни свой ответ с
правильным решением

Ø
Если есть ошибки в построении геометрической фигуры:

1.    
обратись за помощью к
учителю