Интервальное оценивание доверительная вероятность предельная ошибка выборки

Оценка генеральной дисперсии.

Теорема. Выборочная
дисперсия σ_в²
повторной и бесповторной выборок
является смещенной и состоятельной
оценкой генеральной дисперсия _.

Замечание.В процессе
доказательства теоремы получено, что,
т.е. выборочная дисперсия уменьшает
генеральную дисперсию. При замененадопускается систематическая погрешность
в сторону уменьшения. В связи с этим
вводится «исправленная дисперсия»,
которая является несмещенной оценкой_.

Пример.Предельная
нагрузка на стальной болтХ_і,
которая измерялась в лабораторных
условиях, задана как интервальное
статистическое распределение:

Xi, кг/мм2	4,5-5,5	5,5-6,5	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5	10,5-11,5	11,5-12,5	12,5-13,5
	40	32	28	24	20	16	12	8

Определить точечные несмещенные и
состоятельные оценки для
и_.

6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки

Точечная оценка
_n
является приближенным значением
неизвестного параметра
и в том случае, когда она несмещенная
(в среднем совпадает с),
состоятельная (приближается кс ростомn)
и эффективная (характеризуется наименьшей
степенью отклонений от)
и при выборке малого объема возможная
значительная разность между оценкой
параметра и параметром, т.е. привести к
грубым ошибкам.

По этой причине, для получения более
точной и достоверной оценки
_nпараметра,
используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра
называется числовой интервал, который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестное значение параметра.

Границы интервала
его длина, определяются по выборочным
данным и потому являются случайными
величинами, в отличие от параметра— величины неслучайной и в связи с этим
правильнее говорить, что интервал
«накрывает», а не «содержит» значение.

Интервальная оценка определяется двумя
числами — концами интервала.

Интервал
называютдоверительным (его
концы – доверительными границами),
а вероятность
–доверительной вероятностью
или надежностью оценки.

Длина доверительного интервала
значительно зависит от объема выборки
n (уменьшается
с ростомn)
и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице). В большинстве, но не всегда,
доверительный интервал выбирается
симметричным относительно параметра,
т.е..
Метод доверительных интервалов разработал
американский статистик Ю. Нейман на
основании идей Р.Фишера.

Предельной ошибкой выборки
называется наибольшее отклонение ∆
выборочной средней (доли) от генеральной
средней (доли), которое возможно с
заданной доверительной вероятностью
.

Ошибка
является ошибкойрепрезентативностивыборки. Она возникает только вследствие
того, что исследуется не вся генеральная
совокупность, а только ее часть.

Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.

Построение доверительных интервалов
для параметров генеральных совокупностей
можно осуществить с помощью прямогометода (если исходить из генерального
распределения, откуда как следствие
получать выборочное распределение и
из него распределение статистик), иликосвенногометода, который позволяет
при некоторых общих предположениях
получить асимптотические (приn→∞)
распределения статистик. Рассмотрим
второй метод.

Теорема. Вероятность
того, что отклонение выборочной средней
(доли) от генеральной средней (доли) на
величину, которая не превышает по
абсолютной величиной число ∆>0 равна:

,где, (2.12)

,где.
(2.13)

Доказательство.

Формулы (2.12) и (2.13) называются формулами
доверительной вероятности для средней
и доли.

Средней квадратической ошибкой
называется среднее квадратическое
отклонение выборочной средней и
выборочной доли собственно случайной
выборки.

Формулы для вычисления
для разных статистик и разных выборок
можно получить из формул 2.14, 2.15, 2.18, 2.19
и они имеют вид:

а) выборка собственно случайная повторная:

для средней –
(2.14)

для доли –
(2.15)

б) выборка собственно случайная без
повторная:

для средней –
(2.16)

для доли –
(2.17)

Замечание.Из рассмотренной
теоремы следует, что доверительные
интервалы для генеральной средней и
генеральной доли находятся по формулам:

,(2.18)

,.
(2.19)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В статистике имеются два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений: точечный и интервальный. В соответствии с точечным оцениванием, которое рассмотрено в предыдущем разделе, указывается лишь точка, около которой находится оцениваемый параметр. Желательно, однако, знать, как далеко может отстоять в действительности этот параметр от возможных реализаций оценок в разных сериях наблюдений.

Ответ на этот вопрос – тоже приближенный – дает другой способ оценивания параметров – интервальный. В соответствии с этим способом оценивания находят интервал, который с вероятностью, близкой к единице, накрывает неизвестное числовое значение параметра.

Понятие интервальной оценки

Точечная оценка является случайной величиной и для возможных реализаций выборки принимает значения лишь приближенно равные истинному значению параметра . Чем меньше разность , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число , для которого , характеризует точность оценки и называется Ошибкой оценки (или предельной ошибкой).

Доверительной вероятностью (или надежностью) называется вероятность β, с которой осуществляется неравенство , т. е.

. (3.20)

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством , или , получим

. (3.21)

Интервал , накрывающий с вероятностью β, , неизвестный параметр , называется Доверительным интервалом (или интервальной оценкой), соответствующим доверительной вероятности β.

Случайной величиной является не только оценка , но и ошибка : ее значение зависит от вероятности β и, как правило, от выборки. Поэтому доверительный интервал случаен и выражение (3.21) следует читать так: “Интервал накроет параметр с вероятностью β ”, а не так: “Параметр попадет в интервал с вероятностью β ”.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема в относительной доле случаев, равной β, доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β, накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, доверительная вероятность β характеризует Надежность доверительного оценивания: чем больше β, тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.

Следует, однако, иметь в виду, что с ростом доверительной вероятности β в среднем растет длина доверительного интервала, то есть уменьшается точность доверительного оценивания. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями; обычно используются значения β, равные 0,90; 0,95; 0,99.

Вероятность (3.22)

называется Уровнем значимости и характеризует относительное число ошибочных заключений в общем числе заключений.

В формуле (3.21) границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки. Однако не всегда удается построить интервал, обладающий таким свойством. Более общим является следующее определение.

Доверительным интервалом (или Интервальной оценкой) параметра с доверительной вероятностью β, 0< β <1, называется интервал со случайными границами , , накрывающий с вероятностью β неизвестный параметр , т. е.

. (3.23)

Иногда вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая или .

Построение интервальных оценок

Доверительный интервал задается своими концами и . Однако найти функции и из условия (3.23) невозможно, поскольку закон распределения этих функций зависит от закона распределения ξ и, следовательно, зависит от неизвестного параметра . Используют следующий прием, позволяющий в ряде случаев построить доверительный интервал. Подбирается такая функция , чтобы:

— ее закон распределения был известен и не зависел от неизвестного параметра ;

— функция Была непрерывной и строго монотонной по .

Тогда для любого β можно выбрать два числа и так, чтобы выполнялось равенство

. (3.24)

Отсюда находят и как квантили функции распределения . Границы искомого доверительного интервала выражают через найденные квантили и выборочные данные, используя для этого соотношения, связывающие новую и старую случайные величины.

Если плотность распределения случайной величины Симметрична, то доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , и для нахождения границ доверительного интервала вместо условия (3.23) можно использовать соотношение (3.21).

Основные статистические распределения

Построение разного рода оценок и статистических критериев часто основывается на использовании ряда специальных распределений случайных величин.

Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и , что обозначается как , если плотность вероятности этой случайной величины имеет вид

. (3 .25)

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальное распределение, представлен на рисунке 3.5, на котором видно, что максимум функции находится в точке .

Поскольку нормальное распределение подробно изучается в курсе теории вероятностей, напомним свойства нормальной случайной величины, которые будут использоваться в дальнейшем.

Рис. 3.5

1) , .

2) Случайная величина называется Центрированной, если ее математическое ожидание равно нулю. Для того чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:

.

3) Случайная величина называется Нормированной, если ее дисперсия равна единице, а математическое ожидание равно нулю.

Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратическое отклонение:

.

Центрированная и нормированная нормальная случайная величина называется стандартной. Таким образом, стандартной будет случайная величина

~ . (3.26)

Вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β) вычисляется по формуле

, (3.27)

Где — интеграл вероятности, представляющий собой функцию распределения стандартной нормально распределенной случайной величины. Интеграл вероятности табулирован. Его значения приведены в таблице В Приложения.

Для стандартной нормальной случайной величины и симметричного промежутка формула (3.27) принимает следующий вид:

. (3.28)

Распределение (хи-квадрат). Если , независимые стандартные нормальные случайные величины, то говорят, что случайная величина

(3.29)

Имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, что обозначается как . Графики плотности вероятности для двух значений степени свободы приведены на рис.3.6.

Рис. 3.6

С увеличением числа степеней свободы плотность вероятности стремится к нормальной. При плотность вероятности постоянно убывает, а при имеет единственный максимум , , .

Распределение Стьюдента. Пусть , , , — независимые стандартные нормальные случайные величины. Тогда случайная величина

(3.30)

Имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, что обозначается как , при этом

, .

На рис.3.7 приведены кривые стандартного нормального распределения (кривая 1) и плотности распределения Стьюдента (кривая 2).

Рис. 3.7

При плотность распределения Стьюдента стремится к плотности стандартной нормальной случайной величины.

На практике, как правило, используется не плотность вероятности, а Квантиль Распределения. Напомним, что квантилью порядка (или уровня) непрерывной случайной величины называется такое ее значение , которое удовлетворяет равенству ,

Где — функция распределения, а — заданное значение вероятности. Рис.3.8 поясняет понятие квантили порядка .

Рис. 3.8

Следующая теорема устанавливает свойства основных выборочных характеристик, вычисленных по выборке, соответствующих нормальному распределению.

Теорема Фишера. Пусть — случайная выборка из генеральной совокупности , тогда выборочное среднее и несмещенная выборочная дисперсия независимы, и при этом

1) случайная величина имеет распределение ;

2) случайная величина имеет распределение ;

3) случайная величина имеет распределение .

Доказательство теоремы приведено в [2].

Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения

Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии. Построим доверительный интервал для математического ожидания наблюдаемой случайной величины при известной дисперсии по выборке .

Образуем вспомогательную случайную величину , где — точечная оценка математического ожидания . Согласно утверждению 1 теоремы Фишера, случайная величина имеет нормальное распределение и ее функция распределения не зависит от неизвестного параметра.

Доверительный интервал, соответствующий надежности β, определяется из условия (3.20), которое в нашем случае имеет вид

. (3.31)

Неравенства и являются равносильными, то есть для любой выборки они выполняются или не выполняются одновременно, поэтому соотношение (3.31) можно записать в виде

. (3.32)

Поскольку случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, вероятность в левой части формулы (3.32) можно выразить через нормальную стандартную функцию распределения по формуле (3.7):

. (3.33)

Приравняв правую часть формулы (3.33) заданной доверительной вероятности β, получим уравнение . Решение этого уравнения является квантилью порядка стандартного нормального распределения и определяется по таблице значений стандартной нормальной функции распределения (см. табл. В Приложения). Предельная ошибка вычисляется по формуле . Таким образом, доверительным интервалом математического ожидания, соответствующим надежности β, является интервал

. (3.34)

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии. По выборке из нормального распределения требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии D=σ2.

Введем новую случайную величину , где — несмещенная выборочная дисперсия.

Статистика согласно утверждению 3 теоремы Фишера имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Рассуждая аналогично случаю, когда дисперсия известна, получим следующий доверительный интервал для математического ожидания:

, (3.35)

Где — квантиль порядка распределения Стьюдента. В отличие от доверительного интервала (3.34) длина интервала (3.35) случайна и зависит от случайной величины . Поскольку с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, то для больших выборок интервалы (3.34) и (3.35) практически совпадают.

Пример 3.2. По результатам 9 измерений напряжения батареи получено среднее арифметическое значение 30,6В. Точность вольтметра характеризуется средним квадратическим отклонением 0,2В. Требуется найти доверительный интервал для истинного значения напряжения батареи, соответствующий доверительной вероятности β=0,95, предполагая, что контролируемый признак имеет нормальный закон распределения.

Решение. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой (3.34). Квантиль порядка 0,975 найдем по таблице А Приложения: .Поскольку предельная ошибка , то доверительный интервал имеет вид

.

Интервальная оценка дисперсии нормального распределения

Построим доверительный интервал для дисперсии D=σ2 наблюдаемой случайной величины ~ по случайной выборке при неизвестном математическом ожидании.

Введем случайную величину (статистику) , (3.36)

Которая согласно утверждению 2 теоремы Фишера имеет распределение с степенями свободы. Поскольку плотность распределения этого закона асимметрична, доверительный интервал, соответствующий надежности β, найдем из формулы (3.31) в виде:

. (3.37)

Обычно доверительный интервал для случайной величины выбирают так, чтобы вероятность ее попадания за пределы этого интервала влево и вправо была одинаковой ( рис. 3.9):

.

Тогда условия для определения значений и будут иметь вид:

, . (3.38)

По таблице квантилей — распределения ( табл. С Приложения) найдем

, . (3.39)

Рис. 3.9.

Неравенства эквивалентны неравенствам , поэтому

.

Следовательно, интервал

(3.40)

Является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности β.

Пример 3.3. По данным выборочного контроля найти выборочное математическое ожидание и несмещенную оценку дисперсии нормальной случайной величины ξ. Найти доверительные интервалы для них, соответствующие доверительной вероятности β=0,98.

Таблица 3.4

	42	43	45	46	48	51	52	54
	1	2	3	6	4	3	1	1

Решение. Выборочное математическое ожидание найдем по формуле (3.14), используя табл.3.4

При .

Несмещенную выборочную дисперсию вычислим по формуле (3.19):

, .

Доверительный интервал для математического ожидания определим по формуле (3.35). При из таблицы А Приложения находим квантиль распределения Стьюдента . Вычислив предельную ошибку ,

Получим искомый доверительный интервал для математического ожидания:

.

Границы доверительного интервала для дисперсии определим по формуле (3.20). По таблице квантилей распределения χ2 (см. табл. С Приложения) при определим квантили:

, .

Подставив эти значения, а также и в формулу (3.20), получим искомый доверительный интервал для дисперсии

.

Вопросы для самопроверки

2. Что называется выборкой?

3. Как произвести оценку выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии?

4. Как найти функцию распределения для дискретной случайной величины?

5. Что такое несмещенная оценка параметра?

6. Дайте определение состоятельной оценки.

7. Что такое интервальная оценка?

< Предыдущая		Следующая >

Доверительный интервал – интервал значений, в пределах которого, как можно надеяться, находится параметр генеральной совокупности.

Наша надежда выражается доверительной вероятностью – вероятность, с которой доверительный интервал «захватит» истинное значение параметра генеральной совокупности. Чем выше доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал. Значение доверительной вероятности выбирает сам исследователь. Обычно это 0,9; 0,95; 0,99.

Если статистическая оценка параметра закона распределения случайной величины характеризуется двумя числами – концами интервала, то такая оценка называется интервальной.

Интервал , в который попадает оцениваемый параметр с заданной надежностью (вероятностью), называется доверительным интервалом, а вероятность — доверительной вероятностью или уровнем надежности. Число называется уровнем значимости.

Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении нормальности наблюдаемых величин. Если это предположение не выполнено, то оценка может оказаться плохой, особенно для малых выборок. При увеличении объема выборки, скажем, до 100 или более, качество оценки улучшается и без предположения нормальности выборки.

Например, если среднее выборки равно 23, а нижняя и верхняя границы доверительного интервала с уровнем p=.95 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с вероятностью 95% интервал с границами 19 и 27 накрывает среднее популяции. Если мы установим больший уровень доверия, то интервал станет шире, поэтому возрастает вероятность, с которой он «накрывает» неизвестное среднее популяции, и наоборот.

Доверительный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может быть невысокой.

Доверительный интервал симметричен относительно оценки истинного значения параметра и имеет вид , где — предельная ошибка выборки (наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения). Это означает, что неравенства выполняются с вероятностью .

Для доверительного интервала половина его длины называется точностью интервального оценивания.

Если выполняется соотношение , то число называется точностью, а число — надежностью оценки генеральной числовой характеристики .

2. Доверительный интервал для оценки генеральной средней

Рассмотрим построение доверительного интервала для оценки математического ожидания.

Пусть — выборка объема из генеральной совокупности объема ; — выборочное среднее; — выборочное среднее квадратическое отклонение.

Доверительный интервал уровня надежности для математического ожидания (генеральной средней) имеет вид

,

где — предельная ошибка выборки, которая зависит от объема выборки , доверительной вероятности и равна половине доверительного интервала.

Интервальной оценкой с надежностью генеральной средней в случае нормального распределения генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал:

где — выборочное среднее; — исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение; — параметр, который находится по таблице распределения Стьюдента для ( ) степеней свободы и доверительной вероятности .

Интервальной оценкой с надежностью генеральной средней в случае нормального распределения генеральной совокупности при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал:

где — выборочное среднее; — выборочное среднее квадратическое отклонение; — значение аргумента функции Лапласа , при котором ; — объем выборки.

Выводы. Доверительный интервал для среднего представляет интервал значений вокруг оценки, где с данным уровнем доверия, находится «истинное» (неизвестное) среднее значение признака.

Хорошо известно, например, что чем «неопределенней» прогноз погоды (т.е. шире доверительный интервал), тем вероятнее он будет верным.

Пример. Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если известны ее среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Воспользуемся формулой . Значение найдем по таблице значений функции Лапласа , с учетом того, что , т.е. . Находим по таблице для значения функции значение аргумента . Получим доверительный интервал:

; или .

Тестовые задания

1. Длина доверительного интервала уменьшается с увеличением:

1) выборочных значений 2) объема выборки

3) доверительной вероятности 4) выборочного среднего

2. Длина доверительного интервала с увеличением объема выборки:

1) уменьшается; 2) увеличивается;

3) не изменяется; 4) колеблется.

3. Длина доверительного интервала с увеличением доверительной вероятности:

1) изменяется, 2) уменьшается,

3) увеличивается, 4) постоянна.

4. Отметьте два правильных ответа. Символы и в формуле доверительного интервала означают:

1) оценка параметра; 2) доверительный интервал;

3) объем выборки; 4) доверительная вероятность.

Ответы. 1. 2). 2. 1 3. 2). 4. 4) и 3).

контрольные Вопросы

1. Что понимается под термином «интервальная оценка параметра распределения»?

2. Дайте определение доверительного интервала.

3. Что такое точность оценки и надежность оценки?

4. Что называется доверительной вероятностью? Какие значения она принимает?

5. Как изменится длина доверительного интервала, если увеличить: 1) объем выборки, 2) доверительную вероятность? Ответ обоснуйте.

6. Запишите формулу для нахождения доверительного интервала математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если генеральная дисперсия: 1) известна; 2) неизвестна.

Часть 3. проверка статистических гипотез

Тема 1. Основные понятия теории принятия статистического решения

1. Нулевая и альтернативная статистические гипотезы

Статистической гипотезой называется такое предположение о виде или свойствах генерального или выборочного распределений, которое можно проверить статистическими методами на основе имеющейся выборки.

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить:

• согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза;

• допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и результатом статистического анализа экспериментальных данных за счет случайных причин.

По содержанию статистические гипотезы подразделяются на виды:

• о законе распределения генеральной совокупности (например, гипотеза о том, что количество ошибок внимания у младших школьников имеет равномерное распределение);

• о числовых значениях параметров случайной величины (например, гипотеза о том, что среднее количество правильных ответов студентов контрольной группы на десять тестовых вопросов по теме равно восьми);

• об однородности выборок (т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности);

• о виде модели, описывающей статистическую зависимость между несколькими признаками (например, предположение о том, что связь между успешностью обучения математики и показателем невербального интеллекта учащихся линейная, прямо пропорциональная).

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой гипотезой и обозначают . В психологии принято считать, что – это гипотеза о сходстве, т.е. об отсутствии различий. Другими словами, это предположение о том, что все события, интересующие исследователя, произошли случайно, естественным образом. Обозначается нулевая гипотеза как .

Пример. Пусть исследователь сопоставляет значения некоторого признака развитости интеллекта (например, уровень вербального мышления) у двух групп подростков — из полных семей (первая группа) и неполных семей (вторая группа). Обозначим через и случайные величины, показывающие значения признака (уровня вербального мышления). Тогда нулевая гипотеза означает предположение, что различий в показателе интеллекта у двух групп подростков.

Гипотезе может быть противопоставлена альтернативная, или конкурирующая, гипотеза , являющаяся логическим отрицанием . В паре они составляют две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. В альтернативной гипотезе предполагается, что события, интересующие исследователя, случайным образом произойти не могли, и имело место воздействие некоторого фактора.

Если нулевая гипотеза говорит о «сходстве», то альтернативная гипотеза – гипотеза «о различии », точнее, о значимости различий. Например, альтернативная гипотеза о том, что контрольные и экспериментальные группы различаются между собой по каким-либо значимым характеристикам.