Функция ошибок гаусса как вычислить

Error function
Plot of the error function
General information
General definition
Fields of application	Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain
Image
Basic features
Parity	Odd
Specific features
Root	0
Derivative
Antiderivative
Series definition
Taylor series

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:^[1]

Some authors define without the factor of .^[2]
This integral is a special (non-elementary) sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

and the imaginary error function (erfi) defined as

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»^[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.^[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [L_a, L_b] can be derived as

Properties[edit]

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e^−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z²) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»^[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e^−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

because −(2k − 1)z²/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

Higher order derivatives are given by

where H are the physicists’ Hermite polynomials.^[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,^[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:^[8]

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c₁ = 31/200 and c₂ = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf⁻¹ x satisfying

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series^[9]

where c₀ = 1 and

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf⁻¹ z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

For real x, there is a unique real number erfi⁻¹ x satisfying erfi(erfi⁻¹ x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi⁻¹ x.^[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi⁻¹ x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

where c_k is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

where the remainder is

which follows easily by induction, writing

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

as x → ∞. This can be found by

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:^[11]

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3^[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

converges for Re(z²) > 0. Here

zⁿ denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.^[13][14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

• Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:

  

  (maximum error: 5×10⁻⁴)

  where a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

  

  (maximum error: 2.5×10⁻⁵)

  where p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

  

  (maximum error: 3×10⁻⁷)

  where a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

  

  (maximum error: 1.5×10⁻⁷)

  where p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

  All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

• Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by^[15]

  

• The above have been generalized to sums of N exponentials^[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where

  

  In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.^[17]

• A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that

  

  They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]

• A single-term lower bound is^[20]

  

  where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

• Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:^{[21][22]: 2–3}

  

  where

  

  This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

  This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

  

• An approximation with a maximal error of 1.2×10⁻⁷ for any real argument is:^[24]

  

  with

  

  and

  

Table of values[edit]

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

which also defines erfcx, the scaled complementary error function^[25] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow^[25][26]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:^[27]

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:^[28]

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow^[25]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages^{[citation needed]}, as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

or rearranged for erf and erfc:

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.^{[further explanation needed]}

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Some authors discuss the more general functions:^{[citation needed]}

Notable cases are:

• E₀(x) is a straight line through the origin: E₀(x) = x/e√π
• E₂(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the E_n for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the E_n for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by^[29]

The general recurrence formula is

They have the power series

from which follow the symmetry properties

and

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

• In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.^[30]

• The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.^[31]

As complex function of a complex argument[edit]

• libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

• Gaussian integral, over the whole real line
• Gaussian function, derivative
• Dawson function, renormalized imaginary error function
• Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

• Normal distribution
• Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
• Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
• Q-function, the tail probability of the normal distribution
• Standard score

References[edit]

Further reading[edit]

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

External links[edit]

• A Table of Integrals of the Error Functions

резюме

Важным элементом, встречающимся в статье, является функция ядра Гаусса, но необходимо проанализировать различные потенциальные свойства функции Гаусса.В этой статье сначала упоминаются соответствующие материалы, чтобы дать основу для функции ядра Гаусса, а затем используется matlab для автоматического сохранения гауссиана при различных параметрах. GIF-анимация изменения функции ядра и исходный код передаются одновременно, что также удобно для последующей записи на бумаге.

Основа гауссовской функции

2.1 Одномерная гауссовская функция

Гауссова функция, функция Гаусса, также для краткости называемая гауссовой, имеет одномерную форму следующим образом:

Для любых действительных чисел a, b, c назван в честь известного математика Карла Фридриха Гаусса. Одномерный гауссовский график представляет собой характерную симметричную форму «кривой колокола», a — высота пика кривой, b — координата центра пика, c называется стандартным отклонением и представляет ширину в форме колокола.

Гауссовы функции широко используются в области статистики для выражения нормального распределения. В области обработки сигналов они используются для определения гауссовых фильтров. В области обработки изображений в Gaussian Blur часто используются двумерные функции ядра Гаусса. Он используется для решения тепловых уравнений и уравнений диффузии, а также для определения преобразования Вейерштрасса.

Из приведенного выше рисунка видно, что функция Гаусса является экспоненциальной функцией, а ее лог-функция представляет собой логарифмическую вогнутую квадратичную функцию, логарифм которой является вогнутой квадратичной функцией.

Интеграл от функции Гаусса является функцией ошибки, однако ее аномальный интеграл по всей сплошной линии может быть точно вычислен с использованием следующего гауссова интеграла

То же самое верно

Если и только

Интеграл приведенной выше формулы равен 1, в этом случае Гаусс является функцией плотности вероятности нормально распределенной случайной величины, ожидаемое значение μ = b, дельта дисперсии ^ 2 = c ^ 2, то есть

2.2 Двумерная функция Гаусса

Двумерная функция Гаусса, как

А — амплитуда, х. у. Координаты центральной точки, σx σyЯвляется ли дисперсия, как показано ниже, A = 1, x = 0, yo = 0, σx = σy = 1

2.3 Анализ функции Гаусса

В этом разделе Matlab используется для интуитивного просмотра функции Гаусса. В реальных приложениях программирования параметры в функции Гаусса

ksize размер гауссовской функции

сигма-дисперсия гауссовской функции

функция центральная гауссова функция центральная координата

смещение Смещение пиковой центральной точки функции Гаусса, используемой для управления усеченной функцией Гаусса

Чтобы упростить интуитивное наблюдение за изменениями параметров функции Гаусса и отличающимися результатами, в следующем коде реализован автоматический прирост параметров и сохранены все карты результатов в виде изображений gif, сначала вставьте полный код:

function mainfunc()
% Проверка функции Гаусса, инкрементный метод для достижения влияния изменения параметра функции Гаусса на всю функцию Гаусса,
 % И автоматически сохранить вывод в формате GIF.
% created by zhao.buaa 2016.09.28
 
 %% сохранить анимацию GIF
 item = 10;% итераций
 dt = 1;% размер шага
 ksize = 20;% гауссовский размер
 сигма = 2;% размера дисперсии
 % filename = ['ksize-' num2str (ksize) '-' num2str (ksize + dt * item) '-sigma-' num2str (sigma) '.gif'];% должен заранее создать файл gif
 filename = ['ksize-' num2str (ksize) '-sigma-' num2str (sigma) '-' num2str (sigma + dt * item) '.gif'];% должен заранее создать файл gif
 
% main loop
for i = 1:item
 Центр = круглый (ksize / 2);% центральная точка
 Смещение = ksize * 10/10;)% смещения центральной точки
 Ksigma = ksigma (ksize, sigma, center, bias);% сборка функции ядра
    tname  = ['ksize-' num2str(ksize) '-sigma-' num2str(sigma) '-center-' num2str(center)];
    figure(i), mesh(ksigma), title(tname);
 % Установите фиксированный диапазон координат x-y-z для удобства наблюдения, ось ([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])
 Ось ([0 ksize 0 ksize 0 0,008]); вид ([0, 90]);% изменения угла обзора
 % Ksize прирост
%     ksize = ksize + 10;
 % Сигма приращение
    sigma = sigma + dt;     
    
 % Автоматически сохраняется как изображение GIF
    frame = getframe(i);
    im = frame2im(frame);
    [I,map] = rgb2ind(im,256);
    if i==1
        imwrite(I,map,filename,'gif','Loopcount',inf, 'DelayTime',0.4);
    else
        imwrite(I,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',0.4);
    end
end;
 
close all;
 
 
 %% Гауссова функция ядра усечена, степень усечения зависит от параметра смещения
function ksigma = ksigma(ksize, sigma, center,bias)
%ksize = 80;    sigma = 15;
 ksigma = fspecial ('gaussian', ksize, sigma);% построить гауссовскую функцию
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if(  (i<center-bias)||(i>center+bias)||(j<center-bias)||(j>center+bias)  )
            ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;

График результатов:

Фиксированное значение ksize равно 20, сигма от 1 до 9, центр зафиксирован в середине гауссианы, а смещение смещения — это весь радиус, который является исходной функцией Гаусса.

С увеличением сигмы пик всей функции Гаусса постепенно уменьшается, и все становится более сглаженным, эффект сглаживания на изображении становится все более очевидным.

Оставьте параметры без изменений, урежьте указанную выше гауссовскую функцию, то есть урезанную гауссовскую функцию, размер смещения равен ksize * 3/10, тогда результат будет следующим:

Функция усеченной гауссовской функции в основном состоит в том, чтобы больше не учитывать исходную информацию изображения в определенной области, что обеспечивает более разумное использование окружающих пикселей вблизи центральной точки гауссовой функции, а также можно изменять координаты центра гауссовой функции, как показано ниже:

Чтобы облегчить наблюдение за эффектом усечения, угол обзора был изменен.

Гауссова свёртка функции ядра

В статье для свертки используются гауссовская карта и карта пространственных объектов. Исходя из текущих результатов, необходимо изменить параметры обрезки гауссовой функции с расстоянием до границы, поскольку, если исходная гауссовская функция используется для края изображения, она появится на границе. Причина нижнего круга также очень проста: когда гауссова функция представляет собой гауссову свертку с исходным изображением, край изображения вычисляется как 0, так как решить проблему с краем?

Сначала посмотрите на кусок кода:

% Усеченная гауссова функция ядра
ksize = 40; ksigma=fspecial('gaussian',  ksize, 6);
[m, n] =size(ksigma);
for i = 1:m
    for j = 1:n
        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;
    end;
end;
figure, mesh(ksigma);

Усечение функции ядра Гаусса по i, row и bias — это радиус, как показано на рисунке 6.

И сверните следующую цифру 7,

Сначала ядром свертки является исходная неусеченная функция ядра Гаусса, затем результат показан на рисунке 8.

Можно видеть, что результат свертки на краю изображения выглядит непредсказуемым, а значение на краю значительно уменьшается, что является результатом того, что функция ядра Гаусса вычисляет деталь вне изображения как 0 на краю. Функции ядра Гаусса должны быть предназначены для усечения, но предпосылка состоит в том, чтобы освоить закон смещения, который будет подробно проанализирован ниже.

Если вы используете функцию ядра Гаусса из рисунка 6 и рисунка 7 для операции свертки, как показано на рисунке 9:

Можно видеть, что по сравнению с фиг.8 часть, соответствующая функции ядра Гаусса, изменилась, то есть:

        if( i<25 )
           ksigma(i,j) = 0;
        end;

При приближении к краю измените значение i или j, чтобы обеспечить плавную обработку по краю. Но изменение функции ядра Гаусса таким образом, использование Matlab не является хорошим решением этой проблемы, или использование края изображения, которое нужно обработать, чтобы расширить размер смещения, свертывание со стандартной функцией ядра Гаусса, а затем отрезание части, которая превышает исходное изображение. В настоящее время наиболее подходящий и простой способ обработки для операции свертки с использованием функции imfilter в Matlab описан здесь в первую очередь, эта часть не является основной частью статьи, а является лишь умелым методом программирования числовой операции.

Трансфер из:Детальный анализ гауссовой функции

3.3.Температурное
поле непрерывного неподвижного точечного
источ­ни­ка в неограниченной среде.
Функция ошибок Гаусса (функция erf(x)).

Если в точ­ке с
координатами x‘,
y‘,
z‘
в интервале времени от t‘
= 0 до t‘
= t
ра­ботает источник тепла мощностью
W,
то температурное поле этого ис­точ­ни­ка,
как указано выше, мо­жет быть найдено
интегрированием фундаментального
решения по t‘
от 0 до t
(т.е. от момента включения до момента
выключения источника). Поместим начало
координат в точку, где находится источник
теп­ла. Тогда x’
= y’
= z’
= 0, и формула
для температуры принимает вид:

,
(3.3.1)

где r²
= (x — x’)²
+ (y — y’)²
+ (z — z’)²
= x²
+ y²
+ z²
— квадрат расстояния от источника до
точки на­блю­де­ния.

Произведем в
интеграле (3.3.1) замену переменных:
r²/[4a(t
— t’)] = ².
Тогда: (t —
t’)^3/2
= r³/(8a^3/2³),
dt’ = r²d/(2a³),
пределы интегрирования: t’
= 0 
,
t’ = t


= ,
и фор­мула (3.3.1) принимает вид:

.
(3.3.2)

Первый интеграл,
стоящий в скобках, известен из курса
высшей математики:

(интеграл
Пуассона),

а второй интеграл
через элементарные функции не выражается
и определяет специальную фун­к­цию,
которая называется функцией
ошибок Гаусса,
или интегралом
вероятностей,
или фун­к­ци­ей эрфектум:

(3.3.3)

(читается «эрфектум»
или сокращенно: «эрф»). Через эту
функцию выражаются решения мно­гих
задач в теории теплопроводности, да и
в других областях физики она играет
важную роль.

Из определения
(3.3.3) видно, что erf(0)
= 0, а erf()
= 1, т.е. erf(x)
— это мо­но­тон­но возрастающая
функция, вид ко­то­рой изо­бражен
на Рис.3.3. Функция erf(x)
та­бу­ли­­ро­вана, и ее зна­чения
приводят­ся в раз­лич­ных
справочниках; в таблице 3.1 при­ве­де­ны
несколько значений этой функции. В
биб­ли­о­те­ках не­ко­торых
языков программирова­ния имеются
го­то­вые под­про­грам­мы для
вы­чис­ления функции erf(x).
Если готовой под­про­­грам­мы
нет, функцию erf(x)
можно
вы­чис­лить с помощью степенного
ряда. «Стан­дар­т­ное»
раз­ло­жение этой функ­ции в
сте­пен­ной ряд, которое обычно
приводится в математи­чес­ких
спра­воч­никах, име­ет вид:

.
(3.3.4)

Этот
ряд удобен для анализа свойств функции,
но для практических расчетов он неудобен,
т.к. яв­ляется знакопеременным, что
при вычислениях приводит к потере
точности. Более удобен сле­­дующий
ряд:

,
(3.3.5)

где

,

.

С

Рис. 3.3.

помощью этого ряда легко соста­вить
программу вычисления erf(x)
на лю­бом языке про­грам­ми­рования
и да­же на программируемом
микро­каль­ку­ля­торе. Суммирование
надо пре­кра­щать, ко­гда при
добавлении оче­ред­но­го a_n-го
слагаемого сумма перестанет ме­няться
(будет до­стиг­ну­та «ма­шин­ная
точность»).

Если большой
точности не требуется, то можно
использовать приближенную фор­мулу:

erf(x)

[1 — exp(-4x²/)]^1/2.
(3.3.6)

Формула (3.3.6) дает
значения, абсолютная погрешность которых
не более 6.310^-3,
а отно­си­тель­ная погрешность
не более 0.71%.

Иногда требуется
определить erf(x)
в области отрицательных значений x.
Из формулы (3.3.3) очевидно, что erf(-x)
= — erf(x).

Заметим, что хотя
функция erf(x)
не является «элементарной», с точки
зре­ния ее свойств и способов
вы­чис­ления она проще, чем многие
«элементарные» функции, например,
тригонометрические.

С функцией erf(x)
связано еще несколько функций, часто
встречающихся в тепло­фи­зи­чес­ких
задачах. Это прежде всего дополнительный
интеграл ве­ро­ят­ностей:

,
(3.3.7)

который встречается
настолько часто, что для него используется
специальное обозначение: erfc(x)
(сокращенно читается «эрфик»). Вид
этой функции также приведен на рис.3.3.

Довольно часто
функцию erf(x)
приходится дифференцировать и
ин­те­грировать. Из оп­ре­де­ления
(3.3.3) следует, что

,
(3.3.8)

а интеграл от
erfc(x)
(обозначается как ierfc(x))
равен:

.
(3.3.9)

Вернемся к формуле
(3.3.2). Замечая, что ca
= ,
запишем эту формулу в виде:

.
(3.3.10)

При t


значение функции

0,


1, и формула (3.3.10), как и должно быть,
сов­па­да­ет с формулой для
стационарного решения (если T₀
принять за на­ча­ло отсчета
тем­пе­ра­ту­ры), т.к. при t


до­сти­га­ет­ся стационарное
распределение тем­пе­ра­ту­ры
в безграничной среде.

Таблица 3.1.
Некоторые значения функции erf(x).

Соседние файлы в папке КраткийКонспектЛекций

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — не элементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}}intlimits_0^x e^{-t^2},mathrm dt }[/math].

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая [math]displaystyle{ operatorname{erfc},x }[/math] (иногда применяется обозначение [math]displaystyle{ operatorname{Erf},x }[/math]), определяется через функцию ошибок:

[math]displaystyle{ operatorname{erfc},x = 1-operatorname{erf},x = frac{2}{sqrt{pi}} intlimits_x^{infty} e^{-t^2},mathrm dt }[/math].

Комплексная функция ошибок, обозначаемая [math]displaystyle{ w(x) }[/math], также определяется через функцию ошибок:

[math]displaystyle{ w(x) = e^{-x^2}operatorname{erfc},(-ix) }[/math].

Свойства

• Функция ошибок нечётна:

[math]displaystyle{ operatorname{erf},(-x) = -operatorname{erf},x. }[/math]

• Для любого комплексного [math]displaystyle{ x }[/math] выполняется

[math]displaystyle{ operatorname{erf},bar{x} = overline{operatorname{erf},x} }[/math]

где черта обозначает комплексное сопряжение числа [math]displaystyle{ x }[/math].

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =frac{2}{sqrt{pi}} left(x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{10}-frac{x^7}{42}+frac{x^9}{216}- cdotsright) }[/math]

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного [math]displaystyle{ x }[/math], так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x= frac{2}{sqrt{pi}}sum_{n=0}^infinleft(x prod_{i=1}^n{frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}right) = frac{2}{sqrt{pi}} sum_{n=0}^infin frac{x}{2n+1} prod_{i=1}^n frac{-x^2}{i} }[/math]

поскольку [math]displaystyle{ frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} }[/math] — сомножитель, превращающий [math]displaystyle{ i }[/math]-й член ряда в [math]displaystyle{ (i+1) }[/math]-й, считая первым членом [math]displaystyle{ x }[/math].

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка [math]displaystyle{ z=infty }[/math] будет для неё существенно особой.

• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

[math]displaystyle{ frac{d}{dx},operatorname{erf},x=frac{2}{sqrt{pi}},e^{-x^2}. }[/math]

• Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:

[math]displaystyle{ F(x)=xoperatorname{erf}(x) + frac{e^{-x^2}}{sqrt{pi}}. }[/math]

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

[math]displaystyle{ operatorname{erf}^{-1},x=sum_{k=0}^infinfrac{c_k}{2k+1}left (frac{sqrt{pi}}{2}xright )^{2k+1}, }[/math]

где c₀ = 1 и

[math]displaystyle{ c_k=sum_{m=0}^{k-1}frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = left{1,1,frac{7}{6},frac{127}{90},ldotsright}. }[/math]

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[math]displaystyle{ operatorname{erf}^{-1},x=frac{1}{2}sqrt{pi}left (x+frac{pi x^3}{12}+frac{7pi^2 x^5}{480}+frac{127pi^3 x^7}{40320}+frac{4369pi^4 x^9}{5806080}+frac{34807pi^5 x^{11}}{182476800}+dotsright ). }[/math][1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением [math]displaystyle{ sigma }[/math], то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на [math]displaystyle{ a }[/math], равна [math]displaystyle{ operatorname{erf},frac{a}{sigma sqrt{2}} }[/math].

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших [math]displaystyle{ x }[/math] полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

[math]displaystyle{ operatorname{erfc},x = frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}left [1+sum_{n=1}^infty (-1)^n frac{1cdot3cdot5cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}right ]=frac{e^{-x^2}}{xsqrt{pi}}sum_{n=0}^infty (-1)^n frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}. }[/math]

Хотя для любого конечного [math]displaystyle{ x }[/math] этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления [math]displaystyle{ operatorname{erfc},x }[/math] с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

[math]displaystyle{ (operatorname{erf},x)^2approx 1-expleft(-x^2frac{4/pi+ax^2}{1+ax^2}right) }[/math]

где

[math]displaystyle{ a = frac{8}{3pi}frac{pi — 3}{4 — pi}. }[/math]

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым [math]displaystyle{ Phi(x) }[/math]

[math]displaystyle{ Phi(x) = frac{1}{2}biggl(1+operatorname{erf},frac{x}{sqrt{2}}biggl). }[/math]

Обратная функция к [math]displaystyle{ Phi }[/math], известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается [math]displaystyle{ operatorname{probit} }[/math] и выражается через нормальную функцию ошибок как

[math]displaystyle{
operatorname{probit},p = Phi^{-1}(p) = sqrt{2},operatorname{erf}^{-1}(2p-1).
}[/math]

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x=
frac{2x}{sqrt{pi}},_1F_1left(frac{1}{2},frac{3}{2},-x^2right). }[/math]

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x=operatorname{sign},x,Pleft(frac{1}{2}, x^2right)={operatorname{sign},x over sqrt{pi}}gammaleft(frac{1}{2}, x^2right). }[/math]

Обобщённые функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

[math]displaystyle{ E_n(x) = frac{n!}{sqrt{pi}} intlimits_0^x e^{-t^n},mathrm dt
=frac{n!}{sqrt{pi}}sum_{p=0}^infin(-1)^pfrac{x^{np+1}}{(np+1)p!},. }[/math]

Примечательными частными случаями являются:

• [math]displaystyle{ E_0(x) }[/math] — прямая линия, проходящая через начало координат: [math]displaystyle{ E_0(x)=frac{x}{e sqrt{pi}} }[/math]
• [math]displaystyle{ E_2(x) }[/math] — функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erf},x }[/math].

После деления на [math]displaystyle{ n! }[/math] все [math]displaystyle{ E_n }[/math] с нечётными [math]displaystyle{ n }[/math] выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про [math]displaystyle{ E_n }[/math] с чётными [math]displaystyle{ n }[/math]. Все обобщённые функции ошибок с [math]displaystyle{ ngt 0 }[/math] выглядят похоже на полуоси [math]displaystyle{ xgt 0 }[/math].

На полуоси [math]displaystyle{ xgt 0 }[/math] все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

[math]displaystyle{ E_n(x) = frac{Gamma(n)left(Gammaleft(frac{1}{n}right)-Gammaleft(frac{1}{n},x^nright)right)}{sqrtpi},
quad quad
xgt 0 }[/math]

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

[math]displaystyle{ operatorname{erf},x = 1 — frac{Gammaleft(frac{1}{2},x^2right)}{sqrtpi} }[/math]

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы [math]displaystyle{ operatorname{I^n erfc} }[/math] дополнительной функции ошибок определяются как^[1]

[math]displaystyle{ operatorname{I^0 erfc},z = operatorname{erfc},z }[/math],

[math]displaystyle{ operatorname{I^n erfc},z = intlimits_z^infty operatorname{I^{n-1}erfc},zeta,dzeta, }[/math] для [math]displaystyle{ ngt 0 }[/math].

Их можно разложить в ряд:

[math]displaystyle{
operatorname{I^nerfc},z
=
sum_{j=0}^infty frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!,Gamma left( 1 + frac{n-j}{2}right)},,
}[/math]

откуда следуют свойства симметрии

[math]displaystyle{
operatorname{I^{2m}erfc},(-z)
= -operatorname{I^{2m}erfc},z
+ sum_{q=0}^m frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
}[/math]

и

[math]displaystyle{
operatorname{I^{2m+1}erfc},(-z)
=operatorname{I^{2m+1}erfc},z
+ sum_{q=0}^m frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!},.
}[/math]

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erf} }[/math] и дополнительная функция ошибок [math]displaystyle{ operatorname{erfc} }[/math]. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит^[2] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой^[3] Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна^[4] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math^[5].

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН^[6]

См. также

• Функция Гаусса
• Функция Доусона
• Гауссов интеграл

Примечания

Литература

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
• Nikolai G. Lehtinen. Error functions (April 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

• MathWorld — Erf
• Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
• Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf