Функция лапласа и функция ошибок

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т. к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

Которая называется Функцией Лапласа Или Интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях Х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-Х) = — Ф(Х);

3) Ф(¥) = 1.

Функцию Лапласа также называют Функцией ошибок и обозначают erf X.

Еще используется Нормированная Функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как Правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т. е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется Правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание А = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т. к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Получаем:

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – А =2 – Математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Построим график:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Нормальным называется
распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое описывается
плотностью вероятности

Найдем
вероятность попадания случайной
величины, распределенной по нормальному
закону, в заданный интервал.

            Обозначим 

           
Тогда  

Т.к.
интеграл  не
выражается через элементарные функции,
то вводится в рассмотрение функция

которая
называется функцией
Лапласа или интегралом
вероятностей.

           
Значения
этой функции при различных
значениях х посчитаны
и приводятся в специальных таблицах.

           
Ниже
показан график функции Лапласа.

           
Функция
Лапласа обладает следующими свойствами:

1)
Ф(0) = 0;

2)
Ф(-х)
= — Ф(х);

3)
Ф(¥) = 1.

           
Функцию
Лапласа также называют функцией
ошибок и
обозначают erf x.

 Еще
используется нормированная функция
Лапласа, которая связана с функцией
Лапласа соотношением:

Ниже
показан график нормированной функции
Лапласа.

25. Функция распределения двумерной случайной величины.

Определение 8.1. Функцией распределения
F(x,
y) двумерной
случайной величины (X,
Y) называется
вероятность того, чтоX
< x, a
Y < y:

F(х,
у) =p(X
< x, Y
< y ).
(8.1)

y

Рис.1.

Это означает, что точка (X,
Y) попадет в область,
заштрихованную на рис. 1, если вершина
прямого угла располагается в точке (х,
у).

Замечание. Определение функции
распределения справедливо как для
непрерывной, так и для дискретной
двумерной случайной величины.

Свойства функции
распределения.

1. 0 ≤ F(x,
   y) ≤ 1 (так какF(x,
   y) является
   вероятностью).

2. F(x,
   y) есть неубывающая
   функция по каждому аргументу:

F(x₂,y) ≥F(x₁,y), еслиx₂>x₁;

F(x,
y₂) ≥F(x,
y₁), еслиy₂>y₁.

Доказательство. F(x₂,y) =p(X
< x₂,Y
< y) =p(X
< x₁,Y
< y) +p(x₁≤X < x₂,Y < y)
≥

≥ p(X
< x₁,Y
< y) =F(x₁,y). Аналогично
доказывается и второе утверждение.

1. Имеют место предельные соотношения:

а) F(-∞,y)
= 0;b)F(x,
—∞) = 0;c)F(-
∞, -∞) = 0;d)F(
∞, ∞) = 1.

Доказательство. События а), b)
и с) невозможны ( так как невозможно
событиеХ<-∞ илиY
<-∞), а событиеd)
достоверно, откуда следует справедливость
приведенных равенств.

1. При у = ∞ функция распределения
   двумерной случайной величины становится
   функцией распределения составляющейХ:

F(x,
∞) =F₁(x).

При х = ∞ функция распределения
двумерной случайной величины становится
функцией распределения составляющейY:

F(
∞,y) =F₂(y).

Доказательство. Так как событие Y
< ∞ достоверно, тоF(x,
∞) =р(Х < x)
=F₁(x).
Аналогично доказывается второе
утверждение.

26. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и её свойства.

.Плотностью совместного распределения
вероятностей (двумерной плотностью
вероятности) непрерывной двумерной
случайной величины называется смешанная
частная производная 2-го порядка от
функции распределения:

.
(8.2)

Замечание. Двумерная плотность
вероятности представляет собой предел
отношения вероятности попадания
случайной точки в прямоугольник со
сторонами Δхи Δук площади этого
прямоугольника при

Свойства двумерной плотности
вероятности.

1. f(x,
   y) ≥ 0 (см. предыдущее
   замечание: вероятность попадания точки
   в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь
   этого прямоугольника положительна,
   следовательно, предел их отношения
   неотрицателен).

2. (cледует из определения
   двумерной плотности вероятно-сти).

3. (поскольку это вероятность того, что
   точка попадет на плос-кость Оху, то
   есть достоверного события).

Вероятность попадания случайной точки
в произвольную область.

Пусть в плоскости Охузадана
произвольная областьD.
Найдем вероятность того, что точка,
координаты которой представляют собой
систему двух случайных величин (двумерную
случайную величину) с плотностью
распределенияf(x,
y), попадет в областьD. Разобьем эту область
прямыми, параллельными осям координат,
на прямоугольники со сторонами Δхи Δу.Вероятность попадания в каждый
такой прямоугольник равна,
где— координаты точки, принадлежащей
прямоугольнику. Тогда вероятность
попадания точки в областьD
есть предел интегральной суммы,
то есть

(8.3)

Отыскание плотностей
вероятности составляющих

двумерной случайной
величины.

Выше было сказано, как найти функцию
распределения каждой составляющей,
зная двумерную функцию распределения.
Тогда по определению плотности
распределения

(8.4)

Аналогично находится
(8.4′)

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.10.201339.94 Кб57Практикум по теор веру и мат стат.xls

• #
• #

В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства

• Функция ошибок нечётна:

• Для любого комплексного x выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку  — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i + 1)-й, считая первым членом x.

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.

• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c₀ = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)

Обратная функция к Φ, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обощённые функции ошибок с n > 0 выглядят похоже на полуоси x > 0.

На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

и

Реализация

В стандартах языков Си и C++ функция ошибок и дополнительная функция ошибок отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab[4] и

В языке Special проекта scipy [5].

См. также

• Функция Гаусса

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

Внешние ссылки

• MathWorld — Erf
• Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
• Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf