Формула среднюю ошибку серийной выборки при повторном отборе

В практике выборочных исследований
наибольшее распространение получили
следующие виды выборки:

1) по способу организации:

• простая случайная выборка;

• механическая
выборка;

• типическая
(районированная, стратифицированная,
расслоенная) выборка;

• серийная
(гнездовая) выборка;

• ступенчатая
выборка;

• многофазная
выборка.

2) по степени охвата единиц обследуемой
совокупности:

• большие
(при n
≥ 30);

• малые
(при n<30).

Простая случайная выборка

Отбор с предварительным
разделением генеральной совокупности
на части может быть
организован различными способами,
которым соответствуют
свои виды отбора.

В практике выборочных исследований
наибольшее распространение получили
следующие виды выборки:

• механическая;

• типическая;

• серийная;

• комбинированная.

Указанные виды выборки являются
дальнейшим развитием и видоизменением
собственно-случайного отбора. Их
применение вызывается соображениями
удешевления или облегчения процесса
наблюдения, особым характером объектов
наблюдения.

Механический отбор является
одним из наиболее применяемых способов
формирования выборки. При механическом
отборе генеральная
совокупность предварительно упорядочивается
по несущественному
для цели исследования признаку (списки
избирателей, табельные номера работников,
различные другие базы данных). Отбор
осуществляется бесповторным
способом через равные интервалы.
Из каждого интервала в выборку попадает
только одна единица.

При проведении механической
выборки необходимо установить шаг
отсчета (расстояние
между отбираемыми единицами) и начало
отсчета (номер единицы,
которая должна быть обследована первой).
Шаг отсчета
устанавливается,
исходя из предполагаемого процента
отбора. Например,
при 10%-ой выборке отбирается каждая
десятая единица, при
20%-ой – каждая двадцатая.

Особенностью механического
отбора является то, что при его применении
возможно появление
систематических ошибок,
связанное со случайным совпадением
выбранного интервала и циклических
закономерностей в расположении единиц
генеральной совокупности. Чтобы избежать
систематических ошибок, следует отбирать
статистическую единицу, находящуюся в
середине каждого интервала.

Этот способ очень удобен в
тех случаях, когда нельзя заранее
составить список единиц генеральной
совокупности (выборка берется из
постоянно формирующейся во времени
совокупности). В таком случае, например,
при изучении спроса на определенный
товар, удобно наблюдать каждого десятого
или каждого двадцатого входящего в
магазин покупателя; или же при контроле
качества продукции – проверять каждое
пятое или каждое десятое изделие,
сходящее с конвейера.

При определении средней ошибки
механической выборки используются
формулы средней ошибки при
собственно-случайном бесповторном
отборе:

для выборочной средней

(6.9)

для выборочной доли

(6.10)

Расслоенный (стратифицированный,
типический) отбор используется
при изучении сложных совокупностей,
которые можно разбить на
несколько качественно
однородных групп по существенным для
целей исследования
признакам. Внутри
каждой группы проводится собственно-случайный
или механический отбор.
Полученные группы по численности
единиц, как правило,
не равны между собой, поэтому отбор
единиц осуществляется пропорционально
объему группы, т. е.
количество отбираемых
в выборку единиц пропорционально
удельному весу данной
группы по числу единиц
в генеральной совокупности. Таким
образом, число
наблюдений по каждой группе определяется
по формуле:

(6.11)

где—
число наблюдений из i-ой группы генеральной
совокупности;

N— объем генеральной совокупности;

n_i
— объем i-ой группы
генеральной совокупности.

Если пропорции между группами
в выборке совпадают с пропорциями между
группами в генеральной совокупности,
то отбор называется типическим.
Типическая выборка
обеспечивает более
точные результаты по сравнению с другими
способами отбора единиц в выборочную
совокупность, так как позволяет исключить
влияние межгрупповой дисперсии
на
среднюю ошибку выборки.На
величину средней ошибки типической
выборки влияет только
величина средней из
внутригрупповых дисперсий.

Типическую выборку можно
получить повторным или бесповторным
отбором:

Среднюю ошибку типической
выборки при повторном
отборе определяют по
формулам:

— для
средней количественного признака

,

(6.12)

где
—
средняя из внутригрупповых выборочных
дисперсий;

— для доли альтернативного признака

(6.13)

— средняя из внутригрупповых
дисперсий доли альтернативного признака
по выборке.

При бесповторном отборе
среднюю ошибку
типической выборки рассчитывают
по следующим формулам:

-для средней количественного признака

(6.14)

— для доли альтернативного признака

(6.15)

Серийная (гнездовая)
выборка применяется
в тех случаях, когда единицы
статистической совокупности объединены
в небольшие группы или серии.
В качестве таких серий
могут рассматриваться, например, упаковки
с определенным
количеством готовой продукции.
Для отбора серий применяют либо
собственно-случайную, либо механическую
выборку. Наблюдению подвергаются все
единицы отобранной серии.

Серийный отбор имеет большое
практическое значение, так как
обследуется
незначительное число серий, и это
сокращает расходы на
проведение наблюдения;
однако при серийном отборе случайная
ошибка получается
несколько большей, чем при других
способах отбора. При
серийном отборе,
поскольку внутри серий обследуются все
без исключения
статистические единицы, величина
средней ошибки зависит только от
межгрупповой (межсерийной)
дисперсии.

Средняя ошибка серийной выборки при
повторном отборе определяется
следующим образом:

— для
средней количественного признака:

,

(6.16)

где
,

—
среднее i-той серии;

—
средняя по всей выборке;

r– число отобранных серий.

— для доли
альтернативного признака:

,
где—
межгрупповая дисперсия доли серийнойвыборки;

—
доля признака в i-той группе;

—
общая доля признака во всей выборке.

При
бесповторном отборе средняя ошибка
серийной выборки может
быть определена:

— для
средней количественного признака:

,

(6.17)

где R
– общее число серий в генеральной
совокупности.

— для
доли альтернативного признака:

(6.18)

Рассмотренные способы
формирования выборки могут применяться
в «чистом виде», а могут комбинироваться
в различных сочетаниях и последовательности.
Использование нескольких методов
формирования выборки в одном выборочном
исследовании называется комбинированной
выборкой (отбором).

Такая выборка проводится в несколько
этапов, и на каждом из них применяется
свой способ отбора.

Например, при обследовании
семейных доходов выборочное обследование
проводится в такой последовательности:

— устанавливаются
населенные пункты, попадающие под
обследование. Используется расслоенный
отбор. С его помощью отбираются крупные
города, средние города, и другие населенные
пункты;

— в каждом
населенном пункте устанавливаются
места, где проживают семьи — улицы, дома.
Для этого используется механический
отбор (по списку улиц и нумерации домов);

— в каждом
месте проживания семей отбираются
конкретные семьи, для чего применяется
собственно-случайный бесповторный или
механический отбор. Для отбора используют
перечень номеров квартир или списки
семей.

Методы формирования выборки
влияют на точность статистических
оценок через ошибки выборки, а также на
объем выборочной совокупности, на ее
численность.

Численность выборки –
один из факторов, влияющих на величину
ее ошибки: чем она
больше, тем меньше ошибка.
С другой стороны, с объемом выборки
связаны затраты на проведение исследования:
чем она
больше, тем больше
затраты.

Таким образом, выборка
должна быть оптимальной по численности,
чтобы обеспечить достоверность
результатов исследования
и не вызвать
дополнительных затрат труда и денежных
средств.

Численность выборки может быть определена
исходя из допустимой ошибки при выборочном
наблюдении с учетом способа отбора
статистических единиц. Для определения
необходимой численности выборки следует
задаться предельной ошибкой выборки.
В общем случае предельная ошибка выборки
связана с ее численностью следующим
соотношением:

,
откуда

(6.19)

Эта формула показывает, что с увеличением
предполагаемой ошибки значительно
уменьшается необходимый объем выборки
и наоборот.

Для разных характеристик
и разных методов формирования выборок
формулы для определения необходимой
численности выборки приведены в таблице
6.3.

На практике установление необходимого
объема выборки часто составляет серьезную
проблему, связанную с определением
показателя вариации изучаемого признака.
К началу проведения выборочного
наблюдения показатели вариации
неизвестны.

Приблизительно показатель
вариации определяют одним из следующих
способов:

— берут из
предыдущих исследований;

— по правилу
«трех сигм», в соответствии с которым
общий размах вариации R при нормальном
распределении укладывается в 6
среднеквадратических отклонений
,
отсюда;
для бóльшей точностиR
делят на 5;

— если хотя
бы приблизительно известна средняя
величина изучаемого признака
,
то среднеквадратическое отклонение
;

— при изучении
альтернативного признака, если нет
других данных можно брать максимальную
величину дисперсии, равную 0,25, то есть

×
(1−)
=
0,25.

— проводят
«пробную» выборку, по которой рассчитывают
показатель вариации, используемый в
качестве оценки генеральной совокупности.

Таблица 6.3 – Формулы определения
численности выборки при разных методах
отбора

Рассмотрим следующий пример:

Исходя из технических
условий необходимо установить оптимальный
объем выборки для партии стальных
листов, равной N=2000 шт., чтобы с вероятностью
Р=0,954 предельная ошибка не превышала
10% толщины листа. По техническим условиям
толщина листа составляет 5 мм. При этом
среднеквадратическое отклонение толщины
листа
=
±1мм.
Формирование выборки проведено методом
бесповторного отбора.

Относительную предельную
ошибку толщины листа переведем в
абсолютную ошибку:

Рассчитаем оптимальный
объем выборки для средней при бесповторном
отборе на основе следующих данных:
N=2000
шт.,=
±1мм.,
=
0,5мм
., t
= 2 при Р=0,954.

Таким образом, выборка численностью
148 листов обеспечивает заданную точность
при бесповторном отборе.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистике рассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности;
n — объем выборки.

Вследствие, того что дисперсия признака в генеральной совокупности точно не известна, на практике используют значение дисперсии, которое рассчитано для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно данному закону выборочная совокупность при большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Поэтому расчетные формулы средней ошибки при случайном повторном отборе будут выглядеть таким образом:

1. Для среднего количественного признака:

где S^2 — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w (1 — w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности.

В теории вероятностей было показано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную согласно формуле:

В случаях малой выборки, когда её объем меньше 30, необходимо учитывать коэффициент n/(n-1). Тогда среднюю ошибку малой выборки рассчитывают по формуле:

Так как в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности, то в представленных выше формулах расчета средних ошибок выборки нужно подкоренное выражение умножить на 1- (n/N).

Расчетные формулы для такого вида выборки будут выглядеть так:

1. Для средней количественного признака:

где N — объем генеральной совокупности; n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где 1- (n/N) — доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку n всегда меньше N, то дополнительный множитель 1 — (n/N) всегда будет меньше единицы. Это означает, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. Когда доля единиц генеральной совокупности, которые не попали в выборку, существенная, то величина 1 — (n/N) близка к единице и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле.

Средняя ошибка зависит от следующих факторов:

1. При выполнении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется во-первых объемом выборки: чем больше численность, тем меньше величины средней ошибки выборки. Генеральная совокупность характеризуется точнее тогда, когда больше единиц данной совокупности охватывает выборочное наблюдение

2. Средняя ошибка также зависит от степени варьирования признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией. Чем меньше вариация признака (дисперсия), тем меньше средняя ошибка выборки. При нулевой дисперсии (признак не варьируется) средняя ошибка выборки равна нулю, таким образом, любая единица генеральной совокупности будет характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ()

где — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки () при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., Ni	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., ni	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, xi	Внутригрупповая выборочная дисперсия,
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

1.1. Ошибки
выборочного наблюдения

Средняя
ошибка выборки показывает, как генеральная средняя отклоняется в среднем от выборочной средней в ту или другую сторону. Формула
расчета средней ошибки выборки определяется видом исследуемого признака единиц
совокупности (количественный или альтернативный) и
способом отбора (бесповторный или повторный).

·        
Если отбор повторный, а признак количественный
средняя ошибка выборки определяется по формуле

 , где  , где — дисперсия признака в выборочной совокупности

n- число единиц
в выборке

·        
Если отбор бесповторный, а признак
количественный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где w-выборочная
доля

·        
Если отбор бесповторный, а признак
альтернативный

Предельная ошибка выборки— показывающая с определенной степенью вероятности
отклонения средней от выборочной средней.

Предельная ошибка выборки

Предельная ошибка выборки— показывающая с определенной степенью вероятности
отклонения средней от выборочной средней.

Предельная ошибка выборки

 , где параметр t зависит
от вероятности

Некоторые значения параметра t приведены
в таблице:

·        
Если отбор повторный, а признак количественный
средняя ошибка выборки определяется по формуле

 , где  , где — дисперсия признака в выборочной совокупности

n- число единиц
в выборке

·        
Если отбор бесповторный, а признак
количественный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где w-выборочная
доля

·        
Если отбор бесповторный, а признак
альтернативный

Доверительный интервал для генеральной средней

Доверительный интервал для генеральной средней

 Доверительный интервал для
генеральной доли

Пример расчета  доверительного
интервала:

При выборочном обследовании 5% продукции по методу случайного
бесповторного отбора получены данные о содержании сахара в образцах:

На основании этих данных вычислите:

1. Средний процент сахаристости.

2. Дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.

3. С вероятностью 0.954 возможные пределы среднего значения
саха­ристости продукции для всей партии.

4. С вероятностью 0.997 возможный процент продукции высшего
сорта по всей партии, если известно, что из 400 проб, попавших в вы­борку , 80
ед. отнесены к продукции высшего сорта.

Решение.

1.
Средний процент сахаристости найдем по формуле средней взвешенной

Пример расчета  доверительного
интервала:

При выборочном обследовании 5% продукции по методу случайного
бесповторного отбора получены данные о содержании сахара в образцах:

На основании этих данных вычислите:

1. Средний процент сахаристости.

2. Дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.

3. С вероятностью 0.954 возможные пределы среднего значения
саха­ристости продукции для всей партии.

4. С вероятностью 0.997 возможный процент продукции высшего
сорта по всей партии, если известно, что из 400 проб, попавших в вы­борку , 80
ед. отнесены к продукции высшего сорта.

Решение.

1.
Средний процент сахаристости найдем по формуле средней взвешенной

, где x_i–
середина i-го интервала

=18,32 %

2.
Дисперсия

=18,32 %

2.
Дисперсия

=336,49

D(X)=336.49–
18.32²=0.8676

Среднее квадратическое отклонение

=0,93%

5. Предельная ошибка  для
среднего процента сахаристости

=0,93%

5. Предельная ошибка  для
среднего процента сахаристости

для вероятности 0,954 параметр t=2.0

Доверительный интервал для среднего значения процента
сахаристости

Доверительный интервал для среднего значения процента
сахаристости

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной
совокупности средний процент сахаристости лежит в пределах от 18,23% до 18,41%.

5. Доля продукции высшего сорта в выборочной совокупности

Предельная ошибка  для
доли продукции высшего сорта

Предельная ошибка  для
доли продукции высшего сорта

для вероятности 0,997 параметр t=3.0

Доверительный интервал для доли продукции высшего сорта

Доверительный интервал для доли продукции высшего сорта

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной
совокупности доля продукции высшего сорта лежит в пределах от 14,0% до 26,0%.