Что такое ошибка остатки модели - ErrorsMaster.ru - большая энциклопедия ошибок и их решений

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics and optimization, errors and residuals are two closely related and easily confused measures of the deviation of an observed value of an element of a statistical sample from its «true value» (not necessarily observable). The error of an observation is the deviation of the observed value from the true value of a quantity of interest (for example, a population mean). The residual is the difference between the observed value and the estimated value of the quantity of interest (for example, a sample mean). The distinction is most important in regression analysis, where the concepts are sometimes called the regression errors and regression residuals and where they lead to the concept of studentized residuals.
In econometrics, «errors» are also called disturbances.^[1]^[2]^[3]

Introduction[edit]

Suppose there is a series of observations from a univariate distribution and we want to estimate the mean of that distribution (the so-called location model). In this case, the errors are the deviations of the observations from the population mean, while the residuals are the deviations of the observations from the sample mean.

A statistical error (or disturbance) is the amount by which an observation differs from its expected value, the latter being based on the whole population from which the statistical unit was chosen randomly. For example, if the mean height in a population of 21-year-old men is 1.75 meters, and one randomly chosen man is 1.80 meters tall, then the «error» is 0.05 meters; if the randomly chosen man is 1.70 meters tall, then the «error» is −0.05 meters. The expected value, being the mean of the entire population, is typically unobservable, and hence the statistical error cannot be observed either.

A residual (or fitting deviation), on the other hand, is an observable estimate of the unobservable statistical error. Consider the previous example with men’s heights and suppose we have a random sample of n people. The sample mean could serve as a good estimator of the population mean. Then we have:

The difference between the height of each man in the sample and the unobservable population mean is a statistical error, whereas
The difference between the height of each man in the sample and the observable sample mean is a residual.

Note that, because of the definition of the sample mean, the sum of the residuals within a random sample is necessarily zero, and thus the residuals are necessarily not independent. The statistical errors, on the other hand, are independent, and their sum within the random sample is almost surely not zero.

One can standardize statistical errors (especially of a normal distribution) in a z-score (or «standard score»), and standardize residuals in a t-statistic, or more generally studentized residuals.

In univariate distributions[edit]

If we assume a normally distributed population with mean μ and standard deviation σ, and choose individuals independently, then we have

${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}sim Nleft(mu ,sigma ^{2}right),}$

and the sample mean

$overline{X}={X_1 + cdots + X_n over n}$

is a random variable distributed such that:

${displaystyle {overline {X}}sim Nleft(mu ,{frac {sigma ^{2}}{n}}right).}$

The statistical errors are then

${displaystyle e_{i}=X_{i}-mu ,,}$

with expected values of zero,^[4] whereas the residuals are

${displaystyle r_{i}=X_{i}-{overline {X}}.}$

The sum of squares of the statistical errors, divided by σ², has a chi-squared distribution with n degrees of freedom:

${displaystyle {frac {1}{sigma ^{2}}}sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}sim chi _{n}^{2}.}$

However, this quantity is not observable as the population mean is unknown. The sum of squares of the residuals, on the other hand, is observable. The quotient of that sum by σ² has a chi-squared distribution with only n − 1 degrees of freedom:

${frac 1{sigma ^{2}}}sum _{{i=1}}^{n}r_{i}^{2}sim chi _{{n-1}}^{2}.$

This difference between n and n − 1 degrees of freedom results in Bessel’s correction for the estimation of sample variance of a population with unknown mean and unknown variance. No correction is necessary if the population mean is known.

[edit]

It is remarkable that the sum of squares of the residuals and the sample mean can be shown to be independent of each other, using, e.g. Basu’s theorem. That fact, and the normal and chi-squared distributions given above form the basis of calculations involving the t-statistic:

${displaystyle T={frac {{overline {X}}_{n}-mu _{0}}{S_{n}/{sqrt {n}}}},}$

where ${displaystyle {overline {X}}_{n}-mu _{0}}$ represents the errors, $S_{n}$ represents the sample standard deviation for a sample of size n, and unknown σ, and the denominator term accounts for the standard deviation of the errors according to:^[5]

${displaystyle operatorname {Var} left({overline {X}}_{n}right)={frac {sigma ^{2}}{n}}}$

The probability distributions of the numerator and the denominator separately depend on the value of the unobservable population standard deviation σ, but σ appears in both the numerator and the denominator and cancels. That is fortunate because it means that even though we do not know σ, we know the probability distribution of this quotient: it has a Student’s t-distribution with n − 1 degrees of freedom. We can therefore use this quotient to find a confidence interval for μ. This t-statistic can be interpreted as «the number of standard errors away from the regression line.»^[6]

Regressions[edit]

In regression analysis, the distinction between errors and residuals is subtle and important, and leads to the concept of studentized residuals. Given an unobservable function that relates the independent variable to the dependent variable – say, a line – the deviations of the dependent variable observations from this function are the unobservable errors. If one runs a regression on some data, then the deviations of the dependent variable observations from the fitted function are the residuals. If the linear model is applicable, a scatterplot of residuals plotted against the independent variable should be random about zero with no trend to the residuals.^[5] If the data exhibit a trend, the regression model is likely incorrect; for example, the true function may be a quadratic or higher order polynomial. If they are random, or have no trend, but «fan out» — they exhibit a phenomenon called heteroscedasticity. If all of the residuals are equal, or do not fan out, they exhibit homoscedasticity.

However, a terminological difference arises in the expression mean squared error (MSE). The mean squared error of a regression is a number computed from the sum of squares of the computed residuals, and not of the unobservable errors. If that sum of squares is divided by n, the number of observations, the result is the mean of the squared residuals. Since this is a biased estimate of the variance of the unobserved errors, the bias is removed by dividing the sum of the squared residuals by df = n − p − 1, instead of n, where df is the number of degrees of freedom (n minus the number of parameters (excluding the intercept) p being estimated — 1). This forms an unbiased estimate of the variance of the unobserved errors, and is called the mean squared error.^[7]

Another method to calculate the mean square of error when analyzing the variance of linear regression using a technique like that used in ANOVA (they are the same because ANOVA is a type of regression), the sum of squares of the residuals (aka sum of squares of the error) is divided by the degrees of freedom (where the degrees of freedom equal n − p − 1, where p is the number of parameters estimated in the model (one for each variable in the regression equation, not including the intercept)). One can then also calculate the mean square of the model by dividing the sum of squares of the model minus the degrees of freedom, which is just the number of parameters. Then the F value can be calculated by dividing the mean square of the model by the mean square of the error, and we can then determine significance (which is why you want the mean squares to begin with.).^[8]

However, because of the behavior of the process of regression, the distributions of residuals at different data points (of the input variable) may vary even if the errors themselves are identically distributed. Concretely, in a linear regression where the errors are identically distributed, the variability of residuals of inputs in the middle of the domain will be higher than the variability of residuals at the ends of the domain:^[9] linear regressions fit endpoints better than the middle. This is also reflected in the influence functions of various data points on the regression coefficients: endpoints have more influence.

Thus to compare residuals at different inputs, one needs to adjust the residuals by the expected variability of residuals, which is called studentizing. This is particularly important in the case of detecting outliers, where the case in question is somehow different from the others in a dataset. For example, a large residual may be expected in the middle of the domain, but considered an outlier at the end of the domain.

Other uses of the word «error» in statistics[edit]

The use of the term «error» as discussed in the sections above is in the sense of a deviation of a value from a hypothetical unobserved value. At least two other uses also occur in statistics, both referring to observable prediction errors:

The mean squared error (MSE) refers to the amount by which the values predicted by an estimator differ from the quantities being estimated (typically outside the sample from which the model was estimated).
The root mean square error (RMSE) is the square-root of MSE.
The sum of squares of errors (SSE) is the MSE multiplied by the sample size.

Sum of squares of residuals (SSR) is the sum of the squares of the deviations of the actual values from the predicted values, within the sample used for estimation. This is the basis for the least squares estimate, where the regression coefficients are chosen such that the SSR is minimal (i.e. its derivative is zero).

Likewise, the sum of absolute errors (SAE) is the sum of the absolute values of the residuals, which is minimized in the least absolute deviations approach to regression.

The mean error (ME) is the bias.
The mean residual (MR) is always zero for least-squares estimators.

References[edit]

^ Kennedy, P. (2008). A Guide to Econometrics. Wiley. p. 576. ISBN 978-1-4051-8257-7. Retrieved 2022-05-13.
^ Wooldridge, J.M. (2019). Introductory Econometrics: A Modern Approach. Cengage Learning. p. 57. ISBN 978-1-337-67133-0. Retrieved 2022-05-13.
^ Das, P. (2019). Econometrics in Theory and Practice: Analysis of Cross Section, Time Series and Panel Data with Stata 15.1. Springer Singapore. p. 7. ISBN 978-981-329-019-8. Retrieved 2022-05-13.
^ Wetherill, G. Barrie. (1981). Intermediate statistical methods. London: Chapman and Hall. ISBN 0-412-16440-X. OCLC 7779780.
^ ^a ^b Frederik Michel Dekking; Cornelis Kraaikamp; Hendrik Paul Lopuhaä; Ludolf Erwin Meester (2005-06-15). A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. London: Springer London. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.
^ Peter Bruce; Andrew Bruce (2017-05-10). Practical statistics for data scientists : 50 essential concepts (First ed.). Sebastopol, CA: O’Reilly Media Inc. ISBN 978-1-4919-5296-2. OCLC 987251007.
^ Steel, Robert G. D.; Torrie, James H. (1960). Principles and Procedures of Statistics, with Special Reference to Biological Sciences. McGraw-Hill. p. 288.
^ Zelterman, Daniel (2010). Applied linear models with SAS ([Online-Ausg.]. ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521761598.
^ «7.3: Types of Outliers in Linear Regression». Statistics LibreTexts. 2013-11-21. Retrieved 2019-11-22.

Cook, R. Dennis; Weisberg, Sanford (1982). Residuals and Influence in Regression (Repr. ed.). New York: Chapman and Hall. ISBN 041224280X. Retrieved 23 February 2013.
Cox, David R.; Snell, E. Joyce (1968). «A general definition of residuals». Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 30 (2): 248–275. JSTOR 2984505.
Weisberg, Sanford (1985). Applied Linear Regression (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 9780471879572. Retrieved 23 February 2013.
«Errors, theory of», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

External links[edit]

Media related to Errors and residuals at Wikimedia Commons

Источник

Различие между остатками регрессии и ошибками

1)
,
здесь

— ошибки.

2)
,
e
– остатки.

В
силу случайности

и
,
e
является случайным вектором. Обычно
говорят, что e
является оценкой
.
При этом, ошибки являются ненаблюдаемой
величиной, а остатки – наблюдаемой.

Мультиколлинеарность

Рассмотрим
модель регрессии:

X
– матрица данных, Y
– столбец,

— вектор случайных значений. Тогда оценка
коэффициентов регрессии:

точность
оценки рассчитывается по формуле:

При
описании модели различают два вида
мультиколлинеарности:

чистая
или полная мультиколлинеарность: ранг
матрицы X
не полный по столбцам, т.е. меньше k,
или
.
В этом случае по свойству определителей
имеем чистую линейную зависимость
между строками или столбцами.
Частичная
или практическая мультиколлинеарность,
т.е. матрица слабо обусловлена, т.е.
,
таким образом, определитель соизмерим
с ошибкой измерения.

Возможны
домодельные и постмодельные признаки
мультиколлинераности:

домодельные	(i) или после подсчета собственных чисел матрицы и вычисления числа обусловленности æ=.
	(ii) корреляционная матрица со значениями от 0,7 до 1
	(iii) подсчет коэффициентов детерминации по всем за исключением одной переменной, и при этом близость хотя бы одного коэффициента к 1
	(i4) неустойчивость коэффициентов регрессии к варьированию исходных данных.
постмодельные	(i5) нельзя интерпретировать, коэффициенты, противоречат здравому смыслу

Например,
если модель имеет вид:
,
и
,
между переменными почти линейная связь.
Тогда модель можно записать в одном из
видов:

Итак,
эти три модели одинаковы («неустойчивость»).

По
этой модели возможно прогнозирование,
но точность оценки «расползается». А в
структурном плане, т.е. экономической
интерпретации доверять нельзя.

Одно
из направлений борьбы с мультиколлинеарностью
— переход к смещенному оцениванию
(регуляризация).

Примером
могут служить ridge-оценки
(гребневые оценки). Т.е. оценку параметра
регрессии заменяем оценкой вида:

Идея
отказа от несмещенности состоит в
следующем:

Если
между факторами существует высокая
корреляция, то нельзя определить их
изолированное влияние на результативный
показатель и параметры уравнения
регрессии оказываются не интерпретируемыми.

Пример.
Рассмотрим регрессию себестоимости
единицы продукции (руб., y)
от заработной платы работника (руб., x)
и производительности его труда (единиц
в час, z):

Коэффициент
регрессии при переменной z
показывает, что с ростом производительности
труда на 1 ед. себестоимость единицы
продукции снижается в среднем на 10 руб.
при постоянном уровне оплаты труда.
Вместе с тем параметр при x
нельзя интерпретировать как снижение
себестоимости единицы продукции за
счет роста заработной платы. Отрицательное
значение коэффициента регрессии при
переменной x
в данном случае обусловлено высокой
корреляцией между x
и z
().
Поэтому роста заработной платы при
неизменности производительности труда
не может быть (если не учитывать инфляцию).

Насыщение
модели лишними факторами не только не
снижает величину остаточной дисперсии
и не увеличивает величину остаточной
дисперсии и не увеличивает показатель
детерминации, но и приводит к статистической
незначимости параметров регрессии по
t-критерию
Стьюдента.

Таким
образом, хотя теоретически регрессионная
модель позволяет учесть любое число
факторов, практически в этом нет
необходимости. Отбор факторов обычно
осуществляется в две стадии: на первой
подбираются факторы исходя из сущности
проблемы; на второй – на основе матрицы
показателей корреляции определяют
t—статистики
для параметров регрессии.

Коэффициенты
интеркорреляции (т.е. корреляции между
объясняющими переменными) позволяют
исключать из модели дублирующие факторы.
Считается, что две переменные явно
коллинеарны, т.е. находятся между собой
в линейной зависимости, если
.

По
величине парных коэффициентов корреляции
обнаруживается лишь явная коллинеарность
факторов. Наибольшие трудности в
использовании аппарата множественной
регрессии возникают при наличии
мультиколлинеарности факторов, когда
более чем два фактора связаны между
собой линейной зависимостью, т.е. имеет
место совокупное воздействие факторов
друг на друга. В этом случае вариация в
исходных данных перестает быть полностью
независимой, и нельзя оценить воздействие
каждого фактора в отдельности. Чем
сильнее мультиколлинеарность факторов,
тем менее надежна оценка распределения
суммы объясненной вариации по отдельным
факторам с помощью метода наименьших
квадратов.

Включение
в модель мультиколлинеарных факторов
нежелательно в силу следующих причин:

затрудняется
интерпретация параметров множественной
регрессии как характеристик действия
факторов в чистом виде, ибо факторы
коррелированны; параметры линейной
регрессии теряют экономический смысл;
оценки
параметров ненадежны, обнаруживают
большие стандартные ошибки и меняются
с изменением объема наблюдений (не
только по величине, но и по знаку), что
делает модель непригодной для анализа
и прогнозирования.

Мультиколлинеарность
может возникать в силу различных причин.
Например, несколько независимых
переменных могут иметь общий временной
тренд, относительно которого они
совершают малые колебания.

Выделим
некоторые наиболее характерные признаки
мультиколлинеарности:

Небольшое
изменение исходных данных (например,
добавление новых наблюдений) приводит
к существенному изменению оценок
коэффициентов модели.
Оценки
имеют большие стандартные ошибки, малую
значимость, в то время как модель в
целом является значимой (высокой
значение коэффициента детерминации и
соответствующей статистики Фишера).
Оценки
коэффициентов имеют неправильные с
точки зрения теории знаки или неоправданно
большие значения.

При
столкновении с проблемой мультиколлинеарности
возникает желание отбросить «лишние»
независимые переменные, которые,
возможно, служат ее причиной. Однако,
во-первых, далеко не всегда ясно, какие
переменные являются лишними в указанном
смысле. Во-вторых, во многих ситуациях
удаление какой-либо независимой
переменной может значительно отразится
на содержательном смысле модели.
В-третьих, отбрасывание существенных
переменных, которые реально влияют на
изучаемую зависимую переменную, приводит
к смещенности оценок.

По
такой модели удобно прогнозировать, но
точность прогнозов невысокая.

Итак,
рассмотрим классическую модель в тех
же предположения, что и для парной
регрессии.

Если
,
то

— константа.

Все
условия, налагаемее на

— те же, что и для парной регрессии. Для
вычисления оценок удобно перейти к
матрицам. Будем считать, что в задаче
имеется k
регрессоров.

Направления
борьбы с мультиколлинеарностью:

(а)
переход к смещенному оцениванию
(регуляризация). Например, ridge
– оценки (гребневые оценки). Происходит
замена исходной оценки на следующую:

Идея,
на которой основан

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как интерпретировать остаточную стандартную ошибку

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Остаточная стандартная ошибка используется для измерения того, насколько хорошо модель регрессии соответствует набору данных.

Проще говоря, он измеряет стандартное отклонение остатков в регрессионной модели.

Он рассчитывается как:

Остаточная стандартная ошибка = √ Σ(y – ŷ) 2 /df

куда:

y: наблюдаемое значение
ŷ: Прогнозируемое значение
df: Степени свободы, рассчитанные как общее количество наблюдений – общее количество параметров модели.

Чем меньше остаточная стандартная ошибка, тем лучше регрессионная модель соответствует набору данных. И наоборот, чем выше остаточная стандартная ошибка, тем хуже регрессионная модель соответствует набору данных.

Модель регрессии с небольшой остаточной стандартной ошибкой будет иметь точки данных, которые плотно упакованы вокруг подобранной линии регрессии:

Остатки этой модели (разница между наблюдаемыми значениями и прогнозируемыми значениями) будут малы, что означает, что остаточная стандартная ошибка также будет небольшой.

И наоборот, регрессионная модель с большой остаточной стандартной ошибкой будет иметь точки данных, которые более свободно разбросаны по подобранной линии регрессии:

Остатки этой модели будут больше, что означает, что стандартная ошибка невязки также будет больше.

В следующем примере показано, как рассчитать и интерпретировать остаточную стандартную ошибку регрессионной модели в R.

Пример: интерпретация остаточной стандартной ошибки

Предположим, мы хотели бы подогнать следующую модель множественной линейной регрессии:

миль на галлон = β 0 + β 1 (смещение) + β 2 (лошадиные силы)

Эта модель использует переменные-предикторы «объем двигателя» и «лошадиная сила» для прогнозирования количества миль на галлон, которое получает данный автомобиль.

В следующем коде показано, как подогнать эту модель регрессии в R:

#load built-in *mtcars* dataset
data(mtcars)

#fit regression model
model <- lm(mpg~disp+hp, data=mtcars)

#view model summary
summary(model)

Call:
lm(formula = mpg ~ disp + hp, data = mtcars)

Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max 
-4.7945 -2.3036 -0.8246 1.8582 6.9363 

Coefficients:
 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
(Intercept) 30.735904 1.331566 23.083 < 2e-16 ***
disp -0.030346 0.007405 -4.098 0.000306 ***
hp -0.024840 0.013385 -1.856 0.073679.
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 3.127 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7482, Adjusted R-squared: 0.7309 
F-statistic: 43.09 on 2 and 29 DF, p-value: 2.062e-09

В нижней части вывода мы видим, что остаточная стандартная ошибка этой модели составляет 3,127 .

Это говорит нам о том, что регрессионная модель предсказывает расход автомобилей на галлон со средней ошибкой около 3,127.

Использование остаточной стандартной ошибки для сравнения моделей

Остаточная стандартная ошибка особенно полезна для сравнения соответствия различных моделей регрессии.

Например, предположим, что мы подогнали две разные регрессионные модели для прогнозирования расхода автомобилей на галлон. Остаточная стандартная ошибка каждой модели выглядит следующим образом:

Остаточная стандартная ошибка модели 1: 3,127
Остаточная стандартная ошибка модели 2: 5,657

Поскольку модель 1 имеет меньшую остаточную стандартную ошибку, она лучше соответствует данным, чем модель 2. Таким образом, мы предпочли бы использовать модель 1 для прогнозирования расхода автомобилей на галлон, потому что прогнозы, которые она делает, ближе к наблюдаемым значениям расхода автомобилей на галлон.

Дополнительные ресурсы

Как выполнить простую линейную регрессию в R
Как выполнить множественную линейную регрессию в R
Как создать остаточный график в R

Источник

В статистике и оптимизации ошибки и остатки тесно связаны и легко запутанные меры отклонения наблюдаемого значения элемента статистической выборки от его «теоретического значения». ошибка (или возмущение ) наблюдаемого значения — это отклонение наблюдаемого значения от (ненаблюдаемого) истинного значения интересующей величины (например, среднего генерального значения), и остаток наблюдаемого значения представляет собой разность между наблюдаемым значением и оценочным значением представляющей интерес величины (например, выборочное среднее). Это различие наиболее важно в регрессионном анализе, где концепции иногда называют ошибками регрессии и остатками регрессии, и где они приводят к концепции студентизированных остатков.

Содержание

1 Введение
2 В одномерных распределениях
- 2.1 Замечание
3 Регрессии
4 Другие варианты использования слова «ошибка» в статистике
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Введение

Предположим, есть серия наблюдений из одномерного распределения, и мы хотим оценить среднее этого распределения. (так называемая локационная модель ). В этом случае ошибки — это отклонения наблюдений от среднего по совокупности, а остатки — это отклонения наблюдений от среднего по выборке.

A статистическая ошибка (или нарушение ) — это величина, на которую наблюдение отличается от его ожидаемого значения, последнее основано на всей генеральной совокупности из которого статистическая единица была выбрана случайным образом. Например, если средний рост среди 21-летних мужчин составляет 1,75 метра, а рост одного случайно выбранного мужчины — 1,80 метра, то «ошибка» составляет 0,05 метра; если рост случайно выбранного мужчины составляет 1,70 метра, то «ошибка» составляет -0,05 метра. Ожидаемое значение, являющееся средним для всей генеральной совокупности, обычно ненаблюдаемо, и, следовательно, статистическая ошибка также не может быть обнаружена.

A невязка (или аппроксимирующее отклонение), с другой стороны, представляет собой наблюдаемую оценку ненаблюдаемой статистической ошибки. Рассмотрим предыдущий пример с ростом мужчин и предположим, что у нас есть случайная выборка из n человек. среднее значение выборки может служить хорошей оценкой среднего значения генеральной совокупности. Тогда у нас есть:

Разница между ростом каждого человека в выборке и ненаблюдаемым средним по совокупности является статистической ошибкой, тогда как
разница между ростом каждого человека в выборке и наблюдаемой выборкой среднее — это остаток.

Обратите внимание, что из-за определения выборочного среднего, сумма остатков в случайной выборке обязательно равна нулю, и, таким образом, остатки не обязательно независимы. Статистические ошибки, с другой стороны, независимы, и их сумма в случайной выборке почти наверняка не равна нулю.

Можно стандартизировать статистические ошибки (особенно нормального распределения ) в z-балле (или «стандартном балле») и стандартизировать остатки в t-статистика или, в более общем смысле, стьюдентизированные остатки.

в одномерном распределении

Если мы предположим нормально распределенную совокупность со средним μ и стандартным отклонением σ и независимо выбираем людей, тогда мы имеем

X 1,…, X n ∼ N (μ, σ 2) { displaystyle X_ {1}, dots, X_ {n} sim N ( mu, sigma ^ {2}) ,}

и выборочное среднее

X ¯ = X 1 + ⋯ + X nn { displaystyle { overline {X}} = {X_ { 1} + cdots + X_ {n} over n}} $overline {X} = {X_1 + cdots + X_n over n}$

— случайная величина, распределенная так, что:

X ¯ ∼ N (μ, σ 2 n). { displaystyle { overline {X}} sim N left ( mu, { frac { sigma ^ {2}} {n}} right).} ${ displaystyle { overline {X}} sim N left ( mu, { frac { sigma ^ {2}} {n}} right).}$

Тогда статистические ошибки

ei = X i — μ, { displaystyle e_ {i} = X_ {i} — mu, ,} $e_ {i} = X_ {i} - mu, ,$

с ожидаемыми значениями нуля, тогда как остатки равны

ri = X i — X ¯. { displaystyle r_ {i} = X_ {i} — { overline {X}}.} $r_ {i} = X_ {i} - overline {X}.$

Сумма квадратов статистических ошибок, деленная на σ, имеет хи -квадратное распределение с n степенями свободы :

1 σ 2 ∑ i = 1 nei 2 ∼ χ n 2. { displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} ^ {2} sim chi _ {n} ^ {2}.} ${ frac 1 { sigma ^ {2}}} sum _ {{i = 1}} ^ {n} e_ {i} ^ {2} sim chi _ {n} ^ {2}.$

Однако это количество не наблюдается, так как среднее значение для генеральной совокупности неизвестно. Сумма квадратов остатков, с другой стороны, является наблюдаемой. Частное этой суммы по σ имеет распределение хи-квадрат только с n — 1 степенями свободы:

1 σ 2 ∑ i = 1 n r i 2 ∼ χ n — 1 2. { displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} ^ {2} sim chi _ {n-1} ^ { 2}.} ${ frac 1 { sigma ^ {2}}} sum _ {{i = 1}} ^ {n} r_ {i} ^ {2} sim chi _ {{n-1}} ^ {2}.$

Эта разница между n и n — 1 степенями свободы приводит к поправке Бесселя для оценки выборочной дисперсии генеральной совокупности с неизвестным средним и неизвестной дисперсией. Коррекция не требуется, если известно среднее значение для генеральной совокупности.

Замечание

Примечательно, что сумма квадратов остатков и выборочного среднего могут быть показаны как независимые друг от друга, используя, например, Теорема Басу. Этот факт, а также приведенные выше нормальное распределение и распределение хи-квадрат составляют основу вычислений с использованием t-статистики :

T = X ¯ n — μ 0 S n / n, { displaystyle T = { frac {{ overline {X}} _ {n} — mu _ {0}} {S_ {n} / { sqrt {n}}}},} ${ displaystyle T = { frac {{ overline {X}} _ {n} - mu _ {0}} {S_ {n} / { sqrt {n}}}},}$

где X ¯ n — μ 0 { displaystyle { overline {X}} _ {n} — mu _ {0}} ${ displaystyle { overline {X}} _ {n} - mu _ {0}}$ представляет ошибки, S n { displaystyle S_ {n}} $S_ {n}$ представляет стандартное отклонение для выборки размера n и неизвестного σ, а член знаменателя S n / n { displaystyle S_ {n} / { sqrt {n}}}учитывает стандартное отклонение ошибок в соответствии с:

Var ⁡ (X ¯ n) = σ 2 n { displaystyle operatorname {Var} ({ overline {X}} _ {n}) = { frac { sigma ^ {2}} {n}}} ${ displaystyle operatorname {Var} ({ overline {X}} _ {n}) = { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$

Распределения вероятностей числителя и знаменателя по отдельности зависят от значения ненаблюдаемого стандартного отклонения генеральной совокупности σ, но σ появляется как в числителе, так и в знаменателе и отменяет. Это удачно, потому что это означает, что, хотя мы не знаем σ, мы знаем распределение вероятностей этого частного: оно имеет t-распределение Стьюдента с n — 1 степенями свободы. Таким образом, мы можем использовать это частное, чтобы найти доверительный интервал для μ. Эту t-статистику можно интерпретировать как «количество стандартных ошибок от линии регрессии».

Регрессии

В регрессионном анализе различие между ошибками и остатками является тонким и важным, и приводит к концепции стьюдентизированных остатков. Для ненаблюдаемой функции, которая связывает независимую переменную с зависимой переменной — скажем, линии — отклонения наблюдений зависимой переменной от этой функции являются ненаблюдаемыми ошибками. Если запустить регрессию на некоторых данных, то отклонения наблюдений зависимой переменной от подобранной функции являются остатками. Если линейная модель применима, диаграмма рассеяния остатков, построенная против независимой переменной, должна быть случайной около нуля без тенденции к остаткам. Если данные демонстрируют тенденцию, регрессионная модель, вероятно, неверна; например, истинная функция может быть квадратичным полиномом или полиномом более высокого порядка. Если они случайны или не имеют тенденции, но «разветвляются» — они демонстрируют явление, называемое гетероскедастичностью. Если все остатки равны или не разветвляются, они проявляют гомоскедастичность.

Однако терминологическое различие возникает в выражении среднеквадратическая ошибка (MSE). Среднеквадратичная ошибка регрессии — это число, вычисляемое из суммы квадратов вычисленных остатков, а не ненаблюдаемых ошибок. Если эту сумму квадратов разделить на n, количество наблюдений, результатом будет среднее квадратов остатков. Поскольку это смещенная оценка дисперсии ненаблюдаемых ошибок, смещение устраняется путем деления суммы квадратов остатков на df = n — p — 1 вместо n, где df — число степеней свободы (n минус количество оцениваемых параметров (без учета точки пересечения) p — 1). Это формирует объективную оценку дисперсии ненаблюдаемых ошибок и называется среднеквадратической ошибкой.

Другой метод вычисления среднего квадрата ошибки при анализе дисперсии линейной регрессии с использованием техники, подобной той, что использовалась в ANOVA (они одинаковы, потому что ANOVA — это тип регрессии), сумма квадратов остатков (иначе говоря, сумма квадратов ошибки) делится на степени свободы (где степени свободы равно n — p — 1, где p — количество параметров, оцениваемых в модели (по одному для каждой переменной в уравнении регрессии, не включая точку пересечения). Затем можно также вычислить средний квадрат модели, разделив сумму квадратов модели за вычетом степеней свободы, которые представляют собой просто количество параметров. Затем значение F можно рассчитать путем деления среднего квадрата модели на средний квадрат ошибки, и затем мы можем определить значимость (вот почему вы хотите, чтобы средние квадраты начинались с.).

Однако из-за поведения процесса регрессии распределения остатков в разных точках данных (входной переменной) могут различаться, даже если сами ошибки распределены одинаково. Конкретно, в линейной регрессии , где ошибки одинаково распределены, изменчивость остатков входных данных в середине области будет выше, чем изменчивость остатков на концах области: линейные регрессии соответствуют конечным точкам лучше среднего. Это также отражено в функциях влияния различных точек данных на коэффициенты регрессии : конечные точки имеют большее влияние.

Таким образом, чтобы сравнить остатки на разных входах, нужно скорректировать остатки на ожидаемую изменчивость остатков, что называется стьюдентизацией. Это особенно важно в случае обнаружения выбросов, когда рассматриваемый случай каким-то образом отличается от другого в наборе данных. Например, можно ожидать большой остаток в середине домена, но он будет считаться выбросом в конце домена.

Другое использование слова «ошибка» в статистике

Использование термина «ошибка», как обсуждалось в разделах выше, означает отклонение значения от гипотетического ненаблюдаемого значение. По крайней мере, два других использования также встречаются в статистике, оба относятся к наблюдаемым ошибкам прогнозирования:

Среднеквадратичная ошибка или Среднеквадратичная ошибка (MSE) и Среднеквадратичная ошибка (RMSE) относятся к величине, на которую значения, предсказанные оценщиком, отличаются от оцениваемых количеств (обычно за пределами выборки, на основе которой была оценена модель).

Сумма квадратов ошибок (SSE или SSe), обычно сокращенно SSE или SS e, относится к остаточной сумме квадратов (сумма квадратов остатков) регрессии; это сумма квадратов отклонений фактических значений от прогнозируемых значений в пределах выборки, используемой для оценки. Это также называется оценкой методом наименьших квадратов, где коэффициенты регрессии выбираются так, чтобы сумма квадратов минимально (т.е. его производная равна нулю).

Аналогично, сумма абсолютных ошибок (SAE) является суммой абсолютных значений остатков, которая минимизирована в наименьшие абсолютные отклонения подход к регрессии.

См. также

Портал математики

Абсолютное отклонение
Консенсус-прогнозы
Обнаружение и исправление ошибок
Объясненная сумма квадраты
Инновация (обработка сигналов)
Неподходящая сумма квадратов
Погрешность
Средняя абсолютная погрешность
Погрешность наблюдения
Распространение ошибки
Вероятная ошибка
Случайные и систематические ошибки
Разбавление регрессии
Среднеквадратичное отклонение
Ошибка выборки
Стандартная ошибка
Стьюдентизированная невязка
Ошибки типа I и типа II

Ссылки

Кук, Р. Деннис; Вайсберг, Сэнфорд (1982). Остатки и влияние на регресс (Отредактированный ред.). Нью-Йорк: Чепмен и Холл. ISBN 041224280X . Проверено 23 февраля 2013 г.
Кокс, Дэвид Р. ; Снелл, Э. Джойс (1968). «Общее определение остатков». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 30(2): 248–275. JSTOR 2984505.
Вайсберг, Сэнфорд (1985). Прикладная линейная регрессия (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471879572 . Проверено 23 февраля 2013 г.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Внешние ссылки

СМИ, связанные с ошибками и остатками на Викимедиа Commons

Источник

В статистике и оптимизации , ошибка и остатки два тесно связанные и легко спутать меры по отклонению от наблюдаемого значения элемента в статистическую выборке из его «теоретического значения». Ошибки (или нарушения ) от наблюдаемого значения является отклонение наблюдаемого значения от (ненаблюдаемой) истинного значения величины , представляющего интерес (например, среднее население ), а также остаточного наблюдаемого значения представляет собой разность между наблюдаемое значение и оценочное значение интересующей величины (например, выборочное среднее ). Различие является наиболее важным в регрессионном анализе , где понятия иногда называют ошибку регрессии и регрессией остатки и где они приводят к понятию стьюдентизированных остатков .

Вступление

Предположим, есть серия наблюдений из одномерного распределения, и мы хотим оценить среднее значение этого распределения (так называемая модель местоположения ). В этом случае ошибки — это отклонения наблюдений от среднего по генеральной совокупности, а остатки — это отклонения наблюдений от среднего по выборке.

Статистическая погрешность (или нарушение ) представляет собой количество , с помощью которого наблюдение отличается от своего ожидаемого значения , причем последнего на основе всей популяции , из которой была выбрана случайным образом статистической единица. Например, если средний рост среди 21-летних мужчин составляет 1,75 метра, а рост одного случайно выбранного мужчины — 1,80 метра, то «ошибка» составляет 0,05 метра; если случайно выбранный мужчина имеет рост 1,70 метра, то «ошибка» составляет -0,05 метра. Ожидаемое значение, являющееся средним для всей генеральной совокупности, обычно ненаблюдаемо, и, следовательно, статистическая ошибка также не может быть обнаружена.

С другой стороны, невязка (или аппроксимирующее отклонение) — это наблюдаемая оценка ненаблюдаемой статистической ошибки. Рассмотрим предыдущий пример с ростом мужчин и предположим, что у нас есть случайная выборка из n человек. Выборочное среднее может служить хорошей оценкой в популяции среднего значения. Тогда у нас есть:

Разница между ростом каждого мужчины в выборке и ненаблюдаемым средним по совокупности является статистической ошибкой , тогда как
Разница между ростом каждого человека в выборке и наблюдаемым средним по выборке является невязкой .

Обратите внимание, что из-за определения выборочного среднего сумма остатков в случайной выборке обязательно равна нулю, и, таким образом, остатки обязательно не являются независимыми . С другой стороны, статистические ошибки независимы, и их сумма в пределах случайной выборки почти наверняка не равна нулю.

Можно стандартизировать статистические ошибки (особенно нормального распределения ) в z-балле (или «стандартном балле») и стандартизировать остатки в t- статистике или, в более общем смысле, студентизированных остатках .

В одномерных распределениях

Если мы предположим, что популяция нормально распределена со средним значением μ и стандартным отклонением σ, и выберем индивидуумов независимо, то мы имеем

${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n} sim N left ( mu, sigma ^ {2} right) ,}$

и выборочное среднее

$overline {X} = {X_1 + cdots + X_n over n}$

случайная величина, распределенная таким образом, что:

${ displaystyle { overline {X}} sim N left ( mu, { frac { sigma ^ {2}} {n}} right).}$

В статистических ошибках затем

${ Displaystyle е_ {я} = Х_ {я} - му, ,}$

с ожидаемыми значениями нуля, тогда как остатки равны

${ displaystyle r_ {i} = X_ {i} - { overline {X}}.}$

Сумма квадратов статистических ошибок , деленная на σ ² , имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы :

${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} ^ {2} sim chi _ {n} ^ {2} .}$

Однако это количество не наблюдается, так как среднее значение по совокупности неизвестно. Сумма квадратов остатков , с другой стороны, наблюдаема. Частное этой суммы по σ ² имеет распределение хи-квадрат только с n — 1 степенями свободы:

${ frac 1 { sigma ^ {2}}} sum _ {{i = 1}} ^ {n} r_ {i} ^ {2} sim chi _ {{n-1}} ^ {2 }.$

Эта разница между n и n — 1 степенью свободы приводит к поправке Бесселя для оценки выборочной дисперсии совокупности с неизвестным средним и неизвестной дисперсией. Коррекция не требуется, если известно среднее значение для генеральной совокупности.

Примечательно, что можно показать, что сумма квадратов остатков и выборочное среднее не зависят друг от друга, используя, например , теорему Басу . Этот факт, а также приведенные выше нормальное распределение и распределение хи-квадрат составляют основу вычислений с использованием t-статистики :

${ displaystyle T = { frac {{ overline {X}} _ {n} - mu _ {0}} {S_ {n} / { sqrt {n}}}},}$

где представляет ошибки, представляет стандартное отклонение выборки для выборки размера n и неизвестного σ , а член знаменателя учитывает стандартное отклонение ошибок в соответствии с:
${ displaystyle { overline {X}} _ {n} - mu _ {0}}$ $S_ {n}$

${ displaystyle operatorname {Var} left ({ overline {X}} _ {n} right) = { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$

Распределения вероятностей числителя и знаменателя по отдельности зависят от значения ненаблюдаемого стандартного отклонения совокупности σ , но σ появляется как в числителе, так и в знаменателе и сокращается. Это удачно, потому что это означает, что, хотя мы не знаем σ , мы знаем распределение вероятностей этого частного: оно имеет t-распределение Стьюдента с n — 1 степенями свободы. Таким образом, мы можем использовать это частное, чтобы найти доверительный интервал для μ . Эту t-статистику можно интерпретировать как «количество стандартных ошибок от линии регрессии».

Регрессии

В регрессионном анализе различие между ошибками и остатками является тонким и важным, что приводит к концепции студентизированных остатков . Учитывая ненаблюдаемую функцию, которая связывает независимую переменную с зависимой переменной — скажем, линию — отклонения наблюдений зависимой переменной от этой функции являются ненаблюдаемыми ошибками. Если запустить регрессию на некоторых данных, то отклонения наблюдений зависимой переменной от подобранной функции являются остатками. Если линейная модель применима, диаграмма рассеяния остатков, построенная против независимой переменной, должна быть случайной около нуля без тенденции к остаткам. Если данные демонстрируют тенденцию, регрессионная модель, вероятно, неверна; например, истинная функция может быть квадратичным полиномом или полиномом более высокого порядка. Если они случайны или не имеют тенденции, но «разветвляются» — они демонстрируют явление, называемое гетероскедастичностью . Если все остатки равны или не разветвляются, они проявляют гомоскедастичность .

Однако возникает терминологическая разница в выражении среднеквадратичной ошибки (MSE). Среднеквадратичная ошибка регрессии — это число, вычисленное из суммы квадратов вычисленных остатков , а не ненаблюдаемых ошибок . Если эту сумму квадратов разделить на n , количество наблюдений, результатом будет среднее значение квадратов остатков. Поскольку это смещенная оценка дисперсии ненаблюдаемых ошибок, смещение устраняется путем деления суммы квадратов остатков на df = n — p — 1 вместо n , где df — количество степеней свободы ( n минус количество оцениваемых параметров (без учета точки пересечения) p — 1). Это формирует объективную оценку дисперсии ненаблюдаемых ошибок и называется среднеквадратичной ошибкой.

Другой метод вычисления среднего квадрата ошибки при анализе дисперсии линейной регрессии с использованием техники, подобной той, что используется в ANOVA (они такие же, потому что ANOVA — это тип регрессии), сумма квадратов остатков (также известная как сумма квадратов ошибки) делится на степени свободы (где степени свободы равны n — p — 1, где p — количество параметров, оцениваемых в модели (по одному для каждой переменной в уравнении регрессии, не включая точку пересечения) ). Затем можно также вычислить средний квадрат модели, разделив сумму квадратов модели за вычетом степеней свободы, которые представляют собой просто количество параметров. Затем значение F можно рассчитать путем деления среднего квадрата модели на средний квадрат ошибки, и затем мы можем определить значимость (вот почему вы хотите, чтобы средние квадраты начинались с).

Однако из-за поведения процесса регрессии распределения остатков в разных точках данных (входной переменной) могут различаться, даже если сами ошибки распределены одинаково. Конкретно, в линейной регрессии, где ошибки одинаково распределены, изменчивость остатков входных данных в середине области будет выше, чем изменчивость остатков на концах области: линейные регрессии подходят конечным точкам лучше, чем середина. Это также отражается в функциях влияния различных точек данных на коэффициенты регрессии : конечные точки имеют большее влияние.

Таким образом, чтобы сравнить остатки на разных входах, необходимо скорректировать остатки на ожидаемую изменчивость остатков, что называется студентизацией . Это особенно важно в случае обнаружения выбросов , когда рассматриваемый случай каким-то образом отличается от другого в наборе данных. Например, можно ожидать большой остаток в середине домена, но он будет считаться выбросом в конце домена.

Другие варианты использования слова «ошибка» в статистике

Использование термина «ошибка», как обсуждалось в разделах выше, означает отклонение значения от гипотетического ненаблюдаемого значения. По крайней мере, два других использования также встречаются в статистике, оба относятся к наблюдаемым ошибкам прогнозирования:

Среднеквадратичная ошибка (СКО) относится к количеству , по которому значение , предсказанное с помощью оценки отличается от количества оцениваемого ( как правило , вне образца , из которого была оценена модель). Корень средний квадрат ошибки (СКО) является квадратным корнем из MSE. Сумма квадратов ошибок (SSE) является СКО , умноженное на размер выборки.

Сумма квадратов остатков (SSR) — это сумма квадратов отклонений фактических значений от прогнозируемых значений в пределах выборки, используемой для оценки. Это основа дляоценки наименьших квадратов , где коэффициенты регрессии выбираются так, чтобы SSR был минимальным (т. Е. Его производная равна нулю).

Аналогичным образом, сумма абсолютных ошибок (SAE) — это сумма абсолютных значений остатков, которая минимизируется в подходе к регрессии с наименьшими абсолютными отклонениями .

Средняя ошибка (ME) является смещение . Среднее остаточное (МР) всегда равна нулю для оценок наименьших квадратов.

Смотрите также

Абсолютное отклонение
Прогнозы консенсуса
Обнаружение и исправление ошибок
Объясненная сумма квадратов
Инновации (обработка сигналов)
Неподходящая сумма квадратов
Допустимая погрешность
Средняя абсолютная ошибка
Ошибка наблюдения
Распространение ошибки
Вероятная ошибка
Случайные и систематические ошибки
Уменьшенная статистика хи-квадрат
Разбавление регрессии
Среднеквадратичное отклонение
Ошибка выборки
Стандартная ошибка
Студентизованный остаток
Ошибки типа I и типа II

использованная литература

Кук, Р. Деннис; Вайсберг, Сэнфорд (1982). Остатки и влияние в регрессии (Repr. Ed.). Нью-Йорк: Чепмен и Холл . ISBN 041224280X. Проверено 23 февраля 2013 года .
Кокс, Дэвид Р .; Снелл, Э. Джойс (1968). «Общее определение остатков». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 30 (2): 248–275. JSTOR 2984505 .
Вайсберг, Сэнфорд (1985). Прикладная линейная регрессия (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471879572. Проверено 23 февраля 2013 года .
«Ошибки, теория» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

внешние ссылки

Портал математики

Абсолютное отклонение
Консенсус-прогнозы
Обнаружение и исправление ошибок
Объясненная сумма квадраты
Инновация (обработка сигналов)
Неподходящая сумма квадратов
Погрешность
Средняя абсолютная погрешность
Погрешность наблюдения
Распространение ошибки
Вероятная ошибка
Случайные и систематические ошибки
Разбавление регрессии
Среднеквадратичное отклонение
Ошибка выборки
Стандартная ошибка
Стьюдентизированная невязка
Ошибки типа I и типа II

Ссылки

Кук, Р. Деннис; Вайсберг, Сэнфорд (1982). Остатки и влияние на регресс (Отредактированный ред.). Нью-Йорк: Чепмен и Холл. ISBN 041224280X . Проверено 23 февраля 2013 г.
Кокс, Дэвид Р. ; Снелл, Э. Джойс (1968). «Общее определение остатков». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 30(2): 248–275. JSTOR 2984505.
Вайсберг, Сэнфорд (1985). Прикладная линейная регрессия (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471879572 . Проверено 23 февраля 2013 г.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

Внешние ссылки

СМИ, связанные с ошибками и остатками на Викимедиа Commons

Источник

Вступление

Разница между ростом каждого мужчины в выборке и ненаблюдаемым средним по совокупности является статистической ошибкой , тогда как
Разница между ростом каждого человека в выборке и наблюдаемым средним по выборке является невязкой .

В одномерных распределениях

${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {n} sim N left ( mu, sigma ^ {2} right) ,}$

и выборочное среднее

$overline {X} = {X_1 + cdots + X_n over n}$

случайная величина, распределенная таким образом, что:

${ displaystyle { overline {X}} sim N left ( mu, { frac { sigma ^ {2}} {n}} right).}$

В статистических ошибках затем

${ Displaystyle е_ {я} = Х_ {я} - му, ,}$

с ожидаемыми значениями нуля, тогда как остатки равны

${ displaystyle r_ {i} = X_ {i} - { overline {X}}.}$

${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} ^ {2} sim chi _ {n} ^ {2} .}$

${ frac 1 { sigma ^ {2}}} sum _ {{i = 1}} ^ {n} r_ {i} ^ {2} sim chi _ {{n-1}} ^ {2 }.$

${ displaystyle T = { frac {{ overline {X}} _ {n} - mu _ {0}} {S_ {n} / { sqrt {n}}}},}$

${ displaystyle operatorname {Var} left ({ overline {X}} _ {n} right) = { frac { sigma ^ {2}} {n}}}$

Регрессии

Другие варианты использования слова «ошибка» в статистике

Смотрите также

Абсолютное отклонение
Прогнозы консенсуса
Обнаружение и исправление ошибок
Объясненная сумма квадратов
Инновации (обработка сигналов)
Неподходящая сумма квадратов
Допустимая погрешность
Средняя абсолютная ошибка
Ошибка наблюдения
Распространение ошибки
Вероятная ошибка
Случайные и систематические ошибки
Уменьшенная статистика хи-квадрат
Разбавление регрессии
Среднеквадратичное отклонение
Ошибка выборки
Стандартная ошибка
Студентизованный остаток
Ошибки типа I и типа II

использованная литература

Кук, Р. Деннис; Вайсберг, Сэнфорд (1982). Остатки и влияние в регрессии (Repr. Ed.). Нью-Йорк: Чепмен и Холл . ISBN 041224280X. Проверено 23 февраля 2013 года .
Кокс, Дэвид Р .; Снелл, Э. Джойс (1968). «Общее определение остатков». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 30 (2): 248–275. JSTOR 2984505 .
Вайсберг, Сэнфорд (1985). Прикладная линейная регрессия (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471879572. Проверено 23 февраля 2013 года .
«Ошибки, теория» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

внешние ссылки

СМИ, связанные с ошибками и остатками на Викискладе?

Источник

Introduction[edit]

In univariate distributions[edit]

[edit]

Regressions[edit]

Other uses of the word «error» in statistics[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Различие между остатками регрессии и ошибками

Мультиколлинеарность

Как интерпретировать остаточную стандартную ошибку

Пример: интерпретация остаточной стандартной ошибки

Использование остаточной стандартной ошибки для сравнения моделей

Дополнительные ресурсы

Содержание

Введение

в одномерном распределении

Замечание

Регрессии

Другое использование слова «ошибка» в статистике

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Вступление

В одномерных распределениях

Регрессии

Другие варианты использования слова «ошибка» в статистике

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Ссылки

Внешние ссылки

Вступление

В одномерных распределениях

Регрессии

Другие варианты использования слова «ошибка» в статистике

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Возможно, вам также будет интересно: