Что считается арифметической ошибкой в математике

Системы оценивания письменных работ по
математике

При проверке
усвоения материала необходимо выявлять полноту, прочность усвоения
учащимися теории и
умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

Формами контроля качества освоения содержания
учебной программы учащимися являются:

·                  
Письменная
проверка предполагает письменный
ответ учащегося  на один  или систему вопросов (заданий). К письменным ответам
относятся: домашние, проверочные, практические, контрольные, творческие работы,
письменные ответы на вопросы теста, рефераты и пр.

·                  
Устная проверка предполагает устный ответ учащегося на один
или систему вопросов в форме рассказа, беседы, собеседования и другое.

·                  
Комбинированная проверка
предполагает сочетание устных и письменных форм работы.

Рассмотрим оценивание письменной проверки.

Оценка ответа
учащегося при письменном оп­росе проводится по пятибалльной системе, т.
е. за ответ вы­ставляется одна из отметок:5 (отлично), 4
(хорошо), 3   (удовлетворительно), 2 (неудовлетвори­тельно), 1 (плохо) на
практике такую оценку практически не используют.

Учителю
важно знать, как соотнести фактические знания ученика и оценку, отражающую эти
знания.

В
зависимости от поставленных целей по-разному строится программа контроля,
подбираются различные типы вопросов и заданий. Но применение примерных норм
оценки знаний должно внести единообразие в оценку знаний и умений учащихся и
сделать ее более объективной. Примерные нормы  представляют основу, исходя из
которой, учитель оценивает знания и умения учащихся.

Содержание и объем материала, подлежащего проверке и оценке, определяются программой по математике
для средней школы. В задания для проверки включаются основные, типичные и
притом различной сложности вопросы, соответствующие проверяемому разделу
программы.

При
проверке знаний и умений, учащихся учитель выявляет не только степень усвоения
учащимися теории и умения применять ее на практике, но также умение
самостоятельно мыслить.

Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике в средней школе являются устный
опрос и письменная контрольная работа, наряду с которыми применяются и другие
формы проверки. Письменная контрольная работа позволяет оценить умение учащихся
излагать свои мысли на бумаге; навыки грамотного и фактически грамотного
оформления выполняемых ими заданий.

При оценке письменных контрольных работ учитель в первую очередь учитывает имеющиеся у
учащегося фактические знания и умения, их полноту, прочность, умение применять
на практике в различных ситуациях. Результат оценки зависит также от наличия и
характера погрешностей, допущенных при письменной контрольной работе.

Среди
погрешностей выделяются ошибки, недочеты и мелкие погрешности.

Погрешность
считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел
основными знаниями, умениями и их применением.

К
недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном
или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии
знаний, не считающихся в соответствии с программой основными. К недочетам относятся
погрешности, объясняющиеся рассеянностью или недосмотром, но которые не привели
к искажению смысла полученного учеником задания или способа его выполнения.
Грамматическая ошибка, допущенная в написании известного учащемуся
математического термина, небрежная запись, небрежное выполнение чертежа
считаются недочетом.

К
мелким погрешностям относятся погрешности в письменной речи, не
искажающие смысла ответа или решения, случайные описки и т. п.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. В одно время
при одних обстоятельствах допущенная учащимися погрешность может
рассматриваться как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах она
может рассматриваться как недочет.

Решение
задачи считается безупречным, если получен верный ответ при правильном ходе
решения, выбран соответствующий задаче способ решения, правильно выполнены
необходимые вычисления и преобразования, последовательно и аккуратно оформлено
решение.

Оценивание письменных контрольных работ.

Ответ оценивается отметкой «5»,
если:

·                  
работа выполнена
полностью;

·                  
в логических рассуждениях
и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

·                  
в решении нет
математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является
следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

·                  
работа выполнена
полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать
рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

·                  
допущены одна ошибка или
есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти
виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

·                
допущено более одной
ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но
учащийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

·                
допущены существенные
ошибки, показавшие, что учащийся не обладает обязательными умениями по данной
теме в полной мере.

Отметка «1» ставится в случае:

·                
полного незнания
изученного материала, отсутствия элементарных умений и навыков.

Общая классификация ошибок

При оценке знаний, умений и навыков учащихся
следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

·                  
незнание определения
основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул,
общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

·                  
незнание наименований
единиц измерения;

·                  
неумение выделить в ответе
главное;

·                  
неумение применять знания,
алгоритмы для решения задач;

·                  
неумение делать выводы и
обобщения;

·                  
неумение читать и строить
графики;

·                  
неумение пользоваться
первоисточниками, учебником и справочниками;

·                  
потеря корня или
сохранение постороннего корня;

·                  
отбрасывание без
объяснений одного из них;

·                  
равнозначные им ошибки;

·                  
вычислительные ошибки,
если они не являются опиской;

·                  
логические ошибки

·                  
вычислительные ошибки в
примерах и задачах;

·                  
-ошибки на незнание
порядка выполнения арифметических действий;

·                  
-неправильное решение
задачи (пропуск действий, неправильный выбор действий, лишнее действие);

·                  
-недоведение до конца
решения задачи или примера;

·                  
-невыполненное задание

·                  
-неправильный выбор
порядка выполнения действий в выражении;

·                  
-пропуск нуля в частном
при делении натуральных чисел или десятичных дробей;

·                  
-неправильный выбор знака
в результате выполнения действий над положительными и отрицательными числами; а
так же при раскрытии скобок и при переносе слагаемых из одной части уравнения в
другую;

·                  
— неправильный выбор
действий при решении текстовых задач;

·                  
-неправильное измерение
или построение угла с помощью транспортира, связанное с отсутствием умения
выбирать нужную шкалу;

·                  
-неправильное проведение
перпендикуляра к прямой или высот в тупоугольном треугольнике;

·                  
-умножение показателей при
умножении степеней с одинаковыми основаниями;

·                  
-“сокращение” дроби на
слагаемое;

·                  
-замена частного
десятичных дробей частным целых чисел в том случае, когда в делителе после
запятой меньше цифр, чем в делимом;

·                  
-сохранение знака
неравенства при делении обеих его частей на одно и тоже отрицательное число;

·                  
-неверное нахождение
значения функции по значению аргумента и ее графику;

·                  
-потеря корней при решении
тригонометрических уравнений;

·                  
-непонимание смысла
решения системы двух уравнений с двумя переменными как пары чисел;

·                  
-незнание определенных
программой формул (формулы корней квадратного уравнения, формул производной
частного и произведения, формул приведения, основных тригонометрических
тождеств и др.);

·                  
-приобретение посторонних
корней при решении иррациональных, показательных и логарифмических уравнений;

·                  
-погрешность в нахождении
координат вектора;

·                  
-погрешность в разложении
вектора по трем неколлинеарным векторам, отложенным от разных точек;

·                  
-неумение сформулировать
предложение, обратное данной теореме;

·                  
-ссылка при доказательстве
или обосновании решения на обратное утверждение, вместо прямого;

·                  
— использование вместо
коэффициента подобия обратного ему числа.

К негрубым ошибкам следует
отнести:

·                  
неточность формулировок,
определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков
определяемого понятия или заменой одного — двух из этих признаков
второстепенными;

·                  
неточность графика;

·                  
нерациональный метод
решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики,
подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

·                  
нерациональные методы
работы со справочной и другой литературой;

неумение решать задачи, выполнять задания в
общем виде

·                    
неправильная постановка
вопроса к действию при решении задачи;

·                    
неверно сформулированный
ответ задачи;

·                    
неправильное списывание
данных чисел, знаков;

·                    
недоведение до конца
преобразований.

·                    
неправильная ссылка на
сочетательный и распределительный законы при вычислениях;

·                    
неправильное использование
в отдельных случаях наименований, например, обозначение единиц длины для единиц
площади и объема;

·                    
сохранение в окончательном
результате при вычислениях или преобразованиях выражений неправильной дроби или
сократимой дроби;

·                    
приведение алгебраических
дробей не к наиболее простому общему знаменателю;

·                    
случайные погрешности в
вычислениях при решении геометрических задач и выполнении тождественных
преобразований.

Недочетами являются:

·                  
нерациональные приемы
вычислений и преобразований; небрежное выполнение записей, чертежей, схем,
графиков.

Оценивание решения одной задачи, одного примера, ответа на один вопрос.

Это
необходимо, т. к. у доски, да часто и самостоятельно в классе учащиеся решают
одну задачу. К тому же умение оценивать решение одной задачи облегчает оценку
комплексного задания.

Решение
задачи обычно состоит из нескольких этапов:

а)
осмысление условия и цели задачи;

б)
возникновение плана решения;

в)
осуществление намеченного плана;

г)
проверка полученного результата.

Оценивая
выполненную работу, естественно учитывать результаты деятельности учащегося на
каждом этапе; правильность высказанной идеи, плана решения, а так же степень
осуществления этого плана при выставлении оценки нужно считать решающими. Т.о.,
при оценке решения задачи необходимо учитывать, насколько правильно учащийся
понял ее, высказал ли он плодотворную идею и как осуществил намеченный план
решения, какие навыки и умения показал, какие использовал знания.

Приведем пример.

Ученик
решает задачу, где важнейшим является составление системы уравнений. Если он
получил систему, но не довел решение до конца, то можно выставить “4”. Если же
основная задача состоит в решении полученной системы, то за ее составление
можно выставить “3”.

Оценка письменной работы по выполнению
вычислительных заданий и алгебраических преобразований

Оценка «5» ставится за безукоризненное выполнение письменной
работы, т.е.:

а) если решение всех примеров верное;

б) если все действия и преобразования
выполнены правильно, без ошибок; все записи хода решения расположены
последовательно, а также сделана проверка решения в тех случаях, когда это
требуется.

Оценка «4» ставится за работу, в которой допущена одна (негрубая)
ошибка или два-три недочета.

Оценка «3» ставится в следующих случаях:

а) если в работе имеется одна грубая ошибка и
не более одной негрубой ошибки;

б) при наличии одной грубой ошибки и
одного-двух недочетов;

в) при отсутствии грубых ошибок, но при
наличии от двух до четырех (негрубых) ошибок;

г) при наличии двух негрубых ошибок и не более
трех недочетов;

д) при отсутствии ошибок, но при наличии
четырех и более недочетов;

е) если неверно выполнено не более половины
объема всей работы.

Оценка «2» ставится, когда число ошибок превосходит норму, при
которой может быть выставлена положительная оценка, или если правильно
выполнено менее половины всей работы.

Оценка «1» ставится, если ученик совсем не выполнил работу.

Примечание. Оценка «5» может быть поставлена,
несмотря на наличие одного-двух недочетов, если ученик дал оригинальное решение
заданий, свидетельствующее о его хорошем математическом развитии.

Оценка письменной работы на решение текстовых
задач

Оценка «5» ставится в том случае, когда задача решена правильно:
ход решения задачи верен, все действия и преобразования выполнены верно и
рационально; в задаче, решаемой с вопросами или пояснениями к действиям, даны
точные и правильные формулировки; в задаче, решаемой с помощью уравнения, даны необходимые
пояснения; записи правильны, расположены последовательно, дан верный и
исчерпывающий ответ на вопросы задачи; сделана проверка решения (в тех случаях,
когда это требуется).

Оценка «4» ставится в том случае, если при правильном ходе
решения задачи допущена одна негрубая ошибка или два-три недочета.

Оценка «3» ставится в том случае, если ход решения правилен, но
допущены:

а) одна грубая ошибка и не более одной
негрубой;

б) одна грубая ошибка и не более двух
недочетов;

в) три-четыре негрубые ошибки при отсутствии
недочетов;

г) допущено не более двух негрубых ошибок и
трех недочетов;

д) более трех недочетов при отсутствии ошибок.

Оценка «2» ставится в том случае, когда число ошибок превосходит
норму, при которой может быть выставлена положительная оценка.

Оценка «1» ставится в том случае, если ученик не выполнил ни одного
задания работы.

Примечания:

1. Оценка «5» может быть поставлена
несмотря на наличие описки или недочета, если ученик дал оригинальное решение, свидетельствующее
о его хорошем математическом развитии.

2. Положительная оценка «3» может быть
выставлена ученику, выполнившему работу не полностью, если он безошибочно выполнил
более половины объема всей работы.

Оценка комбинированных письменных работ по
математике

Письменная работа по математике, подлежащая
оцениванию, может состоять из задач и примеров (комбинированная работа). В таком
случае преподаватель сначала дает предварительную оценку каждой части работы, а
затем общую, руководствуясь следующим:

а) если обе части работы оценены одинаково, то
эта оценка должна быть общей для всей работы в целом;

б) если оценки частей разнятся на один балл,
например, даны оценки «5» и «4» или «4» и «3» и т. п., то за работу в целом,
как правило, ставится балл, оценивающий основную часть работы;

в) если одна часть работы оценена баллом «5»,
а другая — баллом «3», то преподаватель может оценить такую работу в целом баллом
«4» при условии, что оценка «5» поставлена за основную часть работы;

г) если одна из частей работы оценена баллом
«5» или «4», а другая — баллом «2» или «1», то преподаватель может оценить всю
работу баллом «3» при условии, что высшая из двух данных оценок поставлена за
основную часть работы.

Примечание. Основной считается та часть работы, которая включает
больший по объему или наиболее важный по значению материал по изучаемым темам
программы.

Оценка текущих письменных работ

При оценке повседневных обучающих работ по
математике учитель руководствуется указанными нормами оценок, но учитывает
степень самостоятельности выполнения работ учащимися.

Обучающие письменные работы, выполненные
учащимися вполне самостоятельно с применением ранее изученных и хорошо закрепленных
знаний, оцениваются так же, как и контрольные работы.

Обучающие письменные работы, выполненные
вполне самостоятельно, на только что изученные и недостаточно закрепленные правила,
могут оцениваться менее строго.

Письменные работы, выполненные в классе с предварительным
разбором их под руководством учителя, оцениваются более строго.

Домашние письменные работы оцениваются так же,
как классная работа обучающего характера.

В соответствии с особенностями математики как
учебного предмета оценки за письменные работы имеют большее значение, чем
оценки за устные ответы и другие виды работ.

Нормы оценок в начальной школе

ОЦЕНКА ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ

Работа, состоящая из примеров:

«5» — без ошибок.

«4» -1 грубая и 1-2 негрубые ошибки.

«3» — 2-3 грубые и 1-2 негрубые ошибки или 3 и более негрубых ошибки.

«2» — 4 и более грубых ошибки.

Работа, состоящая из задач:

«5» — без ошибок.

«4» — 1-2 негрубых ошибки.

«3» — 1 грубая и 3-4 негрубые ошибки.

«2» — 2 и более грубых ошибки.

        Комбинированная работа:

«5» — без ошибок.                        

«4» — 1 грубая и 1-2 негрубые ошибки, при этом грубых ошибок не должно  

быть в задаче.

«3» — 2-3 грубые и 3-4 негрубые ошибки, при этом ход решения задачи

должен быть верным.

«2» — 4 грубые ошибки.

Контрольный устный счет:

«5» — без ошибок.

«4» -1-2 ошибки.

«3» — 3-4 ошибки.

Грубые ошибки:

1.Вычислительные ошибки в примерах и задачах.

2.   Ошибки на незнание порядка выполнения арифметических
        действий.

3.   Неправильное решение задачи (пропуск действия, неправильный

   выбор действий, лишние действия)

4.  Не решенная до конца задача или пример.

5.  Невыполненное задание.

Негрубые ошибки:

1.Нерациональный прием вычислений.

2.  Неправильная постановка вопроса к действию при решении
        задачи.

3.  Неверно сформулированный ответ задачи.

4.  Неправильное списывание данных (чисел, знаков).

5.  Недоведение до конца преобразований.

За грамматические ошибки, допущенные в работе, оценка по математике не       снижается.

За неряшливо оформленную работу, несоблюдение правил каллиграфии оценка по математике снижается на 1 балл, но не ниже «3».

 Контрольная работа:

а)  задания должны быть одного уровня для всего класса;

б) задания повышенной трудности выносятся в «дополнительное задание», которое предлагается для выполнения всем ученикам и оценивается только оценками «4» и «5»; обязательно разобрать их решение при выполнении работы над ошибками;

в) за входную работу оценка «2» в журнал не ставится;

г) оценка не снижается, если есть грамматические ошибки и неаккуратные исправления;

д) неаккуратное исправление — недочет (2 недочета = 1 ошибка).

ОЦЕНКА ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ

ДИКТАНТ

Объем диктанта:

1-й класс- 15-17 слов.

2-й класс — 1-2 четверть — 25-35 слов.

3-4 четверть — 35-52 слова.

3-й класс — 1-2 четверг — 45-53 слова.

3-4 четверть — 53-73 слова.

4-й класс — 1-2 четверть — 58-77 слов.

3-4 четверть — 76-93 слова.

Оценки.

«5» — за работу, в которой нет ошибок.

«4» — за работу, в которой допущение 1-2 ошибки.

«3» — за работу, в которой допущено 3-5 ошибок.

«2» — за работу, в которой допущено более 5 ошибок.

Учет ошибок в диктанте:

1.Повторная ошибка в одном и том же слове считается за 1ошибку (например, ученик дважды в слове «песок» написал вместо «е» букву «и»).

2.  Ошибки на одно и то же правило, допущенные в разных словах,
считаются как две ошибки (например, ученик написал букву «т» вместо
«д» в слове «лошадка» и букву «с» вместо «з» в слове «повозка».

Ошибкой считается:

1.Нарушение орфографических правил при написании слов,
включая ошибки на пропуск, перестановку, замену и вставку лишних
букв в словах;

2.  Неправильное написание слов, не регулируемых правилами,
круг которых очерчен программой каждого класса (слова с непроверяемыми написаниями);

3.  Отсутствие знаков препинания, изученных в данный момент в
соответствии с программой; отсутствие точки в конце предложения не
считается за ошибку, если следующее предложение написано с большой буквы.

Примечание

При оценке контрольной работы учитывается в первую очередь правильность ее выполнения. Исправления, которые сделал учащийся, не влияют на оценку (за исключением такого вида работ, как контрольное списывание). Учитывается только последнее написание. Оформление работы так же не должно влиять на оценку, ибо в таком случае проверяющий работу может быть недостаточно объективным. При оценивании работы учитель принимает во внимание каллиграфический навык.

При оценивании работы принимается во внимание не только количество, но и характер ошибок.

ГРАММАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Оценки:

«5» — без ошибок.

«4» — правильно выполнено не менее 3/4 заданий.

«3» — правильно выполнено не менее 1/2 заданий.

«2» — правильно выполнено менее 1/2 заданий.

КОНТРОЛЬНОЕ СПИСЫВАНИЕ

«5» — за безукоризненно выполненную работу, в которой нет исправлений.

«4» — за работу, в которой допущена 1 ошибка или 1-2 исправления.

«3» — за работу, в которой допущены 2-3 ошибки.

«2» — за работу, в которой допущены 4 и более ошибок (2 класс); 3 и более ошибок (3-4 классы)

СЛОВАРНЫЙ ДИКТАНТ

Объем:

 2-й класс — 8-10 слов.

 3-й класс- 10-12 слов.

 4-й класс — 12-15 слов.

Оценки:

«5» -без ошибок.

«4» — 1 ошибка и 1 исправление.

«3» — 2 ошибки и 1 исправление.

«2» -3-5 ошибок.

ТЕСТ

Оценки:

«5» — верно выполнено более 3/4 заданий. «4» — верно выполнено 3/4 заданий.

«3» — верно выполнено 1/2 заданий.

«2» — верно выполнено менее 1/2 заданий.

ИЗЛОЖЕНИЕ

«5» — правильно и последовательно воспроизведен авторский текст, нет речевых и орфографических ошибок, допущено 1-2 исправления.

«4» — незначительно нарушена последовательность изложения мыслей, имеются единичные (1-2) фактические и речевые неточности, 1-2 орфографические ошибки,1-2 исправления.

«3» — имеются некоторые отступления от авторского текста, допущены отдельные нарушения в последовательности изложения мыслей, в построении 2-3 предложений, беден словарь, 3-6 орфографических ошибки и 1-2 исправления.

«2» — имеются значительные отступления от авторского текста, пропуск важных эпизодов, главной части, основной мысли и др., нарушена последовательность изложения мыслей, отсутствует связь между частями, отдельными предложениями, крайне однообразен словарь, 7-8 орфографических ошибок, 3-5 исправлений.

Примечание

Учитывая, что данный вид работ в начальной школе носит обучающий характер, неудовлетворительные оценки выставляются только за «контрольные» изложения.

АЛГОРИТМ СПИСЫВАНИЯ

1.Прочитай предложение, чтобы понять и запомнить его (орфоэпическое чтение).

2. Повтори предложение, не глядя в текст, чтобы проверить,

запомнил ли ты его.

3. Выдели орфограммы в списываемом предложении.

4. Прочитай предложение так, как оно записано, то есть так, как
будешь его себе диктовать (орфографическое чтение).

5. Повтори, глядя в текст, предложение так, как будешь его писать.

6. Пиши, диктуя себе, как проговаривал два последних раза.

7. Проверь написанное предложение, отмечая дужками слоги в
словах.

8. Подчеркни орфограммы в словах.

Нормы техники чтения

Как относиться к отметкам ребёнка.

• Не ругайте своего ребёнка за плохую отметку. Ему хочется быть в ваших глазах хорошим. Если быть хорошим не получается, ребёнок начинает врать изворачиваться, чтобы всё-таки быть в ваших глазах хорошим.

• Сочувствуйте своему ребёнку, если он долго трудился, но результат его труда невысок. Объясните ему, что важен не только высокий результат. Больше важны знания, которые он сможет приобрести в результате ежедневного, упорного и кропотливого труда.

• Не заставляйте своего ребёнка вымаливать себе отметку в конце четверти ради вашего душевного спокойствия.

• Не учите своего ребёнка ловчить, унижаться и приспосабливаться ради положительного результата в виде высокой отметки.

• Никогда не выражайте сомнений по поводу объективности выставленной вашему ребёнку отметки вслух.

• Есть сомнения – идите в школу и попытайтесь объективно разобраться в ситуации.

• Не обвиняйте беспричинно других взрослых, учителей и детей в проблемах собственных детей.

• Поддерживайте ребёнка в его, пусть не очень значительных, но победах над собой, над своей ленью.

• Устраивайте праздники по случаю получения отличной отметки. Хорошее, как и плохое, запоминается ребёнком надолго и его хочется повторить. Пусть ребёнок получает хорошую отметку ради того, чтобы его отметили. Вскоре это станет привычкой.

• Демонстрируйте положительные результаты своего труда, чтобы ребёнку хотелось вам подражать.

From Wikipedia, the free encyclopedia

«Invalid proof» redirects here. For any type of invalid proof besides mathematics, see Fallacy.

«0 = 1» redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

In mathematics, certain kinds of mistaken proof are often exhibited, and sometimes collected, as illustrations of a concept called mathematical fallacy. There is a distinction between a simple mistake and a mathematical fallacy in a proof, in that a mistake in a proof leads to an invalid proof while in the best-known examples of mathematical fallacies there is some element of concealment or deception in the presentation of the proof.

For example, the reason why validity fails may be attributed to a division by zero that is hidden by algebraic notation. There is a certain quality of the mathematical fallacy: as typically presented, it leads not only to an absurd result, but does so in a crafty or clever way.^[1] Therefore, these fallacies, for pedagogic reasons, usually take the form of spurious proofs of obvious contradictions. Although the proofs are flawed, the errors, usually by design, are comparatively subtle, or designed to show that certain steps are conditional, and are not applicable in the cases that are the exceptions to the rules.

The traditional way of presenting a mathematical fallacy is to give an invalid step of deduction mixed in with valid steps, so that the meaning of fallacy is here slightly different from the logical fallacy. The latter usually applies to a form of argument that does not comply with the valid inference rules of logic, whereas the problematic mathematical step is typically a correct rule applied with a tacit wrong assumption. Beyond pedagogy, the resolution of a fallacy can lead to deeper insights into a subject (e.g., the introduction of Pasch’s axiom of Euclidean geometry,^[2] the five colour theorem of graph theory). Pseudaria, an ancient lost book of false proofs, is attributed to Euclid.^[3]

Mathematical fallacies exist in many branches of mathematics. In elementary algebra, typical examples may involve a step where division by zero is performed, where a root is incorrectly extracted or, more generally, where different values of a multiple valued function are equated. Well-known fallacies also exist in elementary Euclidean geometry and calculus.^[4][5]

Howlers[edit]

Examples exist of mathematically correct results derived by incorrect lines of reasoning. Such an argument, however true the conclusion appears to be, is mathematically invalid and is commonly known as a howler. The following is an example of a howler involving anomalous cancellation:

Here, although the conclusion 16/64 = 1/4 is correct, there is a fallacious, invalid cancellation in the middle step.^{[note 1]} Another classical example of a howler is proving the Cayley–Hamilton theorem by simply substituting the scalar variables of the characteristic polynomial by the matrix.

Bogus proofs, calculations, or derivations constructed to produce a correct result in spite of incorrect logic or operations were termed «howlers» by Maxwell.^[2] Outside the field of mathematics the term howler has various meanings, generally less specific.

Division by zero[edit]

The division-by-zero fallacy has many variants. The following example uses a disguised division by zero to «prove» that 2 = 1, but can be modified to prove that any number equals any other number.

1. Let a and b be equal, nonzero quantities

   

2. Multiply by a

   

3. Subtract b²

   

4. Factor both sides: the left factors as a difference of squares, the right is factored by extracting b from both terms

   

5. Divide out (a − b)

   

6. Use the fact that a = b

   

7. Combine like terms on the left

   

8. Divide by the non-zero b

   

Q.E.D.^[6]

The fallacy is in line 5: the progression from line 4 to line 5 involves division by a − b, which is zero since a = b. Since division by zero is undefined, the argument is invalid.

Analysis[edit]

Mathematical analysis as the mathematical study of change and limits can lead to mathematical fallacies — if the properties of integrals and differentials are ignored. For instance, a naive use of integration by parts can be used to give a false proof that 0 = 1.^[7] Letting u = 1/log x and dv = dx/x, we may write:

after which the antiderivatives may be cancelled yielding 0 = 1. The problem is that antiderivatives are only defined up to a constant and shifting them by 1 or indeed any number is allowed. The error really comes to light when we introduce arbitrary integration limits a and b.

Since the difference between two values of a constant function vanishes, the same definite integral appears on both sides of the equation.

Multivalued functions[edit]

Many functions do not have a unique inverse. For instance, while squaring a number gives a unique value, there are two possible square roots of a positive number. The square root is multivalued. One value can be chosen by convention as the principal value; in the case of the square root the non-negative value is the principal value, but there is no guarantee that the square root given as the principal value of the square of a number will be equal to the original number (e.g. the principal square root of the square of −2 is 2). This remains true for nth roots.

Positive and negative roots[edit]

Care must be taken when taking the square root of both sides of an equality. Failing to do so results in a «proof» of^[8] 5 = 4.

Proof:

Start from

Write this as

Rewrite as

Add 81/4 on both sides:

These are perfect squares:

Take the square root of both sides:

Add 9/2 on both sides:

Q.E.D.

The fallacy is in the second to last line, where the square root of both sides is taken: a² = b² only implies a = b if a and b have the same sign, which is not the case here. In this case, it implies that a = –b, so the equation should read

which, by adding 9/2 on both sides, correctly reduces to 5 = 5.

Another example illustrating the danger of taking the square root of both sides of an equation involves the following fundamental identity^[9]

which holds as a consequence of the Pythagorean theorem. Then, by taking a square root,

Evaluating this when x = π , we get that

or

which is incorrect.

The error in each of these examples fundamentally lies in the fact that any equation of the form

where , has two solutions:

and it is essential to check which of these solutions is relevant to the problem at hand.^[10] In the above fallacy, the square root that allowed the second equation to be deduced from the first is valid only when cos x is positive. In particular, when x is set to π, the second equation is rendered invalid.

Square roots of negative numbers[edit]

Invalid proofs utilizing powers and roots are often of the following kind:

The fallacy is that the rule is generally valid only if at least one of and is non-negative (when dealing with real numbers), which is not the case here.^[11]

Alternatively, imaginary roots are obfuscated in the following:

The error here lies in the third equality, as the rule only holds for positive real a and real b, c.

Complex exponents[edit]

When a number is raised to a complex power, the result is not uniquely defined (see Exponentiation § Failure of power and logarithm identities). If this property is not recognized, then errors such as the following can result:

The error here is that the rule of multiplying exponents as when going to the third line does not apply unmodified with complex exponents, even if when putting both sides to the power i only the principal value is chosen. When treated as multivalued functions, both sides produce the same set of values, being {e^2πn | n ∈ ℤ}.

Geometry[edit]

Many mathematical fallacies in geometry arise from using an additive equality involving oriented quantities (such as adding vectors along a given line or adding oriented angles in the plane) to a valid identity, but which fixes only the absolute value of (one of) these quantities. This quantity is then incorporated into the equation with the wrong orientation, so as to produce an absurd conclusion. This wrong orientation is usually suggested implicitly by supplying an imprecise diagram of the situation, where relative positions of points or lines are chosen in a way that is actually impossible under the hypotheses of the argument, but non-obviously so.

In general, such a fallacy is easy to expose by drawing a precise picture of the situation, in which some relative positions will be different from those in the provided diagram. In order to avoid such fallacies, a correct geometric argument using addition or subtraction of distances or angles should always prove that quantities are being incorporated with their correct orientation.

Fallacy of the isosceles triangle[edit]

The fallacy of the isosceles triangle, from (Maxwell 1959, Chapter II, § 1), purports to show that every triangle is isosceles, meaning that two sides of the triangle are congruent. This fallacy was known to Lewis Carroll and may have been discovered by him. It was published in 1899.^[12][13]

Given a triangle △ABC, prove that AB = AC:

1. Draw a line bisecting ∠A.
2. Draw the perpendicular bisector of segment BC, which bisects BC at a point D.
3. Let these two lines meet at a point O.
4. Draw line OR perpendicular to AB, line OQ perpendicular to AC.
5. Draw lines OB and OC.
6. By AAS, △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (common side)).
7. By RHS,^{[note 2]} △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (hypotenuse); RO = OQ (leg)).
8. Thus, AR = AQ, RB = QC, and AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

Q.E.D.

As a corollary, one can show that all triangles are equilateral, by showing that AB = BC and AC = BC in the same way.

The error in the proof is the assumption in the diagram that the point O is inside the triangle. In fact, O always lies on the circumcircle of the △ABC (except for isosceles and equilateral triangles where AO and OD coincide). Furthermore, it can be shown that, if AB is longer than AC, then R will lie within AB, while Q will lie outside of AC, and vice versa (in fact, any diagram drawn with sufficiently accurate instruments will verify the above two facts). Because of this, AB is still AR + RB, but AC is actually AQ − QC; and thus the lengths are not necessarily the same.

Proof by induction[edit]

There exist several fallacious proofs by induction in which one of the components, basis case or inductive step, is incorrect. Intuitively, proofs by induction work by arguing that if a statement is true in one case, it is true in the next case, and hence by repeatedly applying this, it can be shown to be true for all cases. The following «proof» shows that all horses are the same colour.^{[14][note 3]}

1. Let us say that any group of N horses is all of the same colour.
2. If we remove a horse from the group, we have a group of N − 1 horses of the same colour. If we add another horse, we have another group of N horses. By our previous assumption, all the horses are of the same colour in this new group, since it is a group of N horses.
3. Thus we have constructed two groups of N horses all of the same colour, with N − 1 horses in common. Since these two groups have some horses in common, the two groups must be of the same colour as each other.
4. Therefore, combining all the horses used, we have a group of N + 1 horses of the same colour.
5. Thus if any N horses are all the same colour, any N + 1 horses are the same colour.
6. This is clearly true for N = 1 (i.e., one horse is a group where all the horses are the same colour). Thus, by induction, N horses are the same colour for any positive integer N, and so all horses are the same colour.

The fallacy in this proof arises in line 3. For N = 1, the two groups of horses have N − 1 = 0 horses in common, and thus are not necessarily the same colour as each other, so the group of N + 1 = 2 horses is not necessarily all of the same colour. The implication «every N horses are of the same colour, then N + 1 horses are of the same colour» works for any N > 1, but fails to be true when N = 1. The basis case is correct, but the induction step has a fundamental flaw.

See also[edit]

• Anomalous cancellation – Kind of arithmetic error
• Division by zero – Class of mathematical expression
• List of incomplete proofs
• Mathematical coincidence – Coincidence in mathematics
• Paradox – Statement that apparently contradicts itself
• Proof by intimidation – Marking an argument as obvious or trivial

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

• Invalid proofs at Cut-the-knot (including literature references)
• Classic fallacies with some discussion
• More invalid proofs from AhaJokes.com
• Math jokes including an invalid proof

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

где – приближение к точному значению .
Относительная погрешность определяется формулой

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, , абсолютная погрешность . Записывая число в виде

имеем , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

где — порядок (вес) старшей цифры, — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

Тот факт, что число является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , записывают в виде

причем числа и записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, или .

Запись вида

означает, что число является приближенным значение числа с относительной погрешностью .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

характеризуется невязкой

где — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина является функцией параметров — приближенное значение . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

Предельной относительной погрешностью называется величина .

Пусть — приближенное значение . Предполагаем, что — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

где .

Можно показать, что при малых эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

где .

Несложно показать, что:

1. — предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
2. — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

где , — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

Наибольшая погрешность будет в случае , тогда

Т.к. , где — мантисса числа , то всегда . Тогда и относительная погрешность равна . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде , где – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу , обозначается через (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

где — любая из арифметических операций, .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

сумма приближенных чисел равна

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

где — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых величина может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

( 3 )

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

где

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

≅

Если , то ≅

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

где – суммарная погрешность, – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Если , то .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов , вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов оценивается величиной:

.

Если , то .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной , если дифференцируема и :

.

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция наиболее критична к погрешности , то:

(погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

Точное решение задачи легко найти:

Если компьютер работает при , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение , т.е. , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Общее решение имеет вид:

При заданных начальных данных точное решение задачи: , однако малая погрешность в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

Его решение: , однако значение известно лишь приближенно: , и на самом деле .

Соответственно, разность будет:

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие:

Очевидно, что:

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных при .

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

является пара чисел .

Изменив правую часть системы на , получим возмущенную систему:

с решением , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки , разность которых составляет .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

, причем и

Тогда:

Относительная ошибка при вычислении разности будет равна:

Очевидно, что , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо получим , т.е. .

Следовательно, если , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

• А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
• http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
• http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

• Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Арифметическая ошибка

Cтраница 1

Арифметические ошибки при подсчете записей на счетах бухгалтерского учета и итогов в оборотной ведомости также приведут к нарушению трех рассматриваемых равенств.
 [1]

Величина абсолютной арифметической ошибки не может полностью характеризовать точность измерения. Так, например, если средняя арифметическая ошибка определения составляет 0 1 %, то при содержании определяемого элемента в пробах в 5 % эта ошибка мала, а при содержании определяемого элемента в 0 5 % велика.
 [2]

Во избежание арифметических ошибок рекомендуется вычерчивать схемы расположения полей допусков, разделенных на групповые допуски, и проставлять на схеме соответствующие обозначения.
 [3]

При наличии арифметических ошибок задача se может считаться решенной безукоризненно.
 [4]

Способом корректуры исправляют арифметические ошибки, описки, записи операций не в тот учетный регистр в момент их совершения и до составления бухгалтерского баланса. Корректурным способом нецелесообразно пользоваться для исправления ошибочно записанных сумм в тех учетных регистрах, в которых уже подсчитаны итоги.
 [5]

Данные по определению относительной арифметической ошибки единичного определения представлены в таблице.
 [6]

Небольшое несоответствие вызывается частично арифметическими ошибками округления при вычислении коэффициентов в уравнении (12.100) л частично небольшим, но неизбежным наложением.
 [7]

Об исправлении описок, арифметических ошибок, а также о разъяснении решения выносится определение в срок не более трех рабочих дней со дня получения заявления. Исправление и разъяснение определения Арбитража производится также в соответствии с настоящим пунктом Правил.
 [8]

При этом гарантируется отсутствие арифметических ошибок и ошибок, связанных с неправильной реализацией алгоритма расчета режимов.
 [9]

Об исправлении описок, арифметических ошибок, а также о разъяснении решения выносится определение в срок не более трех рабочих дней со дня получения заявления. Исправление и разъяснение определения Арбитража производится также в соответствии с настоящим пунктом Правил.
 [10]

В целях уменьшения вероятности арифметических ошибок все расчеты целесообразно осуществлять в единицах СИ, а окончательный ответ выражать, если это удобно, в кратных и дольных единицах.
 [11]

Слутский и Бауэр [4] нашли арифметическую ошибку в расчетах авторов работы [3] величины теплоты образования монофторида иода и показали, что следует принимать высшее значение величины энергии диссоциации JF, откуда следует, что монофторид иода является наиболее устойчивым из двухатомных межгалоидных соединений. Это находится в соответствии с возрастанием отношений энергий диссоциации к силовым константам ( 0 57 — 0 63 — 0 79) в ряду GIF — BrF — JF по мере увеличения атомного веса, а также согласуется с увеличением полярности связи в этих соединениях вследствие возрастания разности значений электроотрицательное-тей, входящих в молекулу атомов.
 [12]

В счетах-фактурах отражены правильные количества; арифметических ошибок нет.
 [13]

Так что извещать налогоплательщика при обнаружении арифметических ошибок необходимо как в случае неполной, так и излишней уплаты налогов.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Глава 1. Вебинар по оформлению задач второй части ЕГЭ по математике (3 часа, 10 минут)

Почему важно начать учиться оформлять задачи второй части за 30 дней до ЕГЭ? Потому что вам нужно выработать привычку это делать.

Привычка формируется 30 дней (есть исследования). Если вы узнаете о том, как оформлять задачи за неделю до экзамена, будет поздно. 

Поэтому читайте материал первой главы, смотрите наше первый вебинар и потом применяйте на практике то, что вы узнаете при решении задач постоянно в течение 30 ДНЕЙ!

И прекратите терять баллы на ровном месте!

Научиться правильно оформлять задачи 2 части ЕГЭ по математике намного проще, чем научиться их решать!

Но тем не менее, каждый год огромное количество людей теряют десятки баллов из-за неправильного оформления.

Если вы посмотрите видео, вы научитесь оформлять задачи так, что гарантированно 100% экспертов ЕГЭ поставят вам полный балл (если вы правильно решите задачу, конечно же;) 

На этом видео мы очень подробно разберем все задачи второй части профильного ЕГЭ по математике, и вы узнаете все нюансы оформления: 

• Что такое критерии, как их понимать?
• Что считается опиской, что – арифметической ошибкой, а что – грубой «смысловой» ошибкой? 
• Нужно ли делать проверку ответов (да), и как её делать? 
• Тригонометрия: нужно ли писать разные буквы (n, m, k) в ответах или можно использовать одну для всех формул? 
• Какие способы отбора корней лучше использовать в задаче 13 б), а какие лучше не трогать?
• Как правильно показывать отбор на единичной окружности и не потерять при этом балл?
• В каких случаях предпочтительно пользоваться окружностью, а в каких – двойным неравенством?
• Насколько подробно нужно расписывать решения уравнений и неравенств?
• Нужно ли на чистовике полностью прописывать дискриминант и поиск корней, или достаточно вычислить их устно «по теореме Виета»?
• Как не запутаться в «значках»: где использовать равносильность, а где следствие, как не перепутать систему и совокупность и прочее?
• Можно ли использовать метод рационализации: мифы и реальность Вспомним, что такое ОДЗ, и всегда ли его нужно писать, и как его правильно писать?
• Экономическая задача – это вообще отдельная история. Как могут давать аж 3 первичных балла за простую задачу на проценты? А оказывается, что их за саму задачу и не дают: их дают за правильное оформление! И снимают за каждую мелочь. Многие получают 0 баллов, даже получив правильный ответ. Я очень подробно разберу, что же именно от нас нужно, и как не упустить халявные 3 балла.
• Задачи с параметром чаще всего тоже требуют довольно подробных объяснений, особенно, если мы выбираем графический метод решения. Геометрия.
• Можно ли не решать пункт а, но пользоваться им в решении пункта б? Обязательно ли делать рисунок? 
• Как в стереометрии показывать построение сечений? Какими теоремами можно пользоваться без доказательства? 
• Обязательно ли писать название каждой теоремы? Задача 19 – в каких случаях достаточно примера, а в каких – обязательно писать полное доказательство?
• И много других нюансов, которые уже не помещаются в этот длинный список! 

Если вам понравилось видео, подписывайтесь, ставьте лайки — это поможет тому, чтобы его увидели другие:

Тайм-коды для просмотра этого видео на YouTube:

Для тех, кто предпочитает смотреть видео на YouTube, вы можете перейти по этим тайм-кодам на наш канал на YouTube.

• 0:00 Вступление
• 2:52 Как выглядят критерии
• 4:09 Задача 13
• 5:59 ОДЗ
• 7:37 Можно ли не писать ОДЗ для логарифма?
• 9:00 Записали ОДЗ, но получили 0 баллов – как же так:(
• 12:23 Задача 13 (а)
• 14:00 Подписи осей единичной окружности
• 17:46 Разные или одинаковые буквы использовать в сериях корней (тригонометрия)?
• 26:30 Задача 13 (б) – первый способ, через двойное неравенство
• 32:35 Второй способ, через окружность
• 35:32 Система, совокупность – что это и что делать, если вы их путаете
• 37:11 Лайфхак – как быстро расставить корни на окружности
• 41:06 Третий способ – подбором
• 50:38 Замена переменных – как описывать
• 51:10 Квадратные уравнения – дискриминант или Виет?
• 58:13 Задача 15
• 1:02:26 Упрощаем себе вычисления ОДЗ
• 1:03:50 Пользуемся ОДЗ — упрощаем себе решение неравенства
• 1:04:55 Смешанное неравенство — первый способ (как лучше не делать)
• 1:07:47 Второй способ – обобщённый метод интервалов (и его подводные камни)
• 1:13:32 Метод рационализации – можно ли пользоваться и нужно ли доказывать?
• 1:18:50 Вывод по 15 задаче, критерии
• 1:21:35 Ответ, отличающийся на конечное число точек
• 1:25:42 Проверка ответов в неравенствах – как?
• 1:29:00 значок равносильности
• 1:40:30 Задача 17
• 1:49:50 Критерии; что такое мат. модель?
• 1:52:00 Четыре фразы, которые нужно обязательно написать
• 1:56:00 Умножать на проценты можно? А складывать?
• 2:03:28 Задача 18
• 2:09:46 Обязательно ли нужен красивый рисунок? Как потерять баллы из-за рисунка
• 2:14:05 Полностью обоснованное решение
• 2:15:40 Разбор критериев на 4, 3, 2 и 1 балл
• 2:20:11 Можно ли решать не через окружности, а аналитически?
• 2:21:13 Задача 19: подбор в пункте (а) и «оценка + пример» в пункте (в)
• 2:27:00 Задача 14
• 2:27:40 Координатный метод
• 2:30:33 Можно ли брать числа из пункта (б), когда решаем пункт (а)?
• 2:35:13 Построение сечения (с обоснованием)
• 2:39:05 Значки «лежит», «принадлежит» – в чём отличие и важно ли не перепутать?
• 2:44:35 В пункте (б) пользуемся недоказанным пунктом (а) – в задачах 14 и 16
• 2:48:15 Использование «необычных» теорем – можно ли без доказательства?
• 2:51:30 Если забыл название теоремы
• 2:53:54 Элементарные вещи можно не выводить
• 2:57:05 Теорема Фалеса или обратная теорем Фалеса?
• 2:58:35 Что будет на Марафоне и кому он нужен
• 3:00:16 Призы