Арифметические ошибки это в математике

Арифметическая ошибка является наиболее распространенным типом ошибок, с которыми сталкиваются люди в повседневной жизни, а также в работе. Это ошибка, которая происходит при выполнении математических операций и может привести к неправильным результатам.

В данной статье мы рассмотрим различные виды арифметических ошибок, а также причины, по которым они могут возникать. Мы также постараемся дать рекомендации, как избежать подобных ошибок и что делать, если все же они возникли.

Важно отметить, что арифметическая ошибка может возникнуть как у профессионалов в сфере математики, так и у людей без особого опыта и знаний в этой области. Это может быть опасно, особенно если ошибка происходит в важном контексте, например, при обработке финансовых данных или при выполнении технических расчетов.

Определение арифметической ошибки

Арифметическая ошибка — это ошибка, допущенная при выполнении арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение или деление. Это может происходить по разным причинам, например, из-за невнимательности, непонимания математических концепций, трудностей с операциями на бумаге или даже из-за ошибок в программном обеспечении.

Такие ошибки могут быть утеряны в расчетах, отражаться в неточных отчетах или приводить к нарушению финансовых расчетов. Хотя некоторые арифметические ошибки могут быть незначительными, другие могут иметь серьезные последствия, особенно если они допущены в финансовых расчетах или на крупных строительных объектах.

Чтобы избежать нежелательных результатов от арифметических ошибок, важно принимать необходимые меры по их предотвращению. Основное внимание должно быть уделено правильной работе с математическими концепциями и технологией, такой как использование калькуляторов и математических программ. Помимо этого, можно использовать специальные методы проверки расчетов, чтобы обнаружить и исправить незаметные ошибки в арифметике.

• Виды арифметических ошибок:
1. Ошибки при сложении и вычитании
2. Ошибки при умножении и делении
3. Ошибки в округлении
4. Неправильное применение формул и уравнений

Понимание и знание основных видов арифметических ошибок может помочь лучше понять, как их избежать и как правильно производить рассчеты. При правильной работе с математическими концепциями и использовании необходимых технологий можно значительно снизить вероятность допущения арифметических ошибок.

Последствия неправильных расчетов:	Причины возникновения:
Неправильные результаты	Ошибки в работе с математическими концепциями
Финансовые потери	Неправильное округление
Утеря информации	Неправильное применение формул и уравнений

Виды арифметических ошибок

Арифметические ошибки могут возникать по разным причинам, и в зависимости от этого можно выделить несколько их видов.

• Ошибки в вычислениях – это ошибки, которые возникают при выполнении арифметических операций. Например, при сложении двух чисел ошибочно забыли перенести единицу в следующий разряд.
• Ошибки в записи чисел – это ошибки, которые возникают из-за неточности при записи чисел. Например, число 125,60 может быть записано как 125,6 или 125.60. При этом возможна ошибка при вычислениях с этими числами.
• Ошибки округления – это ошибки, которые возникают в результате округления чисел до определенного знака. Например, число 3.456 может быть округлено до 3.46 или 3.45. При этом возможна ошибка при дальнейших вычислениях.
• Ошибки переполнения или недостатка разрядности – это ошибки, которые возникают, когда число, которое нужно вычислить, превышает максимально допустимое значение для данного типа данных. Также могут возникать ошибки, когда уже вычисленное число не помещается в заданный диапазон значений.

Таблица. Виды арифметических ошибок.

Вид ошибки	Описание
Ошибки в вычислениях	Например, при сложении двух чисел ошибочно забыли перенести единицу в следующий разряд.
Ошибки в записи чисел	Например, число 125,60 может быть записано как 125,6 или 125.60.
Ошибки округления	Например, число 3.456 может быть округлено до 3.46 или 3.45.
Ошибки переполнения или недостатка разрядности	Когда число превышает максимально допустимое значение для данного типа данных или не помещается в заданный диапазон значений.

Познакомившись с видами арифметических ошибок, можно лучше понимать возможные причины их появления и избежать их в своей работе или повседневной жизни.

Причины возникновения арифметических ошибок

Недостаточные знания арифметики: Недостаточное понимание принципов арифметики может привести к созданию ошибок при вычислениях, особенно при работе с числами с плавающей точкой.

Ошибки ввода: Человеческий фактор может быть причиной ошибок при вводе данных, особенно при копировании чисел из других источников или при использовании калькуляторов.

Проблемы с округлением: Ошибка округления может произойти, если программа использует неправильное поведение округления, а также из-за ограничений точности при вычислениях.

Программные ошибки: Некоторые программные ошибки могут привести к неправильным вычислениям, в том числе недостаточно точных математических операций.

Проблемы с памятью: Арифметические ошибки могут возникнуть из-за проблем с памятью, таких как переполнение или недостаточное выделение памяти для хранения чисел.

Неправильные операции: Ошибка может произойти, когда используется неправильная операция, например, когда используется операция деления вместо умножения или вычитания вместо сложения.

Недостаточная проверка данных: Недостаточная проверка данных перед выполнением вычислений может привести к ошибкам, связанным с неправильными типами данных или значениями, выходящими за пределы диапазона.

Вопрос-ответ

Что такое арифметическая ошибка?

Арифметическая ошибка – это ошибка в вычислениях, связанных с арифметическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. Такие ошибки могут возникнуть из-за неправильного ввода данных, недостаточной внимательности при вычислениях или неправильного использования математических формул. Они могут быть как простыми, так и сложными, и могут возникнуть в различных областях, где используется арифметика, например, в бухгалтерии, науке, технике и т.д.

В процессуальном праве действует правило неизменяемости судебного решения. Согласно этому правилу суд, принявший решение, не вправе самостоятельно изменять его*(986). В то же время из этого правила есть исключение, которое сводится к тому, что суду, принявшему решение, предоставлено право исправить допущенные ошибки, не затрагивая при этом существа принятого решения и не касаясь тех вопросов, которые не были предметом судебного разбирательства. К таким ошибкам относятся описки, опечатки и арифметические ошибки.
Под опиской в соответствии с общеупотребительной лексикой понимается ошибка в письменном тексте, сделанная по рассеянности или невнимательности*(987). Опечатка — это ошибка в печатном тексте, допущенная при наборе, печатании на машинке*(988) (компьютере). Арифметическая ошибка — это неправильность, допущенная в каком-либо вычислении.
Таким образом, все вышеуказанные типы ошибок не являются правовыми ошибками, т.е. ошибками в применении правовых норм. Исправлять собственные правовые ошибки третейский суд не компетентен. Это прерогатива государственного суда, проверяющего в установленных законом пределах на основании заявления заинтересованного лица законность решения третейского суда (в том случае, если третейское соглашение не предусматривает, что решение третейского суда является окончательным).
Не все арифметические ошибки могут быть исправлены третейским судом. Так, если арифметическая ошибка допущена вследствие неправильного применения норм, устанавливающих порядок исчисления цены иска, то такая ошибка не может быть исправлена третейским судом, принявшим решение, поскольку такая ошибка по своей сути является правовой. В этом случае исправление ошибки возможно только путем отмены соответствующего решения третейского суда либо отказа в принудительном его исполнении.
Федеральный закон «О третейских судах в Российской Федерации» не предусматривает, какова должна быть процедура исправления описок, опечаток, арифметических ошибок. В частности, неясно, является ли обязательным проведение в данном случае судебного заседания с обязательным уведомлением сторон. Представляется, что вопрос о внесении указанных изменений должен решаться в судебном заседании, если суд посчитает необходимым проведение такого заседания. При этом лица, участвующие в деле, должны быть извещены о времени и месте проведения заседания.
Действующий закон не урегулировал и вопрос о сроке, в течение которого заинтересованная сторона вправе обратиться с заявлением об исправлении ошибок, опечаток или арифметических ошибок. Законодатель, как представляется, в данном случае сделал шаг назад. Ранее действовавшее Временное положение о третейском суде для разрешения экономических споров содержало норму, которая устанавливала такой срок, составлявший 10 дней (ст. 22). Представляется, что возврат к указанной норме способствовал бы стабильности и предсказуемости третейского процесса, понуждая стороны к более ответственному отношению к своим правам и обязанностям.
Исправление описок, опечаток, арифметических ошибок оформляется определением, которое рассматривается в качестве составной части решения и, как следствие, может быть обжаловано в том порядке, который установлен для обжалования решения третейского суда.

Если в поступившем к вам счете-фактуре неверно (в том числе с арифметическими ошибками) указаны:

• стоимость товаров, работ, услуг; и
• сумма НДС,

не берите налог к вычету, а попросите продавца исправить ошибку. Если ее найдут налоговики, вычет снимут. Об этом напоминает Минфин (письмо от 19.04.2017 № 03-07-09/23491).

Алгоритм исправления арифметической ошибки такой же как при исправлении технических ошибок. Продавец создает новый счет-фактуру и вносит следующие данные:

• в стр. 1 — номер и дату из строки 1 первичного экземпляра счета-фактуры. Эти данные менять нельзя;
• в строке 1а — порядковый номер и дату исправления;
• в графах 5, 8 и 9, в которых содержатся данные о стоимости поставки и суммы НДС, фиксирует правильные значения;
• в остальных строках и графах — данные из первичного экземпляра с правильными значениями.

При необходимости также вносит новые данные (ранее не отраженные).
Исправленный счет-фактуру подписывают руководитель и главный бухгалтер или ИП либо иные уполномоченные лица (п. 6 ст. 169 НК РФ, п. 7 Правил заполнения счета-фактуры).

Образец исправлений см. ниже.

В каких случаях используется исправленный счет-фактура, узнайте .

См. также «Нюансы нумерации счетов-фактур не по порядку в 2017 г.».

Более полную информацию по теме вы можете найти в КонсультантПлюс.
Полный и бесплатный доступ к системе на 2 дня.

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b² . Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х² — 2ху + у² = у² — 2ху + х². Имеем: ( х – у )² = ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а² – 2аb + b² = ca – cb. После преобразования получаем а² – аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

В

M

L

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

Е

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

С

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

O

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х² )³ ( х – 3 )² ≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )² ≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 ) ³ ( х – 3 ) ² ≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

х

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

х

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴ – 2х² — 7 = 0.

Введем замену х² =z, решаем квадратное уравнение:

9z² — 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k² — ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2 = =

z₁₌ -1, z₂= ,

х² = — 1, х² = ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х² = — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin ²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t² -2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿ arcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹ arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВCD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВCD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВCD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.rumatematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 108

В математике или в повседневной жизни арифметические ошибки — это ошибки в арифметике, которые возникают во время арифметических операций из-за отклонения от правил вычислений .

генеральный

В дополнение к орфографические ошибки , ошибки мышления , опечатки , жира ошибок пальцев , речевых ошибок или опечаток ошибок , ошибки в расчетах являются общими каждодневные ошибки . Все они могут стать серьезными ошибками, если останутся незамеченными и нанесут ущерб.

Арифметические ошибки в мысленной арифметике представляют собой нарушение законов арифметики. Если используются вычислительные машины (например, карманные калькуляторы ), ошибка вычислений возникает из-за неправильного ввода . Ошибка расчета в обоих случаях проявляется в отклонении результата расчета от истинного математического значения . В задачах цепочки ошибки вычислений продолжаются как распространение ошибок . К ошибкам расчета также относятся ошибки округления и, строго говоря, приблизительное значение .

Ошибки, возникающие в основном из-за округления (замена иррационального числа (например ) конечной десятичной дробью или, в общем, замена действительного числа числом с плавающей запятой ), также называются ошибками вычислений . Ошибки в отдельных локальных счетах могут привести к накоплению ошибок в счетах . Чем больше операций , тем больше риск фальсификации результата и даже полной бесполезности.

Правовые вопросы об ошибках в расчетах

Ошибки в расчетах могут привести к юридическим последствиям в деловых отношениях . С пометкой «возможны арифметические ошибки» ( латинское salvo errōre calcŭli , сокращение: sec) деловой партнер хочет указать, что его счет-фактура может быть неверным. Наиболее частыми ошибками расчетов в бухгалтерском учете являются ошибки сложения и реже ошибки вычитания, с которыми тесно связаны ошибки баланса. Также при выставлении счета ( ) возникают ошибки умножения .

Ошибка вычисления широко распространена. В случае предложений или заказов , несмотря на ошибку в расчетах, существует обязывающее предложение по контракту в значении § 145 BGB , так что оно не может быть отозвано даже после обнаружения ошибки расчета. Связывание означает, что оферент не может отозвать свою заявку ; другая сторона может заключить договор путем акцепта . Также в тендере содержится предложение участника торгов в соответствии с соответствующим принятым им Ausschreibungsbedingungen обязывающим предложением по смыслу § 145 BGB. При присуждении заявок участников тендера строятся в соответствии с § 16c, пункт 1 VOB / A, чтобы обеспечить соблюдение требования, в частности с вычислительной, технической и экономической точек зрения. В случае предложения, заказа и приглашения к участию в торгах также нет места для оспаривания из-за ошибки: сумма предложения не была вызвана простой типографской ошибкой, которая могла бы оправдать успешное оспаривание из- за ошибки объяснения в соответствии с разделом 119 (1) BGB. Скорее всего, ошибка вычисления всегда относится к области нерелевантных двигательных ошибок . В соответствии с прецедентным правом в Федеральном суде по справедливости (BGH), это относится даже если получатель декларации признал эту ошибку вычисления.

«Тактические» (то есть умышленные) ошибки расчетов также включаются в тендеры, чтобы иметь возможность исправить предложение после публикации результатов тендера. В экономике можно создать впечатление самого дешевого участника торгов с помощью «встроенной» ошибки расчета, а затем попытаться скорректировать цену в сторону повышения, обнаружив ошибку, но это не удается из-за ошибки мотива. Преднамеренные ошибки в расчетах претендента не приводят к исключению оферты, но в случае большого количества соответствующих ошибок могут вызвать сомнения в пригодности претендента.

Орфографические ошибки, ошибки в расчетах и другие подобные очевидные неточности, в том числе ошибок в административных актах и решениях , основанных на механическом надзоре, могут быть исправлены по должности со стороны властей или суда в любое время ( Раздел 118 VwGO , Раздел 107 FGO , Раздел 138 СГГ ). Так, например, налоговые органы в соответствии с § 129 АО должны исправить орфографические ошибки, просчеты и аналогичные очевидные ошибки, которые помешали принятию административного акта. Для исправления согласно § 129 AO необязательно, чтобы неточность также признавалась налогоплательщиком; Решающим является то, будет ли ошибка в раскрытии фактов явным образом распознана как очевидная неточность для любой беспристрастной третьей стороны .

Когда отчеты операционных расходов или коммунальные платежи ошибки расчета, неправильно метраж или неправильная формула распределения считается существенными ошибками. Претензия, связанная с ошибкой, или возмещение эксплуатационных расходов допустимы, пока продолжается расчетный период. Исправление после крайнего срока больше не может приводить к дополнительной оплате арендатором ( раздел 556 (3), предложение 3 BGB).

Известные ошибки расчетов

С незапамятных времен были арифметические ошибки . В книге Ездры ( Ezra 1,8-11  EU ) перечислены серебряные и золотые храмовые орудия, а в конце приводится всего 5400. Однако, если вы сложите отдельные числа, вы получите только 2499. Разница исчезнет только тогда, когда вы добавите дары евреев, оставшихся в Вавилоне, упомянутые в стихе 6, к этим храмовым объектам. Joshua ( Jos 19,2-6  ЕС ) перечисляет 14 городов, но говорит о 13: «И это стало их удел Вирсавия, Scheme, Molada, Хазар-Шуал, Баала, Ezem, Eltolad, Betul, Horma, Циклаг, Bet -Маркабот, Хазар-Суза, Бет-Лебаот, Шарухе ».

31 января 1918 года Альберт Эйнштейн представил в свою академию статью под названием «О гравитационных волнах», потому что его предыдущий отчет был «испорчен досадной ошибкой вычислений».

На выборах в штате Шлезвиг-Гольштейн в 1992 году официальный результат зеленых в день выборов был дан как 5,0%, рассчитанный с округлением по округу до одного десятичного знака , на самом деле он составил 4,97%, как оказалось на следующий день. Ошибка расчета означала, что эта партия неожиданно не попала в парламент штата из-за пороговой статьи .

Pentium FDIV ошибка стало известно в ноябре 1994 года около 1 ½ года после запуска на рынке и привел к неточным результатам для плавающей точки разделения с определенной относительно небольшого числа пар значений.

Открытие и избегание

Обработка ошибок вычислений является обязанностью управления ошибками и анализа причин ошибок . Следует различать, контролирует ли вычислитель свою арифметическую задачу самостоятельно и / или другой надзорный орган берет на себя этот контроль. Ошибки вычислений, не соответствующие ожиданиям калькулятора результата, замечаются и исправляются им. С другой стороны, мы легко упускаем из виду ошибки вычислений, которые соответствуют ожиданиям; это известно как выборочная коррекция ошибок . При самоконтроле помогает пересчет (путем пересчета с противоречивой базовой арифметикой) девяти и штрафных проб , проверки правдоподобия , оценки или грубые вычисления, чтобы избежать просчетов. Надзорные органы (например, учителя в школах или аудиторские / ревизионные офисы органов власти или компаний) сравнивают результаты расчетов с доступными им идеальными решениями.

Смотри тоже

• Ошибка программы («баг»)
• Процедура исправления ошибок

Индивидуальные доказательства

1. ^ Гизела Engeln-Müllges , Фриц Ройтер: Сборник формул по вычислительной математике со стандартными FORTRAN-77 программ . 5-е издание. Bibliographisches Institut, Цюрих 1986, ISBN 3-411-03125-5 , стр. 9 .
2. ↑ Универсальный лексикон прошлого и настоящего Пирера . 4-е издание. Verlagbuchhandlung von HA Pierer , Altenburg 1865 ( zeno.org [доступ 29 августа 2019 г.], словарная статья «Salvo»).
3. ↑ Альфред Исаак, Revision und Wirtschaftsprüfung , 1951, стр.157.
4. ↑ BGH, решение от 7 июля 1998 г., Аз .: X ZR 17/97
5. ↑ Bundesfinanzhof, решение от 28 октября 1992 г., Аз .: II R 111/89
6. ^ BGH, постановление от 12 января 2011 года, Az:. VII ZR 296/09
7. ↑ Рюдигер Ваас, За пределами Вселенной Эйнштейна , 2015, о. П.

Господа юристы, помогите! где можно найти определение «арифметическая ошибка». Заранее благодарю!!

Вот, кажется, самое то, что ищете. Нашел в интернете.

В процессуальном праве действует правило неизменяемости судебного решения. Согласно этому правилу суд, принявший решение, не вправе самостоятельно изменять его. В то же время из этого правила есть исключение, которое сводится к тому, что суду, принявшему решение, предоставлено право исправить допущенные ошибки, не затрагивая при этом существа принятого решения и не касаясь тех вопросов, которые не были предметом судебного разбирательства. К таким ошибкам относятся описки, опечатки и арифметические ошибки.

Под опиской в соответствии с общеупотребительной лексикой понимается ошибка в письменном тексте, сделанная по рассеянности или невнимательности.

Опечатка — это ошибка в печатном тексте, допущенная при наборе, печатании на машинке.

Арифметическая ошибка — это неправильность, допущенная в каком-либо вычислении.